Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 D ng 1: Vi t phương trình dao đ ng di u hoà Xác đ nh đ c trưng c a m t dao đ ng u hoà Ch n h quy chi u: + Tr c ox + g c to đ t i VTCB + Chi u dương + g c th i gian Phương trình dao đ ng có d ng: x = Acos(ωt + ϕ) cm Phương trình v n t c: v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s 1) Xác đ nh t n s góc ω: (ω>0) 2π ∆t + ω = 2πf = ,v iT = , N: t ng s dao đ ng T N k , ( k: N/m, m: kg) + N u l c lò xo: ω = m + cho đ gi n c a lò xo +ω= VTCB ∆l : k ∆l = mg ⇒ g k g = ⇒ω = m ∆l ∆l v A2 − x 2) Xác đ nh biên đ dao đ ng A:(A>0) d + A= , d: chi u dài qu đ o c a v t dao đ ng + N u đ cho chi u daig l n nh t nh nh t c a lò xo: A = + N u đ cho ly đ x ng v i v n t c v ta có: A = + N u đ cho v n t c gia t c: A = v2 ω2 + + N u đ cho v n t c c c đ i: Vmax thì: A = + N u đ cho gia t c c c đ i aMax : A = x2 + l max − l v2 ω2 (n u buông nh v = 0) a2 ω4 vMax ω aMax ω2 + N u đ cho l c ph c h i c c đ i Fmax → F max = kA + N u đ cho lư ng c a dao đ ng Wthì → A = 2W k 3) Xác đ nh pha ban đ u ϕ: ( −π ≤ ϕ ≤ π ) D a vào cách ch n g c th i gian đ xác đ nh ϕ x0  cosϕ = A  x = x0  x0 = Acosϕ  ⇒ Khi t=0  ⇒ϕ = ? ⇔  v0 v = v0 v0 = − Aω sinϕ sin ϕ =  ωA  cosϕ = 0 = Acosϕ ϕ = ?  ⇒ + N u lúc v t qua VTCB  ⇒ v0 v0 = − Aω sinϕ A = ?  A = − ω sin ϕ >  GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 x0  >0  x0 = Acosϕ ϕ = ? A = ⇒ cosϕ + N u lúc buông nh v t  ⇒ 0 = − Aω sinϕ A = ? sin ϕ =  Chú ý: ü th nh , buông nh v t v0=0 , A=x ü Khi v t theo chi u dương v>0 (Khi v t theo chi u âm v0 k ∈ N* ±b − ϕ d − ϕ < v i k ∈ N  k ∈ N*  π − d − ϕ > π − d − ϕ < t=   3) Tìm ly đ v t v n t c có giá tr v1: v  v  Ta dùng A = x +   ⇒ x = ± A2 −   ω  ω  4) Tìm v n t c qua ly đ x1: 2 2 v  Ta dùng A = x +   ⇒ v = ±ω A2 − x v t theo chi u dương v>0 ω  2 D ng 3: Xác đ nh quãng đư ng s l n v t qua ly đ x0 t th i m t1 đ n t2 Phương trình dao đ ng có d ng: x = Acos(ωt + ϕ) cm Phương trình v n t c: v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s t −t m 2π Tính s chu kỳ dao đ ng t th i m t đ n t2 : N = = n + , v i T = T T ω Trong m t chu kỳ : + v t đư c quãng đư ng 4A + V t qua ly đ b t kỳ l n * N u m= thì: + Quãng đư ng đư c: ST = 4nA + S l n v t qua x0 MT= 2n * N u m ≠ thì: + Khi t=t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm v1 dương hay âm (khơng tính v1) GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 + Khi t=t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm v2 dương hay âm (khơng tính v2) m Sau v hình c a v t ph n l