TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 BTVN NGÀY 10-03 Hình cầu Trong HHGT không gian. Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0x y z α + − + = và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) α . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một đường tròn có chu vi là 8π. Bài 2 : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Bài 3 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: 1 1 1 '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1) 2 2 2 A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó. Bài 4 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT: 1 2 5 2 ( ) : à ( ) : 2 0 x t x s d y t v d y z z s = = −     = − = −     = =   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d 1 và I cách d 2 một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Bài 5 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) . Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HƯỚNG DẪN GIẢI BTVN BG SỐ 6 Hình Cầu. • NGÀY 12.03 Bài 1 : Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vì ABC DBC AM DM MN AD ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ . Tương tự: MN BC ⊥ Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC. Hay MN là đường trung trực của AD và BC.  Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ là trung điểm của MN. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 b c a b c a AM DM MN AM AN + + − = = − ⇒ = − = 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 MN a b c R OA AN + + ⇒ = = + = Vậy: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 . . ( ) 4 2 2 4 a b c a b c R S π π π + + = = + + = Bài 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. a) CMR: Các điểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu (C). b) Tính bán kính mặt cầu này. Giải: a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’. Page 2 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Khi đó OO' ( ) à OO' ( ' ' ' ')ABCD v A B C D ⊥ ⊥ và OO’ là trục đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ấy. ⇒ Tâm I của hình cầu cần tìm thuộc OO’ và nằm ngoài OO’. Đặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ( ) ( ) ( OO') ; 2 4 2 2 OO' 2 4 4 a a OI x Do IA IA OI OA OI OA x x SO a a x = = ⇒ + = + ⇔ + = + + = = ⇒ = Vậy 8 điểm A,B,C,D, A’,B’,C’,D’ cùng thuộc mặt cầu tâm I. b) Bán kính : 2 2 10 8 2 4 a a a R IA = = + = Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cung vuông góc với đáy, SA=a. Tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp. Giải: Vì ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SAB ABCD AB AD SA AD AB ⊥   ∩ = ⇒ ⊥   ⊥  . Tương tự AB SA ⊥ . Ta hoàn toàn chứng minh được àSB BC v SD DC ⊥ ⊥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2) a a a a SAB SAD SBC SCD ABCD a TP a S S S S S S⇒ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + = + + + + = + W Mà 3 1 1 2 . . . óp 3 3 3 a V SA S ABCD a a ch = = =W và 3 (2 2) 2 TP V a r S r − ⇒ = = Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có 4 chiều cao kẽ từ 4 đỉnh lần lượt là h 1 , h 2 ,h 3 ,h 4 . Gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Page 3 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 CMR: 1 2 3 4 1 1 1 1 1 h h h h r + + + = Giải: Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh lần lượt là S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 ta có: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 3 3 3 3 ; ; ; 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 TP V V V V V h S h S h S h S h h h h S S S S S S S S S h h h h V V r = = = = ⇒ = = = = + + + ⇒ + + + = = = Bài 5 : Cho tam giacs cân ABC có 0 120BAC ∠ = và đường cao 2AH a = . Trên đường thẳng ∆ vuông góc với (ABC) tại A lấy 2 điểm I,J ở 2 bên điểm A sao cho: IBC là tam giác đều, JBC là tam giác vuông cân. a) Tính các cạnh của ∆ ABC. b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ và CIJ là các tam giác vuông. c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC. Giải: a) Các bạn tự tính ra ta được: 2 2; 2 6AB AC a BC a = = = b) Các bạn sẽ tính được AI=4a và AJ=6a. Ta thấy IJ=AI+AJ=2a+4a=6a và IB 2 + JB 2 =24a 2 +12a 2 = 36a 2 . Điều này chứng tỏ tam giác BIJ vuông tại B, tương tự ta cũng chứng minh được tam giác CIJ vuông tại C. c) Ta có: 0 90IBJ ICJ ∠ = ∠ = Điều này chứng tỏ B,C nằm trên mặt cầu đường kính IJ, bán kính 1 IJ 6 3 2 2 a R a = = = . Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao Ah cũng là đường trung trực. ⇒ Tâm A’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên AH. Page 4 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Định lý hàm số sin cho ta: 2 2 2 2 sin BC R R a AH A = ⇒ = = nên A’ đối xứng với A qua BC. Gọi K là trung điểm của AI, Tâm L của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao điểm của trục A’x của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn Az nằm trong mp (AIH). Bán kính mặt cầu đó là: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 2 3 4 AI R LA AK LK AH a a a= = + = + = + = • NGÀY 10.03 Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0x y z α + − + = và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) α . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một đường tròn có chu vi là 8π. Giải: Gọi I(a;b;c) ta có: ( ) 2 3 1 2 1 IJ ( 1; 2; 1). IJ n 2 3 2 1 2 a b a b c a b c Do c b α = +  + + − = + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒  = − − −  ur ur r Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) α nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5) Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) α là IO’=3. Vì C=2πR 0 =8π nên R 0 =4 . => 2 2 2 2 ' ' 4 3 5R IA IO AO = + = + = Vậy: 2 2 2 ( ) :( 5) ( 4) ( 5) 25C x y z+ + + + − = Bài 2 : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Giải: Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q)). Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5 5R ⇒ = . Page 5 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =5 Vì C đi qua O(0;0;0) nên: 2 2 2 2 2 2 5 ( ) : 5a b c I S x y z + + = ⇒ ∈ + + = Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có PT: (α): ( 2 4) ( 2 6) 2 1 0 2 x y x y x y + − + + + = + + = Do 2 2 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) : ( ) 5 x y I I S I S x y z α α + + = ∈   ⇒ ∈ ∩   ∈ + + =   ( Cố định ) Bài 3 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: 1 1 1 '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1) 2 2 2 A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó. Giải: Lần lượt ta lập các PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d + + + + + + = • Với (S) ta có: 2 2 2 1 2 0 1 2 0 1 ; 0 0(1) 1 2 0 2 3 2 2 2 0 c d a d a b c d x y z x y z b d a b c d + + =   + + =  ⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =  + + =   + + + + =  • Với (S’) 2 2 2 1 0 4 1 7 1 7 1 7 0 ; ; 2 2 0(2) 2 4 4 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 a d b c d a c b d x y z x y z a b d b c d  + + =    + + + = ⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =   + + + =   + + + =  Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có PT: ( ) : 9 9 4 0x y z α + + − = Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là: Page 6 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 2 2 2 9 9 4 0 ( ) : 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 x y z C x y z + + − =    − + − + − =   Bài 4 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT: 1 2 5 2 ( ) : à ( ) : 2 0 x t x s d y t v d y z z s = = −     = − = −     = =   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d 1 và I cách d 2 một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Giải: Vì I thuộc d 1 nên I( t;-t;0) 2 2 2 2 2 . ( 2;0;1) ( ) ó (5 ; 2;0) ( ) (5; 2;0) 6 30 45 . ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3 5 0 (0;0;0) 5 (5; 5;0) d u IM u d c IM t t d I d Qua M u t t u IM t t t d I d t I t I    = −    ⇒ = − − ⇒ → =  −   − +   = − + − − + ⇒ → = =   = ⇒  ⇒  = ⇒ −  r uuur r uuur r r uuur Vậy có 2 PT mặt cầu thõa mãn đk bài toán là: 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) : 25 ( ) : ( 5) ( 5) 25 S x y z S x y z + + = − + + + = Bài 5 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) . Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox. Page 7 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Giải: Lập PT đường thẳng đi qua AB ta có: ( ) : 1 3 1 x t AB y t z =   = − +   =  Gọi ( ;3 1;1) ( )M t t AB − ∈ Và N(s;0s0) thuộc Ox ( ;3 1;1)MN t s t ⇒ = − − uuuur . Sử dụng : Ox MN AB MN ⊥   ⊥  Ta tìm được 1 3 t s = = . Ta tìm được : 1 1 1 1 ( ;0;1), ( ;0;0) ( ;0; ) 3 3 3 2 M N O⇒ là trung điểm của MN. Và 1 2 2 MN R = = . Vậy: 2 2 2 1 1 ( 3) ( ) 2 4 x y z − + + − = ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 8 of 8 . Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2 010 BTVN NGÀY 10- 03 Hình cầu Trong HHGT không gian. Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp (. Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2 010 HƯỚNG DẪN GIẢI BTVN BG SỐ 6 Hình Cầu. • NGÀY 12.03 Bài 1 : Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c;