1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG Đ NG CÔNG VĨNH M TS PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60 46 40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng - Năm 2011 Cơng trình đư c hoàn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH TR N QU C CHI N Ph n bi n 1: TS CAO VĂN NUÔI Ph n bi n 2: GS.TSKH NGUY N VĂN M U Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011 * Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng M Đ U LÝ DO CH N Đ TÀI B t ñ ng th c m t nh ng chuyên ñ quan tr ng nh t c a tốn h c ph thơng Đây m t chuyên ñ ñư c nhi u ngư i quan tâm đ n Trong chương trình tốn h c ph thơng, b t đ ng th c đư c gi i thi u chương trình đ i s 10, ñây chuyên ñ hay r t khó địi h i ngư i h c ph i có óc tư sáng t o r t cao Trong vài năm tr l i ñây chuyên ñ b t ñ ng th c ñã ñư c nhà toán h c th gi i nư c đ u tư, tìm hi u r t nhi u Đ c bi t, Vi t Nam b t ñ ng th c th i gian qua đư c khơng th y giáo, b n sinh viên gi i tìm hi u sáng t o phương pháp ch ng minh r t hay, ñ c ñáo V i mong mu n s tìm hi u h th ng hố m t cách đ y đ v phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c, nh m hồn thi n cho m t k ch ng minh b t ñ ng th c Qua ph c v cho cơng tác gi ng d y sau Chính lý tơi ch n đ tài “ M T S PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C ” Đi u ki n ñ m b o cho vi c hồn thành đ tài : Đư c th y giáo PGS TSKH Tr n Qu c Chi n hư ng d n, cung c p tài li u t n tình giúp đ , đ ng th i b n thân c g ng nghiên c u sưu t p tài li u ñ ñ m b o hồn thành đ tài M C ĐÍCH NGHIÊN C U - H th ng phân lo i m t s phương pháp ch ng minh b t đ ng th c - Tìm hi u thêm phương pháp m i v ch ng minh b t đ ng th c hồn thi n k ñã bi t nh m ph c v cho công tác gi ng d y sau - Đ xu t m t s d ng quan tr ng kỳ thi ñ i h c, thi h c sinh Gi i Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U 3.1 Đ i tư ng nghiên c u Kh o sát lý thuy t t ng quát, phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a phương pháp d n bi n, phương pháp ñư ng th ng ti p n b t ñ ng th c AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev 4 3.2 Ph m vi nghiên c u Kh o sát lý thuy t t ng quát ñ c bi t ng d ng chương trình tốn h c ph thơng tốn h c dành cho h c sinh gi i ñ i n qu c gia PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U Đ tài ñã s d ng phương pháp nghiên c u sau: - Phương pháp nghiên c u tư li u g m: Các tài li u tham kh o dành cho giáo viên, t p chí tốn h c tu i tr , ñ tài nghiên c u có liên quan… - Phương pháp ti p c n l ch s : Sưu t m, phân tích t ng h p tư li u - Phương pháp ti p c n h th ng - Th c nghi m sư ph m trư ng ph thông Ý NGHĨA KHOA H C VÀ TH C TI N C A Đ TÀI - Đ tài ñã h th ng phân lo i m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c gi i quy t hàng lo t tốn b t đ ng th c khó ph thơng, góp ph n cho h c sinh giáo viên có thêm m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c - Đ tài ñư c trình bày m t cách logic, khoa h c, rõ ràng d hi u C U TRÚC LU N VĂN M ñ u: Chương 1: Ki n th c s Trong chương nêu ñ y ñ ki n th c s v b t ñ ng th c ñ nh nghĩa, tính ch t, k thu t ch n ñi m rơi b t ñ ng th c Chương 2: M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c Trong chương h th ng l i phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a b t ñ ng th c AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev phương pháp khác phương pháp d n bi n, phương pháp ñư ng th ng ti p n Chương 3: ng d ng Trong chưong trình bày nh ng ng d ng c a phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c ñã h th ng chương K t lu n tài li u tham kh o 5 CHƯƠNG 1: KI N TH C CƠ S 1.1 Đ NH NGHĨA B t ñ ng th c bi u th c ñư c n i v i b i d u '' > ''; '' < ''; '' ≥ ''; '' ≤ '' Các m nh ñ ''A > B''; ''A ≥ B''; ''A < B''; ''A ≤ B'' ñư c g i b t đ ng th c Trong A, B bi u th c, A ñư c g i v trái B v ph i c a b t ñ ng th c Các b t ñ ng th c A > B; C > D ( ho c A < B; C < D ) b t ñ ng th c chi u Các b t ñ ng th c A > B; C < D ( ho c A < B; C > D ) b t ñ ng th c trái chi u Xét b t ñ ng th c A > B & C < D + N u ta có A > B ⇒ C < D ta nói b t đ ng th c C > D h qu c a b t ñ ng th c A > B + N u A > B ⇔ C < D ta nói b t ñ ng th c A > B & C > D hai b t ñ ng th c tương đương 1.2 CÁC TÍNH CH T C A B T Đ NG TH C AA A > B ⇒ A>C  B > C A > B ⇒ A +C > B+C A > B ⇒ A+C > B+D  C>D  A > B ⇒ AC > BC  C>0  A > B ⇒ AC < BC  C < A > B ⇒ A−C > B−D  C < D A > B > ⇒ AC > BD  C > D > A > B > ⇒ A n > Bn ( tính ch t b c c u ) ∀n ∈ Z+ a/ A>B>0 ⇒ b/ c/ 10 A 2n +1 > B2n +1 A 2n > B2n A > B > A < B < ⇒  n ⇔ A>B ⇔ ( ∀n ∈ Z ) + A>nB A >B ( ∀n ∈ Z ) + ( ∀n ∈ Z ) + 1 < A B 1.3 K THU T CH N ĐI M RƠI TRONG B T Đ NG TH C : Trong phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c A ≥ B ta thư ng ch ng minh theo m t hai sơ ñ sau : Sơ ñ : T o dãy b t ñ ng th c trung gian A ≥ A1 ≥ A ≥ ≥ A n −1 ≥ A n ≥ B Sơ ñ : T o b t ñ ng th c b ph n  A1 ≥ B1 A ≥ B  +   An ≥ Bn  ho c  A1 ≥ B1 ≥ A ≥ B ≥  ×   An ≥ Bn ≥  ⇒ A≥ B Đ t o b t ñ ng th c trung gian ho c b t ñ ng th c b ph n ta c n ý r ng : N u b t ñ ng th c “ A ≥ B ” x y tr ng thái “ A = B ” t i tiêu chu n P t i tiêu chu n P t t c b t ñ ng th c trung gian sơ ñ ho c b t ñ ng th c b ph n sơ ñ ñ ng th i x y d u b ng Mu n tìm đư c tiêu chu n P ta c n ý tính đ i x ng c a bi n s ñi u ki n x y d u b ng b t ñ ng th c c ñi n AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli ho c phương pháp m i : d n bi n (MV), ñư ng th ng ti p n… Và ngư i ta g i ñi m rơi b t ñ ng th c giá tr bi n nh n ñư c ñ b t ñ ng th c x y d u “ = ” 7 Do vi c d đốn u ki n tr ng thái “ A = B ” x y theo m t tiêu chu n đó, đ đ nh hư ng bi n ñ i ñ i s ñánh giá b t ñ ng th c trung gian ho c b ph n nên có th g i ý tư ng : “ K thu t ki m tra ñi u ki n x y d u b ng ” hay “K thu t ch n ñi m rơi b t ñ ng th c” 8 CHƯƠNG 2: M T S PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C 2.1 B T Đ NG TH C AM – GM 2.1.1 B t ñ ng th c AM – GM Đ nh lý 2.1 (B t ñ ng th c AM – GM) V i m i s th c dương a1 , a2 , , an ta có b t đ ng th c: a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n