Bài giảng phương pháp tích phân môn toán (luyện thi đại học)

14 543 0
Bài giảng phương pháp tích phân môn toán (luyện thi đại học)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phương pháp tích phân phần A Tóm tắt lý thuyết Cơng thức tích phân phần:   u  x  d  v  x    u  x  v  x    v  x  d u  x   ;     b  b b      u  x  d  v  x    u  x  v  x    v  x  d u  x   a a a Vài tình gợi ý việc sử dụng cơng thức tích phân phần:      v  x  d u  x  dễ tính tích phân  u  x  d v  x   ;  Tích phân  Biểu thức dấu tích phân có chứa u '  x  dx ;  Biểu thức v '  x  đơn giản B Các dạng toán hay gặp Dạng Tích phân phần có quy tắc  Nội dung phương pháp  Quy tắc khử đa thức Xét tích phân I1   P  x  eax dx , I   P  x  sin axdx , I3   P  x  cos axdx , P  x  hàm đa thức, a số khác Ba tích phân nói có cách tính tương tự, sau ta nêu cách tính I1 I1  1 ax ax ax ax ax    P  x  d  e   a P  x  e   e d  P  x    a  P  x  e   e P '  x  dx    a   Việc tính I1 quy tính tích phân J   e ax P '  x  dx Đa thức dấu tích phân J P '  x  có bậc thấp đa thức dấu tích phân I1 đơn vị Ta lặp lại trình đa thức dấu tích phân bị khử hồn tồn Cách tích phân I , I3 tính cách tương tự  Quy tắc khử Lơ-ga Xét tích phân I   P  x  ln k xdx Ta có I   ln k xdF  x  , F  x  nguyên hàm P  x  Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có I  ln k xF  x    F  x   ln k x  ' dx  ln k xF  x   k  F  x  k 1 ln xdx x Ta ln chọn F  x  cho F  x  có nhân tử x , biểu thức đa thức đồng bậc với P  x  Như vậy, so với I J   F x thực chất x F  x  k 1 ln xdx có lũy thừa x Lơ-ga nhỏ đơn vị Ta lặp lại trình biểu thức Lơ-ga bị khử hồn tồn Xét hai tích phân I1   eax sin bxdx I   eax cos bxdx Hai tích phân nói có  phương pháp tính tương tự Dưới đây, ta xét I1 I1  1 ax ax ax ax ax  sin bxd  e   a sin bxe   e d  sin bx   a sin bxe  b  e cos bxdx      a  b b sin bxe ax   e ax cos bxdx  sin bxe ax   cos bxd  eax  a a a a  b b b2 sin bxe ax  cos bxeax   e ax d cos bx  sin bxe ax  cos bxeax   e ax sin bxdx a a a a a  b b2 sin bxe ax  cos bxe ax  I1 a a a Từ đó, ta tính I1  Một số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau: 1) [ĐHD06] I    x   e2 x dx ln3 2) J   x  x  e x dx Giải 1) I  1 1 2x 2x   x   d  e    x   e 20   1  1    e2 x d  x      e2    e2 x dx  0  2  1  1 1 1  e   e2 x    e2    e2  1    e2   2 2 4 0  2) Ta có ln3 J  x  x  de x   x  x  e x ln ln3   ln e x d  x  x    ln  2ln   e  x   x  1 e dx     K Lại có ln ln ln x x   x  1 de   x  1 e K   ln e x d  x  1   ln  1  e x  3ln   e 1 Do I   ln  ln   e   3ln   e   3ln  12 ln  12  e Ví dụ Tính tích phân sau:  1) I    x  x   sin xdx ;  2) J    x  1 cos xdx Giải 1) Ta có   1 2 I     x  x  3 d cos x    x  x  3 cos x 20          cos xd  x  x  3     14     x   cos xdx     x   d sin x 2 20  1    x   sin x 2        sin xd  x            cos x 24   b Vì : cos x                 24 2      cos2x Cho nên :    1   cos2x   I    x  1 cos xdx    x  1   dx    x   dx    x  1 cos2xdx 2 20   0 0       2   1  1    x  x     x  1 d  sin x      x  1 sin x   sin x.2 dx    20 2   0   =   2  1 2     cos2x    1  8 2   0  * Chú ý : Qua ví dụ ta có nhận xét sau : - Bậc P(x) cao số lần lấy tích