Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Chơng 2: ĐặC TíNH CƠ CủA Động điện Đ 2.1 KHáI NIệM CHUNG Chơng đà cho ta thấy, đặt hai đờng đắc tính M() Mc() lên hệ trục tọa độ, ta xác định đợc trạng thái lamg việc động hệ (xem hình 1-2 hình 1-3): trạng thái xác lập M = Mc ứng với giao điểm hai đờng đặc tính M() Mc(); trạng thái độ M Mc vùng có xl ; trạng thái động thuộc góc phần t thứ thứ ba; trạng thái hÃm thuộc góc phần t thứ hai thứ t Khi phân tích hệ truyền động, ta thờng coi máy sản xuất đà cho trớc, nghĩa coi nh biết trớc đặc tính Mc() Vậy muốn tìm kiếm trạng thái làm việc với thông số yêu cầu nh tốc độ, mômen, dòng điện động v ta phải tạo đặc tính động tơng ứng Muốn vậy, ta phải ta phải nắm vững phơng trình đặc tính đặc tính loại động điện, từ hiểu đợc phơng pháp tạo đặc tính nhân tạo phù hợp với máy sản xuất đà cho điều khiển động cho có đợc trạng thái làm việc theo yêu cầu công nghệ Mỗi động có đặc tính tự nhiên xác định số liệu định mức Trong nhiều trờng hợp ta coi đặc tính nh loạt số liệu cho trớc Mặt khác có vô số đặc tính nhân tạo có đợc biến đổi vài thông số nguồn, mạch điện động cơ, thay đổi cách nối dây mạch, dùng thêm thiết bị biến đổi Do thông số có ảnh hởng đến hình dáng vị trí đặc tính cơ, đợc coi thông số điều khiển động cơ, tơng ứng phơng pháp tạo đặc tính nhân tạo hay đặc tính điều chỉnh Phơng trình đặc tính động điện viết theo dạng thuận M = f() hay dạng ngợc = f(M) Trang 20 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Đ 2.2 ĐặC TíNH CƠ CủA động chiều kích từ độc lập (ĐMđl) 2.2.1 Sơ đồ nối dây ĐMđl ĐMss: Động điện chiều kích từ độc lập (ĐMđl): nguồn chiều cấp cho phần ứng cấp cho kích từ độc lËp Khi ngn mét chiỊu cã c«ng st v« lớn điện áp không đổi mắc kích từ song song với phần ứng, lúc động đợc gọi động điện chiều kÝch tõ song song (§Mss) + Ukt Ikt Rktf + - Ckt Ikt R−f E U I− E + U− Rktf Rf I - a) b) Hình 2-1: a) Sơ đồ nối dây động điện chiều kích từ độc lập b) Sơ đồ nối dây động điện chiều kích từ song song 2.2.2 Các thông số ĐMđl: Các thông số định mức: nđm(vòng/phút); ω®m(Rad/sec); M®m(N.m hay KG.m); Φ®m(Wb); f®m(Hz); P®m(KW); U®m(V); I®m(A); Các thông số tính theo hệ đơn vị khác: ω* = ω/ω®m ; M* = M/M®m ; I* = I/I®m; Φ* = Φ/Φ®m; R* = R/R®m; Rcb = U®m/I®m,; %; M%; I%; Trang 21 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Ths Khơng Công Minh 2.2.3 Phơng trình đặc tính - điện đặc tính ĐMđl: Theo sơ đồ hình 2-1a hình 2-1b, viết phơng trình cân điện áp mạch phần ứng nh sau: U = E + (R− + R−f).I− (2-1) Trong ®ã: ω= M®t = KφI− p.N ⋅ φ ⋅ ω = Kφ ⋅ ω 2πa (2-2) VËy: E = Keφ.n (2-3) K = 0,105.K 9,55 R điện trở mạch phần ứng, R = r− + rctf + rctb + rtx , (Ω) Trong đó: r điện trở cuộn dây phần ứng động () Rctf điện trở cuộn dây cực từ phụ động () Rctb điện trở cuộn dây cực từ bù động () Rctb điện trở tiếp xúc chổi than với cổ góp động () Rf điện trở phụ mạch phần ứng I dòng điện phần ứng Tõ (2-1) vµ (2-2) ta cã: Trang 22 M ât M K K (2-6) Thay giá trị I vào (2-4), ta cã: πn n = ω= 60 9,55 Ke = (2-5) Khi bá qua tỉn thÊt ma s¸t ổ trục, tổn thất cơ, tổn thất thép coi: Mcơ Mđt M Suy ra: I− = p.N K= lµ hƯ sè kÕt cÊu cđa động a Và: (2-4) Mặt khác, mômen điện từ động đợc xác định: E sức điện động phần ứng động (V) Hoặc: U ổ R ổ + R ổf Iổ K K Đây phơng trình đặc tính - điện động chiều kích từ độc lập U điện áp phần ứng động cơ, (V) E= Giáo Trình: Truyền ®éng ®iƯn Tù ®éng ω= R ỉΣ U ỉ R æ + R æf − = − M M Kφ ( Kφ ) Kφ ( Kφ ) (2-7) Đây phơng trình đặc tính động điện chiều kích từ độc lập Có thể biểu diễn đặc tính dới dạng khác: = ω0 - ∆ω Trong ®ã: ω0 = ∆ω = (2-8) Uổ gọi tốc độ không tải lý tởng K (2-9) R ỉ + R ỉf R ỉΣ gäi lµ ®é sôt tèc ®é (2-10) = ( Kφ ) ( K ) Từ phơng trình đặc tính điện (2-4) phơng trình đặc tính (2-8) trên, với giả thiết phần ứng đợc bù đủ = const ta vẽ đợc đặc tính - điện (hình 2-2a) đặc tính (hình 2-2b) đờng thẳng Trang 23 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Từ (2-7) ta xác định đợc độ cứng đặc tính : = đm đm TN ωnt ωnt NT I®m a) TN Inm I− (Kφdm ) β tn = − Rỉ Mnm M H×nh 2-2: a) Đặc tính - điện động chiều kích từ độc lập b) Đặc tính động điện chiều kích từ độc lập Và: U æâm R æâm − M Kφâm (Kφâm ) (2-11) Đặc tính nhân tạo (NT) đặc tính có tham số khác định mức có điện trở phụ mạch phần ứng động Khi ω = 0, ta cã: Iỉ = Vµ: = I nm R æ + R æf Uæ M= ⋅ Kφ = I nm ⋅ Kφ = M nm R æ + R æf (2-12) Trang 24 R *− (2-16) R æ = 0,5.(1 − ηâm ) U âm ,Ω I âm (2-17) * VÝ dơ 2-1: X©y dựng đặc tính tự nhiên nhân tạo ®éng c¬ ®iƯn mét chiỊu kÝch tõ ®éc lËp cã số liệu sau: Động làm việc dài hạn, công suất định mức 6,6KW; điện áp định mức: 220V; tốc độ định mức: 2200vòng/phút; điện trở mạch phần ứng gồm điện trở cuộn dây phần ứng cực từ phụ: 0,26; điện trở phụ đa vào mạch phần ứng: 1,26 * Giải: (2-13) Trong đó: Inm - gọi dòng điện (phần ứng) ngắn mạch Mnm - gọi mômen ngắn mạch *tn = (2-15) Nếu cha có giá trị R ta xác định gần dựa vào giả thiết coi tổn thất điện trở phần ứng dòng điện định mức gây nửa tổn thất động cơ: Đặc tính tự nhiên (TN) đặc tính có tham số định mức điện trở phụ mạch phần ứng động cơ: = (2-14) Đối với đặc tính tự nhiên: NT Mđm b) dM ( Kφ ) =− dω R æ + R ổf a) Xây dựng đặc tính tự nhiên: Đặc tính tự nhiên vẽ qua điểm: điểm định mức [Mđm; đm] điểm không tải lý tởng [M = 0; = 0] Hoặc