Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K: + Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < + Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > 2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu a. ðịnh lí Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc không xác ñịnh. B3: Sắp xếp các ñiểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d − − + + + − − + Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x − + + − + − + + Loại 2: Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh. Phương pháp + Dựa vào ñịnh lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2y x x= − nghịch biến trên ñoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9y x= − ñồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). b. Hàm số 4 y x x = + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Ví dụ 5. Chứng minh rằng a. Hàm số 3 2 1 x y x − = + nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. b. Hàm số 2 2 3 2 1 x x y x + = + ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. c. Hàm số 2 8y x x= − + + nghịch biến trên R. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số. Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 2 + Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x= + + + ñồng biến trên R. Ví dụ 7. Tìm m ñể hàm số 2 2 5 6 ( ) 3 x x m f x x + + + = + ñồng biến trên khoảng (1; )+∞ Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x = + + − ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. Ví dụ 9 Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x= − + − + + ñồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4 mx y x m + = + a. Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh b. Tìm m ñể hàm số tăng trên (2; )+∞ c. Tìm m ñể hàm số giảm trên ( ;1)−∞ Ví dụ 11 Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x = − + + + + . Tìm m ñể hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; )+∞ Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a = − − − + + − − ñồng biến trên [2:+ )∞ Dạng 3 . Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn. + f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤ + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥ Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x π − < + < + ∞ ≠ Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π       b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x π + > ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số ( ) t anx - x f x = a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π       b. Chứng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x π > + ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số 4 ( ) t anx, x [0; ] 4 f x x π π = − ∈ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 3 a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] 4 π b. Chứng minh rằng 4 tan , [0; ] 4 x x x π π ≤ ∀ ∈  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1 . Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác ñịnh. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm số có cực ñại tại x i ) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 2 2 3 36 10 y x x x = + − − Qui tắc I. TXð: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = =  ⇔  = −  + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ - 54 71 + + - 0 0 2 -3 + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ y y' x Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và y cñ =71 x= 2 là ñiểm cực tiểu và y ct = - 54 Qui tắc II TXð: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = =  ⇔  = −  y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và y ct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3 và y cñ =71 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 4 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2 . Xác lập hàm số khi biết cực trị ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể Cð hay CT) Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2 LG 2 ' 3 6 1y x mx m = − + − . Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1m m m ⇔ − + − = ⇔ = Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x =  = − ⇒ = ⇔  =  tại x = 2 hàm số ñạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x = + + + Bài 2. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 3. Tìm m ñể hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 4. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x = − + − Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) axf x x bx c = + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2 '( ) 1 , x -1 ( 1) q f x x = − ∀ ≠ + + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q ≤ ∀ ≠ + Nếu q > 0 thì: 2 2 1 2 1 '( ) 0 ( 1) 1 x q x x q f x x x q  = − − + + − = = ⇔  +  = − +  Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó.’ Phương pháp B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: • Hàm số 3 2 ax ( 0)y bx cx d a = + + + ≠ có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 5 • Cực trị của hàm phân thức ( ) ( ) p x y Q x = . Giả sử x 0 là ñiểm cực trị của y, thì giá trị của y(x 0 ) có thể ñược tính bằng hai cách: hoặc 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) hoÆc y(x ) ( ) '( ) P x P x y x Q x Q x = = Ví dụ . Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu 2 3 2 1 x 2 4 . y = ( 6) 1 . y = 3 2 mx m a x mx m x b x + − − + + + − + Hướng dẫn. a. TXð: R 2 ' 2 6y x mx m= + + + . ðể hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m+ + + = 2 3 ' 6 0 2 m m m m >  ∆ = − − > ⇔  < −  b. TXð: { } \ 2−¡ 2 2 2 2 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4 ' ( 2) ( 2) µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 0 4 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x m y x x H y c x x m m m m m + + − + − − + + + = = + + = ⇔ + + + = ∆ > − − >   ⇔ ⇔ ⇔ <   − + + ≠ ≠   Bài 1. Tìm m ñể hàm số 3 2 3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − + Bài 2. Tìm m ñể hàm sô 2 3 ( 1) 1x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực ñại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 3 2 2  12 13y x x= + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. Bài 4. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx= − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m ñể hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất. Ví dụ . Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 6 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + + Bài 6. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 7. Tìm m ñể hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 8. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x = − + − Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) axf x x bx c = + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m ñể hàm số 3 2 3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx = − + Bài 12. Tìm m ñể hàm sô 2 3 ( 1) 1x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực ñại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 3 2 2  12 13y x x = + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. Bài 14. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m ñể hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu.    GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi đại học (Chun ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chun ðề 7 • ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc khơng xác định • ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trò x i [ ] ; a b ∈ (i = 1, 2, ., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh . B2: Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), ., ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), ., ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), ., ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 y x x = + trên khoảng (0; ) +∞ Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) +∞ 2 2 2 2 1 1 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x x x − = − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ± . Dễ thấy 1 (0; )x = − ∉ +∞ Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 x y x x = + + − trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 2 2 [-4;0] [-4;0] 1 '( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 3 3 Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0 16 Min khi x = -4 hc x = -1 3 x x x f x x x f x x x x f f f f V y khi y ∈ ∈ = −  = + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒  = −  − − − = − = − − = = − = − − = Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3] a x x x x x x + − + + − − + + − − Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 2 x 1 . f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + ) x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a ∞ 1 3 = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 π π  TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) • y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0 lim ( ) , hc lim ( ) x x f x y f x y →+∞ →−∞ = = GTLN - + y y' b x 0 a x GTNN + - y y' b x 0 a x + ∞ ∞∞ ∞ + ∞ ∞∞ ∞ 0 2 + - y y' + ∞ ∞∞ ∞ 1 0 x Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 8 • x = x 0 là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x + − + − → → → → = +∞ = +∞ = −∞ = −∞ • ðường thẳng y = ax + b ( 0a ≠ ) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 x x f x f x →+∞ →−∞ − − II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( ) ( ) P x y Q x = Phương pháp • Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng. • Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( )x ε với lim ( ) 0 x x ε →∞ = thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2 . y = b. y = c. y = x + 2 3 x 1 x a x − − − − Hướng dẫn a. Ta thấy 2 2 2 1 2 1 lim ; lim 2 2 x x x x x x − + →− →− − − = −∞ = +∞ + + nên ñường thẳng x= 2 là tiệm cận ñứng. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số. b. + 2 3 7 lim 3 x x x x − → − − = −∞ − . Nên x = 3 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số. + 1 2 3 y x x = + − − . Ta thấy 1 lim[y - (x + 2)]= lim 0 3 x x x →∞ →∞ − = − Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của ñồ thị hàm số. c. Ta thấy 2 1 2 lim . 1 x x x + → + = = +∞ − Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng. + 2 1 2 lim 1 x x x − →− + = +∞ − . Nên x = -1 là tiệm cận ñứng. + 2 2 2 1 2 2 lim 0 1 1 1 x x x x x x →+∞ + + = = − − . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số. Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 2 ax ( 0)y bx c a= + + > Phương pháp Ta phân tích 2 ax ( ) 2 b bx c a x x a ε + + ≈ + + Với lim ( ) 0 x x ε →+∞ = khi ñó ( ) 2 b y a x a = + có tiệm cận xiên bên phải Với lim ( ) 0 x x ε →−∞ = khi ñó ( ) 2 b y a x a = − + có tiệm cận xiên bên tr ái Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 9 VÝ dô T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 2 9 18 20y x x= − + H−íng dÉn 2 9( 2) 6y x= − + Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12) http://ebook.here.vn - Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn 10 Các tính giới hạn vô cực của hàm số ( ) ( ) f x y g x = lim ( ) 0 f x x x lim ( ) 0 g x x x Dấu của g(x) ( ) lim ( ) 0 f x x x g x L Tuỳ ý 0 + + L > 0 0 - - - + L < 0 0 + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - x g. y = h. y = x 3x + 1 Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x . y = b. y = c. y = d. y = 4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2 . y = 2x -1 + f. y = x 3 x x x a x x x x x x e x + + + + + 3 2 2 2 1 2x g. y = x- 3 + h. y = 2(x- 1) 1 x x + Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số 2 2 x . y = 1 x+ 3 b. y = x+ 1 1 . 