Đ ng th c x y a1 = a2 = = an ≥ 2.1.2 Chú d n : tên g i AM – GM vi t t t c a thu t ng ti ng Anh Arithmetic mean –Geometric mean nêu lên b n ch t c a b t ñ ng th c a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an , ∀ai ≥ n Các cu n sách tốn h c xu t b n Vi t Nam thư ng g i b t ñ ng th c b t ñ ng th c Cauchy Cách g i xu t phát t vi c nhà toán h c Pháp Cauchy ngư i ñ u tiên ñã ch ng minh b t ñ ng th c 2.2 B T Đ NG TH C CAUCHY – SCHWARZ Đ nh lý 2.2 (B t ñ ng th c Cauchy – schwarz) V i hai dãy s th c tùy ý a1 , a2 , , an & b1 , b2 , , bn ta ln có b t đ ng th c (a + a2 + + an )( b12 + b2 + + bn ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Đ ng th c x y ch a a1 a2 = = = n b1 b2 bn H qu (B t ñ ng th c Schwarz) V i hai dãy s ( a1 , a2 , , an ) & ( b1 , b2 , , bn ) ; bi ≥ 0, ∀i = 1, n a12 a2 a ( a + a + + an ) + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn ta có: H qu V i m i dãy s th c ( a1 , a2 , , an ) ta có ( a1 + a2 + + an ) ≤ n ( a12 + a2 + + an ) 2.3 B T Đ NG TH C BERNOULLI Đ nh lý 2.3 (B t ñ ng th c Bernoulli) a) ∀x > −1, ∀α ∈ [0;1] ta có: (1 + x)α ≤ + α x b) ∀x > −1, ∀α ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) ta có: (1 + x)α ≥ + α x Đ ng th c x y ch khi: α = ho c α = 2.4 B T Đ NG TH C CHEBYSHEV 2.4.1 B t ñ ng th c Chebyshev Đ nh lý 2.4 (B t ñ ng th c Chebyshev) V i hai dãy s th c ñơn ñi u tăng a1 ,a , ,a n & b1 , b , , b n ta có: a1b1 + a b + + a n b n ≥ ( a1 + a + + a n )( b1 + b + + b n ) n Đ ng th c x y ch khi: a1 = a = = a n ; b1 = b = = b n 2.4.2 M t s d ng hay g p c a b t ñ ng th c Chebyshev D ng 1: Ch ng minh x1y1 + x y + + x n y n ≥ Ta có th ch ng minh ( x1a1 ) y1 y y + ( x 2a ) + + ( x n a n ) n ≥ a1 a2 an V i a1 ,a , , a n s th c mà ta ph i tìm cho  y1 y yn  , , , an  a1 a   & ( x1a1 , x 2a , , x n a n ) b s ñơn ñi u chi u  Khi vi c ch ng minh b t ñ ng th c ban ñ u quy v ch ng minh y1 y y + + + n ≥ a1 a an x1a1 + x 2a + + x n a n ≥ D ng 2: Ch ng minh x1 x x + + + n ≥ y1 y yn Ta có th ch ng minh 10 ( a 1x ) 1 + ( a 2x ) + + ( a n x n ) ≥0 a1y1 a y2 a n yn V i a1 ,a , , a n s th c mà ta ph i tìm cho  1  , , ,  b ñơn ñi u chi u a n yn   a1y1 a y ( a1x1 ,a x , ,a n x n ) &  Khi b t đ ng th c ban ñ u quy v ch ng minh a1x1 + a x + + a n x n ≥ 1 + + + ≥0 a1y1 a y a n yn a1x1 + a x + + a n x n = Chú ý t gi thi t có th suy đư c  1  + + + =0 a n yn  a1y1 a y  2.5 M T S PHƯƠNG PHÁP KHÁC CH NG MINH B T Đ NG TH C 2.5.1 Phương pháp d n bi n ( MV–MIXING VARIABLE ) Đ c ñi m c a nhi u b t ñ ng th c, ñ c bi t b t ñ ng th c ñ i s d u b ng x y t t c ho c m t vài bi n b ng Phương pháp d n bi n d a vào ñ c ñi m ñ làm gi m s bi n s c a b t ñ ng th c, ñưa b t ñ ng th c v d ng ñơn gi n có th ch ng minh tr c ti p b ng cách kh o sát hàm s m t bi n ho c ch ng minh b ng quy n p Đ ch ng minh b t ñ ng th c f ( x1 , x2 , , xn ) ≥ (*) Ta có th ch ng minh  x + x2 x1 + x2  , , x3 , , xn  f ( x1 , x2 , , xn ) ≥ f    ( ) Ho c f ( x1 , x2 , , xn ) ≥ f Ho c  x2+x x2+x  2 f ( x1 , x2 , , xn ) ≥ f  , , x3 , , xn    2   x1.x2 , x1.x2 , x3 , , xn (**) (***) (****) Và r t nhi u d ng khác tùy thu c vào đ c m c a tốn Sau chuy n vi c ch ng minh (*) v ch ng minh b t ñ ng th c sau f ( t , t , x3 , , xn ) = g ( t , x3 , , xn ) ≥ (*****) 11 T c m t b t đ ng th c có bi n 2.5.2 Phương pháp ñư ng th ng ti p n Bư c 1: T b t ñ ng th c xác ñ nh hàm s tương ng y = f ( x ) Bư c 2: Xác ñ nh d u b ng c a ñ ng th c x y Gi s t i x = x Bư c 3: Vi t phương trình ti p n c a ñ th t i m có hồnh đ x = x y = g ( x ) = f ' ( x )( x − x ) + y0 Bư c 4: V ñ th hàm s y = f ( x ) phương trình ti p n t i ñi m ( x ; y0 ) T xác đ nh ti p n n m hay n m dư i ñ th hàm s N u ti p n n m ta ñi ch ng minh g(x) ≥ f (x) N u ti p n n m dư i ta ñi ch ng minh f (x) ≥ g(x) Bư c 5: T rút b t đ ng th c c n ch ng minh ñúng 12 CHƯƠNG 3: 3.1 NG D NG NG D NG B T Đ NG TH C AM – GM Đ CH NG MINH B T Đ NG TH C VÀ TÌM GTLN - GTNN 3.1.1.K thu t ch n ñi m rơi b t ñ ng th c AM - GM  a , b, c > Bài toán Cho a, b, c tho mãn  Ch ng minh r ng: a + b + c ≤ a b2 c 1 A= + + + + + ≥ 28 b c a ab bc ca Đ nh hư ng l i gi i: Vì b t ñ ng th c ñã cho ñ i x ng v i a, b, c nên ta d đốn d u b ng x y a = b = c = Khi ta áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho s a b2 c 1 ; ; ; ; ; b c a α ab α bc α ca V i α h s ta c n thêm vào ñ d u “ = ” b t ñ ng th c ñ t ñư c t i giá tr c a bi n mà ta d đốn Đ i v i b t ñ ng th c AM-GM d u b ng x y a2 b2 c2 1 = = = = = b c a α ab α bc α ca Mà a = b = c = ⇒ α = 27 Gi i: T ñ nh hư ng l i gi i ta có: A = a2 b2 c2 1 + + + 27 + 27 + 27 b c a 27 ab 27bc 27ca Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có 13 27 27 a b2 c       A ≥ 84 .      b c a  27 ab   27bc   27ca  84 Mà ( abc ) 53  a+b+c ≤    ⇒ 53.3 ≤ = 84 84 2781 ( abc ) 53 53.3 84 A≥ 84 27 2781 = 84 = 28 3.53 V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh Nh n xét : Xét b t ñ ng th c AM – GM a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an , ∀a1 , a2 , , an ≥ n Trong v ph i c a b t ñ ng th c t c bi u th c GM có s th a s th c ñúng b ng ch s th c (cùng b ng n) Do đó, g p b t ñ ng th c mà v ph i c a b t đ ng th c có ch a th c s th a s th c nh ch s th c ta c n nhân thêm h ng s thích h p ñ s th a s th c b ng ch s c a th c Đ xác ñ nh ñư c h ng s thích h p ph i d đốn ñư c d u b ng c a b t ñ ng th c [10, tr 29]  a , b, c > a + b + c = Bài toán Cho a, b, c tho mãn  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : S = a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) D đốn tìm m rơi c a Max S: Vì S m t bi u th c ñ i x ng v i a,b,c nên Max S ñ t t i ñi u ki n a = b = c 3a = 3b = 3c = ⇔ a = b = c =1⇔   a + b + c = a + 2b = b + 2c = c + 2a = Gi i : 14   a(b + 2c) = 3a(b + 2c).3 ≤   3  b(c + 2a) = 3b(c + 2a).3 ≤    c(a + 2b) = 3c(a + 2b).3 ≤   3a + (b + 2c) + 3 3b + (c + 2a) + 3 3c + (a + 2b) + ⇒ S = a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) ≤ 6(a + b + c) + = 3 3 V i a = b = c = 1, Max S = 3 3.1.2 K thu t tách ghép phân nhóm Ph n ta áp d ng b t ñ ng th c ph sau x + y2  x + y  ≥    1 + ≥ x y x+y Bài toán Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng: a3 (b + c ) + b3 (c + a) + c3 (a + b) ≥ (a + b + c) Đ nh hư ng l i gi i: Do b t ñ ng th c ñã cho ñ i x ng v i bi n nên ta d đốn d u “=” x y bi n b ng T c a = b = c Khi a3 (b + c) = 2a Tương t ta có T ñó ta nghĩ t i ghép a3 (b + c) b3 (c + a) = 2b; c3 (a + b) = 2c v i s cho sau áp d ng b t ñ ng th c AM - GM ta ñư c m t bi u th c theo a 15 T ta áp d ng AM-GM v i s sau 8a (b + c ) ; b + c; b + c S xu t hi n ñ ñ m b o d u “=” b t ñ ng th c AM-GM Gi i: T ñ nh hư ng l i gi i Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có: 8a (b + c ) 8b3 (c + a) 8c3 (a + b) + ( b + c ) + ( b + c ) ≥ 6a + ( c + a ) + ( c + a ) ≥ 6b + ( a + b ) + ( a + b ) ≥ 6c C ng v theo v b t ñ ng th c ta có:  a3 b3 c3  8 + +  + 4(a + b + c) ≥ 6(a + b + c)  ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2    3 a b c ⇔ + + ≥ (a + b + c) 2 (b + c ) ( c + a ) ( a + b) V y b t ñ ng th c ñã ñư c ch ng minh 3.1.3 Phương pháp cân b ng h s Trong m t s b t ñ ng th c, m rơi có th đư c d đốn m t cách tr c giác (dù ñ i x ng hay khơng đ i x ng) Tuy nhiên v i b t ñ ng th c mà ñi m rơi khơng s ngun dương th m chí s vơ t khơng th d đốn ñư c b ng tr c giác Khi ñó, c n ph i ñưa thêm tham s gi ñ nh r i m i s d ng b t ñ ng th c AM – GM Vi c xác l p ñi u ki n ñ ng th c x y s d n ñ n h u ki n đ tìm tham s Vì th phương pháp có tên g i: Phương pháp cân b ng h s  a , b, c ≥ Bài toán Cho ba s th c a, b, c th a mãn   ab + bc + ca = Ch ng minh r ng : S = 10a + 10b2 + c ≥ 16 Đ nh hư ng l i gi i: Đ áp d ng ñư c gi thuy t ab + bc + ca = ta c n ph i tách s 10 thành t ng c a s đ có th áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho t ng c p s t xu t hi n tích s ab, bc, ca Gi i: Ta có  c2   c2  S = 10a + 10b + c = (10 − α ) ( a + b ) +  α a +  +  α b +  ∀α ∈ ( 0,10 ) 2  2  Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có (10 − α ) ( a + b ) ≥ (10 − α ) ab α a2 + c2 α ≥2 ac = 2α ac 2 c2 α α b + ≥ bc = 2α bc 2 C ng v theo v b t ñ ng th c ta có S ≥ (10 − α ) ab + 2α ( bc + ac ) Ch n α cho (10 − α ) = 2α ⇔ α = (ch n α v y đ ta đ t nhân t chung t s d ng ñư c gi thuy t ) Khi ñó: (10 − α ) = 2α = ⇒ S ≥ ( ab + bc + ca ) = V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh 3.1.4 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t Bài toán Cho b n s th c a, b, c, d th a mãn a, b, c, d > 2c  2d   2a  2b  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c S = 1 +  +  +  +  3a   3b  3c  3d  Gi i: 17 Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có: 1+ a  a    =   b  3b   b 5 b    =   c  3c  2a 1 a a 1 = + + + + ≥ 55   3b 3 3b 3b 3 2b 1 b b 1 1+ = + + + + ≥ 55   3c 3 3c 3c  3 2 2  c 5  c    =   d  3d   d 5  d    =   a  3a  c 2c 1 c 1 1+ = + + + + ≥ 55   3d 3 3d 3d 3 d 2d 1 d 1 = + + + + ≥ 55   1+ 3a 3 3a 3a  3 2 2 C ng v theo v b t ñ ng th c ta có 625  a b c d  625 S≥   = 81  b c d a  81 V y MinS = 3.2 625 ⇔ a=b=c=d >0 81 NG D NG B T Đ NG TH C CAUCHY – SCHWARZ Đ CH NG MINH B T Đ NG TH C VÀ TÌM GTLN - GTNN 3.2.1 K thu t ch n ñi m rơi cân b ng h s b t ñ ng th c CauchySchwarz Bài toán.[Poland Second Round 2007] Cho a, b, c, d > tho mãn Ch ng minh r ng : 1 1 + + + =4 a b c d a + b3 b3 + c 3 c + d 3 d + a + + + ≤ 2( a + b + c + d ) − 2 2 B ñ : v i m i x, y >0 ta có b t đ ng th c sau x3 + y3 x2 + y ≤ x+ y Ch ng minh b ñ : b t ñ ng th c x3 + y3  x2 + y  2 ⇔ ≤  ⇔ ( x − y ) x + xy + y ≥ 0, ∀x, y  x+ y  Gi i: Áp d ng b ñ ta có: ( ) 18 a3 + b3 b3 + c3 c3 + d 3 d + a a + b b + c2 c + d d + a + + + ≤ + + + 2 2 a+b b+c c+d d +a Ta s ch ng minh : a + b2 b2 + c2 c2 + d d + a2 + + + ≤ 2( a + b + c + d ) − a+b b+c c+d d +a x2 + y2 xy = = Th t v y, s d ng x + y − x+ y x+ y 1 + x y b t đ ng th c Cauchy - Schwarz ta có:  a2 + b2 b2 + c2 c2 + d d + a2  2(a + b + c + d ) −   a+b + b+c + c+d + d +a        1 1  42 32 ≥2 = 2 + + + = =4 1+1 1+1 1+ 1 +1 1 1 1 2 + + +    a b b c c d d a a b c d Đ ng th c x y ⇔ a = b = c = d = 3.2.2 K thu t tách ghép b s Ph n áp d ng b t ñ ng th c ph sau (a + b + c) Bài toán ≥ ( ab + bc + ca ) Cho x, y tho mãn x, y > x + y ≥ x3 + y Ch ng minh r ng: x + y ≤ x + y ≤ x + y ≤ Gi i: Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có 3 x + y = x x + y y ≤ x + y x + y ≤ x + y x + y (1) Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có x + y x3 + y ≤ T (1) & ( ) ta có ( x + y3 + x3 + y ) (2) x3 + y3 ≤ x + y Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có 3 x + y = x x + y y ≤ x + y x + y ≤ x + y x + y Áp d ng b t ñ ng th c AM - GM ta có (3) 19 x2 + y x + y ≤ T ( 3) & ( ) ta có ( x + y2 + x + y ) (4) x2 + y ≤ x + y Áp d ng b t đ ng th c Cauchy - Schwarz ta có (1 + 1) ( x + y ) ≤ x+ y ≤ ⇔ (x + y) ⇔ 2( x + y ) x+ y≤2 ≤ 2( x + y) V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh 3.2.3 S d ng phép bi n ñ i ng d ng h qu c a b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz Bài toán Cho a, b, c > a + b + c = Ch ng minh r ng: a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b b + 2c c + 2a Gi i: Ta có: a2 b2 c2 a4 b4 c4 + + = + + a + 2b2 b + 2c c + 2a a + 2a 2b2 b + 2b2c c + 2c a Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ( a2 + b2 + c2 ) a4 b4 c4 + + ≥ a + 2a 2b2 b3 + 2b2c c3 + 2c a a + b3 + c + ( a 2b + b c + a c ) Ta s ch ng minh: ( a + b + c ) ≥ a + b + c + ( a 2b + b c + a c ) ⇔ a + b + c ≥ a + b3 + c ⇔ a + b + c ≥ ( a + b3 + c ) (a + b + c) ⇔ 3( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ( a + b + c ) 4 3 ⇔ 2a + 2b + 2c ≥ a 3b + a 3c + b3 a + b3c + c3a + c 3b ⇔ a ( a − b ) + b3 ( b − a ) + b3 ( b − c ) + c ( c − b ) + a ( a − c ) + c ( c − a ) ⇔ ⇒ (a − b) (a ) ( ) ( ) + ab + b + ( b − c ) b + bc + c + ( a − c ) a + ac + c : ñúng a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b2 b + 2c c + 2a V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh 20 3.2.4 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t π Bài toán Cho a, b, c th a mãn a + b + c = x ∈ (0, ) Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a bi u th c: y = a + b sin x + c sin x Gi i: S d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz ta có: y ≤ (a + b + c )(1 + 2sin x + sin 2 x) ⇔ y ≤ 4(1 + sin x + sin 2 x) G i f ( x) = + 2sin x + sin 2 x = + 2sin x + 4sin x(1 − sin x) π 13 13 Đ t t = sin x ∈ (0,1), ∀x ∈ (0, ) f ( x) = g (t ) = −4t + 6t + = − 4(t − )2 ≤ 4 Khi đó: Maxf(x) = Maxg(t) = 13 T suy y ≤ 13 Đ ng th c x y ch sin x = ⇔ x= sinx sin x = = a b c π a a  π = ⇒b= ;c = ∈  0,  = a 2b 2c 2  2 13 K t h p v i ñi u ki n a + b + c = ta suy : a = ± K t Lu n : Min y = − 13 x y a = − Max y = 13 x y a = 3.3 π ;b = − ;c = − ;x = 13 13 13 π ;b = ;c = ;x = 13 13 13 NG D NG B T Đ NG TH C BERNOULLI Đ Đ NG TH C Bài toán Cho tam giác ABC Ch ng minh r ng:  A  tg   2 2  B +  tg   2 2  C +  tg   2 Gi i: Áp d ng b t đ ng th c Bernoulli ta có: 2 ≥ 31− CH NG MINH B T 21 A   3tg  2  2 A  + 2 − ≥ 2  3tg  2  B   3tg  2  2 B  + 2 − ≥ 2  3tg  2  C   3tg  2  2 C  + 2 − ≥ 2  3tg  2  C ng v theo v b t ñ ng th c ta có: 2  A   tg     Mà  B +  tg   2 tg  ⇒  tg    ⇒ 32  tg   2 2  C +  tg   2  B C  A  + − ≥  tg + tg + tg  2    A B C + tg + tg ≥ 2 A  2 2  B +  tg   2 2 A  2 2  B +  tg   2 2 2 2 2   + − ≥ 3 =   2  C  +  tg   ≥  2    C +  tg   2 2 2  A  B  C ⇒  tg  +  tg  +  tg  ≥ 31− 2  2  2  2 V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh 3.4 NG D NG B T Đ NG TH C CHEBYSHEV Đ CH NG MINH B T Đ NG TH C a ,a , , a n > Bài toán Cho  Ch ng minh r ng: a1 + a + + a n = a1 a2 an n + + + ≥ − a1 − a 2 − a n 2n − Gi i: Vì b t đ ng th c cho đ i x ng v i t t c bi n nên ta gi s a1 ≥ a ≥ ≥ a n Khi 1 ≥ ≥ ≥ − a1 − a 2 − an Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev ta có 22  a1 a a 1  + + + n ≥ ( a1 + a + + a n )  + + +  − a1 − a 2 − an n − an   − a1 − a ⇔ VT ≥ 1 1  + + +   n  − a1 − a 2 − an  Áp d ng b t ñ ng th c Schwarz ta có 1 (1 + + + 1) n2 + + + ≥ = − a1 − a 2 − a n 2n − ( a1 + a + + a n ) 2n − ⇒ VT ≥ n 2n − V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh Bài toán [PSFJIMO28 – Cuba 1987] Cho a, b, c > 0, n ∈ + an bn cn (a + b + c) n −1 + + ≥ Ch ng minh r ng: b+c c+a a+b 2.3n − Gi i: Ta s ch ng minh b ng phương pháp quy n p toán h c : V i n = b t đ ng th c Nesbit quen bi t a b c + + ≥ b+c c+a a+b ak bk ck (a + b + c) k −1 + + ≥ G a s b t ñ ng th c ñúng v i n = k: b+c c+a a+b 2.3k − Ta s ch ng minh b t ñ ng th c ñúng v i n = k + a ≤ b ≤ c  Khơng m t tính t ng quát, gi s < a ≤ b ≤ c ⇒  a k bk ck ≤ ≤  b + c c + a a + b S d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho dãy đơn u chi u ta có: ak bk ck ak bk ck a + b + c) ≥ ( + + )(a + b + c) b+c c+a a+b b+c c+a a+b (a + b + c)k −1 (a + b + c)k ≥ (a + b + c) = 2.3k − 2.3k − a k +1 b k +1 c k +1 (a + b + c)k ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b 2.3k −1 3( Theo nguyên lý quy n p suy (1) ñúng ∀n ∈ Z + D u b ng x y a = b = c > 23 3.5 PHƯƠNG PHÁP KHÁC CH NG MINH B T Đ NG TH C NG D NG M T S 3.5.1 Phương pháp d n bi n Bài toán Ch ng minh r ng n u x, y, z ≥ x + y + z ≥ 3 xyz (1) Gi i: (1) ⇔ ( x + y + z) ≥ 27 xyz f ( x, y, z ) = ( x + y + z ) − 27 xyz Xét hàm s Vì b t đ ng th c cho ñ ng b c nên b ng cách chu n hóa ta có th gi s ( *) x + y + z =1 Khi f ( x, y, z ) = − 27 xyz Đ t t = x+ y Đi u ki n (*) tr thành t + t + z = ⇔ 2t + z = Ta s ch ng minh f ( x, y , z ) ≥ f ( t , t , z ) ( *) ⇔ − 27 xyz − (1 − 27t z ) ≥ ⇔ t z − xyz ≥  x+ y ⇔ t z −  z≥0   2 ⇔ t z − t z ≥ : Vì v y ta ch c n ch ng minh f ( x, t , t ) ≥ (**) ⇔ − 27t z ≥ ⇔ − 27t (1 − 2t ) ≥ ⇔ T (1 + 6t )(1 − 3t ) ≥ : ∀t > (*) & (**) ta có ñpcm 3.5.2 Phương pháp ñư ng th ng ti p n Bài toán [USA, 2003] Cho a, b,c > Ch ng minh r ng: ( 2a + b + c ) + ( 2b + a + c ) + ( 2c + b + a ) ≤ 2 2a + ( b + c ) 2b + ( a + c ) 2c2 + ( b + a ) 2 24 Gi i: Vì b t đ ng th c ñã cho ñ ng b c ñ i x ng nên ta có th chu n hóa Gi s a + b + c = ⇒ a, b,c ∈ ( 0,1) Khi b t đ ng th c tr thành ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) ≤ 2 2 2a + (1 − a ) 2b + (1 − b ) 2c + (1 − c ) 2 ( x + 1) f (x) = 2 2x + (1 − x ) Xét hàm s x + 2x + = v i x ∈ ( 0,1) 3x − 2x + Khi b t ñ ng th c c n ch ng minh tr thành f (a ) + f ( b) + f (c) ≤ Vì v y ta vi t phương trình ti p n c a hàm s t i m có hồnh đ 16 x = ⇒ y0 = 3  16  Phương trình ti p n t i m M  ;  có d ng 3   16   y = f '   x −  + 3   12x + ⇔ y= Ta nh n th y d u b ng b t ñ ng th c x y a = b = c = V ñ th hàm s f ( x ) ti p n h tr c t a ñ ta nh n th y đị th hàm s n m phía dư i ti p n nên ta s ch ng minh 12x + x + 2x + 12x + ⇔ ≤ 3x − 2x + 3 ⇔ 36x − 15x − 2x + ≥ f (x) ≤ ⇔ ( 3x − 1) ( 4x + 1) ≥ : ñúng ∀x ∈ ( 0;1) Vì v y ta có f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤ 12 ( a + b + c ) + 12 =8 V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh 25 K T LU N Lu n văn ñã h th ng ñư c phương pháp n hình ch ng minh b t đ ng th c chương trình tốn h c trư ng ph thơng tốn dành cho h c sinh đ i n tốn Hình thành kh ng ñ nh ñư c m t s s , ñ nh hư ng cho h c sinh q trình gi i tốn b t đ ng th c G a thuy t khoa h c c a lu n văn có th ch p nh n đư c M c đích nhi m v nghiên c u hồn thành Tuy nhiên, phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c r t ña d ng phong phú, ch y u d a vào ñ c thù riêng c a t ng có m t s phương pháp m i ñư c ti p c n l n đ u tiên trình đ cịn h n ch nên khơng th tránh đư c nh ng sai sót Mong nh n đư c ý ki n đóng góp ñ lu n văn ñư c hoàn thi n Mong r ng lu n văn s m t tài li u nh ñ em h c sinh có th tham kh o t có th h c t t chuyên ñ b t ñ ng th c  ... s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c Trong chương h th ng l i phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a b t ñ ng th c AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev phương pháp khác phương pháp. .. NGHIÊN C U 3.1 Đ i tư ng nghiên c u Kh o sát lý thuy t t ng quát, phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a phương pháp d n bi n, phương pháp ñư ng th ng ti p n b t ñ ng th c AM – GM, Cauchy – Schwarz,... hi u sáng t o phương pháp ch ng minh r t hay, ñ c đáo V i mong mu n s tìm hi u h th ng hố m t cách đ y ñ v phương pháp ch ng minh b t đ ng th c, nh m hồn thi n cho m t k ch ng minh b t đ ng th