Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Tiết: Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TĨAN HỌC A Mục đích u cầu: Kiến thức: Học sinh nắm vững: - Thế phương pháp quy nạp tóan học - Các bước tiến hành để giải tóan quy nạp Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: - Giải tóan phương pháp quy nạp B Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Cách giải tóan phương pháp quy nạp Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa NỘI DUNG I Mở đầu: Trong nhiều tóan, đơi lúc ta thường gặp phải chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ ¥ Để chứng minh mệnh đề thế, ta thử trực tiếp mà dùng phương pháp chứng minh quy nạp sau: TG PHƯƠNG PHÁP + GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học II Phương pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp tóan học (hay phương pháp quy nạp), ta làm sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp) Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Kết luận: Mệnh đề với số tự nhiên n Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiện n ≥ p thì: - Trong bước ta phải thử với n = p - Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề với số tự nhiên n = k p III Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có: n ( n + 1) + + + + n = ( 1) Giải: + Khi n = 1, ta có: VT =   1( + 1)  ⇒ (1) với n = VP =   + Giả sử (1) với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: k ( k + 1) + + + + k = ( 1') Ta chứng minh (1) n = k+1, tức phải chứng minh: + Kiểm tra với n nào? + Cách kiểm tra? + Cách thiết lập giả thiết quy nạp? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 NỘI DUNG + + + + k + ( k + 1) = TG ( k + 1) ( k + ) ( 1") PHƯƠNG PHÁP + Phải chứng minh điều gì? Cm: VT = ( + + + + k ) + ( k + 1) = k ( k + 1) + ( k + 1)  k  ( k + 1) ( k + ) = ( k + 1)  + 1 = = VP 2  Vậy (1) với số tự nhiên n ≥ Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − b + + ab n − + b n −1 ) ( 2) Giải: + Khi n = 2: VT = a − b  ⇒ (2) với n = 2 2 VP = ( a − b ) ( a + b ) = a − b  + Giả sử (2) với số tự nhiên n = k ≥ 2, tức là: a − b = ( a − b) ( a k k k −1 +a k −2 b + + ab k−2 +b k −1 ) + Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng + Kiểm tra với n = + Thành lập giả thiết quy nạp? ( ') Ta chứng minh (2) với n = k+1, tức phải chứng minh: a k +1 − b k +1 = ( a − b ) ( a k + a k −1b + + ab k −1 + b k ) ( 2") + Mệnh đề phải chứng minh? Cm: a k +1 − b k +1 = a k +1 + a k b − a k b + b k +1 = a k ( a − b ) + b ( a k − b k ) + Hướng dẫn chứng minh ( a − b ) + b ( a − b ) ( a + a + + ab = ( a − b ) ( a k + a k −1b + + ab k −1 + b k ) = VP =a k k −1 k −2 k −2 +b k −1 ) Vậy (2) với số tự nhiên n ≥ IV Bài tập: Chứng minh với ∀n ∈ ¥ * , ta có: n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + 33 + + n = (*) Giải: + Khi n = 1, ta có: VT =   1( + 1) ( + 1)  ⇒ (*) với n = VP = = 1  + Giả sử (*) với số tự nhiên n = k > 0, tức là: k ( k + 1) ( 2k + 1) 12 + 2 + 33 + + k = Ta chứng minh (*) với n = k+1, tức phải chứng minh: ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3) 12 + 22 + 33 + + k + ( k + 1) = Cm: k ( k + 1) ( 2k + 1) 2 VT = 12 + 22 + 33 + + k + ( k + 1) = + ( k + 1) k ( 2k + 1) + ( k + 1) 2k + 7k + = ( k + 1) = ( k + 1) = 6 ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3) = = VP B4 Củng cố: Phương pháp chứng minh quy nạp? B5 Dặn dò: BTVN trang 88 + Kiểm tra (*) với n = + Thành lập giả thiết quy nạp? + Cách chứng minh? + Kết luận Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Tiết: Ngày sọan: DÃY SỐ C Mục đích yêu cầu: Kiến thức: Học sinh nắm vững: - Định nghĩa dãy số - Cách cho dãy số, biểu diễn hình học dãy số - Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: - Giải tóan dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn, - Rèn luyện kỹ tính tóan D Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa NỘI DUNG I Định nghĩa: Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m} - Một hàm số u xác định M gọi dãy số hữu hạn - Tập giá trị dãy {u(1); u(2);…; u(m)} Ký hiệu là: u ( 1) = u1 ; u ( ) = u ; ; u ( m ) = u m - Viết dãy số sau: TG ƯƠNG PHÁP + Giới thiệu địnhPH nghĩa + Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; ;8 ;10 Ta có: - Dãy số có số hạng - Số hạng đầu: - Số hạng cuối: 10 u1 ; u ; ; u m • • • u1 số hạng thứ (số hạng đầu) u2 sồ hạng thứ hai,… um số hạng cuối (số hạng thứ m) Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định tập ¥ * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) - Tập giá trị dãy số gồm vô số phần tử ký hiệu là: u1 ; u ; ; u n ; Dạng gọi dạng khai triển dãy số - u1 số hạng thứ nhất,… - un số hạng tổng quát (số hạng thứ n) dãy số u II Cách cho dãy số Cho số hạng tổng quát công thức: n ( −1) Ví dụ: Cho dãy số (un), với u n = n2 Viết dạng khai triển, ta có: n ( −1) −1;1; −1;1; ; ; n Cho mệnh đề mô tả số hạng liên tiếp nó: Cho phương pháp truy hồi: Cách cho: Cho hay vài số hạng đầu dãy Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước  u1 = 1, u = Ví dụ: Cho dãy số   u n = u n − + u n −1 ( n ≥ 3) - Ta có: + Ví dụ: Cho dãy số (un), với u n = , ta có dạng n 1 khai triển là: 1; ; ; ; ; n + Thay giá trị n vào Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 u1 = 1, u = 1, u = u1 + u = N 2,Ộ uI4 DUNG = u + u = 3, u = u + u = Dãy số gọi dãy Phibônaci III Biểu diễn hình học dãy số: Người ta biểu diễn hình học dãy số trục số 1 Ví dụ: Biểu diễn hình học dãy số   trục số n O u u u4 u3 u u 1 2 u u PHƯƠNG PHÁP TG + Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến điểm (nhưng không 0) 1?? IV Dãy số tăng, dãy số giảm: Các định nghĩa : + Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu dãy số ta tính un+1 xét hiệu un+1 – un ( ∀n ∈ ¥ * ) Nếu: a) ĐN1: ( u2 ) ( u2 ) dãy số tăng ⇔ ∀n ∈ ¥ * : u n < u n +1 b) ĐN2: dãy số giảm ⇔ ∀n ∈ ¥ * : u n > u n +1 c) ĐN3: Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy số đơn điệu Chú ý: • Không phải dãy số đơn điệu • Nếu số hạng dãy dương thì: u ( u n ) tăng ⇔ ∀n ∈ ¥ *, n +1 > un u n +1 0 dãy số tăng ( un ) + Cách chứng minh? + Lập hiệu un+1 – un ( ∀n ∈ ¥ * ) Vậy dãy số cho giảm (đpcm) V Dãy số bị chặn: Các định nghĩa: a) ĐN1: ( u n ) bị chặn ⇔ ∃M ∈ ¡ : ∀n ∈ ¥ *, u n ≤ M b) ĐN2: ( u n ) bị chặn ⇔ ∃m ∈ ¡ : ∀n ∈ ¥ *, u n ≥ m c) ĐN3: ( u n ) bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ ¡ : ∀n ∈ ¥ *, m ≤ u n ≤ M 1 Ví dụ: Chứng minh dãy số   bị chặn n Giải: Với ∀n ∈ ¥ * , ta có: < ≤ nên dãy số cho bị chặn 1, bị chặn n Vậy dãy số cho bị chặn B4 Củng cố: Các định nghĩa B5 Dặn dò: BTVN trang 94 – 95 + Cách chứng minh dãy số bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Tiết: Ngày sọan: Bài tập: DÃY SỐ E Mục đích yêu cầu: Kiến thức: Học sinh nắm vững: - Định nghĩa dãy số - Cách cho dãy số, biểu diễn hình học dãy số - Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: - Giải tóan dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn, - Rèn luyện kỹ tính tóan F Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP Bài 1: Víết số hạng đầu dãy số sau: n b) un = ( −1) 2n n 1 u n chaü n  n neá Giả i: c) un =  1  =n −1 u1n; ulẻ ; unế ; u = ; u5 = a) Ta có: u = =  n2 16 32 a) un = + Lần lượt cho n = 1; 2; 3; 4; vào công thức cho, tính giá trị tương ứng b) Ta có: u1 = −1; u = 4; u = −6; u = 8; u = −10 c) Ta có: u1 = 0; u = ; u = ; u = ; u = GiBài ải: 2: Cho u = + ( −1) Tính u7, u12, u2n, u2n+1 n 12 + ( −1) n + ( −1) u7 = = 0, u12 = = 12 n u 2n = + ( −1) 2n + ( −1) , u 2n +1 = n 2n + 2n +1 2n = = + Chú ý n chẵn, n lẻ để chọn dấu 1−1 =0 2n +  u = 11 u1 = a) 3: Tìm số hạng tổng quát b) của1 dãy số sau: Bài Giải: u n +1 = 2u n ( n ≥ 1)  u n +1 = 10u n + − 9n, ∀n ∈ ¥ u1 =  u1 = 11 a) Ta có: a)  b)  u = 2u + − 9n, ∀n ∈ ¥  u n +1 = 10u  u1n +=1 =2.32u n ( n ≥ 1) n −1 n Dự đóan : u n = 3.2 ( ∀n ∈ ¥ * ) (1) u = 2u = 2.2.3 ………………… + Để tìm số hạng tổng quát dãy, ta làm sau: - Cho n vài giá trị - Xem thử quy luật un? - Dự đóan cơng thức un - Chứng minh cơng thức dự đóan phương pháp quy nạp Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Chứng minh: + Khi n = 1: NỘI DUNG VT = u1 =  ⇒  (1) với n = VP = 3.21−1 = 3 + Giả sử (1) với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: u k = 3.2k −1 Ta chứng minh (1) với n = k+1, tức phải chứng minh: u k +1 = 3.2 k Ta có: u k +1 = 2u k = 2.3.2k −1 = ( 2.2k −1 ) = 3.2 k = VP Vậy công thức tổng quát dãy số cho là: u n = 3.2n −1 ( ∀n ∈ ¥ * ) b) Ta có: 10n + n , ∀n ∈ ¥ (n 2n + + 1) ( n + 2n + ) + Nhắc lại cách chứng minh phương pháp PHƯƠNG PHÁP quy nạp + Thử với n = 1? + Biểu thức giả thiết quy nạp? + Biểu thức cần chứng minh? + Kết luận công thức cần tìm? b) Hướng dẫn học sinh giải Bài 4: Xét tính đơn điệu dãy số sau: n 2n −  1 a) u n = b) u n = n c) u n =  −  n +1  2 Giải: 1 n + − n − 2n − a) u n +1 − u n = − = 2 ( n + 1) + n + ( n + 1) ( n + 2n + ) =− TG < 0, ∀n ∈ ¥ * + Nhắc lại phương pháp xét tính đơn điệu dãy số? a) Tính un+1 =? + Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận? Vây dãy số cho giảm b) Ta có: n +1 n 2n +1 − 2n − − − ( − 1) − = = n +1 > 0, ∀n ∈ ¥ * 2n +1 2n 2n +1 Vây dãy số cho tăng u n +1 − u n = Bài 5: Xét tính bị chặn dãy số sau: CCCC a) u n = 2n − b) u n = c) u n = 3.2 2n −1 n ( n + 1)  1 d) u n =  −   3 + Nhắc lại phương pháp xét tính bị chặn dãy số? n Giải: a) Với ∀n ∈ ¥ * : u n = 2n − ≥ Do dãy cho bị chặn 1 1 ≤ ⇔ ≤ un ≤ b) Với ∀n ∈ ¥ * : ≤ n ( n + 1) 2 Do dãy cho bị chặn 0, bị chặn chặn c) Với ∀n ∈ ¥ * : 3.22n −1 ≥ ⇒ u n ≥ Do dãy cho bị chặn n  1 1 d) Với ∀n ∈ ¥ * : − ≤  −  ≤ ⇒ − ≤ u n ≤  3 9 b4 Củng cố: Các dạng b5 Dặn dó: Bài b) Tính un+1 =? + Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận? a) Vì un khơng bị chặn trên? nên bị b) Phân tích nào? 1 = − + Chú ý n ( n + 1) n n + 1 ≤ 1, ≤ , ∀n ∈ ¥ * n n +1 d) Phân tích nào? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Tiết: Ngày sọan: I Định nghĩa: Định nghĩa: CẤP SỐ CỘNG A Mục đích yêu cầu: a Kiến thức: Học sinh nắm vững: i Định nghĩa cấp số cộng ii Số hạng tổng quát cấp số cộng iii Tính chất CSC, tổng n số hạng đầu CSC b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: i Giải tóan cấp số cộng ii Rèn luyện kỹ tính tóan B Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, tính chất CSC Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa + Học sinh nêu định nghĩa CSC + GV tóm tắt cơng thức định nghĩa NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP (1) Trong d cơng sai cấp số cộng Ta có: d = un+1 – un Nếu d = CSC có tất số hạng ÷u⇔ u n n; + d (n = 1, 2, …) Ký hiệu CSC CSC (un) ; uu ; ; n +1 = u + Cách tìm cơng sai CSC? Ví dụ: a) Xét dãy số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7, …, 2n + 1, … CSC với số hạng đầu 1, cơng sai d = a) Tìm u1 =?, d = ? b) Gọi (un) CSC có số hạng đầu u1= –1, công sai d = –2 Hãy viết số hạng đầu CSC b) Cách tìm? Giải: u1 = -1, u2 = u1 + d = –1 +(–2) = –3, u3 = –5, u4 = –7, u5 = –9 Vậy ta có cấp số cộng là: ÷ − 1; −3; −5; −7; −9 II Số hạng tổng quát: Định lý: (2) Chứng minh: + Khi n = 1: Rõ ràng (2) unộ=t suố1 +tự(nnhiên – 1).dbất kỳ n = k ≥ 1, tức là: + Giả sử (2) với m u k = u1 + ( k − 1) d Ta chứng minh (2) n = k+1, tức là: u1 = u1 = 11 k.d u k +1 = ub) a)  + ucó: n +1 = 2u n ( n ≥ 1)  u n +1 = 10u n + − 9n, ∀n ∈ ¥ Cm: Ta VT = u k +1 = u k + d = u1 + ( k − 1) d + d = u1 + kd = VP + Chứng minh phương pháp quy nạp + Thử với n = + Thành lập mệnh đề quy nạp? + Phải chứng minh ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Ví dụ: Tính số hạng tổng quát un cấp số cộng: ÷1; 4; 7;10; Giải: Ta có u1 = 1, d = Vậy số hạng tổng quát là: un = u1 + (n – 1)d N =Ộ I+DUNG (n – 1).3 = 3n – TG + Tìm u1 d nào? + Công thức số hạng tổng quát CSC? PHƯƠNG PHÁP III Tính chất số hạng cấp số cộng: Định lý: uk = u k −1 + u k +1 ( k ≥ 2) (3) Chứng minh: Với k ≥ , ta có: u k −1 = u1 + ( ku− )+du +1 u = k −1 k⇒ ( k ≥ 2) u k +1 = u1 k+ kd  u + u k +1 2u1 + 2kd − 2d ⇒ k −1 = = u1 + ( k − 1) d = u k 2 Ví dụ: Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó: 2; x; Giải: Để số lập thành CSC, ta phải có: 2+4 x= = Vậy CSC 2; 3; + HD: Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP theo VT + Học sinh tính uk–1 , uk+1 = ? + Cách giải? IV Tổng n số hạng cấp số cộng: Định lý: + Cơng thức (4) cho phép tính tổng n số hạng đầu CSC theo u1 d Hoặc: Sn = n  2u1 + ( n − 1) d  2 (4) Ví dụ: a) Tính tổng n số lẻ b) Tính tổng n số chSẵnn=đầnu( utiên (5) + un ) Giải: a) Ta có: n Sl = + + + + ( 2n − 1) = 1 + ( 2n − 1)  = n 2 b) Ta có: n Sc = + + + + 2n = [ + 2n ] = n ( n + 1) B4 Củng cố: - Định nghĩa CSC? - Số hạng tổng qt CSC? Tính chất CSC - Cơng thức tính tổng số hạng CSC? B5 Dặn dị: BTVN trang 99 – 100 + Công thức (5) cho phép tính tổng n số hạng đầu CSC theo u1 un Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 Tiết: Ngày sọan: Bài tập: CẤP SỐ CỘNG C Mục đích yêu cầu: a Kiến thức: Học sinh nắm vững: i Định nghĩa cấp số cộng ii Số hạng tổng quát cấp số cộng iii Tính chất CSC, tổng n số hạng đầu CSC b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: i Giải tóan cấp số cộng ii Rèn luyện kỹ tính tóan D Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: Dạng 1: Tìm yếu tố củaB2 mộBài t CSC + Nhắc lại công thức CSC? cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, tính chất CSC Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa NỘI DUNG TG Áp dụng: + 1: Các yếu tcác ố củ ồm:hãy Công ạng tổng Bài Trong cấapmsộốt cCSC ộng gsau, tínhsai, số shốạhng un chỉquát, ra: tổng n số hạng đầu,… a) ÷ 1;5;9; u17 = ? b) ÷ + 1; 2;3 − 2; u10 = ? + Để làm dạng tóan cần phải thuộc, vận dụng Gitảối:t công thức (1), (2), (4) (5) CSC a) Ta có: u n = u1 + ( n − 1) d   ⇒ u17 = + ( 17 − 1) = 65 u1 = 1, d = 4, n = 17  b) Ta có: u n = u1 + ( n − 1) d  ⇒ u1 = + 1, d = − 2, n = 10  ( PHƯƠNG PHÁP a) Cơng thức tổng qt CSC? + Tìm u1, d, n = ? b) Tìm u1, d, n = ? ) u10 = + + ( 10 − 1) − = 10 − Bài 2: Tìm cơng sai d CSC hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1, số hạng cuối u15 = 43 Giải: Ta có: u n = u1 + ( n − 1) d   ⇒ 43 = + 14d ⇒ d = u1 = 1, u n = u15 = 43, n = 15  Bài 3: Trong dãy số (un) đây, dãy số CSC, cho biết số hạng đầu cơng sai nó: 3n + a) u n = 3n − b) u n = c) u n = n Giải: a) Ta có: u =3 6k − 14 ( k +u11) =−11 ua)k −1+1u k +1 ( k − 1) − + 3b) = = = 3k − = u u = 2u n ≥ u = ( ) n  n +1 10u n +2 − 9n, ∀n ∈ ¥ k  n +1 Vậy dãy số cho CSC với u1= –4, u2 = –1 ⇒ d = + Cơng thức áp dụng? + Tìm u1, un, n = ? + Áp dụng tính chất CSC Học sinh phát biểu tính chất CSC? + Cách tính u1, d ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 10 b) Ta có: ( k − 1) + ( k + 1) + + 6k + 3k + 5 = = = uk 10 NỘIvớ DUNG Vậy dãy số cho CSC i u1 = 1, u2 = ⇒ d = 5 c) Ta có: 2 u k −1 + u k +1 ( k − 1) + ( k + 1) 2k + = = = k2 +1 ≠ uk 2 Vậy dãy số cho cấp số cộng u k −1 + u k +1 = Bài 4: Xác định số hạng đầu công sai CSC, biết: u − u =  u − u + u = 10 a)  b)   u u = 75  u1 + u = 17 TG PHƯƠNG PHÁP c) Vì dãy số cho khơng phải CSC? + Cách giải? + Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1).d Giải: u1 + 6d − ( u1 + 2d ) = u − u = d = a)  ⇔ ⇔ u1 = −17 ∨ u1 =  u u = 75 ( u1 + d ) ( u1 + 6d ) = 75 u − u + u = 10 u1 + d − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 10 b)  ⇔ u1 + u = 17 u1 + ( u1 + 5d ) = 17 u + 3d = 10 u = ⇔ ⇔ d = 2u1 + 5d = 17 Bài 5: Tính tổng 10 số hạng đầu CSC sau, biết: u = u = a)  b)  u10 = 50 u = Giải: a) Ta có: n  Sn = ( u1 + u n ) 10   ⇒ S10 = ( + 50 ) = 275 n = 10, u1 = 5, u n = u10 = 50  u = n 10 b)  ⇒ d = ⇒ S10 =  2u1 + ( n − 1) d  = [ + 9.4] = 190 2 u = Dạng 2: Xác định số hạng CSC: Xác định CSC (hay tìm số hạng nó) ta làm sau: *Nếu CSC có số số hạng lẻ ta cần đặt số hạng α công sai d = r Khi đó, giả sử CSC có số hạng có dạng: α - r; α ; α + r *Nếu CSC có số số hạng chẵn ta cần đặt hai số hạng α - r α + r công sai d = 2r Khi đó, giả sử CSC có số hạng có dạng: α -3 r; α - r; α + r; α - 3r * Ngòai ra, để xác định số hạng CSC, ta dùng tính chất CSC a) Áp dụng công thức? n = ?, u1 = ?, u10 = ? b) Áp dụng công thức? d=? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 11 Áp dụng: Bài 1: Một cấp số cộng có số hạng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số Giải: Cấp số cộng cần tìm có dạng: DUNG α -3r,α -r,NαỘ+I r, α + 3r Trong d = 2r cơng sai Ta có: α -3r+α -r+α + r + α + 3r = 16  2 2 ( α -3r ) + ( α -r ) + ( α + r ) + ( α + 3r ) = 84 α = α = ⇔ ⇔ 2 2  r = ±1 ( 4-3r ) + ( 4-r ) + ( + r ) + ( + 3r ) = 84 Vậy có hai cấp số cộng là: + Với α = 4, r = ta có CSC ÷1,3,5, + Với α = 4, r = −1 ta có CSC ÷7,5,3,1 TG + Dạng CSC cần tìm PHÁP + Từ giả thiết lậPH p hƯƠ ệ phNG ương trình nào? + Giải hệ + Tìm CSC? Bài 2: Một CSC có 11 số hạng Tổng số hạng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đàu 30 Tìm CSC Giải: 11 11u + 11u11 = 352 u = 16  ( u1 + u11 ) = 176 ⇔ ⇔  11 2 11u11 − 11u1 = 330 u1 = −14  u11 − u1 = 30 u n = u1 + ( n − 1) d ⇔ 16 = −14 + 10d ⇔ d = ⇒ ÷ − 14, −11, −8, −5, −2,1, 4, 7,10,13,16 + Cách tìm Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 12 Tiết: Ngày sọan: CẤP SỐ NHÂN E Mục đích yêu