điểm không tải lý tởng [M = 0; = 0] điểm ngắn mạch [Mnm; = 0] Hoặc điểm định mức [Mđm; đm] điểm ngắn mạch [Mnm; = 0] Trang 25 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Trun ®éng ®iƯn Tù ®éng n âm 2200 = = 230,3 rad/s 9,55 9,55 Mômen (cơ) định mức: M õm = Giáo Trình: Truyền động điện Tự động b) Xây dựng đặc tính nhân tạo có Rf = 0,78: Tốc độ góc định mức: õm = Ths Khơng Công Minh Pâm 1000 6,6.1000 = = 28,6 Nm ωâm 230,3 Nh ta có điểm thứ đặc tính tự nhiên cần tìm điểm định mức: [28,6 ; 230,3] Khi thay đổi điện trở phụ mạch phần ứng tốc độ không tải lý tởng không thay đổi, nên ta vẽ đặc tính nhân tạo (có Rf = 0,78) qua điểm không tải lý tởng [0; 0] điểm tơng ứng với tốc độ nhân tạo [Mđm; nt]: (rad/s) 241,7 230,3 183,3 Ư Từ phơng trình đặc tính tự nhiên ta tính đợc: K õm = U õm I âm R æ 220 − 35.0,26 = 091 Wb = õm 230,3 Tốc độ không tải lý tởng: = U âm 220 = ≈ 241,7 rad/s Kφ âm 0,91 Ta có điểm thứ hai đặc tính [0; 241,7] nh ta dựng đợc đờng đặc tính tự nhiên nh đờng Ư hình - Ta tính thêm điểm thứ ba điểm ngắn mạch [Mnm; 0] M nm = K.I nm = Kφ ⋅ U dm 220 = 0,91 ⋅ = 770 Nm R− 0,26 VËy ta cã täa ®é điểm thứ ba đặc tính tự nhiên [770; 0] Độ cứng đặc tính tự nhiên xác định theo biểu thức (2-15) xác định theo số liệu lấy đờng đặc tính hình 2-3 dM ∆M − M âm 28,6 β tn = = = = 2,5 Nm.s = dω ∆ω ω0 − ωâm 241,7 − 230,3 Trang 26 28,6 M (Nm) Hình - 3: Đặc tính tự nhiên đặc tính nhân tạo Ta tính đợc giá trị mômen (cơ) định mức: M õm = Põm 1000 6,6.1000 = = 28,66 Nm õm 230,3 Và tính tốc độ góc nhân tạo: nt = U õm (R ổ + R æf ).I âm Kφâm = 220 − (0,26 + 1,26).35 = 183,3 rad/s 0,91 Ta cã täa ®é điểm tơng ứng với tốc độ nhân tạo [28,66; 183,3] Vậy ta dựng đợc đờng đặc tính nhân tạo có điện trở phụ mạch phần ứng nh đờng hình - Trang 27 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Nếu điểm cuối gặp đặc tính TN mà không trùng với giao điểm đặc tính TN I1 = const ta phải chọn lại I1 I2 tiến hành lại từ đầu 2.2.4 Đặc tính khởi động ĐMđl tính điện trở khởi động: 2.2.4.1 Khởi động xây dựng đặc tính khởi động: + Nếu khởi động động ĐMđl phơng pháp đóng trực tiếp dòng khởi ®éng ban ®Çu rÊt lín: Ik®b® = U®m/R− ≈ (10 ÷ 20)I®m, nh− vËy nã cã thĨ ®èt nãng ®éng cơ, làm cho chuyển mạch khó khăn, sinh lực điện động lớn làm phá huỷ trình học máy + 18) Ikđbđ = Inm ≤ Icp = 2,5I®m (2- + Muèn thÕ, ng−êi ta thờng đa thêm điện trở phụ vào mạch phần ứng bắt đầu khởi động, sau loại dần chúng để đa tốc độ động lên xác lập Ikđbđ = Inm = U õm = (2ữ2,5)Iđm Icp ; R ổ + R ổf (2-19) * Xây dựng đặc tính - điện khởi động ĐMđl: - Từ thông số định mức (Pđm; Uđm; Iđm; nđm, đm; ) thông số tải (Ic; Mc; Pc; ), sè cÊp khëi ®éng m, ta vẽ đặc tính tự nhiên - Xác định dòng ®iƯn khëi ®éng lín nhÊt: Imax = I1 = (2÷2,5)I®m - Xác định dòng điện khởi động nhỏ nhất: Imin = I2 = (1,1ữ1,3)Ic - Từ điểm a(I 1) kẽ đờng a0 cắt I2 = const b; từ b kẽ đờng song song với trục hoành cắt I1 = const c; nối c0 cắt I2 = const d; từ d kẽ đờng song song với trục hoành cắt I1 = const e; Cứ nh gặp đờng đặc tính tự nhiên điểm giao đặc tính TN I1 = const, ta có đặc tính khởi động abcde XL Trang 28 Rktf Ckt Ikt + Để đảm bảo an toàn cho máy, thờng chọn: I - U K2 K1 ω2 ω1 R−f2 R−f1 ω0 XL d b h TN e c e a Ic I2 I1 I b) a) Hình 2-3: a) Sơ đồ nối dây Đmđl khởi động cấp, m = b) Các đặc tính khởi động Đmđl, m = 2.2.4.2 Tính điện trở khởi động: a) Phơng pháp đồ thị: Dựa vào biểu thức độ sụt tốc độ đặc tính ứng với giá trị dòng điện (ví dụ I1 ) ta có: TN = Rót ra: Rỉ I1 ; Kφ R ỉfi = ∆ωNT = R æ + R æf I1 ; Kφ ∆ωNT TNi Rổ; TN Qua đồ thị ta có: R æf = − he ae Ræ = Ræ; he he T−¬ng tù nh− vËy: Trang 29 (2-20) (2-21) Ths Khơng Công Minh R ổf = Giáo Trình: Trun ®éng ®iƯn Tù ®éng ce hc − he Rỉ; Rỉ = he he VËy: λ = §iƯn trë tỉng ứng với đặc tính cơ: b) Phơng pháp giải tích: Giả thiết động đợc khởi động với m cấp điện trở phụ Đặc tính khởi động dốc đờng (hình 2-3b), sau ®Õn cÊp 2, cÊp 3, cÊp m, cuèi cïng đặc tính tự nhiên:: Điện trở tổng ứng với đặc tính cơ: R1 = R + Rf (1) = R− + (R−f + R−f + + R−f m) R2 = R− + R−f (2) = R− + (R−f + R−f + + R−f m-1) Rm-1 = R− + (R−f m-1 + R−f m) (2-22) + NÕu cho tr−íc sè cÊp điện trở khởi động m R1, R ta tính đợc bội số dòng điện khởi động: =m U U R1 = m âm = m +1 âm Ræ R æ I1 R æ I (2-27) m= lg(R / R æ ) lg λ (2-28) * Trị số cấp khởi động đợc tính nh sau: Tại điểm c hình 2-3b ta có: (2-23) Trong trình khởi động, ta lấy: Trang 30 (2-26) + Nếu biết , R1, R ta xác định đợc số cấp điện trở khởi động: Tại điểm b hình 2-3b ta cã: I1 = λ = const I2 ⎫ ⎪ R m −1 = λR m = λ2 R æ ⎪ ⎪ ⎬ m −1 R = λR = λ R æ ⎪⎪ R = λR = λm R ỉ ⎪⎭ Trong ®ã: R1 = U®m/I1; råi thay tiÕp I1 = λI2 Rm = R− + (R−f m) U®m - E1 R2 R R I1 R R = = = = m −1 = m (2-25) Rm Ræ I2 R R R m = λR æ R2 = R− + R−f (2) = R− + (R−f 2) I1 = Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Rút ra: R1 = R− + R−f (1) = R− + (R−f + R−f 2) U − E1 I = âm R1 Ths Khơng Công Minh (2-24) R ổfm −1 = R m −1 − R m = λ(λ − 1).R æ ⎪ ⎪ ⎬ R æf = R − R = λm −2 (λ − 1).R æ ⎪⎪ R æf = R − R = λm −1 (λ − 1).R æ ⎪⎭ R æfm = R m − R æ = ( 1).R ổ Trang 31 (2-29) Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động * Ví dụ 2-2: Cho động kích từ song song có số liệu sau: Pđm = 25KW; Uđm = 220V; n®m = 420vg/ph; I®m = 120A; R−* = 0,08 Khëi ®éng hai cÊp ®iƯn trë phơ víi tÇn st 1lÇn/1ca, làm việc ba ca, mômen cản quy đổi trục động (cả thời gian khởi động) Mc 410Nm Hảy xác định cấp điện trở phụ Ths Khơng Công Minh Giá trị dòng khởi động thấp giá trị cho phép, nghĩa số liệu đà tính hợp lý + Ckt Trớc hết ta xác định số liệu cần thiết động cơ: Điện trở định mức: Rđm = Uđm/Iđm = 220V/120A = 1,83 Điện trở phần ứng: R = R*.Rđm = 0,08.1,83 = 0,146 Tốc độ góc định mức: đm = nđm/ 9,55 = 420/ 9,55 = 44 rad/s Từ thông động vµ hƯ sè kÕt cÊu cđa nã: Kφ âm = U âm − R æ I âm 220 − 0,146.120 = 4,6 Wb = õm 44 Dòng điện phụ tải: Ic = Mc/Kφ®m = 410/4,6 = 89A ≈ 0,74I®m Víi tần suất khởi động ít, dòng điện mômen phụ tải nhỏ định mức, nên ta coi trờng hợp thuộc loại khởi động bình thờng với số cấp khëi ®éng cho tr−íc m = 2, dïng biĨu thøc (2-27), chọn trớc giá trị I2: I2 = 1,1.Ic = 1,1.89A = 98 A Ta tính đợc bội số dòng ®iÖn khëi ®éng: λ = m +1 U âm 220 = 2+1 ≈ 2,5 R ỉ I 0,146.98 KiĨm nghiệm lại giá trị dòng điện I1: I1 = .I2 = 2,5.98A = 245A ≈ 2I®m Trang 32 I− ω - U Ikt * Giải: Giáo Trình: Truyền động điện Tù ®éng Rktf K2 K1 ω2 ω1 R−f2 R−f1 ω0 XL d b h TN e c e a Ic I I1 I− b) a) H×nh 2-4: a) Sơ đồ nối dây Đmđl khởi động cấp, m = b) Các đặc tính khởi động §m®l, m = 2: §−êng cã: R1 = R− + R−f1 + R−f2 §−êng cã: R2 = R− + R−f2 §−êng TN cã: R3 = R− Theo (2-26) ta xác định đợc cấp điện trở tổng với hai đờng đặc tính nhân tạo: R1 = R = 2,5.0,146 = 0,365 Ω R2 = λR1 = 2,5.0,365 = 0,912 Và điện trở phụ cấp sÏ lµ: R−f1 = R1 - R− = 0,365 - 0,146 = 0,219 Ω R−f2 = R2 - R−f1 - R− = 0,912 - 0,219 - 0,146 = 0,547 Ω Trang 33 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động 2.2.5 Các đặc tính hÃm ĐMđl: HÃm trạng thái mà động sinh mômen quay ngợc chiều với tốc độ, hay gọi chế độ máy phát Động điện chiều kích từ độc lập có ba trạng thái hÃm: 2.2.5.1 HÃm tái sinh: HÃm tái sinh tốc độ quay động lớn tốc độ không tải lý tởng ( > 0) Khi hÃm tái sinh, sức điện động động lớn điện áp nguồn: E > U, động làm việc nh máy phát song song với lới trả lợng nguồn, lúc dòng hÃm mômen hÃm đà đổi chiều so với chế độ động Khi hÃm tái sinh: U æ − E æ Kφω0 − Kφω = U, dòng điện phần ứng thay đổi chiều so với trạng thái động : Iổ = Ih = HÃm tái sinh (HTS), Trạng thái máy phát M Trạng thái động Mh Mh M Hình 2- 5a: HÃm tái sinh có động lực quay động Trang 34 Uổ − E < ; Mh = Kφ.Ih < ; R ổ Mômen động đổi chiều (M < 0) trở nên ngợc chiều với tốc độ, trở thành mômen hÃm (Mh) + HÃm tái sinh giảm điện áp phần ứng (U2 < U1), lúc Mc dạng mômen (Mc = Mtn) Khi giảm điện áp nguồn đột ngột, nghĩa tốc độ giảm đột ngột tốc độ cha kịp giảm, làm cho tốc độ trục động lớn tốc độ không tải lý tởng ( > 02) Về mặt lợng, động tích luỹ tốc độ cao lớn tuôn vào trục động làm cho động trở thành máy phát, phát lợng trả lại nguồn (hay gọi hÃm tái sinh), hình 2-5b * Một số trạng th¸i h·m t¸i sinh: + H·m t¸i sinh ω > 0: lúc máy sản xuất nh nguồn động lực quay rôto động cơ, làm cho động trở thành máy phát, phát lợng trả nguồn Ih < ôđ U I > U E E Giáo Trình: Truyền động điện Tự ®éng Ih U−2 ω01 E2 HTS Mhb® ω02 U−1 I− A E1 B Mc M H×nh 2- 5b: H·m tái sinh giảm tốc độ cách giảm điện áp phần ứng động (U2 < U1) + HÃm tái sinh đảo chiều điện áp phần ứng (+U - U): lúc Mc dạng mômen (Mc = Mtn) Khi đảo chiều điện áp phần ứng, nghĩa đảo chiều tốc độ + - 0, động dần chuyển sang đờng đặc tính có -U, làm việc điểm B (B>- 0) Về mặt lợng, tích luỹ cao lớn tuôn vào động cơ, làm cho động trở thành máy phát, phát lợng trả lại nguồn, hình 2-5c Trang 35 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Ths Khơng Công Minh U + E U + K ⎫ = − ⎪ R − + R −f R − + R −f ⎬ ⎪ M h = KφI h Trong thực tế, cấu nâng hạ cầu trục, thang máy, nâng tải, động truyền động thờng làm việc chế độ động (điểm A hình 2-5c), hạ tải động làm việc chế độ máy phát (điểm B h×nh 2-5c) Ih = ω ω ω0 U− I− A bđ E + Mc M Rktf -U Ih -E Hình 2- 5c: HÃm tái sinh đảo chiều điện áp phần ứng động (+U -U) 2.2.5.2 HÃm ngợc: HÃm ngợc mômen hÃm động ngợc chiều với tốc độ quay (M) HÃm ngợc có hai trờng hợp: a) Đa điện trở phụ lớn vào mạch phần ứng: Động làm việc điểm A, ta đa thêm Rf lớn vào mạch phần ứng động chuyển sang điểm B, D làm việc ổn định điểm E (ôđ = E ôđA) đặc tính có thêm Rf lớn, đoạn DE đoạn hÃm ngợc, động làm việc nh máy phát nối tiếp với lới điện, lúc sức điện động động đảo dấu nên: Trang 36 I− U− I− A (+R−f) Ikt E− (N©ng) M ω Mc D HTS B (2-31) ω0 B - U Ckt - ôđ0 Giáo Trình: Truyền động điện Tự động e Rf a) ôđ b) Mnm Mc M (Hạ) HN E U− E− Ih ω Mh Mc H×nh 2-6a: a) Sơ đồ hÃm ngợc cách thêm Rf b) Đặc tính hÃm ngợc thêm Rf Tại thời điểm chuyển đổi mạch điện mômen động nhỏ mômen cản (MB < Mc) nên tốc độ động giảm dần Khi = 0, động chế độ ngắn mạch (điểm D đặc tính có Rf ) nhng mômen nhỏ mômen cản: Mnm < Mc; Do mômen cản tải trọng kéo trục động quay ngợc tải trọng hạ xuống, ( < 0, đoạn DE hình 2-6a) Tại điểm E, động quay theo chiều hạ tải trọng, trờng hợp chuyển động cử hệ đợc thực nhờ tải b) HÃm ngợc cách đảo chiều điện áp phần ứng: Động làm việc điểm A, ta đổi chiều điện áp phần ứng (vì dòng đảo chiều lớn nên phải thêm điện trở phụ vào để hạn chế) thì: Trang 37 Ths Khơng Công Minh Giáo Trình: Truyền động điện Tự động Động chuyển sang điểm B, C làm việc xác lập D phụ tải ma sát Đoạn BC đoạn hÃm ngợc, lúc dòng hÃm mômen hÃm ®éng c¬: − − U + Kφω ⎫ =− æ