Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K62CLC - Khoa Toán Tin ĐHSPHN TUYỂN CHỌN 410 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2013 Nguyễn Minh Tuấn Mục lục Lời nói đầu 4 1 Một số phương pháp và các loại hệ cơ bản 5 1.1 Các phương pháp chính để giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Một số loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tuyển tập những bài hệ đặc sắc 7 2.1 Câu 1 đến câu 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Câu 31 đến câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Câu 61 đến câu 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Câu 91 đến câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Câu 121 đến câu 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6 Câu 151 đến câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.7 Câu 181 đến câu 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8 Câu 211 đến câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.9 Câu 241 đến câu 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.10 Câu 271 đến câu 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.11 Câu 301 đến câu 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.12 Câu 331 đến câu 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.13 Câu 361 đến câu 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.14 Câu 391 đến câu 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Tài liệu tham khảo 228 Nguyễn Minh Tuấn Lời nói đầu Hệ phương trình Đại số nói chung và hệ phương trình Đại số hai ẩn nói riêng là một phần quan trọng của phần Đại số giảng dạy ở THPT . Nó thường hay xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng. Tất nhiên để giải tốt hệ phương trình hai ẩn không phải đơn giản . Cần phải vận dụng tốt các phương pháp, hình thành các kĩ năng trong quá trình làm bài. Trong các kì thi Đại học, câu hệ thường là câu lấy điểm 8 hoặc 9. Đây là một tài liệu tuyển tập nhưng khá dày nên tôi trình bày nó dưới dạng một cuốn sách có mục lục rõ ràng cho bạn đọc dễ tra cứu. Cuốn sách là tuyển tập khoảng 400 câu hệ đặc sắc, từ đơn giản, bình thường, khó, thậm chí đến đánh đố và kinh điển. Đặc biệt, đây hoàn toàn là hệ Đại số 2 ẩn. Tôi muốn khai thác thật sâu một khía cạnh của Đại số. Nếu coi Bất đẳng thức 3 biến là phần đẹp nhất của Bất đẳng thức, mang trong mình sự uy nghi của một ông hoàng thì Hệ phương trình Đại số 2 ẩn lại mang trong mình vẻ đẹp giản dị, trong sáng của cô gái thôn quê làm say đắm biết bao gã si tình. Xin cảm ơn các bạn, anh, chị, thầy cô trên các diễn đàn toán, trên facebook đã đóng góp và cung cấp rất nhiều bài hệ hay. Trong cuốn sách ngoài việc đưa ra các bài hệ tôi còn lồng thêm một số phương pháp rất tốt để giải. Ngoài ra tôi còn giới thiệu cho các bạn những phương pháp đặc sắc của các tác giả khác . Mong đây sẽ là một nguồn cung cấp tốt những bài hệ hay cho giáo viên và học sinh. Trong quá trình biên soạn cuốn sách tất nhiên không tránh khỏi sai sót.Thứ nhất, khá nhiều bài toán tôi không thể nêu rõ nguồn gốc và tác giả của nó. Thứ hai : một số lỗi này sinh trong quá trình biên soạn, có thể do lỗi đánh máy, cách làm chưa chuẩn, hoặc trình bày chưa đẹp do kiến thức về L A T E X còn hạn chế. Tác giả xin bạn đọc lượng thứ. Mong rằng cuốn sách sẽ hoàn chỉnh và thêm phần đồ sộ. Mọi ý kiến đóng góp và sửa đổi xin gửi về theo địa chỉ sau đây : Nguyễn Minh Tuấn Sinh Viên Lớp K62CLC Khoa Toán Tin Trường ĐHSP Hà Nội Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 Số điện thoại : 01687773876 Nick k2pi, BoxMath : Popeye Nguyễn Minh Tuấn Chương 1 Một số phương pháp và các loại hệ cơ bản 1.1 Các phương pháp chính để giải hệ phương trình I. Rút x theo y hoặc ngược lại từ một phương trình II. Phương pháp thế 1. Thế hằng số từ một phương trình vào phương trình còn lại 2. Thế một biểu thức từ một phương trình vào phương trình còn lại 3. Sử dụng phép thế đối với cả 2 phương trình hoặc thế nhiều lần. III. Phương pháp hệ số bất định 1. Cộng trừ 2 phương trình cho nhau 2. Nhân hằng số vào các phương trình rồi đem cộng trừ cho nhau. 3. Nhân các biểu thức của biến vào các phương trình rồi cộng trừ cho nhau IV. Phương pháp đặt ẩn phụ V. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số VI. Phương pháp lượng giác hóa VII. Phương pháp nhân chia các phương trình cho nhau VIII. Phương pháp đánh giá 1. Biến đổi về tổng các đại lượng không âm 2. Đánh giá sự ràng buộc trái ngược của ẩn, của biểu thức, của một phương trình 3. Đánh giá dựa vào tam thức bậc 2 4. Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng để đánh giá IX. Phương pháp phức hóa X. Kết hợp các phương pháp trên Nguyễn Minh Tuấn 6 Một số phương pháp và các loại hệ cơ bản 1.2 Một số loại hệ cơ bản A. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn I. Dạng  ax + by = c (a 2 + b 2 = 0) a  x + b  y = c (a 2 + b 2 = 0) II. Cách giải 1. Thế 2. Cộng đại số 3. Dùng đồ thị 4. Phương pháp định thức cấp 2 B. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai I. Dạng  ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 a  x + b  y = c II. Cách giải: Thế từ phương trình bậc nhất vào phương trình bậc hai C. Hệ phương trình đối xứng loại I I. Dấu hiệu Đổi vai trò của x và y cho nhau thì hệ đã cho không đổi II. Cách giải: Thường ta sẽ đặt ẩn phụ tổng tích x + y = S, xy = P (S 2 ≥ 4P ) D. Hệ phương trình đối xứng loại II I. Dấu hiệu Đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này biến thành phương trình kia II. Cách giải: Thường ta sẽ trừ hai phương trình cho nhau E. Hệ đẳng cấp I. Dấu hiệu Đẳng cấp bậc 2  ax 2 + bxy + cy 2 = d a  x 2 + b  xy + c  y 2 = d  Đẳng cấp bậc 3  ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 = e a  x 3 + b  x 2 y + c  xy 2 + d  y 3 = e  II. Cách giải: Thường ta sẽ đặt x = ty hoặc y = tx Ngoài ra còn một loại hệ nữa tôi tạm gọi nó là bán đẳng cấp, tức là hoàn toàn có thể đưa về dạng đẳng cấp được .Loại hệ này không khó làm, nhưng nhìn nhận ra được nó cần phải khéo léo sắp xếp các hạng tử của phương trình lại. Tôi lấy một ví dụ đơn giản cho bạn đọc Giải hệ :  x 3 − y 3 = 8x + 2y x 2 − 3y 2 = 6 Với hệ này ta chỉ việc nhân chéo vế với vế sẽ tạo thành đẳng cấp. Và khi đó ta có quyền chọn lựa giữa chia cả 2 vế cho y 3 hoặc đặt x = ty Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguyễn Nguyễn Minh Tuấn Chương 2 Tuyển tập những bài hệ đặc sắc 2.1 Câu 1 đến câu 30 Câu 1  (x − y) (x 2 + y 2 ) = 13 (x + y) (x 2 − y 2 ) = 25 Giải Dễ dàng nhận thấy đây là một hệ đẳng cấp bậc 3, bình thường ta cứ nhân chéo lên rồi chia 2 vế cho x 3 hoặc y 3 . Nhưng hãy xem một cách giải tinh tế sau đây: Lấy (2) − (1) ta được : 2xy(x − y) = 12 (3) Lấy (1) − (3) ta được : (x − y) 3 = 1 ⇔ x = y + 1 Vì sao có thể có hướng này ? Xin thưa đó là dựa vào hình thức đối xứng của hệ. Ngon lành rồi. Thay vào phương trình đầu ta được (y + 1) 2 + y 2 = 13 ⇔  y = 2 y = −3 Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 2), (−2; −3) Câu 2  x 3 − 8x = y 3 + 2y x 2 − 3 = 3 (y 2 + 1) Giải Để ý như sau : Phương trình 1 gồm bậc ba và bậc nhất. Phương trình 2 gồm bậc 2 và bậc 0 (hằng số). Rõ ràng đây là một hệ dạng nửa đẳng cấp. Ta sẽ viết lại nó để đưa về đẳng cấp Hệ đã cho tương đương :  x 3 − y 3 = 8x + 2y x 2 − 3y 2 = 6 Giờ ta nhân chéo hai vế để đưa nó về dạng đẳng cấp ⇔ 6  x 3 − y 3  = (8x + 2y)  x 2 − 3y 2  ⇔ 2x (3y −x) (4y + x) = 0 Nguyễn Minh Tuấn 8 Tuyển tập những bài hệ đặc sắc TH1 : x = 0 thay vào (2) vô nghiệm TH2 : x = 3y thay vào (2) ta có: 6y 2 = 6 ⇔  y = 1, x = 3 y = −1, x = −3 TH3 : x = −4y thay vào (2) ta có: 13y 2 = 6 ⇔     y =  6 13 , x = −4  6 13 y = −  6 13 , x = 4  6 13 Vậy hệ đã cho có nghiệm :(x; y) = (3; 1), (−3; −1),  −4  6 13 ;  6 13  ,  4  6 13 ; −  6 13   Câu 3  x 2 + y 2 − 3x + 4y = 1 3x 2 − 2y 2 − 9x − 8y = 3 Giải Để ý khi nhân 3 vào PT(1) rồi trừ đi PT(2) sẽ chỉ còn y . Vậy 3.P T(1) − P T(2) ⇔ y 2 + 4y = 0 ⇔    y = 0 ⇔ x = 3 ± √ 7 2 y = −4 ⇔ x = 3 ± √ 7 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x; y) =  3 ± √ 7 2 ; 0  ,  3 ± √ 7 2 ; −4   Câu 4  x 2 + xy + y 2 = 19(x − y) 2 x 2 − xy + y 2 = 7 (x − y) Giải Nhận xét vế trái đang có dạng bình phương thiếu, vậy ta thử thêm bớt để đưa về dạng bình phương xem sao. Nên đưa về (x − y) 2 hay (x + y) 2 . Hiển nhiên khi nhìn sang vế phải ta sẽ chọn phương án đầu Hệ đã cho tương đương  (x − y) 2 + 3xy = 19(x − y) 2 (x − y) 2 + xy = 7 (x − y) Đặt x − y = a và xy = b ta có hệ mới Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguyễn Nguyễn Minh Tuấn 2.1 Câu 1 đến câu 30 9  b = 6a 2 a 2 + b = 7a ⇔  a = 0, b = 0 a = 1, b = 6 ⇔      x − y = 0 xy = 0  x − y = 1 xy = 6 ⇔   x = 0, y = 0 x = 3, y = 2 x = −2, y = −3 Vậy hệ đã cho có nghiệm :(x; y) = (0; 0) , (3; 2) (−2; −3)  Câu 5  x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17 x + xy + y = 5 Giải Hệ đối xứng loại I rồi. No problem!!! Hệ đã cho tương đương  (x + y) 3 − 3xy(x + y) + (xy) 3 = 17 (x + y) + xy = 5 Đặt x + y = a và xy = b ta có hệ mới  a 3 − 3ab + b 3 = 17 a + b = 5 ⇔  a = 2, b = 3 a = 3, b = 2 ⇔      x + y = 2 xy = 3  x + y = 3 xy = 2 ⇔  x = 2, y = 1 x = 1, y = 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 2), (2; 1) Câu 6  x(x + 2)(2x + y) = 9 x 2 + 4x + y = 6 Giải Đây là loại hệ đặt ẩn tổng tích rất quen thuộc Hệ đã cho tương đương  (x 2 + 2x) (2x + y) = 9 (x 2 + 2x) + (2x + y) = 6 Đặt x 2 + 2x = a và 2x + y = b ta có hệ mới  ab = 9 a + b = 6 ⇔ a = b = 3 ⇔  x 2 + 2x = 3 2x + y = 3 ⇔  x = 1, y = 1 x = −3, y = 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 1), (−3; 9) Câu 7  x + y − √ xy = 3 √ x + 1 + √ y + 1 = 4 Giải Không làm ăn gì được ở cả 2 phương trình, trực giác đầu tiên của ta là bình phương để phá sự khó chịu của căn thức Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguyễn Nguyễn Minh Tuấn 10 Tuyển tập những bài hệ đặc sắc (2) ⇔ x + y + 2 + 2  xy + x + y + 1 = 16 Mà từ (1) ta có x + y = 3 + √ xy nên (2) ⇔ 3 + √ xy + 2 + 2  xy + √ xy + 4 = 16 ⇔ √ xy = 3 ⇔  xy = 9 x + y = 6 ⇔ x = y = 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 3) Câu 8  √ x + 5 + √ y −2 = 7 √ x − 2 + √ y + 5 = 7 Giải Đối xứng loại II. Không còn gì để nói. Cho 2 phương trình bằng nhau rồi bình phương tung tóe để phá sự khó chịu của căn thức Điều kiện : x, y ≥ 2 Từ 2 phương trình ta có √ x + 5 +  y −2 = √ x − 2 +  y −5 ⇔ x + y + 3 + 2  (x + 5)(y −2) = x + y + 3 + 2  (x − 2)(y + 5) ⇔  (x + 5)(y −2) =  (x − 2)(y + 5) ⇔ x = y Thay lại ta có √ x + 5 + √ x − 2 = 7 ⇔ x = 11 Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x; y) = (11; 11) Câu 9   x 2 + y 2 + √ 2xy = 8 √ 2 √ x + √ y = 4 Giải Hệ đã cho có vẻ là nửa đối xứng nửa đẳng cấp, để ý bậc của PT(2) đang nhỏ hơn PT(1) một chút. Chỉ cần phép biến đổi bình phương (2) sẽ vừa biến hệ trở thành đẳng cấp vừa phá bỏ bớt đi căn Điều kiện : x, y ≥ 0 Hệ đã cho ⇔   2(x 2 + y 2 ) + 2 √ xy = 16 x + y + 2 √ xy = 16 ⇔  2 (x 2 + y 2 ) = x + y ⇔ x = y Thay lại ta có : 2 √ x = 4 ⇔ x = 4 Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguyễn [...]... quan hệ xây dựng ở đây là x = −1 Thay lại vào hệ và ta có hướng chọn hệ số để nhân Tuy nhiên cách này sẽ chịu chết với những bài hệ chỉ có một cặp nghiệm hoặc nghiệm quá lẻ không thể dò bằng Casio được Đây là nhược điểm lớn nhất của nó Nào bây giờ hãy thử xây dựng quan hệ bằng định lý nhé yễ n Với hệ này vì phương trình dưới đang có bậc cao hơn trên nên ta sẽ nhân a vào phương trình trên rồi cộng với phương. .. những câu hệ này khá đặc biệt Phải đặc biệt thì những hệ số kia mới tỉ lệ và ta tìm được x = α hay y = β là nghiệm của hệ Thế với những bài hệ không có được may mắn như kia thì ta sẽ làm như nào Tôi xin giới thiệu một phương pháp UCT rất mạnh Có thể áp dụng rất tốt để giải nhiều bài hệ hữu tỉ (kể cả những ví dụ trên) Đó là phương pháp Tìm quan hệ tuyến tính giữa x và y Và ta sẽ không chỉ nhân hằng số vào... hay không phải xem ∆x hoặc ∆y của nó có chính phương hay không Nếu hệ loại này mà từ ngay một phương trình ∆ ra kì diệu thì chẳng nói làm gì, thế nhưng cả hai phương trình ∆ đều ra rất kì cục thì ta sẽ làm như nào Khi đó UCT sẽ lên tiếng Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một (hoặc cả hai phương trình) để ép sao cho ∆ chính phương Như vậy phải tìm hằng số k sao cho P T (1) + k.P T (2) có thể phân... sao lại nghĩ ra những hằng số kia nhân vào các phương trình, một sự tình cờ may mắn hay là cả một phương pháp Xin thưa đó chính là một ví dụ của UCT UCT là một công cụ rất mạnh có thể quét sạch gần như toàn bộ những bài hệ dạng là hai tam thức Cách tìm những hằng số như thế nào Tôi xin trình bày ngay sau đây Bài viết của tác giả nthoangcute Giải Ng u Hiển nhiên nhận xét đây là hệ gồm hai tam thức bậc... lượt ứng với tọa độ 2 điểm, khi đó phương trình đường thẳng qua chúng sẽ là : x + 2y = 0 ⇔ x = −2y Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn 22 Tuyển tập những bài hệ đặc sắc Như vậy quan hệ tuyến tính ở đây là x = −2y Thay lại vào hệ ta được 9y (y + 1) = 0 −20y (y + 1) (y − 1) = 0 Sau đó ta chọn biểu thức phù hợp nhất nhân vào 2 phương trình Ở đây sẽ là 20 (y − 1) P T (1)... Câu 24 h Với hệ này ta chỉ việc trừ cho nhau sẽ ra y = −1 ⇒ x2 + 2 = 0 (Vô nghiệm) √ √ 1 5−3 5 1 5+3 5 , − ; Vậy hệ đã cho có nghiệm :(x; y) = − ; 2 4 2 4 Giải yễ n M Hình thức bài hệ có vẻ khá giống với câu 23 Một chút đánh giá về hệ này - Các biến x và y không độc lập với nhau - Bậc cao nhất của x ở 2 phương trình như nhau , y cũng vậy Với các đặc điểm này ta thử viết hệ thành 2 phương trình theo ẩn... − x + 1 = 0 Đây lại là hệ đặc biệt, ta tìm được x = 3 là nghiệm của hệ Thay vào và rút ra kết quả PT(1) + PT(2) ⇔ (x − 3) (xy − 1) = 0 in h Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 1), (1; 0) Ng u yễ n M Bài viết về phương pháp UCT hay còn gọi là hệ số bất định kết thúc ở đây Qua hơn chục câu ta đã thấy : sử dụng phương pháp UCT nâng cao (tìm quan hệ tuyến tính giữa các ẩn) là một phương pháp rất mạnh và... , d = d1 + kd2 , e = e1 + ke2 , f = f1 + kf2 Số k là nghiệm của phương trình sau với a = 0 cde + 4abf = ae2 + bd2 + f c2 Dạ vâng có hẳn một công thức để giải hệ phương trình loại này Tác giả của nó khá xuất sắc !!! Thử kiểm chứng lại ví dụ 21 nhé a = 14 + 35k, b = −21 + 28k, c = 0, d = −6 + 41k, e = 45 − 122k, f = −14 + 56k Số k sẽ là nghiệm của phương trình 4(14+35k)(−21+28k)(−14+56k) = (14+35k)(45−122k)2... là bài này tìm hằng số như thế nào ? Có rất nhiều cách giải thích nhưng tôi xin trình bày cách giải thích của tôi :tuzki: Làm tương tự theo như hai câu 23 và 24 xem nào Viết lại hệ đã cho thành h 3xy 2 + x3 + 49 = 0 y 2 + 8(x + 1)y + x2 − 17x = 0 in Một cách trực giác ta thử với x = −1 Vì sao ? Vì với x = −1 phương trình 2 sẽ không còn phần y và có vẻ 2 phương trình sẽ tương đương Khi thay x = −1 hệ. .. 0 y 2 x − y (x2 + x − 1) + x3 − x2 + 1 = 0 Bây giờ ta mong ước rằng khi thay x bằng 1 số nào đó vào hệ này thì sẽ thu được 2 phương trình tương đương Tức là khi đó các hệ số của 2 phương trình sẽ tỉ lệ với nhau Vậy : x2 + 1 x3 + x x+1 = 2 = 3 ⇒x=1 x x +x−1 x − x2 + 1 Rất may mắn ta đã tìm được x = 1 Thay x = 1 lại hệ ta có 2 (y 2 − y + 1) = 0 ⇒ 2.P T (2) − P T (1) sẽ có nhân tử x − 1 y2 − y + 1 = 0 . Đại số hai ẩn nói riêng là một phần quan trọng của phần Đại số giảng dạy ở THPT . Nó thường hay xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi tuyển. cung cấp tốt những bài hệ hay cho giáo viên và học sinh. Trong quá trình biên so n cuốn sách tất nhiên không tránh khỏi sai sót.Thứ nhất, khá nhiều bài toán