cầu: a Kiến thức: Học sinh nắm vững: i Định nghĩa cấp số nhân ii Số hạng tổng quát cấp số nhân iii Tính chất CSN, tổng n số hạng đầu CSN b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: i Giải tóan cấp số nhân I Định nghĩa: + Nêu định nghĩa ii Rèn luyện kỹ tính tóan Đinh nghĩa: F Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: Trong đó: B3 Bài Định nghĩa, tính chất CSN u n +1mới: Trọng tâm: Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa + Suy công bội q = ? • q cơng bội (1) ⇒ q = u n • (1) hệ thức truy hồi NỘI DUNG • q = CSN dãy u1, 0, 0, 0, …,0, … • q =1 CSN dãy u1, u1, …,u1,… • u1 = với q, ta có CSN dãy: 0, 0, …,0,… Ta dùng ký hiệu ÷ u1, u2, …,un, … u n +1 = u n q (n = 1, 2, …) (1) Ví dụ: 1, 2, 4, 8, …, 2n-1, … CSN vô hạn với công bội q = PHƯƠNG PHÁP TG + Nêu định lý? II Số hạng tổng quát: Định lý: Chứng minh: + Khi n = 1: (2) + Giả sử (2) với số tự nhiên n = k ≥ bất kỳ, tức là: u k = u1 q k −1 Ta chứng minh (2) với n = k+1, tức là: u k +1 = u1 q k Cm: Ta có: VT = u k +1 = u ku.q = u q kn −−11.q = u1(.qqk ≠=0u) k +1 = u1 q k = VP (2) n = u11 q Ví dụ: Tìm số hạng thứ 11, biết số hạng đầu u1 = 1, công bội q = Giải: u n = u1 q n −1 ⇔ u11 = 1.211−1 = 210 = 1024 III Tính chất số hạng CSN: Định lý: + Chứng minh định lý phương pháp phản chứng + Theo định nghĩa uk+1= ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 13 u1 = a)  u n +1 = 2u n  u = 11 b)   u n +1 = 10u n + − 9n, ∀n ∈ ¥ ( n ≥ 1) Chứng minh: u k −1 = u1 q k −  k −2 k k −1  ⇒ u k −1 u k +1 = u1 q u1 q = ( u1 q ) k u k +1 = u1 q  ⇔ u k −1 u k +1 = ( u1 q k −1 ) = u k2 Suy : u k = u k −1 u k +1 (k ≥ ) (3) u k = u k −1 u k +1 Ví dụ: Tìm x ba số 2x − , x, theo thứ tự lập thành NỘI DUNG cấp số nhân + Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP VT Giải: Ba số cho lập thành CSN khi: x = 5  x =  2x −  ⇔ x − 6x + = ⇔    x = ,1,3 + Với x = 1, ta có CSN: 25 ,5,3 + Với x = 5, ta có CSN: IV Tổng n số hạng đầu CSN: Định lý: ( q ≠ 1) TG PHƯƠNG PHÁP + Áp dụng tính chất số hạng CSN (4) + Cách chứng minh công thức? Chứng minh: Sn = u1 + u + u + + u n −1 + u n ( 1) ⇒ qSn = u1q + u q + u q + + u n −1q + u n q ⇒ qSn = u + u + + u n + u n q ( 2) ⇒ qSn − Sn = u n q − u1 ⇔ Sn ( q − 1) = u n q − u1 ⇔ Sn ( q − 1) = u1q n −1q − u1 ⇔ Sn ( q − 1) = u1 ( q n − 1) qn −1 qn −1 ⇔ Sn = uS n = u1 q −1 q −1 Ví dụ: Tính a) Sn = + + 22 + + 2n ⇒ Sn = n +1 − = 2n +1 − −1 n −1 1 −1 n −1 1 1  3  1  b)Sn = + + + n ⇒ Sn =   = 1 −    3 3     −1 n  1 n  −  −1  (đpcm) 1 2  1  1  c) Sn = − + + +  −  ⇒ Sn =  = 1 −  −        2 − −1 n −1 B4 Củng cố: Định nghĩa công thức (1) đến (4) B5 Dặn dị: BTVN trang 104 a) CSN gồm có số hạng? Vì sao? + Áp dụng cơng thức nào? + Cách tìm q = ? b) CSN gồm có số hạng? Vì sao? + Áp dụng cơng thức nào? + Cách tìm q = ? b) CSN gồm có số hạng? Vì sao? + Áp dụng cơng thức nào? + Cách tìm q = ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 14 Tiết: Ngày sọan: Bài tập CẤP SỐ NHÂN G Mục đích yêu cầu: a Kiến thức: Học sinh nắm vững: i Định nghĩa cấp số nhân ii Số hạng tổng quát cấp số nhân iii Tính chất CSN, tổng n số hạng đầu CSN Dạng 1: Tìm yếu tố CSN + Học sinh nhắc lại công thức học? b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: i Giải tóan cấp số nhân ii Rèn luyện kỹ tính tóan H Lên lớp: B1 Ổn định điểm danh: B2 Bài cũ: B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, tính chất CSN Bài 1: Trong CSN sau, tìm số hạng un ch ra: ng pháp: Vấn đáp – Minh họa Phỉ ươ 1 a) 1, , , u , b) 2, −4,8, u11 NỘI DUNG TG PH NG PHÁP + Áp dụng công th ứƯƠ c nào? Giải: + Các số liệu cơng thức? a) Ta có:  u n = u1q n −1 7  ồ1m:  Công  bội, số hạng tổng + Các yếu1 tố củam⇒ ộtuCSN g = =     uquát, ng n, nsố= h8ạng đầu,…     = 1, tqổ=  + Để làm dạng tóan cần phải thuộc, vận dụng b) tTa có: T ươ ng t ự ốt công thức (1), (2), (3), (4) CSN Bài 2: Tìm cơng bội q CSN hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 2, số hạng cuối u11 = 64 Giải: n −1 Ta có: u n = u1 q un 64 n −1 ⇔ q11−1 = = 32 ⇔ q10 = 25 ⇔ q = Suy ra: q = u1 + Chú ý CSN hữu hạn + Công thức? Các số liệu công thức? Bài 3: Trong CSN sau đây, tìm số hạng đầu công bội , nếu:  u1 − u + u = 65  u − u = 72 a)  b)   u − u = 144  u1 + u = 325 + Công thức áp dụng? Giải: u1q ( q − 1) = 72  u1q − u1q = 72  u − u = 72  a)  ⇔ ⇔ 2  u1q − u1q = 144  u − u = 144 u1q ( q − 1) = 144 q = Vậy:   u1 = 12 Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 15  u = 11 u1 = a)  b)  u = 2u n ≥ ( )u − u q2u+n +u1 =q 10u n + − 9n, ∀n ∈ ¥ = 65 u1 −nu+13 + u n= 65  1 b)  ⇔ u1 + u1q = 325 u1 + u = 325 u1 ( − q + q ) = 65 u1 ( − q + q ) = 65   ⇔ ⇔ 2 u1 ( + q ) = 325 u1 ( + q ) ( − q + q ) = 325 q = ⇒ q = ± Vậy:   u1 = 125 Bài 4: Một CSN có số hạng Tìm số hạng cuối tổng số NỘI DUNG hạng đó, biết u1 = q = Giải: Ta có: u = u1q ⇔ u = 2.34 = 162 ⇒ S = u1 qn − 35 − 242 = = = 242 q −1 −1 + Cơng thức tính số hạng đầu cơng bội củ CSN? + Cách giải hệ phương trình? TG PHƯƠNG PHÁP + Số hạng cuối số hạng nào? +Công thức tìm số hạng cuối? + Cơng thức tính tổng n số hạng CSN? Dạng 2: Tìm số hạng CSN hữu hạn: Bài 5: Tìm ba số hạng CSN có cơng bội nguyên, tổng số hạng 7, tích chúng Giải: α , α, αq Gọi ba số hạng CSN q Nếu CSN có lẻ số hạng gọi số hạng α cơng Ta+có:  αbội q Khi đó, CSC có ba số hạng có dạng: α , α , α q  q α α q = α = = 23 αq=  ⇔ ⇔  + Nếu CSN có chẵn số hạng và2 cơng bội q > 20 đặt q = r2 2q − 5q + = α + α + α q = α + α q + α q = 7q  qKhi đó, CSN có số hạng có dạng: α3 , α , α r, α r r r α =  ⇔ ⇔α =q = q = ∨ q = , q ∈ Z Bài 6: Cho a, b, c theo thứ tự CSN a, b, c > CmR ba 1 số ( a + b + c ) , ( ab + bc + ca ) , abc lập thành CSN 3 Giải:  ( a + b + c ) abc 1  3  ⇔ ( a + b + c ) b = ( a + b + c ) b 3 a, b, c CSN ⇔ b = ac  đpcm   1 = ( ab + b + bc ) = ( ab + bc + ca ) =  ( ab + bc + ca )  3   B4 Củng cố: Cách giải B5 Dặn dò: Ôn tập chương III + CSN có số hạng? + Dạng CSN gì? + Từ giả thiết tóan, lập hệ phương trình? + Cách giải hệ? + Chọn nghiệm cho q nào? + Học sinh nhắc lại tính chất số hạng CSN? + Để chứng minh ba số lập thành CSN, ta làm nào? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 16 Tiết: Ngày sọan: Ơn tập CHƯƠNG III Mục đích u cầu: a Kiến thức: Học sinh hệ thống hóa kiến thức học chương gồm: Phươ quy(1) nạchia p tóan học u n ng = npháp + 11n Bài 1: Chứng minh với ∀n ∈ ¥ * ,i.ta có: ii Dãy số hết cho iii Định nghĩa tính chất CSC CSN Giải: + Học sinh nhắc lại bước giải tóan + Khi n = 1: u1 = 12M3 ⇒ (1) b đúngKvỹớinăng: n = Học sinh có kỹ năng: phương pháp phản chứng i Chứng minh phương pháp quy nạp + Giả sử (1) với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: ii Giải tóan CSC, CSN Rèn luyện kỹ tính tóan u k = k + 11k chia hết cho J Lên lớp: Ta chứng minh (1) đúngB1 vớiỔ n n=đk+1, tứcđilà phdanh: ải chứng minh: ịnh ểm + Ch ưươ thếngnào? u k +1 = (k + 1)3 +B2 11(k + 1) chia h ế t cho ắc lại kiến thức trọng tâm Bài cũ: Học sinh nh đãứhng ọcminh trongnhch III B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, tính chất CSC, CSN Cm: ươ+ng Vấn đáp – Minh họa ∀n ∈ ¥ *, u k +1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k + 3k +Ph3k +pháp: 11k + 11 I ⇔ u k +1 = ( k + 11k ) + 3k ( k + 1) + 12 chia hết cho NỘI DUNG Vậy u n = n + 11n chia hết cho 3, ∀n ∈ ¥ * TG Bài 2: Xét tính đơn điệu dãy số: un = 2n2 – n + Giải: Với ∀n ∈ ¥ * , ta có: PHƯƠNG PHÁP + Học sinh nhắc lại tính đơn điệu dãy số? u n +1 − u n = ( n + 1) − ( n + 1) + − ( 2n − n + 1) = 4n + > Vậy dãy số cho tăng với ∀n ∈ ¥ * Bài 3:Xét tính bị chặn dãy số (un) với u n = 2sin n + Nhắc lại định nghĩa dãy số bị chặn? + Tập giá trị hàm sin? Giải: Với ∀n ∈ ¥ * , ta có: 1 −1 ≤ sin ≤ ⇒ −2 ≤ 2sin ≤ n n Vậy dãy số cho bị chặn 2, bị chặn –2 nên bị chặn Bài 4: Tìm số hạng thứ 10 CSC ÷ 3, 3, Gỉai: Ta có: d = − Áp dụng công thức un = u1 + (n–1).d Suy ra: ( ) u10 = + − = 27 − Bài 5: Tính tổng 21 số hạng đầu CSC có cơng sai ngun, biết rằng: + Áp dụng cơng thức tính số hạng tổng quát? + Tính d = ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 17 u1 = a)  u n +1 = 2u n Giải: + Cơng thức tính tổng CSN hữu hạn?  u + u15u= =6011  b) 2 ( n ≥ 1) u + u12u=n +1170 = 10u n + − 9n, ∀n ∈ ¥ ( u1 + 6d ) + ( u1 + 14d ) = 60  u + u15 = 60 ⇔  2 2  u + u12 = 1170 ( u1 + 3d ) + ( u1 + 11d ) = 1170 + Tính u1 d nào? + Giải hệ với ý công sai d số nguyên u1 = 30 − 10d u = ⇔ ⇔ d = 5d − 36d + 63 = ( d ∈ ¢ ) n 21 Suy : S21 =  u1 + ( n − 1) d  = 0 + ( 21 − 1) 3 = 630 2 Bài 6: Trong CSN có số hN ạỘ ng,I DUNG biết u1 = 5, u9 = 1280 Tính tổng S số hạng Giải: u 1280 u n = u1 q n −1 ⇔ u = u1 q8 ⇔ q = = = 256 ⇔ q = ±2 u1 TG PHƯƠNG PHÁP + Cơng thức tính tổng số hạng CSN hữu hạn? + Cách tính cơng bội q? + Thay vào công thức 29 − = 2555 −1 (−2)9 − gq = −2 ⇒ S = S9 = = 855 −2 − gq = ⇒ S = S9 = Bài 7: Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ A B C để ba số tg , tg , tg lập thành CSC ba số cosA, cosB, cosC 2 lập thành CSC Giải: A+C B sin sin A B C A C B 2 ÷ tg , tg , tg ⇔ tg + tg = 2tg ⇔ =2 A C B 2 2 2 cos cos cos 2 B B cos sin 2 ⇔ cos B = 2sin B cos A cos C ⇔ =2 A C B 2 2 cos cos cos 2 B B A+C A−C ⇔ cos = sin  cos + cos  2 2  B B  B A−C ⇔ cos = sin  sin + cos  2  2  B B B A−C A+C A−C ⇔ cos − sin = sin cos ⇔ cos B = cos cos 2 2 2 ⇔ cos B = ( cos A + cos B ) ⇔ ÷ cos A, cos B, cos C B4 Củng cố: Cách giải số dạng B5 Dặn dị: Bài + Phát biểu tính chất số hạng CSN? + Giả thiết suy gì? + Để chứng minh ba số cosA, cosB, cosC lập thành CSC, ta phải chứng minh nào? + Học sinh nhắc lại số công thức lượng giác: • tga + tgb = ? • cosa.cosb = ? • cos2a – cos2b = ? + Với tam giác ABC, ta ý: A+C B sin = cos (cung phụ) 2 Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 18 Nguồn maths.vn Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 19 ... – cos2b = ? + Với tam giác ABC, ta ý: A+C B sin = cos (cung phụ) 2 Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 18 Nguồn maths.vn Giáo án Giải tích 11 –. .. d=? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 11 Áp dụng: Bài 1: Một cấp số cộng có số hạng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số Giải: ... minh định lý phương pháp phản chứng + Theo định nghĩa uk+1= ? Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 13 u1 = a)  u n +1 = 2u n  u = 11 b)   u