4 x a x x c y x + + = Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số: 2 2 3 2( 2) 1 x y x m x m = + + + + có đúng 2 tiệm cận đứng. Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số: 2 2 3x 1 -3x 4 . y = b. y = 1 2 x x a x x + + + + Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2( 1) 4 3 2 x m x m y x + + = tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) Bài 7. Cho hàm số: 2 (3 2) 3 3 1 x x m m y x + + = (1) a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm (4; 3)A b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol 2 y x= tại hai điểm phân biệt. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 [...]... Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) 4 kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba D¹ng 1: Kh¶o s¸t v vÏ h m sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ph−¬ng ph¸p 1 T×m tËp x¸c ®Þnh 2 XÐt sù biÕn thi n cđa h m sè a T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc v c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã) T×m c¸c ®−êng tiƯm cËn b LËp b¶ng biÕn thi n cđa h m sè, bao gåm: + T×m ®¹o h m, xÐt dÊu ®¹o h m, xÐt chiỊu biÕn thi n v t×m cùc trÞ +... Cho h m sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 11 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) b BiƯm ln theo m sè nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m B i 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho h m sè y = x3 - 3x2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè ® cho b T×m c¸c gi¸ trÞ... (TNTHPT - 2007) Cho hàm s y= x3 − 3 x + 2 có đ th là (C) a/ Kh o sát và v đ th hàm s b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i đi m A(2 ;4) Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm s y= − x 3 + 3 x 2 có đ th (C) a/ Kh o sát và v đ th hàm s b/ D a vào đ th bi n lu n s nghi m phương trình : − x 3 + 3 x 2 -m=0 Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm s y= x3 − 6 x 2 + 9 x có đ th là (C) a/ Kh o sát và v đ th hàm s b/ Vi t... víi m= 4 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 12 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) B i3 Cho h m sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6( m − 2) x − 1 a Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =2 b Víi gi¸ trÞ n o cđa m h m sè cã cùc ®¹i, cùc tiĨu B i 5 (§H 2006- D) Cho h m sè y = x 3 − 3 x + 2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ (C) cđa h m sè b Gäi d l... sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè b ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ h m sè t¹i ®iĨm cã ho nh ®é x = -2 VÝ dơ 2 Cho h m sè y = x 4 + 4 mx 3 + 3( m + 1) x 2 + 1 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =0 b Víi gi¸ trÞ n o cđa m h m sè cã 3 cùc trÞ http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 14 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) B i... mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh l ba cùc trÞ l mét tam gi¸c vu«ng c©n http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 15 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ... m=m’, N u t (2) tìm đư c hàm ngư c y = g ( x ) thay vào (1) ta đư c phương trình Như v y đ xây d ng pt theo l i này ta c n xem xét đ có hàm ngư c và tìm đư c và hơn n a h ph i gi i đư c M t s phương trình đư c xây d ng t h Gi i các phương trình sau http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 28 Giáo viên: Nguy n Vi t B c 1) Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) 4 x 2 − 13 x + 5... tr×nh: y = Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè x +1 ®Þnh B i 4 Cho h m sè (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 m http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 16 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1 b Chøng minh r»ng hä ®−êng cong lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh mx − 1 B i 5 Cho h m sè: y = , m ≠ ±1 Gäi (Hm)... uv + vw + wu ( v + w )( u + w ) = 5 w = 5 − x  30 239 u= ⇔x= 60 120 3 Bài 2 Gi i phương trình sau : 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x2 − x + 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 25 Giáo viên: Nguy n Vi t B c a =  b =  Gi i Ta đ t :  c =  d =  Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) 2x2 − 1 a + b = c + d x 2 − 3x − 2 , khi đó ta có :  2 2 2 2... 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11 (2 x − 3) 2 = 4 y + 5  ð t 2 y − 3 = 4 x + 5 ta đư c h phương trình sau:  2 (2 y − 3) = 4 x + 5  V i x = y ⇒ 2x − 3 = ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = 0 4x + 5 ⇒ x = 2 + 3 V i x + y −1 = 0 ⇒ y = 1 − x → x = 1 − 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chun ð 27 Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi đ i h c (Chun ð Hàm S 12) . Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM. ñiêu của hàm số. Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên