Đang tải... (xem toàn văn)
Phuong trinh bac hai chua tham so
Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số Bài toán 1 : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số . Ph ơng pháp : Xét các trờng hợp của hệ số a : - Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phơng trình bậc nhất . - Nếu a 0 thì tiến hành các bớc sau: + Tính biệt số )( ' . + Xét các trờng hợp của )( ' ( Nếu )( ' chứa tham số ). + Tìm nghiệm của phơng trình theo tham số. Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m là tham số ) sau : a) x 2 - 2(3m - 1)x + 9m 2 - 6m - 8 = 0 b) x 2 - 3mx + 2m 2 - m - 1 = 0 c) 3x 2 - mx + m 2 = 0 d) x 2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 HDẫn : a/ ' = 9 ; x 1 = 3m + 2 , 2 x = 3m - 4 b/ = (m + 2) 2 : + m -2 : x 1 = 2m + 1 , 2 x = m - 1 + m =-2 : x = -3 ( nghiệm kép) c/ = -11m 2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiệm kép) + m 0 : PT vô nghiệm. d/ ' = m 2 - 3m + 4 = (m - 2 3 ) 2 + 4 7 > 0 :+ x 1 = m - 1 + 4 7 2 3 2 + m + 2 x = m - 1 - 4 7 2 3 2 + m Bài 2 : Giải phơng trình (m là tham số) : (m - 1)x 2 - 2mx + m + 2 = 0 HDẫn : * m =1 : x = 2 3 * m 1 : ' = 2 - m + m > 2 : Vô nghiệm. + m = 2 : x = 2 (nghiệm kép ) + m < 2 : 1 2 1 + = m mm x ; 1 2 2 = m mm x Bài 3 : Giải phơng trình (m là tham số) : (m - 1)x 2 + 3mx + 2m + 1 = 0 HDẫn : + m = 1 : x =-1 + m 1 :x 1 =-1 ; x 2 = m m a c + = 1 12 *1* Chuyên đề PTB2 chứa tham số Bài 4 : Giải phơng trình (m là tham số) : x 2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0 Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 HDẫn : ' =m 2 - 9 Nếu : -3<m<3 : Vô nghiệm Nếu = = 3 3 m m thì = = 4 2 x x ( nghiệm kép) Nếu > < 3 3 m m thì 91 2 2,1 += mmx Bài 5 : Giải phơng trình (m là tham số) : (4m 2 + 4m + 1)x 2 - 2m(2m + 1)x + m 2 = 0 HDẫn : m =- 2 1 vô nghiệm. m - 2 1 , ' =0 : x = 12 + m m (nghiệm kép) Bài toán 2 : T ìm giá trị của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm. Ph ơng pháp : Điều kiện để phơng trình bậc 2 có : - Nghiệm kép ( ) = 0 0 ' a - Hai nghiệm phân biệt ( ) > 0' 0a - Có nghiệm :+Xét a= 0 (Nếu a chứa tham số ) +Xét ( ) 0' 0a - Vô nghiệm : + Xét a= 0 + Xét ( ) < 0' 0a Bài 6 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : a) 2x 2 - 4x + m = 0 (m < 2) b) 5mx 2 - 4x - 3m = 0 (m 0 ) c) mx 2 - 3x + m = 0 (- 2 3 2 3 << m , m 0 ) Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm kép : a) 3x 2 - 2mx + 1 = 0 (m = 3 ) b) 4mx 2 - 6x - m - 3 = 0 (m = - 2 3 ) c) (m + 2)x 2 - 2(m - 1)x + 4 = 0 (m = 7 hoặc m = -1) Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 Bài 8 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau vô nghiệm : a) 3x 2 + 2mx + 4 = 0 (-2 3 <m< 2 3 ) *2* Chuyên đề PTB2 chứa tham số b) x 2 - (2m + 3)x + m 2 = 0 (m <- 4 3 ) c) m 2 x 2 + mx + 3 = 0 ( m) Bài 9 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm : a) mx 2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0 b) (m 2 - m)x 2 + 2mx + 1 = 0 HDẫn : a/ + m = 0 : x = 2 3 + m 0 : m 1 b/ + m = 0 : Vô nghiệm. + m = 1 : x =- 2 1 + m 0 , m 1 : 0' m > 0 Bài 10 : Cho phơng trình : mx 2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 Tìm các giá trị của m để phơng trình : a) Có nghiệm kép . b) Có 2 nghiệm phân biệt. c) Vô nghiệm . HDẫn : a/ = 0' 0m = = 5 9 4 m m b/ > 0' 0m < > 0, 5 9 4 mm m c/ + m = 0 : Có nghiệm. + m 0 : 4 5 9 0' <<< m Bài 11 : a) Tìm các giá trị nguyên dơng của k để phơng trình : x 2 - 4x + k = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ( k = 1; 2; 3 ) b) Tìm các giá trị nguyên âm của m để phơng trình : 2x 2 - 6x + m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ( m = -3; - 4; - 5; ) Bài 12 : Cho phơng trình (m là tham số) : (2m - 7)x 2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0 Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó. Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 HDẫn : += 252' 072 2 mm m = = 2 1 2 m m + Với m = 2 : x = 3 *3* Chuyên đề PTB2 chứa tham số + Với m = 2 1 : x = 1 Bài 13 : Cho phơng trình (m là tham số) : (m + 3)x 2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0 Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. HDẫn : ( ) < > + += + 1 3 0 64 551 8 19 14 03 2 m m mm m Bài toán 3 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc 2 nhận một số k (k R) cho tr ớc làm nghiệm . Ph ơng pháp : - Thay giá trị x = k vào phơng trình tìm tham số. - Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào 21 xx + hoặc 21 .xx để tìm nghiệm còn lại (nếu cần). Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phơng trình : a) (3m + 4)x 2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhận 3 làm nghiệm. ( m = - 13 36 ) b) (m 2 + 1)x 2 + (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhận - 2 làm nghiệm. ( = = 4 1 1 m m ) Bài 15 : Tìm giá trị của m để phơng trình : a) mx 2 - 3x - 5 = 0 có một nghiệm bằng -1. ( m = 2 ) b) x 2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 có một nghiệm bằng 3. ( m = 2 ) Bài 16 : Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm còn lại : a) 2x 2 - 3x + m = 0 ( m = 1 , 2 1 2 = x ) Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 b) 3x 2 + 7x + m = 0 ( m = -10 , 3 10 2 = x ) Bài 17 : Với giá trị nào của k thì phơng trình : a) 2x 2 + kx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại . b) k 2 x 2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại . c) (k - 4)x 2 - 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng 3 .Tìm nghiệm còn lại . HDẫn : a/ k = 8 , x 2 = - 1 b/ k = 7 74 , x 16 7 2 = *4* Chuyên đề PTB2 chứa tham số c/ k = 7 ( ) 32 + , x 47 3914 2 + = Bài 18 : Cho phơng trình (2m - 1)x 2 - 4mx + 4 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm bằng m. HDẫn :+ = 0)22( 012 2' m m 0)22( 2 1 2 m m ta có : 2 1 = x ; 12 2 2 = m x Phơng trình có nghiệm bằng m thì = = 12 2 2 m m m = = 4 171 2 m m + m = 2 1 phơng trình (1) có nghiệm x = 2 2 1 2 1 = m không thoả mãn. Bài 19 : Cho phơng trình (m - 1)x 2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên. HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 1 = x * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 1 1 = x ; 1 2 1 1 1 2 += + = mm m x { } 3;2;0;12;11 = mm Bài 20 : Cho phơng trình x 2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2. Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 HDẫn : =+ = 1434 636 nm nm = = 2 2 n m Bài 21 : Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là 2 1 : mx 2 + (mn + 1)x + n = 0 HDẫn : ( ) =+++ = 0 2 1 .1 4 0 0 nmn m m = = 2 1 2 n m Bài 22 : Xác định các số m, n của phơng trình: x 2 + mx + n = 0 sao cho các nghiệm của phơng trình cũng là m và n. *5* Chuyên đề PTB2 chứa tham số HDẫn : * = m 2 - 4n 0 nm 4 * =+ = = = = = == =+=+ 02: 2 1 0: 0 0 2 2 21 21 xxPT n m xPT n m nnmxx mnmxx Bài toán 4 : Chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm . Ph ơng pháp : - Cách 1 : Chứng minh ( ) 0' - Cách 2 : Chứng minh ac < 0 ( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trờng hợp a = 0 và a 0 nếu a chứa tham số ) Bài 23 : CMR các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m : a) x 2 + (m + 1)x + m = 0 d) x 2 + 4x - m 2 + 4m - 9 = 0 b) x 2 - mx + m - 4 = 0 e) (m + 1)x 2 + x - m = 0 c) -3x 2 + 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 f) x 2 - (3m 2 - 5m + 1)x - (m 2 - 4m + 5) = 0 Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 ( dùng ac < 0 ) Bài 24 : CMR phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b . HDẫn : = b 2 - 4ac = (5a + 2c) 2 - 4ac = ( 4a + 2c) 2 + 9a 2 0 Bài 25 : Cho phơng trình mx 2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gọi 21 , xx là 2 nghiệm của phơng trình (1) . Chứng minh rằng nếu 2 2 2 1 2 =+ xx thì phơng trình (1) có nghiệm kép. HDẫn :+ 2 2 2 1 2 =+ xx 2 1 22)( 21 2 21 ==+ mxxxx + == 021 0 ' m m 2 1 = m kết luận ? Bài 26 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b, c : a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0 b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0 c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Với a + b + c 0) HDẫn : a/ 3x 2 - 2.(a + b + c)x + ab = 0 =(a - 2 b ) 2 + 0 4 3 2 b b/ 3x 2 - 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 ( ) ( ) ( ) [ ] 0 2 1 222 222 ++=++= accbbacabcabcba c/ (a + b + c)x 2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 - a 2 bc - ab 2 c - abc 2 *6* Chuyên đề PTB2 chứa tham số = ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } ++ 222 2 1 bacacbcba 0 Bài 27 : Cho phơng trình (a, b là tham số ) : ax 2 + (ab + 1)x + b = 0 a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm. b) Tìm giá trị của a, b để phơng trình có một nghiệm kép là 2 1 . HDẫn : a) a = 0 : x = b a 0 : = (ab-1) 2 0 b) = + = 2 1 2 1 01 a ab ab = = 2 1 2 b a Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 Bài 28 : CMR : Nếu phơng trình cx 2 + bx + a = 0 (1) có nghiệm thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (2) cũng có nghiệm . HDẫn : 2 = b 2 - 4ac = 0 1 Bài 29 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b : x 2 + (a + b)x - 2(a 2 - ab + b 2 ) = 0 HDẫn : = (3a + b) 2 + 8b 0 2 Bài toán 5 : Chứng minh ít nhất 1 trong 2 ph ơng trình đã cho có nghiệm . Ph ơng pháp : - Tính các biệt số 21 ; . - Chứng minh 0 21 + hoặc 0. 21 để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết hợp giả thiết nếu có) Bài 30 : Cho hai phơng trình : x 2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x 2 + x - 2m - 10 = 0 (2) CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm . HDẫn : =+ 21 26 > 0 có 1 biệt số không âm . Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (1) và ax 2 + bx - c = 0 (2) CMR với mọi a, b, c ít nhất 1 phơng trình có nghiệm . HDẫn : =+ 21 2 0 2 b có 1 biệt số không âm . Bài 32 : Cho hai phơng trình : x 2 + (m - 1)x + m 2 = 0 (1) và x 2 + 2mx - m = 0 (2) CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm . HDẫn : =+ 21 (m + 1) 2 0 có 1 biệt số không âm . *7* Chuyên đề PTB2 chứa tham số Bài 33 : Cho hai phơng trình : x 2 - 3x - a - 2 = 0 (1) và x 2 + ax + 1 = 0 (2) CMR với mọi a trong 2 phơng trình trên luôn có ít nhất 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. HDẫn : =+ 21 (a +2) 2 + 9 > 0 có 1 biệt số lớn hơn 0 . Bài 34 : Cho hai phơng trình : x 2 + (m - 2)x + 4 m = 0 (1) và 4x 2 - 4(m - 3)x + 2m 2 - 11m + 13 = 0 (2) CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm . HDẫn : )4)(1( 1 = mm ; )4)(1(16 2 = mm 0)4()1(16. 22 21 = mm có 1 biệt số không âm . Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 Bài 35 : Cho b, c là các số thoả mãn : 2 11 =+ cb . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm : x 2 + 2bx + c = 0 và x 2 + 2cx + b = 0 . HDẫn : 0)()( 222 2 ' 1 ' =++=+ cbccbb có 1 biệt số không âm . Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x 2 + ax + b = 0 (1) và x 2 + cx + d = 0 (2) Biết b + d = ac 2 1 . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm . HDẫn : =+ 21 (a - c) 2 0 có 1 biệt số không âm . Bài 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x 2 + 0 11 =+ bxa và x 2 + 0 22 =+ bxa có các hệ số thoả mãn điều kiện : )(2 2121 bbaa + . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm . HDẫn : Giả sử 2 phơng trình vô nghiệm : =+ 21 )(4 21 2 2 2 1 bbaa ++ < 0 )(4 21 2 2 2 1 bbaa +<+ 2121 2 21 2)(4)( aabbaa +< 0 2121 2 21 2)(4)( aabbaa +< )(2 2121 bbaa +< ( mâu thuẫn với giả thiết) bài toán 6:Tìm giá trị của tham số để 2 ph ơng trình có ít nhất một nghiệm chung . Ph ơng pháp : * Cách 1 : - Giả sử 0 x là nghiệm chung, lập hệ 2 phơng trình ( ẩn x và tham số ) - Giải hệ phơng trình tìm 0 x , tìm tham số . - Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phơng trình, giải các phơng trình, tìm nghiệm chung. - Rút kết luận . * Cách 2 : - Rút tham số từ 1 phơng trình đã cho *8* Chuyên đề PTB2 chứa tham số - Thế giá trị của tham số vào phơng trình còn lại tìm x . - Thay giá trị của x tìm m . - Rút kết luận . Bài 38 : Với giá trị nào của k thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung : x 2 - (k + 4)x + k + 5 = 0 x 2 - (k + 2)x + k +1 = 0 HDẫn : x 0 = 2 ; k = 1 Bài 39 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. x 2 + 2x + m = 0 x 2 + mx + 2 = 0 Nguyễn Đình Tuyên - Trờng THCS Mỹ Hơng - Năm 2007 HDẫn : (m -2)x 0 = m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x 2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm) + m 2 : x 0 = 1 ; m = -3 Bài 40 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. x 2 + (m - 2)x + 3 = 0 2x 2 + mx + (m + 2) = 0 HDẫn : (m - 4)x 0 = m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x 2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm) + m 4 : x 0 = 1 ; m = -2 Bài 41 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. 2x 2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1) 6x 2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2) HDẫn : * Cách 1 : m x 0 = 4 : + m = 0 : hai phơng trình không có nghiệm chung. + m 0 : x 0 = m 4 ; m = 4 hoặc m = 3 8 * Cách 2 : (1) m = x xx 3 529 2 + (x )0 thay vào (2) : 4x 2 - 10x + 6 = 0 ta có x 1 = 1 ; x 2 = 2 3 . x 1 = 1 m = 4 ( nghiệm chung là 1) . x 2 = 2 3 m = 3 8 ( nghiệm chung là 2 3 ) Bài 42 : Với giá trị nào của m thì 2 phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. 2x 2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1) 4x 2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2) HDẫn : (1) m = x xx 3 1222 2 + (x )0 thay vào (2) : *9* Chuyên đề PTB2 chứa tham số x 2 - 4x = 0 ta có x 1 = 0 (loại) ; x 2 = 4 . x = 4 m = 3 ( nghiệm chung là 4) Bài 43 : Tìm giá trị của m để 2 phơng trình : x 2 + x + m - 2 = 0 (1) x 2 + (m - 2)x + 8 = 0 (2) có nghiệm chung. HDẫn : (2) m = x xx 82 2 (x )0 thay vào (1) : x 3 - 8 = 0 x = 2 m = - 4 (nghiệm chung là 2) Bài 44: Tìm giá trị nguyên của a để 2 phơng trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung. 2x 2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1) 6x 2 - (2a - 3)x - 1 = 0 (2) . Hơng - Năm 2007 Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số Bài toán 1 : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số . Ph ơng pháp : Xét các trờng hợp của. ' ( Nếu )( ' chứa tham số ). + Tìm nghiệm của phơng trình theo tham số. Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m là tham số ) sau : a) x 2 - 2(3m