BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 −−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x + 1 x − 1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho. b) Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình cos  π 2 − x  + sin 2x = 0. Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  xy − 3y + 1 = 0 4x − 10y + xy 2 = 0 (x, y ∈ R). Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = 5  1 dx 1 + √ 2x − 1 . Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đều ABC.A  B  C  có AB = a và đường thẳng A  B tạo với đáy một góc bằng 60 ◦ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B  C  . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A  B  C  và độ dài đoạn thẳng MN. Câu 6 (1,0 điểm). Tìm m để bất phương trình (x − 2 − m) √ x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d : x + y− 3 = 0, ∆ : x − y + 2 = 0 và điểm M(−1; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua M, có tâm thuộc d, cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 3 √ 2. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−1; 3) và đường thẳng d : x − 1 2 = y + 1 −1 = z − 3 1 . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d. Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i)z + (2 − i) 2 = 4 + i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z) z. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và có trọng tâm là G  1 3 ; 1 3  . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0). Tìm tọa độ các điểm B và C. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : 2x − 5y + 4z − 36 = 0. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P ). Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A. Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình z 2 + (2 − 3i)z − 1 − 3i = 0 trên tập hợp C các số phức. −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) • Tập xác định: \{1}.D = \ • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 3 ';'0, (1) yy x =− < ∀ ∈ − .xD Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (;1)−∞ và (1; ).+∞ 0,25 - Giới hạn và tiệm cận: ; tiệm cận ngang: lim lim 2 xx yy →−∞ →+∞ == 2.y = ; tiệm cận đứng: 11 lim , lim xx yy −+ →→ =−∞ =+∞ 1.x = 0,25 - Bảng biến thiên: Trang 1/3 0,25 • Đồ thị: 0,25 b. (1,0 điểm) 21 (;5)() 5 2. 1 m Mm C m m + ∈⇔= ⇔= − Do đó (2;5).M 0,25 Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là: '(2)( 2) 5,yy x= −+ hay : 3 11.dy x= −+ 0,25 d cắt Ox tại ( 11 ;0 , 3 A ) cắt Oy tại B(0; 11). 0,25 1 (2,0 điểm) x 'y y − ∞ 1 + ∞ − − + ∞ − ∞ 2 2 2 O y 1 x Diện tích tam giác OAB là 1 1 11 121 11 . 223 SOAOB=== 6 0,25 Trang 2/3 Câu Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương với sin 2 sinx x= − 0,25 sin 2 sin( )x x⇔=− 0,25 22π () 2 π 2π xxk k xxk =− + ⎡ ⇔∈ ⎢ =++ ⎣ ] 0,25 2 (1,0 điểm) 2π () 3 π 2π xk k xk ⎡ = ⇔∈ ⎢ ⎢ =+ ⎣ ] . 0,25 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2π , 3 xk= π 2π ()xkk.= +∈] { 2 310 (1) 410 0(2) xy y xyxy −+= −+= Nhận xét: không thỏa mãn (1). Từ (1) ta được 0y = 31 (3). y x y − = 0,25 Thay vào (2) ta được 32 311124yyy−+−=0 0,25 1y⇔= hoặc hoặc 2y = 2 . 3 y = 0,25 3 (1,0 điểm) Thay vào (3) ta được nghiệm (x; y) của hệ là ( ) 5 (2;1), ; 2 2 và ( ) 32 ;. 23 0,25 Đặt 21.t Suy ra x=− ;ddx tt= khi x = 1 thì t =1, khi x = 5 thì t = 3. 0,25 Khi đó ( ) 33 11 1 d1 d 11 t It tt ==− ++ ∫∫ t 0,25 () 3 1 ln | 1|tt=− + 0,25 4 (1,0 điểm) 2ln2.=− 0,25 '( )AA ABC⊥ n 'A BA⇒ là góc giữa 'A B với đáy n o '60ABA⇒=. 0,25 5 (1,0 điểm) n '.tan'AA AB A BA a⇒= =3. Do đó 3 .''' 3 '. . 4 ABC A B C ABC a VA AS Δ == 0,25 Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Suy ra ΔMNK vuông tại K, có ,' 22 AB a MK NK AA a== ==3. 0,25 Do đó 22 13 . 2 a MN MK NK=+= 0,25 Điều kiện: Đặt 1.x≥ 1,tx=− suy ra 0.t ≥ Bất phương trình đã cho trở thành 3 4 . 1 tt m t − + ≥ + 0,25 Xét 3 4 () , 1 tt ft t −+ = + với Ta có 0.t ≥ 2 2 (1)(2 55) '( ) ; (1) ttt ft t − ++ = + '( ) 0 1.f tt= ⇔= 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 6 (1,0 điểm) Dựa vào bảng biến thiên ta được bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2.m ≥ 0,25 t () f t 0 +∞ + − '( )f t 0 4 1 2 +∞ A B C A ′ K M N B ′ C ′ Trang 3/3 Câu Đáp án Điểm Gọi (C) là đường tròn cần viết phương trình và I là tâm của (C). Do suy ra ,Id∈ (;3 ).It t− 0,25 Gọi H là trung điểm của AB, suy ra 32 22 AB AH == và |2 1| (; ) . 2 t IH d I − =Δ= Do đó 222 225IA IH AH t t .= +=−+ 0,25 Từ IM IA= ta được 22 221225tt tt,+ += − + suy ra t 1.= Do đó (1; 2).I 0,25 7.a (1,0 điểm) Bán kính của (C) là 5.RIM== Phương trình của (C) là (1 22 )( 2)5.xy− +− = 0,25 Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Phương trình của (P) là 212xyz−+− =0. 0,25 Gọi H là giao điểm của d và (P). Suy ra (1 2 ; 1 ; 3 ).Httt+ −− + 0,25 Do nên 2( Suy ra t ()HP∈ 1 2 ) ( 1 ) (3 ) 12 0.ttt+−−−++−= 1.= Do đó (3; 2;4).H − 0,25 8.a (1,0 điểm) Gọi 'A là điểm đối xứng của A qua d, suy ra H là trung điểm của đoạn '.AA Do đó '(2; 3;5).A − 0,25 2 (3 2 ) (2 ) 4 (3 2 ) 1 5iz i i iz i++−=+⇔+=+ 0,25 1.zi⇔=+ 0,25 Suy ra wi (2)(1)3.ii=+ −=− 0,25 9.a (1,0 điểm) Vậy w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −1. 0,25 Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Suy ra 3 . 2 AM AG= JJJJG JJJG Do đó ( ) 1 2; . 2 M − 0,25 Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AP, nên có phương trình 230xy .− −= 0,25 Tam giác ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn tâm M, bán kính 55 . Tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ 2 MA= () 2 2 230 112 (2) 24 xy xy −−= ⎧ ⎪ ⎨ −++= ⎪ ⎩ 5 0,25 7.b (1,0 điểm) 7, 2 3, 3. xy xy = = ⎡ ⇔ ⎢ = −=− ⎣ Vậy (7;2), ( 3; 3)BC− − hoặc .(3;3), (7;2)BC− − 0,25 Do nên ()IA P⊥ (1 2;3 5;2 4).Itt−+ − +t 0,25 Do nên ()IP∈ 2( 1 2 ) 5(3 5 ) 4(2 4 ) 36 0,tt t− +−−+ +−= suy ra 1.t = Do đó (1; 2; 6).I − 0,25 Ta có 35.IA= 0,25 8.b (1,0 điểm) Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A là 222 (1)( 2)(6)45xy z−+++−=. 0,25 Phương trình có biệt thức 2 (2 3 ) 1 3 0zizi+− −−= 1.Δ =− 0,25 Suy ra Δ= 2 .i 0,25 Nghiệm của phương trình đã cho là 12zi= −+ 0,25 9.b (1,0 điểm) hoặc 1.zi=− + 0,25 ------------- Hết ------------- A B P M G C M A B H I