phân phần lớn : Nếu bậc P(x) cao ta phải láy hai lần tích phân phần kết  - Tổng quát : Nếu gặp phải tích phân có dạng :   P( x) sin n  axdx   P  x cos naxdx Ta  phải sử dụng công thức hạ bậc : Như : sin x   cos2x  cos2x 3sin x  sin x 3cos x  cos3x ; cos x  ;sin x  ; cos3 x  2 4 Sau tách tích phân cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta tìm dược nhờ gợi ý biết Ví dụ Tính tích phân sau a  x  x  x  1 e c x2ex   x  2 2x dx b x2 x e dx dx ( Cao đẳng GTVT-2004 ) Giải a  x  x  x  1 e2 x dx - Đặt : u   x  x  x  1  du   x  x   dx ; dv  -  dx  v   x Thay vào (*) 2x e e 1  x  x2  3x  1  2  3x  24xx   dx   e62  J 1 Tương tự : Ta tính J   e2 x e  0 - Đặt : u1   x  x  3  du1   x   dx ; dv1  J  dx  v1   x Do : 2x e e 1  3x  x  3  2 x 2x dx   e42  K   e2 x e 6x  dx e2 x - Ta tính K   +/ Đặt : u2  x   du2  6dx ; dv2  dx  v2   x 2x e e 1 6dx 1 1  +/ Do : K   x  x     x    x      1  2   0 e e e e e e  - Thay (3) vào (2) : J   4  2(2)   Lại thay vào (1) ta có : e e I  2 4 14   2     2 e e  e  b  dt  xdx; x   t  0, x   t  2 x3 e x dx   x 2e x xdx Đặt : t  x    t  f ( x)dx  te dt 0 Do : I   t.et dt  c x2ex   x  2 1 1 t t t  t.d  e    t.e  e   20 dx Ta giải hai cách : Cách - Đặt : u  x 2e x  du   x.e x  x 2e x  dx  xe x   x  dx ; dv  - Vậy : I   x 2e x  x  2 dx  x  2 v x2 2 x 2e x dx     xe x dx   e2   xe x  e x  1 x2 0 Cách ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân phần sau )  dt  dx, x   t  2; x   t   - Đặt t  x     t   et  dt   t    et  dt f ( x)dx     t  t   4 et  dt   et  dt  J  K  L 1 t 2 - Suy : I   tet  dt   - Các tích phân J,K,L em tính * Chú ý : Qua ví dụ ta có số nhân xét quan trọng sau  - Đối với tích phân có dạng : I    eax dx , ta áp dụng cách giải dạng tích P( x)  phân I   P ( x)e ax dx  - Ta kết hợp hai phương pháp : đổi biến số tích phân phần Nghĩa trước lấy tích phân phần , ta đổi biến số Ví dụ Tính tích phân sau  a x  x  3 sin xdx  b  x.sin xdx   x c  dx cos x d  x cosxdx Giải  a x  x  3 sin xdx - Đặt : u  x  x   du   x   dx , dv  sin xdx  v   cos2x Thay vào (*)   14 - I   cos2x  x  x  3    x   cos2xdx   J 1 20 2       1  - Tính : J    x   cos2xdx    x   d  sin x   sin x  x     2sin xdx  20   0        1 5         cos2x    Thay vào (1) I        2 2 2 16   0         2 1   cos2x   b  x.sin xdx   x   dx    xdx   x.cos2xdx   2  0          11 12  x   x.d  sin x   2 20              1 2 8        x.sin x    sin xdx     cos2x     2 2 16     0            x   c  dx   x.d  t anx   x.t anx   t anxdx   ln  cosx    ln 2 cos x 4 0 0  d  x cosxdx - Đặt : u  x  du  xdx , dv  cosxdx  v=sinx        2 2   Do : I  x sinx   x.sinxdx    x.d  cosx     x.cosx   cosxdx  4   0 0     2  2 4    sinx      0   Ví dụ Tính tích phân sau e a  x ln xdx ( KD-2007) b  ln  x  x  dx ( KD-2004 ) e e c  ln xdx d x ln xdx ( Tham khảo 2005 ) Giải e a x ln xdx - Đặt : u  ln x  du  ln x - Do : I  dx , dv   x 3dx  v  x x e e e x4 e4 e4 x ln x   ln x dx    x3 ln xdx   J 1 41 x 21 e - Tính J   x3 ln xdx +/ Đặt : u1  ln x  du1  dx , dv   x3dx  v  x x e 1e e 3e  1 e4 +/ Do : J  x ln x   x dx   x  Thay vào (1) ta có : 41 4 16 16 I e4  3e   5e4      16  32 b  ln  x  x  dx - Đặt : u  ln  x  x   du  2x 1 dx, dv  dx  v  x x2  x 3 x  x  1 2x   - Do : I  x.ln  x  x    dx  3ln  ln   dx 2 x  x  1 x 1 3  ln 54   dx   2 d  x  1  ln 54   ln  x  1  3ln  x 1 e c  ln xdx - Đặt : u  ln x  du  3ln x dx , dv  dx  v  x x e e e - Do : I  x ln x  3 ln xdx  e  J 1 Tính : J   ln xdx 1 +/ Đặt : u1  ln x  du1  ln x dx, dv1  dx  v1  x x  e e e e  e +/ Do : J  x ln x   ln xdx  e   x ln x   dx   e   x ln x  x   e   1 1    +/ Thay vào (1) : I  e   e     2e e d x ln xdx dx , dv   x 2dx  v  x x - Đặt : u  ln x  du  e 1e e3 e e3  - Do : I  x ln x   x dx   x  31 3 9 * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx số lần lấy tích phân phần , số lần lấy tích phân phần khơng phụ thuộc vào bậc đa thức P(x) Ví dụ Tính tích phân sau : a  ln x   x  1 2 dx ( KB-2009 ) b c   ln x dx ( KD-2008 ) x3 ln  x  1 dx ( CĐ khí luyện kim-2006 ) x2 Giải a  ln x   x  1 dx   - Với :   x  1 3  x  1 dx   dx   ln x  x  1 dx 1 3  x 1 - Với : 27 3 ln ln x ln  1  ln x 16   x  12 dx   x  1   x  x  1 dx      x  x   dx    ln x  1    1 ln x Thay vào (1) : I   b  ln 27 27  ln 16  16 4 ln x dx x3 - Đặt : u  ln x  du  dx dx , dv    v   x x 2x 2 dx ln 2  ln - Do : I   ln x       21 x 2x 4x 16 c ln  x  1 ln  x  1 ln  1 dx    dx  ln      dx  x2 x x  x  1  x x 1 1  ln  ln ln ln  3ln  x 2  ln   ln    ln  2  x 1   * Chú ý : Qua ví dụ ta thấy tích phân dạng : ln x  P( x) dx , áp dụng cách giải cho   tích phân dạng : I   P( x ) ln xdx  Ví dụ Tính tích phân sau a  x ln 1  x  dx ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )  3 b  x ln  x   dx CĐTCKT-2006 ) c   ln  t anx  dx (CĐTCHải quan -2006 ) sin x Giải a  x ln 1  x  dx    1 1 ln 1  x  d 1  x   1  x  ln 1  x    d 1  x    0 20 2     ln  1 1 1  ln  1  x    0 2 b  x ln  x   dx  dt  xdx; x   t  5, x   t  14  - Đặt : t  x     f ( x)dx  x ln   x  dx  ln tdt  14 - Do : I  14 14 ln14  5ln  11 1  ln tdt   t ln t  t   25  ln  t anx  1 c  dx   ln  t anx  d ln  t anx    ln  t anx    ln   ln   4  sin x 2 16  4     Cách khác : dx dt  dt= cos x  1  t  dx  dx   t 2t  - Đặt : t  t anx   Với : sin x  1 t2  x    t  1; x    t    - Khi : I   +/ J   ln t dt  2t  t 2 1 t2 ln t dt  t  ln t dt  J 1 t  ln t.d  ln t   ln +/ Thay vào (1) ta có : I  t  ln   ln   ln 16 * Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy đổi biến trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân sau :  a e  2x b I   e3 x sin xdx ( CĐKTKT-2005) cos3xdx 0  2x c  e sin xdx d  (e x2 sin x  e x x )dx ( ĐHTN-2000) 1 Giải  a e 2x cos3xdx Đặt : u= e x  du  2e x , dv  cos3xdx  v= sin x   12 2 2x - Do : I  sin x.e   e x sin xdx   e  J  I  J   e 1 30 3 3  - Tính J =  e2 x sin xdx Đặt : u  e2 x  du  2e2 x dx; dv  sin xdx  v   cos3x   22 2 2x - Do : J   cos3x.e   e x cos3xdx   I  J  I    30 3 3 3e  - Từ (1) (2) ta có hệ hai phương trình Giải hệ ta có I= 13  b I   e3 x sin xdx Đặt : u  e3 x  du  3e3 x dx; dv  sin xdx  v   cos5x  3  3x 3x e2 3 3 - Do : I   e cos5x   e cos5xdx   J  I  J  e 50 5 5 1 10 - Ta lại đặt : u  e3 x  du  3e3 x dx; dv  cos5 xdx  v  sin 5x  3  3x 3x e2 3 3 - Do : I  e sin 5x   e sin 5xdx   I  J  I  e 50 5 5  2  1 32 - Từ (1) (2) ta tính : I  J  e 20  c  e2 x sin