Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng  Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi đối xứng với n ẩn thay xi xj; xj xi phương trình khơng thay đổi  Khi phương trình ln biểu diễn dạng: x1 + x2 + + xn x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn x1x2 xn  Hệ phương trình đối xứng loại hệ mà gồm phương trình đối xứng  Để giải hệ phương trình đối xứng loại ta phải dùng định lý Viét * Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn1 + an, a0 ≠ 0,  P có nhgiệm P c1, , cn thì: a1  c1  c2   cn  a   a2 c1c2  c1c3   c1cn  c2 c1  c2 c3   cn-1cn  a0     n an c1c1 cn ( 1) a0  (Định lý Viét tổng quát) Phần – Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: A LÝ THUUYẾT Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b   S x1  x2  a   P x x  c  a  x1  x2 S Ngược lại, số x1, x2 có  x1, x2 nghệm phương trình X2  SX + P =  x1 x2 P Định nghĩa:  f ( x, y )   f ( x, y )  f ( y , x )  ,   g ( x, y )   g ( x, y )  g ( y , x ) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S  P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình  x y  xy 30 Ví dụ Giải hệ phương trình   x  y 35 GIẢI S  x  y , P  xy Đặt , điều kiện S  P Hệ phương trình trở thành: Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 ïìï SP = 30 Û í ïï S(S2 - 3P) = 35 ỵ Tài liệu ơn tập thi ìï ïï P = 30 S ùớù 90ử ùù ổ ữ ỗ S ữ= 35 ùù Sỗ ữ ố Sứ ùợ ỗ ùỡù S = Û í ïï P = ỵ ïìï x + y = ïì x = ïìï x = Û ïí Úí í ïï xy = ïï y = ïï y = î î î  xy ( x  y )  Ví dụ Giải hệ phương trình   x  y 2 GIẢI Đặt t  y , S  x  t , P  xt , điều kiện S  P Hệ phương trình trở thành: ìï xt(x + t) = ìï SP = ìï S = ìï x = ïí ïí ïí ïí Û Û Û Û ïï x3 + t3 = ïï S3 - 3SP = ïï P = ïï t = ỵ ỵ ỵ ỵ ìï x = ïí ïï y = - ỵ  x  y   4  x y Ví dụ Giải hệ phương trình   x2  y   4  x2 y GIẢI Điều kiện x  0, y  1ư ỉ 1ư ïìï ỉ x+ ÷ y+ ữ ữ+ ỗ ữ= ỗ ỗ ùù ỗ ç ÷ ç ÷ è xø è ỳ ï Hệ phương trình tương đương với: í 2 ïï ỉ ổ 1ử 1ử ữ ữ ỗ ỗ y+ ữ ùù çx + ÷ ç ÷ +è ÷=8 ç ç xø ỳ ïỵ è ỉ ỉ 1ư ỉ 1ư ưỉ 1ư x+ ÷ y+ ÷ x+ ÷ y+ ÷ ữ+ ỗ ữ, P = ỗ ữỗ ữ, S 4P ta cú: t S = ỗ ỗ ỗ ỗ ç ç ç ç ÷ç è ø è ø è ø x÷ x øè ìï S = ïí Û ïï S2 - 2P = ỵ ì ïíï S = Û ïï P = ỵ ùỡù ổ x+ ỗ ùù ỗ ỗ ùớ ố ùù ổ ỗx + ùù ỗ ố ùợ ỗ ổ 1ử 1ử ỡù ữ ùù x + +ỗ y+ ữ =4 ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ù xứ ố yứ ửổ ữỗ 1ữ ùù y+ ữ =4 ữ ỗ ùù y + ữ ữ ỗ x øè ỳ ïỵ =2 x Û =2 y ì ïíï x = ïï y = ỵ 2  x  y  xy 8 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  (2)  x  y  GIẢI Điều kiện x, y  Đặt t  xy 0 , ta có: xy = t2 (2) Þ x + y = 16 - 2t Thế vào (1), ta được: t2 - 32t + 128 = - t Û t = Suy ra: ìï xy = 16 ìï x = ïí Û ïí ïï x + y = ïï y = î î Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S  P (*) + Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi  x  y 1   x x  y y 1  3m GIẢI Điều kiện x, y  ta có: ïìï x + y = Û í ïï x x + y y = - 3m ỵï Đặt S = x+ y ³ 0, P = ïìï x + y = í ïï ( x)3 + ( y)3 = - 3m ỵï xy ³ , S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï S = ì ïí ïíï S = Û ïï S3 - 3SP = - 3m ïï P = m ỵ ỵ  x  y  xy  m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực  x y  xy 3m  GIẢI ïìï x + y + xy = m ïì (x + y) + xy = m Û ïí í ïï x y + xy = 3m - ïï xy(x + y) = 3m - ỵ ỵ ìï S + P = m Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïí ïï SP = 3m - ỵ Suy S P nghiệm phương trình t2 - mt + 3m - = ìï S = ìï S = m - Þ ïí Ú ïí ïï P = m - ïï P = ỵ ỵ é32 ³ 4(m - 3) 21 ê Û Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ê(m - 3)2 ³ 12 Û m £ Ú m ³ + ê ë  x   y  4 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm  x  y 3m GIẢI Đặt u = x - ³ 0, v = y - ³ hệ trở thành: Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có £ m £ ïìï u + v = Û í ïï u + v2 = 3m - ỵ Suy u, v nghiệm (khơng âm) t2 - 4t + Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm khơng âm ìï D / ³ ïï Û ïí S ³ Û ïï ïỵï P ³ ìï u + v = ïï í ïï uv = 21 - 3m ïỵ 21 - 3m = (*) ïìï 3m - 13 ³ ïï 13 Û £ m £ í ïï 21 - 3m ³ ï ïỵï  x  y  x  y 10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực  xy ( x  4)( y  4)  m GIẢI ìï (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ìï x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ïí Û íï ïï xy(x + 4)(y + 4) = m ïï (x + 4x)(y2 + 4y) = m ỵ ỵ Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = 10 ìï S = 10 ïí Û ïí (S = u + v, P = uv) ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 24 ỵ ỵ ìï S2 ³ 4P ïï Điều kiện ïí S ³ Û - 24 £ m £ ïï ïïỵ P ³ Loại 3: Một số toán giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình: x   x  GIẢI    u+v = u  v    x u u  v     2   Đặt:  Vậy ta có hệ:    19   x v u  v3 1 (u  v)  (u  v)  3uv  1 u.v =      36 19 =0 u, v hai nghiệm phương trình: X - X + 36     9+ x =  +   12  u =    12      9-  9- 5 u =  x =   12    12           Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =   ;    12 12      B BÀI TẬP I Giải hệ phương trình sau:  x  y 1 1)  6  x  y 1  x  y 5 2)  2  x  x y  y 13  x  y 4 4)   x  y  xy 8  x  x  y  y 18 5)   xy ( x  1)( y  1) 72 1   x  y  x  y 4  7)   x  y   4  x2 y 6  x  y 2 10)  3  x  x  y  y II Gải hệ phương trình có tham số: Tìm giá trị m: 5  x  y   xy 4 a)  có nghiệm  x  y  xy 1  m  x y   1  y x x y 8)    x xy  y xy 78  x y  y x 30 3)   x x  y y 35     x  y     5 xy    6)   x  y    49    x2 y       x  y 4 9)  2 3  x  y x  y 280     x  y  xy m  b)  có nghiệm  x y  xy m  Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi  x  y  4 c)  có hai nghiệm  x  y 2  m  1  x  xy  y m  (1II)  x  y m a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm  x  xy  y m  (7I)  x y  xy 3m  a Giải hệ phương trình m = 7/2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm  x  xy  y m   (40II)  x y  xy m a Giải hệ phương trình m=2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 III Giải phương trình cách đưa hệ phương trình: Giải phương trình: x   18  x 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a  x   x m b m  x  m  x m c  x   x m Phần – Hệ phương trình đối xứng loại ba ẩn: (Đọc thêm) a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với phơng trình hệ đối xứng b Định lý Vi-et cho phơng trình bậc 3: x + y + z = α  Cho sè x, y, z cã:  xy + yz + zx = β  xyz = Thì x, y, z ;à nghiệm phơng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = (*) ThËy vËy: (X - x)(X - y)(X - z) =  [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) =  X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz =  X3 - αX2 + βX - γ = (*) cã nghiƯm lµ x, y, z phơng trình X3 - X2 + X - γ = cã nghiƯm lµ x, y, z c.Cách giải: + Do phơng trình hệ đối xứng nên ta viết đợc dới dạng , β, γ x + y + z = α  Khi ta đặt xy + yz + zx = xyz = Ta đợc hệ , , + Giải phơng trình X3 - X2 + X - = (1) tìm đợc nghiƯm (x, y, z) cđa hƯ Chó ý: (1) cã nghiƯm nhÊt  hƯ v« nghiƯm (1) cã nghiÖm kÐp nhÊt  hÖ cã nghiÖm (1) cã nghiệm : nghiệm kép, nghiệm đơn hÖ cã nghiÖm (1) cã ngiÖm  hÖ cã nghiƯm d Bµi tËp: x + y + z =  2 VD1: Gi¶i hƯ: x + y + z =  x + y3 + z = Giải: áp dụng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz VËy = 22 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = -1 Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz  xyz = -2 t = x, y, z nghiệm phơng tr×nh:t3 - 2t2 - t + =   t = -  t = VËy hƯ cã cỈp nghiƯm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1)  x + y + z = (1)  VD2: Gi¶i hƯ  xy + yz + zx = 27 (2) 1 1  + + =1 (3) y z  x xy + yz + zx =1 Giải: ĐK: x, y, z Từ (3)  xyz Do (2)  xyz = 27 x + y + z =  VËy hÖ   xy + yz + zx = 27  xyz = 27 Do (x; y; z) nghiệm phơng trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 =  (X - 3)3 =  X = VËy hƯ cã nghiƯm lµ (3; 3; 3) x + y + z = a  VD3: Gi¶i hƯ  x + y + z = a  x + y3 + z = a  Gi¶i: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz  xyz = x + y + z =  VËy cã:  xy + yz + zx =  xyz 0  X = (x; y; z) nghiệm phơng tr×nh: X3 - aX2 =   X = a VËy hƯ cã nghiƯm lµ {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chó ý: Cã nhiỊu vÊn đề cần lu ý giải hệ loại + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz cã thĨ nã lµ hƯ hệ nên tìm đợc nghiệm nên thử lại + Vì hệ đối xứng ẩn nên nghiệm có cặp nghiệm có x, y z nên giải hệ theo phơng trình cộng, x + y + z = (1)  VD:  xy + yz + zx = 27 (2) 1 1  + + =1 (3) y z  x Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = 0, z = không nghiệm hệ Với x 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nh©n hai vÕ cđa (3) víi xyz ta cã xy + yz + zx = xyz (4) Tõ (2) vµ (4)  xyz = 27 (5) Tõ (2)  x2(y + z) + xyz2 = 27x (6) Tõ (1), (5), (6) ta cã: x (9 - x) + 27 - 27x =  x3 - 9x2 + 27x - 27 =  (x - 3)3 =  x = Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi  y + z =6 Thay x = vµo (1), (5) ta cã:   y = z =  yz = VËy hÖ cã nghiƯm lµ x = y = z = II Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: A Định ghĩa:  f ( x, y )      f ( y , x)    Cách giải: Lấy (1)  (2) (2)  (1) ta được: (xy)g(x,y)=0 Khi xy=0 g(x,y)=0 + Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) thơng thường vơ nghiệm B Các ví dụ:  x3 3 x  y  1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  (I)  y 3 y  x   GIẢI 2 Lấy (1)  (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) =  x = 3x + 8y  x - 11x =    Trường hợp 1: (I)   x = y x = y    x =    x = ± 11  x = y  x +xy+y +5=0 (hệ vô nghiệm) 3  x +y =11 x+y  Trường hợp 2: (I)   Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm:  (x, y) =  (0,0); (  11, 11); (- 11,- 11)  x  y  1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   y  x  1 GIẢI Đặt: x - = u 0; y - = v 0  u + + v =  Hệ phương trình trở thành   v + + u = u + v = u = x =  (Do u, v ≥ 0)    v = y =  v + u = Vậy hệ có nghiệm (1,1)  x  y  y  m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình   y x  x  m a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2  x - y = y - y - x + x    x = y - y + m Giải (I)  x = y   x = y - y + m   x=-y     x = y - y + m (I) x = ± y  x = y - y + m  x = y    x - 2x + m =  x = - y    y + m = Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi  Δx'  1 - m   m 1    m 0 a) Hệ phương trình có nghiệm   '  Δ y  - m   m 0  Δ x ' =  1 - m =  '   Δ y <  - m <  m = b) Hệ phương trình có nghiệm     1 - m <  Δ x ' <   '  - m =  Δ y = Vậy m = Ví dụ 3: Giải phương trình: x3  2 x  GIẢI Đặt 2x - = t  2x - = t  x + = 2t  x - 2x + =  x + = 2t Ta có hệ     2  t + = 2x (x - t)(x + xt + t + 1) = x = t x = (x - 1)(x + x - 1) =    x = - ± x = t   Vậy phương trình có nghiệm: 1; -1± C Bài tập: 1.Giải hệ phương trình sau: 3   2 x  y  x 2 x  y  x   a  b  2 y   2 y  x    y2 x y  x  y  9  x   y  d  e   y  x  9  y   x   x  ( x  y ) 2m Cho hệ phương trình   y  ( x  y ) 2m a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ có nghiệm  x3  y  x  mx Tìm m để hệ:  có nghiệm 2  y x  y  my Giải phương trình: a x  x  5  x3  2 y c   y  2 x  x   y  7 g   y   x  7 b x3  3 x  2 Hệ phơng trình đối xứng loại 2, ẩn: (Đọc thêm) A Dùng chủ yếu phơng pháp biến đổi tơng đơng phép cộng Ngoài sử dụng đặc biệt hệ cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải B Ví dô:  x + 2yz = x (1)  Gi¶i hƯ  y + 2zx = y (2)  z + 2xy = z (3)  Gi¶ cách cộng (1), (2), (3) lấy (1) trừ ®i (2) ta cã hƯ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi  x + 2yz = x  (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = Hệ đơng tơng víi hƯ sau:  x + 2yz = x  x + 2yz = x   (I) x + y + z = x + y + z =  x =y  x + y - 2z - =    x + 2yz = x  x + y + z =  x =y  Gi¶i (I):  x + 2yz = x  x + y + z =  x + y - 2z - =  (III) (II) (IV) -1  x =  x =   x + 2yz = x  x + 2yz = x  x - 4x = x     (I)   2y + z =   z = - 2x   z = - 2x   z = - 2x x = y x = y x = y x = y      -1 -1 VËy (I) cã nghiÖm (0;0;0); ( ; ; ) 3 -1 -1 -1 -1 Làm tơng tự (II) cã nghiÖm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 1 HÖ (III) cã nghiÖm (0;0;1); ( ; ; ) 3 HƯ (IV) cã nghiƯm (0;1;0); (1;0;0) VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm kĨ trªn  x + y2 + z =  2 VD2: Gi¶i hệ phơng trình: x + y + z = x + y + z2 =  2 Gi¶i: HƯ   2  x + y2 + z =  (y - z)(y + z - 1) = (x - z)(x + z - 1) =  x + y2 + z =  (I)  y=z  x=z  x + y2 + z =  (III) z + y - = x = z  x + y2 + z =  y = z x + z - =  x + y2 + z =  z + y - = x + z - =  (II) (IV) 1 Giải hệ phơng pháp đợc nghiÖm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1);  ; ;   2 2 Trang ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 VD4: Gi¶i hƯ: Tài liệu ơn tập thi  x2  y 1   y z   z x   Gi¶i: XÐt hai trêng hỵp sau: TH1: Trong sè Ýt nhÊt cã nghiÖm sè b»ng nhau:  x x   Gi¶ sư x=y cã hƯ  y z   z x    1 1 1   1 1 1  Tõ ®ã cã nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) lµ :   ; ;  ;  ; ;      T¬ng tù y=z, z=x ta đợc nghiệm nh TH2 : số x, y, z đôi khác Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 D =   1;   a) z 0 , x>y>z 0 f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(v« lý) b) z f(z)  y > z > x m©u thn víi (*) Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh VËy TH2 - hƯ v« nghiƯm VËy hệ đà cho có nghiệm (0; 0; 0) f’(t) = C Bµi tËp  x  y3  y  y    y z  z  z   z x3  x  x   2  3(3x  4)  4  x    y x Hớng dẫn: Đặt z 3 y   x 3 z   y 3 x  Đa giải hệ z y   x 3z    xyz x  y  z  yzt  y  z  t    ztx z  t  x txy t  x  y  2x2 y  1  x  y z  1  y  2z  x 1  z  y  x  27 x  27 0   z  y  27 y  27 0   x  z  27 z  27 0 III Hệ phương trình đẳng cấp:  F  x, y   A Dạng:  , F  kx, ky  k n F  x, y  ; G  kx, ky  k m G  x, y  G x , y  B    Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) x = ty (y ≠ 0) Ví dụ:  x  xy  y 9  * Giả hệ phương trình:  2  x  xy  y 5 GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình cho vơ nghiệm  x  2t  3t 9  1  + Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với  Lấy (1)(2) ta được:  x  4t  5t 5   15t213t+2=0 t  ; t   Với t  : ta có y  x , thay vào (*) ta nghiệm (3;2), (3;2) 5 2  2 1 ; ;  Với t  : ta có y  x , thay vào (*) ta nghiệm   ,     2  5      Bài tập: Giải hệ phương trình sau: Trang 11 ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 3x  xy  y 11 1)  2  x  xy  y 25 IV Một số hệ phương trình khác: Tài liệu ôn tập thi 6 x  xy  y 56 2)  2 5 x  xy  y 49 2 x3  3x y 5 3)   y  xy 7 Tổng hợp kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải  xy  x  y x  y ( x, y  )   x y  y x  2 x  y HD: Biến đổi phương trình xy  x  y x  y  (x + y)(x 2y 1) = ĐS: x = 5; y = 2  x  x y  x y 2 x  ( x, y  )   x  xy 6 x  ( x  xy ) 2 x  17  HD: Biến đổi hệ phương trình thành:  ĐS: x = 4; y = x   x2  xy     x  y  x y  xy  xy    x  y  xy   x    5  2  x  y  xy x  y  xy  u x  y HD: Biến đổi hệ phương trình thành:  Đặt:  v xy  x  y  xy      x 3   ĐS:   y  25  16 1   x  x  y  y  1  2 y x     1  1    1  1    ; ; HD: (1)   x  y     0 ĐS:  1;1 ,   ,   2 2 xy        log  y  x   log y 1   x  y 25  3y HD: Tìm cách khử logarit để được: x  ĐS:  3;   y  x  y  x   x  y  x  y   1 HD: y  x  y  x  y  x  y  x 0 ĐS:  1;1 ,  ;   2  y 2 3 y  x   3x  x   y2       x 1   3  y   Trang 12 ĐT: 0909 64 65 97 Giáo viên: Nguyễn Văn Huy ĐH năm học 2011 - 2012 Tài liệu ôn tập thi HD: Đối xứng loại ĐS:  1;1  x    y 1  3log  x   log y 3 HD: Tìm cách khử logarit để được: x  y ĐS:  1;1 ,  2;   x  y  xy 3   x   y  4 HD: Đặt t  xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm t=3 ĐS:  3; 3 1   x  x  y  y 5  10  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực  x3   y  15m  10  x3 y3 1 HD: Đặt u x  , v  y  , điều kiện u 2, v 2 ĐS: m 2, m 22 x y  Trang 13 ĐT: 0909 64 65 97 ... hệ phương trình m=2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 III Giải phương trình cách đưa hệ phương trình: Giải phương trình: x   18  x 3 Tìm m để phương trình. .. m a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm  x  xy  y m  (7I)  x y  xy 3m  a Giải hệ phương trình m = 7/2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho... x  xy  y 9  * Giả hệ phương trình:  2  x  xy  y 5 GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình cho vô nghiệm  x  2t  3t 9  1  + Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với 