Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp kho bài tập hình học 10 có lời giải
a b A D C B o HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là AB uuur ( đọc là vectơ AB). + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là , , , , a b x y r r r ur (Chú ý: AB BA≠ uuur uuur ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu 0 r Ví dụ: ,MM AA uuuur uuur , + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB uuur ≠ 0 r , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB uuur . Còn vectơ −không AA uuur thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a r kí hiệu là | a r |, | |AB AB BA= = uuur • Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Nếu a r bằng b r thì ta viết a r = b r . AA BB= uuur uuur = 0 r , | 0 r |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm a) Tất các vectơ khác 0 r ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. Các kí hiệu thường gặp AB uuur cùng phương CD uuur kí hiệu: AB uuur // CD uuur AB uuur cùng hướng CD uuur kí hiệu: AB uuur ↑↑ CD uuur AB uuur ngược hướng CD uuur kí hiệu: AB uuur ↑↓ CD uuur CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 r là ,AB BA uuur uuur Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0 r Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a r khác 0 r . Tìm điểm M sao cho: AM uuuur cùng phương a r Giải -1- A B A D C B o E F D B A C K I N M D A C B Gọi ∆ là giá của a r Nếu AM uuuur cùng phương a r thì đường thẳng AM// ∆ Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆ Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM uuuur cùng phương a r Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa: | | | | , cuøng höôùng a b a b a b = ⇒ = r r r r r uur + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì ,AB DC BC AD= = uuur uuur uuur uuur ,… (hoặc viết ngược lại) + Nếu ,a b b c a c= = ⇒ = r r r r r r Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: EF CD= uuur uuur Giải Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD, EF= 1 2 BC=CD⇒ EF=CD⇒ EF CD= uuur uuur (1) EF uuur cùng hướng CD uuur (2) Từ (1),(2) ⇒ EF CD= uuur uuur Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành EF= 1 2 BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒ EF CD= uuur uuur Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh: ,AM NC DK NI= = uuuur uuur uuur uur Giải Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành ⇒ AM NC= uuuur uuur Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MD⇒ DK uuur = KM uuuur . Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra NI uur = KM uuuur ⇒ DK NI= uuur uur Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải Giả sử AB AC= uuur uuur . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A⇒ B≡C. (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a r . Dựng điểm M sao cho: a) AM uuuur = a r ; b) AM uuuur cùng phương a r và có độ dài bằng | a r |. Giải Giả sử ∆ là giá của a r . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆ (nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆). Khi đó có hai điểm M 1 và M 2 thuộc d sao cho: AM 1 =AM 2 =| a r | Khi đó ta có: a) 1 AM uuuur = a r b) 1 AM uuuur = 2 AM uuuuur cùng phương với a r -2- a r ∆ m a r ∆ d A Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: 'AH B C= uuur uuuur . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương → a và → b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó. Bài 3: Cho ba vectơ →→→ cba ,, cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB uuur và AC uuur cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng PQ uuur , QR uuur , RP uuur . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Tìm các vectơ cùng phương với AB uuur ; b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB uuur ; c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB uuur ; d) Tìm các vectơ bằng với MO uuuur , bằng với OB uuur . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O a) Tìm các vectơ khác 0 r và cùng phương OA uuur ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB uuur ; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB uuur và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O a) bằng vectơ AB uuur ; OB uuur b) Có độ dài bằng OB uuur Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC= uuur uuur Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC= uuur uuur thì AD BC= uuur uuur Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : MQNPQPMN == ; Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) AB uuur và AC uuur cùng hướng, | AB uuur |>| AC uuur |; -3- R Q P B A C N M O D A B C O D A B C b) AB uuur và AC uuur ngược hướng; c) AB uuur và AC uuur cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,, . Chứng minh 0AQ = uuur r . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không Bài 3: nếu → a ngược hướng → b và → a ngược hướng → a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: Bài 6: Bài 7: a) , , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) , ,OC ED FO uuur uuur uuur c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đó 'BB AB= uuur uuur * FO uuur là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB Do CC’//AB ⇒ 'CC AB= uuuur uuur + tương tự Bài 8: a) AB DC= uuur uuur , OB DO= uuur uuur b) | | | | | | | |OB BO DO OD= = = uuur uuur uuur uuur Bài 9: Chứng minh chiều ⇒ : * ABCD là hình bình hành = ⇒ CDAB CDAB // * DCAB CDAB CDAB =⇒ = // Chứng minh chiều ⇐ : * AB = DC ⇔ AB , DC cùng hướng và DCAB = * AB và DC cùng hướng ⇒ AB // CD (1) * CDAB = ⇒ AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành Bài 10: AB DC= uuur uuur ⇒ AB=DC, AB//CD ⇒ ABCD là hình bình hành ⇒ AD BC= uuur uuur Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1 2 AC Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành ⇒ đpcm Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) AB uuur và AC uuur cùng hướng, | AB uuur |>| AC uuur |; b) AB uuur và AC uuur ngược hướng; c) AB uuur và AC uuur cùng phương; HD: a) AB uuur và AC uuur cùng hướng, | AB uuur |>| AC uuur | khi C nằm giữa A và B b) AB uuur và AC uuur ngược hướng, khiA nằm giữa B và C -4- A C B → a → b → c c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng + cùng hướng: nếu | AB uuur |>| AC uuur | thì theo a); nếu | AB uuur |< AC uuur | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,, . Chứng minh 0AQ = uuur r . HD: Ta có ;AM BA NP DC AB= = = uuuur uuur uuur uuur uuur ⇒ AM=NP và AM//NP ⇒ AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2) Từ (1)&(2) ⇒ A ≡ Q ⇒ 0AQ = uuur r BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ 1. Cho ∆ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR : → MQ = → NP 3. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. a/ Xác định các vectơ cùng phương với → MN b/ Xác định các vectơ bằng → NP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ → EH và → FG bằng → AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ → CI = → DA . CMR : a/ I là trung điểm AB và → DI = → CB b/ → AI = → IB = → DC 4. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng → MK = → CP và → KL = → BN a/ CMR : → KP = → PN b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : → AL = 0 §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ • Định nghĩa: Cho 2 véc tơ → a và → b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng → AB = → a , → BC = → b . Khi đó → a + → b = → AC Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . • Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB uuur + BC uuur = AC uuur • Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB uuur + AD uuur = AC uuur -5- A B C D G I C B A D 2. Vectơ đối + Cho vectơ → a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng → a được gọi là vectơ đối của vectơ → a , kí hiệu là - → a ⇒ → a +(- → a )= 0 r + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB uuur có vectơ đối là BA uuur nghĩa là AB uuur = - BA uuur + vectơ đối của 0 r là 0 r . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) Định nghĩa: → a - b → = → a +(- b → ) • Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: OB OA AB− = uuur uuur uuur (hoặc OA OB BA− = uuur uuur uuur )hay AB OB OA= − uuur uuur uuur 4. Tính chất : với , ,a b c r r r bất kì ta có: + Giao hoán : a b+ r r = b a+ r r + Kết hợp ( a b+ r r ) + c r = (a b+ r r + c r ) + a r + 0 r = 0 r + a r = a r + a r +(− a r )=− a r + a r = 0 r + | a r + b r | ≤ | a r |+| b r |, dấu “=” xảy ra khi a r , b r cùng hướng. + a r ↑↓ b r và | b r | ≥ | a r | ⇒ | a r + b r |=| b r |−| a r | + a r = b r ⇔ a r + c r = b r + c r + a r + c r = b r ⇔ a r = b r − c r , c r = b r − a r + a r −( b r + c r )= a r − b r − c r ; a r −( b r − c r )= a r − b r + c r Ghi chú: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ 0IA IB+ = uur uur r + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng ; ;NC MC AM CD AD NC+ + + uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur b) Chứng minh : AM AN AB AD+ = + uuuur uuur uuur uuur Giải: a) + Vì MC AN= uuuur uuur nên ta có NC MC+ uuur uuuur = NC AN+ uuur uuur = AN NC+ uuur uuur = AC uuur +Vì CD BA= uuur uuur nên ta có AM CD+ uuuur uuur = AM BA+ uuuur uuur = BA AM+ uuur uuuur = BM uuuur +Vì NC AM= uuur uuuur nên ta có AD NC+ uuur uuur = AD AM+ uuur uuuur = AE uuur , E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC+ = uuuur uuur uuur Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC+ = uuur uuur uuur Vậy AM AN AB AD+ = + uuuur uuur uuur uuur Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh: 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên: 0; 0; 0OA OD OB OE OC OF+ = + = + = uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r ⇒ đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. -6- a) Chứng minh rằng vectơ ;OA OB OC OE+ + uuur uuur uuur uuur đều cùng phương OD uuur b) Chứng minh AB uuur và EC uuur cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa OD ⇒ d là trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có OA OB OM+ = uuur