Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ---- BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K Û ("x 1 , x 2 Î K, x 1 < x 2 Þ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x 1 , x 2 Î K, x 1 < x 2 Þ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y ¢ . Tìm các điểm mà tại đó y ¢ = 0 hoặc y ¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 245yxx=-++ b) 2 5 44 x yx=+- c) 2 43yxx=-+ d) 32 22yxxx=-+- e) 2 (4)(1)yxx=-- f) 32 341yxxx=-+- g) 42 1 21 4 yxx=-- h) 42 23yxx=--+ i) 42 11 2 1010 yxx=+- k) 21 5 x y x - = + l) 1 2 x y x - = - m) 1 1 1 y x =- - n) 2 226 2 xx y x ++ = + o) 1 3 1 yx x =-+- - p) 2 4159 3 xx y x -+ = CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 2 Baứi 2. Xột chiu bin thiờn ca cỏc hm s sau: a) 432 6831yxxx=-+-- b) 2 2 1 4 x y x - = - c) 2 2 1 1 xx y xx -+ = ++ d) 2 21x y x - = e) 2 32 x y xx = -+ f) 322yxx=++- g) 213yxx=--- h) 2 2yxx=- i) 2 2yxx=- k) sin2 22 yxx ổử =-<< ỗữ ốứ pp l) sin2 22 yxxx ổử =--<< ỗữ ốứ pp VN 2: Tỡm iu kin hm s luụn ng bin hoc nghch bin trờn tp xỏc nh (hoc trờn tng khong xỏc nh) Cho hm s (,)yfxm= , m l tham s, cú tp xỏc nh D. ã Hm s f ng bin trờn D y  0, " x ẻ D. ã Hm s f nghch bin trờn D y Â Ê 0, " x ẻ D. T ú suy ra iu kin ca m. Chỳ ý: 1) y  = 0 ch xy ra ti mt s hu hn im. 2) Nu yaxbxc 2 ' =++ thỡ: ã 0 0 '0, 0 0 ab c yxR a ộ ỡ == ớ ờ ợ "ẻ ờ ỡ > ờ ớ ờ Ê ợ ở D ã 0 0 '0, 0 0 ab c yxR a ộ ỡ == ớ ờ Ê ợ Ê"ẻ ờ ỡ < ờ ớ ờ Ê ợ ở D 3) nh lớ v du ca tam thc bc hai 2 ()gxaxbxc=++: ã Nu D < 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a. ã Nu D = 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a (tr x = 2 b a - ) ã Nu D > 0 thỡ g(x) cú hai nghim x 1 , x 2 v trong khong hai nghim thỡ g(x) khỏc du vi a, ngi khong hai nghim thỡ g(x) cựng du vi a. 4) So sỏnh cỏc nghim x 1 , x 2 ca tam thc bc hai 2 ()gxaxbxc=++ vi s 0: ã 12 0 00 0 xxP S ỡ > ù <<> ớ ù < ợ D ã 12 0 00 0 xxP S ỡ > ù <<> ớ ù > ợ D ã 12 00xxP<<< 5) hm s 32 yaxbxcxd=+++ cú di khong ng bin (nghch bin) (x 1 ; x 2 ) bng d thỡ ta thc hin cỏc bc sau: ã Tớnh y  . ã Tỡm iu kin hm s cú khong ng bin v nghch bin: 0 0 a ỡ ạ ớ > ợ D (1) ã Bin i 12 xxd-= thnh 22 1212 ()4xxxxd+-= (2) Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 3 ã S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m. ã Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim. Baứi 1. Chng minh rng cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tng khong xỏc nh (hoc tp xỏc nh) ca nú: a) 3 513yxx=++ b) 3 2 391 3 x yxx=-++ c) 21 2 x y x - = + d) 2 23 1 xx y x +- = + e) 3sin(31)yxx=-+ f) 2 21xmx y xm -- = - Baứi 2. Chng minh rng cỏc hm s sau luụn nghch bin trờn tng khong xỏc nh (hoc tp xỏc nh) ca nú: a) 5cot(1)yxx=-+- b) cosyxx=- c) sincos22yxxx=-- Baứi 3. Tỡm m cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tp xỏc nh (hoc tng khong xỏc nh) ca nú: a) 32 3(2)yxmxmxm=-++- b) 32 21 32 xmx yx=--+ c) xm y xm + = - d) 4mx y xm + = + e) 2 21xmx y xm -- = - f) 22 23 2 xmxm y xm -+ = - Baứi 4. Tỡm m hm s: a) 32 3yxxmxm=+++ nghch bin trờn mt khong cú di bng 1. b) 32 11 231 32 yxmxmxm=-+-+ nghch bin trờn mt khong cú di bng 3. c) 32 1 (1)(3)4 3 yxmxmx=-+-++- ng bin trờn mt khong cú di bng 4. Baứi 5. Tỡm m hm s: a) 3 2 (1)(1)1 3 x ymxmx=++-++ ng bin trờn khong (1; +Ơ). b) 32 3(21)(125)2yxmxmx=-++++ ng bin trờn khong (2; +Ơ). c) mx ym xm 2 4 (2) + =ạ + ng bin trờn khong (1; +Ơ). d) xm y xm + = - ng bin trong khong (1; +Ơ). e) 22 23 2 xmxm y xm -+ = - ng bin trờn khong (1; +Ơ). f) 2 23 21 xxm y x --+ = + nghch bin trờn khong 1 ; 2 ổử -+Ơ ỗữ ốứ . Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 4 VN 3: ng dng tớnh n iu chng minh bt ng thc chng minh bt ng thc ta thc hin cỏc bc sau: ã Chuyn bt ng thc v dng f(x) > 0 (hoc <, , Ê ). Xột hm s y = f(x) trờn tp xỏc nh do bi ch nh. ã Xột du f  (x). Suy ra hm s ng bin hay nghch bin. ã Da vo nh ngha s ng bin, nghch bin kt lun. Chỳ ý: 1) Trong trng hp ta cha xột c du ca f  (x) thỡ ta t h(x) = f  (x) v quay li tip tc xột du h  (x) cho n khi no xột du c thỡ thụi. 2) Nu bt ng thc cú hai bin thỡ ta a bt ng thc v dng: f(a) < f(b). Xột tớnh n iu ca hm s f(x) trong khong (a; b). Baứi 1. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) 3 sin,0 6 x xxxvụựix-<<> b) 21 sintan,0 332 xxxvụựix+><< p c) tan,0 2 xxvụựix<<< p d) sintan2,0 2 xxxvụựix+><< p Baứi 2. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) tan ,0 tan2 aa vụựiab bb <<<< p b) sinsin,0 2 aabbvụựiab-<-<<< p c) tantan,0 2 aabbvụựiab-<-<<< p Baứi 3. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) 2 sin,0 2 x xvụựix><< p p b) 335 sin,0 66120 xxx xxxvụựix-<<-+> c) xxxvụựixsincos1,0 2 p +><< Baứi 4. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) 1,0 x exvụựix>+> b) ln(1),0xxvụựix+<> c) 1 ln(1)ln,0 1 xxvụựix x +->> + d) ( ) 22 1ln11xxxx++++ Baứi 5. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) 0 tan551,4> b) 0 17 sin20 320 << c) 23 log3log4> HD: a) 000 tan55tan(4510)=+. Xột hm s 1 () 1 x fx x + = - . b) Xột hm s 3 ()34fxxx=- . f(x) ng bin trong khong 11 ; 22 ổử - ỗữ ốứ v 0 17 ,sin20, 320 ẻ 11 ; 22 ổử - ỗữ ốứ . c) Xột hm s ()log(1) x fxx=+ vi x > 1. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 5 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: · Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. · Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Baøi 1. Giải các phương trình sau: a) 55xx+-= b) 53 1340xxx+--+= c) 571614xxxx+-++++= d) 22 15328xxx+=-++ Baøi 2. Giải các phương trình sau: a) 555 1230xxx+++++= b) ln(4)5xx-=- c) 345 xxx += d) 23538 xxx ++= Baøi 3. Giải các bất phương trình sau: a) 345 157751378xxxx++-+-+-< b) 2 272735xxxxx+++++< Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau: a) 32 32 32 21 21 21 xyyy yzzz zxxx ì +=++ ï í +=++ ï +=++ î b) 32 32 32 2 2 2 xyyy yzzz zxxx ì =++- ï í =++- ï =++- î c) 32 32 32 6128 6128 6128 yxx zyy xzz ì =-+ ï í =-+ ï =-+ î d) xyyx xy xy tantan 5 23 4 , 22 p pp ì -=- ï ï += í ï -<< ï î e) xyxy xy xy sinsin33 5 ,0 p ì -=- ï ï += í ï > ï î f) xyyx xy xy sin22sin22 23 0, 2 p p ì -=- ï ï += í ï << ï î g) xyxy xy xy cotcot 572 0, p p ì -=- ï += í ï << î h) HD: a, b) Xét hàm số 32 ()ftttt=++ c) Xét hàm số 2 ()6128fttt=-+ d) Xét hàm số f(t) = tant + t Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 6 I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x 0 Î D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x 0 Î (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với "x Î (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x 0 Î (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với "x Î (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f¢ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f¢¢ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f¢¢ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. · Tìm f ¢ (x). · Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. · Xét dấu f ¢ (x). Nếu f ¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Qui tắc 2: Dùng định lí 2. · Tính f ¢ (x). · Giải phương trình f ¢ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). · Tính f ¢¢ (x) và f ¢¢ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ¢¢ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ¢¢ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 7 Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 23 32yxx=- b) 32 221yxxx=-+- c) 32 1 415 3 yxxx=-+- d) 4 2 3 2 x yx=-+ e) 42 45yxx=-+ f) 4 2 3 22 x yx=-++ g) 2 36 2 xx y x -++ = + h) 2 345 1 xx y x ++ = + i) 2 215 3 xx y x -- = - Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 34 (2)(1)yxx=-+ b) 2 2 421 23 xx y xx +- = +- c) 2 2 344 1 xx y xx ++ = ++ d) 2 4yxx=- e) 2 25yxx=-+ f) 2 2yxxx=+- Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 1yx=+ b) 3 2 21 x y x = + c) 4 xx yee - =+ d) 2 552lnyxxx=-++ e) 2 4sinyxx=- f) 2 ln(1)yxx=-+ VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ¢ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: · Hàm số bậc ba 32 yaxbxcxd=+++ có cực trị Û Phương trình y ¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách: + 32 0000 ()yxaxbxcxd=+++ + 00 ()yxAxB=+, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ¢ . · Hàm số 2 '' axbxc y axb ++ = + = () () Px Qx (aa ¢¹ 0) có cực trị Û Phương trình y ¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a - . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 () () () Px yx Qx = hoặc 0 0 0 '() () '() Px yx Qx = · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. · Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) 3223 33(1)yxmxmxm=-+-- b) 32 23(21)6(1)1yxmxmmx=-++++ c) 224 (1)1xmmxm y xm +--+ = - d) 2 2 1 xmxm y xm +-+ = -+ Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 8 Baøi 2. Tìm m để hàm số: a) 32 (2)35ymxxmx=+++- có cực đại, cực tiểu. b) 322 3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=--+-+-- có cực đại, cực tiểu. c) 322 3(1)2yxmxmx=-+-+ đạt cực đại tại x = 2. d) 42 2(2)5ymxmxm=-+-+- có một cực đại 1 . 2 x = e) 2 22xmx y xm -+ = - đạt cực tiểu khi x = 2. f) 22 (1)42 1 xmxmm y x -+-+- = - có cực đại, cực tiểu. g) 2 1 xxm y x -+ = - có một giá trị cực đại bằng 0. Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) 32 3334yxxmxm=-+++ b) 32 3(1)1ymxmxmx=+--- c) 2 5 3 xmx y x -++ = - d) 22 (1)42 1 xmxmm y x -+-+- = - Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) 32 yaxbxcxd=+++ đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 27 tại x = 1 3 b) 42 yaxbxc=++ có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 . c) 2 1 xbxc y x ++ = - đạt cực trị bằng –6 tại x = –1. d) 2 axbxab y bxa ++ = + đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. e) 2 2 2 1 axxb y x ++ = + đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Baøi 5. Tìm m để hàm số : a) 3222 2(1)(41)2(1)yxmxmmxm=+-+-+-+ đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 12 111 () 2 xx xx +=+. b) 32 1 1 3 yxmxmx=-+- đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 8xx-³. c) 32 11 (1)3(2) 33 ymxmxmx=--+-+ đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 21xx+=. Baøi 6. Tìm m để hàm số : a) 2 2 1 xmxm y xm +-+ = -+ có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu. b) 22 (1)42 1 xmxmm y x -+-+- = - có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. c) 2 3 4 xxm y x -++ = - có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4Mm-=. d) 2 232 2 xxm y x ++- = + có 12 CÑCT yy-<. Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 32 4yxmx=-+- có hai điểm cực trị là A, B và 2 2 900 729 m AB = . b) 42 4yxmxxm=-++ có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. c) 2 2xmxm y xm ++- = - có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. d) 2 1 xmx y x + = - có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. e) 2 25 1 xmx y x -++ = - có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. f) 2 23xxm y xm +++ = - có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 32 21213yxmxx=+-- có hai điểm cực trị cách đều trục tung. b) 323 34yxmxm=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 323 34yxmxm=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3280xy-+=. d) 22 (21)1 1 xmxm y x ++++ = + có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d): 2310xy--= . Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 2 (1)21xmxm y xm -++- = - có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. b) 222 2(41)322 2 mxmxmm y xm ++++ = + có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. c) 222 (1)4mxmxmm y xm -+++ = - có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. d) 22 (21)1 1 xmxm y x ++++ = + có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung). . ()gxaxbxc=++ vi s 0: ã 12 0 00 0 xxP S ỡ > ù <<> ớ ù < ợ D ã 12 0 00 0 xxP S ỡ > ù <<> ớ ù > ợ D ã 12 00xxP<<< 5). hm s cú khong ng bin v nghch bin: 0 0 a ỡ ạ ớ > ợ D (1) ã Bin i 12 xxd-= thnh 22 121 2 ()4xxxxd+-= (2) Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 3 ã S dng nh lớ