Chuyên đề Giá trị cực trị hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn Nội dung  Tóm tắt lý thuyết  Ví dụ minh hoạ  Bài tập tự giải Giá trị cực trị hàm số Tóm tắt lý thuyết  Cho hàm số y = f(x), x0 điểm cực trị hàm số f(x0) gọi giá trị cực trị hàm số M(x0; f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số  Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có điểm cực trị x1; x2 Để tính giá trị cực trị hàm số ta thực theo cách sau: • Thực phép chia đa thức f(x) cho f’(x) • f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong mx + n thương phép chia Ax + B số dư phép chia) • Vì f’(x1) = f’(x2) = nên - f(x1) = Ax1 + B - f(x2) = Ax2 + B Giá trị cực trị hàm số  u(x) y  Đối với hàm hữu tỉ v(x) Nếu hàm số đạt cực trị x = x với v’(x0)  y'(x ) =  u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) =   Vậy giá trị cực trị hàm số y(x )  u(x ) u'(x )  v(x ) v '(x ) u(x ) u'(x )  v(x ) v '(x ) Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ x  (2m  1)x  m2  m  Cho hàm số y  Chứng minh đồ thị hàm số 2(x  m) ln có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị không đổi Lời giải  x1 2  m  m   x   m  m Hm số cú điểm cực trị x1 = - m x = - - m 2 Ta có y '     (x  m)  0  2 (x  m) 2x1  2m  2x  2m   ; y(x )   2 2 VËy ®å thị hm số luụn cú điểm cực trị y(x1 )  5 3   M   m;  ; N    m;   2 2   5 MN   (2  m)  (   m)    2 2    không đổi Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ x  mx  Cho hàm số y  Giá trị m để đồ thị hàm số có điểm mx  cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng vng góc với đường thẳng : x + 2y – = Ta có: y '  mx  2x  m (mx  1)2 Lời giải Để hàm số có cực đại, cực tiểu  f(x) = mx2 – 2x + m = (*) có nghiệm   m 0 m 0 m 0      '   1  m2     m  phân biệt khác m   m 1    f   0 m  0  m   m  Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt)  m  (  1;1) \  0 Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) điểm cực trị đồ thị hàm số nên: 2x1  2m  x1  m m 2x  2m y y(x )   x2  m m y1 y(x1 )  Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình: y  Nên phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y  x 2 m x 2 m Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt) Để đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với  : y  x 2  1    m 1 (không thỏa mãn) m   Vậy không tồn m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng vng góc với y  x 2 m Chú ý: Cho đường thẳng d1: y = a1x + b1 d2: y = a2x + b2 d1 vng góc với d2  a1.a2 = -1 d1 song song với d2  a1 = a2 b1 ≠ b2 Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : x – 2y – = Lời giải Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2 = Hàm số có cực đại, cực tiểu   '   - 3m >0    m  Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) điểm cực trị  y’ (x1) = y’ (x2) = theo Vi-ét ta có  x1  x 2   m2  x1.x    2m2  1   x  m2  m Lấy y chia cho y’ ta y  (x  1)y '  3    2m2   y1 y(x1 )    x1  m2  m    2m2   y  y(x )    x  m2  m   Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt) Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình  2m2  y    x  m2  m   Nên phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  2m2  d : y    x  m2  m   Để điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng  d vng góc với  khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến   2m2      (1) m 0     2(y1  y )  (x1  x )  10 0 (2)  x1  2y1   x  2y   12  (  2)2 12  (  2)2  Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt)   2m2   2 Gi¶i (2)      (x1  x )  m  2m   (x1  x )  10 0 3      2m2    2    m2  2m   10 0     4m(m  1) 0  m 0 hc m  Vậy m = đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : x – 2y – = Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) đường thẳng : Ax + By + C = d(M;  ) = | Ax + By + C| A  B2 Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm phía Ox Lời giải Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + Để đồ thị hàm số có điểm cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt  g(x) = mx2 – 2mx + = có hai nghiệm phân biệt m 0   '     m 0   m  m   m   m  (1)  Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)x Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) điểm cực trị đồ thị hàm số  x1  x 2   g(x1 ) g(x ) 0 ta có    x1x  m  y1  y  x1    2m  x1   y  y  x    2m  x Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt) Để hàm số có điểm cực trị nằm phía Ox (2  2m)2  y1.y   (2  2m)x1x   0 m m 1    m  (2) m   Từ (1) (2)  m < đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm phía Ox Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác Lời giải Ta có y ' 4x  4mx 0  x 0  x 0     x  m   x  m(m  0) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m > (1) 2 điểm cực trị đồ thị hàm số A(0; m); B( m; m  m ); C(  m;m  m ) ABC  AB2 = AC2 = BC2 Giá trị cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ (tt)          m  0 m 2       m  m   m       m  m2  m    m    2      m  m2  m       m  (  m)   m  m2  (m  m2 )   m  m4 m  m4    m  ho Ỉ c m  (2) m  m 4m Từ (1) (2)  m  đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác Giá trị cực trị hàm số Bài tập tự giải Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số y  x  mx  x  m  Chứng minh với m hàm số ln có cực đại, cực tiểu Hãy xác định m cho khoảng cách điểm cực đại, cực tiểu nhỏ Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có điểm cực trị lập thành tam giác Giá trị cực trị hàm số Bài tập tự giải (tt) 2x  3x  m  Bài 4: Chứng minh hàm số y  đạt cực đại x x 2 đạt cực tiểu x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2| Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số x  (m  1)x  m2  4m  y x a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Tìm m để tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số x  2mx  y x 1 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách từ điểm đến đường thẳng x + y + = Giá trị cực trị hàm số Bài tập tự giải (tt)  x  3x  m Bài 7: Cho hàm số y  x Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu thỏa mãn |yCĐ - yCT| = mx  (m2  1)x  4m3  m Bài 8: Cho hàm số y  x m Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu nằm phía trục Ox  ... tự giải Giá trị cực trị hàm số Tóm tắt lý thuyết  Cho hàm số y = f(x), x0 điểm cực trị hàm số f(x0) gọi giá trị cực trị hàm số M(x0; f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số  Đối với hàm bậc ba:... f(x2) = Ax2 + B Giá trị cực trị hàm số  u(x) y  Đối với hàm hữu tỉ v(x) Nếu hàm số đạt cực trị x = x với v’(x0)  y''(x ) =  u''(x )v(x ) - u(x )v''(x ) =   Vậy giá trị cực trị hàm số y(x )  u(x... thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác Giá trị cực trị hàm số Bài tập tự giải Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số y  x  mx  x  m  Chứng minh với m hàm số ln có cực đại, cực