uuur uuuur , trong đó M là đỉnh hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON+ = uuur uuur uuur , N ∈ d. Vậy OA OB+ uuur uuur và OC OE+ uuur uuur cùng phương OD uuur vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d ⇒ AB//EC ⇒ AB uuur // EC uuur Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tìm ; ; ;AM AN MN NC MN PN BP CP− − − − uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur . b) Phân tích AM uuuur theo hai vectơ ;MN MP uuuur uuur . Giải a) AM AN− uuuur uuur = NM uuuur MN NC− uuuur uuur = MN MP− uuuur uuur = PN uuur (Vì NC MP= uuur uuur ) MN PN− uuuur uuur = MN NP+ uuuur uuur = MP uuur BP CP− uuur uuur = BP PC+ uuur uuur = BC uuur b) AM NP MP MN= = − uuuur uuur uuur uuuur Bài 5: Cho hình thoi ABCD có · BAD =60 0 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | |;| |;| |AB AD BA BC OB DC+ − − uuur uuur uuur uuur uuur uuur Giải Vì ABCD là hình thoi cạnh a và · BAD =60 0 nên AC= 3a và BD=a. Khi đó ta có : | | 3AB AD AC AB AD AC a+ = => + = = uuur uuur uuur uuur uuur | | 3BA BC CA AB AD CA a− = ⇒ + = = uuur uuur uuur uuur uuur 3 | | 2 a OB DC DO DC CO OB DC CO− = − = ⇒ − = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | |; | |;| |OA CB AB DC CD DA− + − uuur uuur uuur uuur uuur uuur Giải Ta có AC=BD= 2a ; OA CB CO CB BO− = − = uuur uuur uuur uuur uuur Do đó 2 | | 2 a OA CB BO− = = uuur uuur | | | | | | 2AB DC AB DC a+ = + = uuur uuur uuur uuur (vì AB DC↑↑ uuur uuur ) Ta có CD DA CD CB BD− = − = uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ | CD DA− uuur uuur |=BD= 2a * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. Chứng minh rằng: =+ →−→− CDAB →−→−− + CBAD (theo 3 cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB+ = + + + = + + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cách 2: (sử dụng hiệu) -7- B A C D AB AD CB CD DB DB− = − ⇔ = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: AB BE CF AE BF CD+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur Giải VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF+ + = + + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AE BF CD ED DF FE+ + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AE BF CD+ + uuur uuur uuur (vì 0ED DF FE+ + = uuur uuur uuur r )=VP⇒ đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB+ − − + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Giải Ta có ;DC CD CE EC− = − = uuur uuur uuur uuur nên VT = AC DE DC CE CB+ − − + uuur uuur uuur uuur uuur = AC DE CD EC CB+ + + + uuur uuur uuur uuur uuur = AC CD DE EC CB AB+ + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur =VP⇒ đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OA OB OC OM ON OP+ + = + + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur Giải VT = OA OB OC+ + uuur uuur uuur = OM MA ON NB OP PC+ + + + + uuuur uuur uuur uuur uuur uuur = OM ON OP MA NB PC+ + + + + uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Mà NB NM NP= + uuur uuuur uuur ⇒ MA NB PC+ + uuur uuur uuur = 0MA NM NP PC NA NC+ + + = + = uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r ⇒ VT= OM ON OP+ + uuuur uuur uuur =VP⇒ đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : → AC + → BD = → AD + → BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : → AB + → CD + → EA = → CB + → ED 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : AE BF CD AF BD CE+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : → AC + → BF + → GD + → HE = → AD + → BE + → GC + → HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ → DO + → AO = → AB b/ → OD + → OC = → BC c/ → OA + → OB + → OC + → OD = 0 d/ → MA + → MC = → MB + → MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : → OD + → OC = → AD + → BC 10. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý → 'AA , → 'BB , → 'CC CMR : → 'AA + → 'BB + → 'CC = → 'BA + → 'CB + → 'AC . 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính →→ +ADAB theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. a/ Tính →→ +ADAB b/ Dựng u = →→ +ACAB . Tính u 13. Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a -8- a/ Dựng v = →→ +ACAB . b/ Tính v . 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ , , ,OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur có độ dài bằng nhau và OA OB OC OD+ + + uuur uuur uuur uuur = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : → AB − → CD = → AC + → DB 15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : a/ → CD + → FA − → BA − → ED + → BC − → FE = 0 b/ → AD − → FC − → EB = → CD − → EA − → FB c/ → AB − → DC − → FE = → CF − → DA + → EB 16. Cho ∆ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : a/ → MA − → MB + → MC = 0 b/ → MB − → MC + → BC = 0 c/ → MB − → MC + → MA = 0 d/ → MA − → MB − → MC = 0 e/ → MC + → MA − → MB + → BC = 0 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. a/ Tính → AD − → AB b/ Dựng u = → CA − → AB . Tính u 18. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. a/ Tính →→ −ACAB b/ Tính → BA − → BI 19. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính →→ −ACAB BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: a) v AB DC BD CA → = + + + uuur uuur uuur uuur b) DABCCDABm +++= c) DBABCDBCn +++= . d) p AB BC CD DE= + + + ur uuur uuur uuur uuur Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO uuur = a r ; BO uuur = b r Tính AB uuur ; BC uuur ; CD uuur ; DA uuur theo a r và b r Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC uuur + AB uuur ; AB uuur - AC uuur theo a. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) AO uuur - AD uuur = MO uuuur b) AC uuur - AD uuur = NB uuur Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a) AB uuur + CD uuur + EA uuur = CB uuur + ED uuur b) AD uuur + BE uuur + CF uuur = AE uuur + BF uuur + CD uuur c) AB uuur + CD uuur + EF uur + GA uuur = CB uuur + ED uuur + GF uuur d) AB uuur - AF uuur + CD uuur - CB uuur + EF uur - ED uuur = 0 r Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử ONOBOAOMOBOA =−=+ , . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OOEODOCOBOA =++++ Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: ''' OCOBOAOCOBOA ++=++ Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) OA uuur + OB uuur + OC uuur + OD uuur + OE uuur + OF uuur = 0 r b) OA uuur + OC uuur + OE uuur = 0 r c) AB uuur + AO uuur + AF uuur = AD uuur d) MA uuuur + MC uuur + ME uuur = MB uuur + MD uuuur + MF uuur ( M tùy ý ) -9- Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh rằng HB uuur + HC uuur = HD uuur b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA uuur + HB uuur + HC uuur = HH ' uuuur Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA uuur + CB uuur = CA uuur - CB uuur PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1) Định nghĩa: Cho a r ≠ 0 r , 0≠k ∈ ¡ ta có c r =k a r (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: + c r cùng phương a r + c r cùng hướng a r khi k>0 + c r ngược hướng a r khi k<0 + | c r |=| k a r |=|k|.| a r | Quy ước: 0 a r = 0 r ; k 0 r = 0 r 2) Tính chất: Cho a r , b r bất kì và k,h ∈ ¡ , khi đó + k( a r + b r )= k a r +k b r + (k+h) a r = k a r +h b r + k(h a r )= (kh) a r + 1. a r = a r ; (−1) a r =− a r * Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có: 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có: 3MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur uuuur 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương ∀ a r , b r ; a r cùng phương b r ≠ 0 r ⇔ ∃ 0≠k ∈ ¡ : a r =k b r (∀ a r , b r ; b r cùng phương a r ≠ 0 r ⇔ ∃ 0≠k ∈ ¡ : b r =k a r ) 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB uuur cùng phương AC uuur ⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB k AC= uuur uuur 5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai a r , b r khác 0 r và không cùng phương. Khi đó ∀ x r bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho: x r = m a r +n b r . G I C B A CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Xác định vectơ k a r PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a r và các tính chất 1) Cho a AB= r uuur và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho : 3 ; 4OM a ON a= = − uuuur r uuur r Giải Vẽ d đi qua O và // với giá của a r (nếu O ∈ giá của a r thì d là giá của a r ) − Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a r |, OM uuuur và a r cùng hướng khi đó 3OM a= uuuur r . − Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a r |, ON uuur và a r ngược hướng nên 4ON a= − uuur r -10- O a r MN Nếu G là trọng tâm AG= 2 3 AI; GI= 1 3 AI AG=2GI [...]... c(a2-c2) Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = 3 , S= 3 3 Tính cạnh a Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = 7 , C = 600 Tính cạnh a Bài 14 : Cho tam giác ABC vng ở B, kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1 góc CBD = 300 Tính AC Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900, AB = a, AD = 3a, BAD = 600 Tính AC Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600, hc= 3 , R = 5 Tính a, b, c Bài 17 : Cho tam giác ABC có. .. 2 doi ke sin = ;cos = huyen huyen A B H BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1 : Cho tam giác ABC vng ở A, có đường cao AH Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4 Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB Biết rằng AD = 3a; BC = 4a; góc BDC = 900 Tính AB; CD; AC Bài 3 : Cho tam giác ABC vng tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16 Tính CD ; AC ; BC Bài 4 : Cho tam giác ABC vng tại A, AB =... cân tại C b/ Tính diện tích ∆ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC c/ CMR : ∆ABC vng cân d/ Tính diện tích ∆ABC BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I Bài 1 :Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện... 2 00 ≤ a . vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D},. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC= uuur uuur Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC= uuur uuur thì AD BC= uuur