xdx       2x 1 e 1  cos2x  dx    e2 x dx   e2 x cos2xdx   20 0   2x  1 e   e x cos2xdx   e 2  1  J 1 0 4  - Tính J=  e2 x cos2xdx Đặt : u  e2 x  du  2e2 x dx; dv  cos2xdx  v= sin x   1 - Do : J  e x sin x   e2 x sin xdx   K   Ta tính K 20 2 - Lại đặt : u  e2 x  du  2e x dx; dv  sin 2xdx  v= cos2 x   1 - Do : K  e x cos2 x   e x cos2 xdx   e2  1  J  K  J   e 2  1  3 0 2 Từ (2) (3) ta tính : J  d 1  e2  , sau lại thay vào (1) I   e  1 2 2 x x x x x x  (e sin x  e x )dx   (e sin x  e x )dx   (e sin x  e x )dx  J  K 1 1 1 - Tính J: Đặt t=-x suy dt=-dx Khi x=0 t=0;x=-1 t=1 Khi : 2 - J   et sin  t  dt     et sin tdt    e x s inxdx   J  J   J  0 +/ Tính K : Đặt u  x  du  xdx; dv  e x dx  v  e x +/ Do : K  x e x   1 x 1   x.e dx  e   x.d  e x   e   x.e x   e x dx  0 0      1  e  e  e x   e   e  1  e  0  - Vậy : I=K= e-2 11 Ví dụ Tính tích phân sau  /2 a  e x sin ( x)dx b e cos x sin xdx ( DB-2004)  /4 c   tgx  e sin x cos x  dx (DB-2005) Giải 1 1  1   cos2 x  a  e x sin ( x )dx   e x  dx    e x dx   e x cos2 xdx   2 0   0    e 1 1 x  J 1 Tính J : e  J   2 2  - Đặt : u  e x  du  e x dx; dv  cos2 xdx  v= sin 2 x Do - : 1 11 x 1 e sin 2 x   e x sin 2 xdx   e.sin 2  sin    e x sin 2 xdx   K 1 20 2 2 2 J +/ Tính K : Đặt u  e x  du  e x dx; dv  sin 2 xdx  v  +/ Do : K  cos2 x 1 x x 1 e cos2 x   e cos2 xdx  2  e  1  2 I  2 2 2 Từ (1) (2) ta có : I e 1   e       2  2  2  2   /2 b e  e 1 e 1 I  I  I   4 8  cos x sin xdx   e 0 cosx   e  1  4     e  1 I  I  8  4  1  4  t cosx  sinxdx    e t  dt    et dt 1   et  t    e   1   e   Vì :  t  cosx  dt=-sinxdx Khi x=0 t  1, x   c   tgx  e sin x   /4  t 0 cos x  dx   t anxdx   esinx cosxdx    ln sinx sinx   ln cosx   e d  s inx    ln e  e 1 4 2 0 12 C Bài tập Bài Tính tích phân sau  a x   e  cosx  cosxdx  b c  x cosxdx   x.tan e xdx  e d 2  x.sin xdx f  x.ln xdx  x e 2x   x  dx 1 Bài Tính tích phân sau  a   x.s inxcos xdx b e d x.s inx  1+cosx dx  c  e2 x sin xdx  ln x   x  1  e  s inx.ln  cosx  dx dx e f e sin x s inxcos3 xdx Bài Tính tích phân sau   a e 3x sin xdx b  2 d   ln  s inx  cos x  dx c e xcos x dx   x  sin x  cosxdx e 2x   x   e dx f x ln xdx Bài Tính tích phân sau a x xe   x  2 b dx x  1 ln 1   dx  x c  x  ln xdx f  1 x   x.ln   x  dx    e2 d 2  cos  ln x  dx e x 2 1  ln x dx x5 Bài Tính tích phân sau ln  x  1 a  dx x 1  x.sin b  s inxln 1+cosx  dx c  1  x  x cos xdx 0 e2 x dx   d   sinx x e  e dx 1+cosx f   x  1 ln xdx Bài Tính tích phân sau 13  a  x ln  x  1 dx b  ln  t anx  dx 14 ... phân I   P ( x)e ax dx  - Ta kết hợp hai phương pháp : đổi biến số tích phân phần Nghĩa trước lấy tích phân phần , ta đổi biến số Ví dụ Tính tích phân sau  a x  x  3 sin xdx  b  x.sin... 1 4 2 0 12 C Bài tập Bài Tính tích phân sau  a x   e  cosx  cosxdx  b c  x cosxdx   x.tan e xdx  e d 2  x.sin xdx f  x.ln xdx  x e 2x   x  dx 1 Bài Tính tích phân sau  a ...  cos3x ; cos x  ;sin x  ; cos3 x  2 4 Sau tách tích phân cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta tìm dược nhờ gợi ý biết Ví dụ Tính tích phân sau a  x  x  x  1 e c x2ex   x  2 2x

Ngày đăng: 03/01/2014, 12:34

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan