Chủ đề 4: Quỹ tích điểm. I.Kiến thức cơ bản: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng: 1. Nếu MA MB   , với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. 2. MC k AB   , với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB 3. Nếu MA kBC   , với A, B, C, cho trước thì: *Với k  R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC * Với k  R + điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC  . * Với k  R - điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC  . II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn: a. 3 2 MA MB MC MB MC         (1) b. 3 2 2MA MB MC MA MB MC           (2) Giải: a.Gọi I là điểm thoã mãn hệ thức 0IA IB IC        I là trọng tâm ABC . Ta được : 3MA MB MC MI       (3) Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được: 2MB MC ME    (4) Thay (3), (4) vào (1) ta được: MI ME   M thuộc đường trung trực của đoạn IE. b. Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức : 32KA KB KC    = 0   tồn tại duy nhất điểm K. Ta được: 32MA MB MC    = 2MK  . (5) Mặt khác: 22MA MB MC MA MB MA MC BA CA AE                    (6) Thay (5), (6) vào (2), ta được: MK AE   M thuộc đường tròn tâm K, bán kính AE. Bài 2: Cho ABC , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn: a. 0MA kMB kMC       (1) b. 0MA kMB kMC       (2) Giải: a. Ta biến đổi (1) về dạng: ()MA k MC MB MA kBC          M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. b. Ta biến đổi (2) về dạng: ( ) 0MA MB k MA MC         Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được: (3) 2 2 0ME kMF ME kMF           M thuộc đường trung bình EF của ABC . Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho ABC , M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. a.CMR vecto 3 5 2v MA MB MC     không đổi. b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn: 3 2 2MA MB MC MB MC         . Giải: a.Ta có: 3 5 2v MA MB MC      3( ) 2( ) 3 2MA MB MC MB BA BC           b.(Bạn đọc tự giải) Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau I.Kiến thức cơ bản: Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1:chứng minh 0AB    Hướng 2: chứng minh OA OB   với O là điểm tuỳ ý. II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC . Lấy các điểm M  BC, N  AC, P  AB sao cho: 0AM BN CP       Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Giải:Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, MNP, ta có: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 AM BN CP AG GJ JM BG GJ JN CG GJ JP GA GB GC JM JN JP GJ GJ G J                                               Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một điểm tuỳ ý. Ta có: 33OA ON OP OG OC OM OQ OJ               (1) Mặt  : OA ON OP    1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 OA OB OC OC OD OA OC OB OD                  (2) OC OM OQ    1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 OC OA OB OA OD OA OC OB OD                  (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra: OG OJ   Vậy G, J trùng nhau. Chủ đề 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng I.Kiến thức cơ bản: Mu ốn ch ứng minh 3 đi ểm th ẳng h àng ta c ần ch ứng minh: 0 30 MA MB MC NA NB NC               ,AB kAC k    (1) Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết Hướng 2:Xác định vectơ AB  và AC  thông qua một số tổ hợp trung gian. II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC , lấy các điểm I,J thoã mãn: 2 ,(1) 3 2 0(2) IA IB JA JC        Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của ABC . Giải: Viết lại (1) dưới dạng: 20IA IB    (3) Biến đổi (2) về dạng: 3( ) 2( 0 3 2 5IA IJ IC IJ IA IC IJ               (4) Trừ theo vế (4) cho (3) ta được: 2( ) 5 6 5IA IB IC IJ IG IJ            I, J, G thẳng hàng. Bài 2: Cho ABC . Đường tròn nội ti ếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng. Hướng dẫn: Gọi P là giao điểm của EF và đường phân giác trong góc B. Ta đi chứng minh M, N, P thẳng hàng. Bài 3: Cho ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho: 0 30 MA MB MC NA NB NC               Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC. (Bạn đọc tự giải) . Chủ đề 4: Quỹ tích điểm. I.Kiến thức cơ bản: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng: 1. Nếu MA MB  . Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau I.Kiến thức cơ bản: Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1:chứng