chu kỳ r i d a vào hình v đ tính Sl s l n Ml v t T qua x0 tương ng Khi đó: + Quãng đư ng v t đư c là: S=ST +Sl + S l n v t qua x0 là: M=MT+ Ml  x1 > x0 > x2 * Ví d :  ta có hình v : v1 > 0, v2 > X -A x2 x0 O x1 Khi + S l n v t qua x0 Ml = 2n A + Quãng đư ng đư c: Sl = 2A+(A-x1)+(A- x2 ) =4A-x1- x2 D ng 4: Xác đ nh l c tác d ng c c đ i c c ti u tác d ng lên v t m treo lò xo - chi u dài lò xo v t dao đ ng 1) L c h i ph c( l c tác d ng lên v t): r r r L c h i ph c: F = −kx = ma : ln hư n v v trí cân b ng Đ l n: F = k|x| = mω2|x| L c h i ph c đ t giá tr c c đ i Fmax = kA v t qua v trí biên (x = ± A) L c h i ph c có giá tr c c ti u Fmin = v t qua v trí cân b ng (x = 0) 2) L c tác d ng lên m treo lò xo: L c tác d ng lên m treo lò xo l c đàn h i: F = k | ∆l + x | + Khi lăc lò xo n m ngang ∆ l =0 mg g = + Khi l c lò xo treo th ng đ ng: ∆ l = k ω mg sin α + Khi l c n m m t ph ng nghiêng góc α: ∆ l = k a) L c c c đ i tác d ng l n m treo là: Fmax = k(∆l + A) b) L c c c ti u tác d ng lên m treo là: + l c n m ngang: Fmin =0 + l c treo th ng đ ng ho c n m m t ph ng nghiêng góc α : N u ∆ l >A Fmin = k(∆l − A) N u ∆l ≤ A Fmin =0 3) L c đàn h i v trí có li đ x (g c O t i v trí cân b ng ): + Khi lăc lò xo n m ngang F= kx + Khi l c lò xo treo th ng đ ng ho c n m nghiêng góc α : F = k|∆ l + x| 4) Chi u dài lò xo: lo : chi u dài t nhiên c a lò xo: a) lò xo n m ngang: Chi u dài c c đ i c a lò xo : l max = l o + A Chi u dài c c ti u c a lò xo: l = l o + A b) Khi l c lò xo treo th ng đ ng ho c n m nghiêng góc α : Chi u dài v t v trí cân b ng : l cb = l o + ∆ l Chi u dài c c đ i c a lò xo: l max = l o + ∆ l + A Chi u dài c c ti u c a lò xo: l = l o + ∆ l – A Chi u dài ly đ x: l = l 0+∆ l +x GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 D ng 5: Xác đ nh lư ng c a dao đ ng u hồ Phương trình dao đ ng có d ng: x = Acos(ωt + ϕ) m Phương trình v n t c: v = -Aωsin(ωt + ϕ) m/s 1 a) Th năng: Wt = kx2 = k A2cos2(ωt + ϕ) 2 1 b) Đ ng năng: Wđ = mv2 = mω2 A2 sin2(ωt + ϕ) = kA2sin2(ωt + ϕ) ; v i k = mω2 2 1 c) Cơ năng: W = Wt + Wđ = k A2 = mω2A2 2 + Wt = W - Wđ + Wđ = W – Wt A T Khi Wt = Wđ ⇒ x = ± ⇒ th i gian Wt = Wđ : ∆t = + Th đ ng c a v t bi n thiên tu n hồn v i t n s góc ω’ = 2ω, t n s dao T đ ng f’ =2f chu kì T’ = Chú ý: Khi tính lư ng ph i đ i kh i lư ng v kg, v n t c v m/s, ly đ v mét D ng 6: Xác đ nh th i gian ng n nh t v t qua ly đ x1 đ n x2 Ta dùng m i liên h gi a dao đ ng u hồ chuy n đ ng trịn đ u đ tính Khi v t dao đ ng u hồ t x1 đ n x2 tương ng v oiu v t chuy n đ ng tròn đ u t M đ n N(chú ý x1 x2 hình chi u vng góc c a M N lên tr c OX Th i gian ng n nh t v t dao đ ng t x1 đ n x2 b ng th i gian v t chuy n đ ng tròn đ u t M đ nN ˆ MON ˆ ˆ ˆ t = t MN = T , MON = x1MO + ONx2 v i 360 N M | x1 | | x2 | ˆ ˆ Sin(x1 MO ) = , Sin(ONx2 ) = A A A T x = ± ∆t = + v t t : x = € -A x2 O x1 N X 12 A T x= ± A ∆t = + v t t : x = ± € A A T x=± € + v t t : x=0 € x = ± x= ± A ∆t = 2 A T + v t l n liên ti p qua x = ± ∆t = ∆S V n t c trung bình c a v t dao d ng lúc này: v = ∆t ∆ S đư c tính d ng D ng 7: H lò xo ghép n i ti p - ghép song song xung đ i 1) Lò xo ghép n i ti p: a) Đ c ng c a h k: Hai lị xo có đ c ng k1 k2 ghép n i ti p có th xem m t lị xo có đ c ng k tho mãn bi u th c: 1 (1) = + k k1 k GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 k1 k2 m Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 Ch ng minh (1): Khi v t ly đ x thì: f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k x F = F1 = F2 F = F1 = F2 1 kk   ⇔ F = F1 = F2 ⇒  F F1 F2 ⇒ = hay k = +  k k1 k k1 + k x = x1 + x x = x + x k = k + k  2  b) Chu kỳ dao đ ng T - t n s dao đ ng: m T2 + Khi ch có lò xo 1( k1): T1 = 2π ⇒ = 12 k1 k1 4π m + Khi ch có lị xo 2( k2): T2 = 2π m T2 ⇒ = 22 k2 k 4π m + Khi ghép n i ti p lò xo trên: T = 2π m T2 ⇒ = k k 4π m T2 T2 T2 1 = 12 + 22 ⇒ T = T1 + T12 nên = + 4π m 4π m 4π m k k1 k 1 = + T n s dao đ ng: 2 f f1 f2 Mà b Lị xo ghép song song: Hai lị xo có đ c ng k1 k2 ghép song song có th xem m t lị xo có đ c ng k tho mãn bi u th c: k = k1 + k2 (2) Ch ng minh (2): Khi v t ly đ x thì: f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k x  x = x1 = x  x = x1 = x  ⇔  x = x1 = x ⇒  kx = k1x1 + k x F = F1 + F2 F = F + F  ⇒ k = k1 + k b) Chu kỳ dao đ ng T - t n s dao đ ng: m 4π m + Khi ch có lị xo1( k1): T1 = 2π ⇒ k1 = k1 T12 + Khi ch có lị xo2( k2): T2 = 2π L1, k1 L2, k2 m 4π m ⇒ k2 = k2 T2 + Khi ghép n i ti p lò xo trên: T = 2π m 4π m ⇒k= k T2 4π m 4π m 4π m 1 ⇒ = + = + 2 2 T2 T T T1 T2 T 2 2 T n s dao đ ng: f = f1 + f1 Mà k = k1 + k2 nên c) Khi ghép xung đ i công th c gi ng ghép song song L1, k1 L2, k2 Lưu ý: Khi gi i toán d ng này, n u g p trư ng h p m t lò xo có đ dài t nhiên l (đ c ng k0) đư c c t thành hai lò xo có chi u dài l n lư t l (đ c ng k1) l (đ c ng k2) ta có: k0 l = k1 l = k2 l ES const Trong k0 = = ; E: su t Young (N/m2); S: ti t di n ngang (m2) l0 l0 GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 D ng : Ch ng minh h dao đ ng u hoà Trong trư ng h p ph i ch ng minh h dao đ ng u hoà s l c đàn h i tác d ng: F = -kx ho c lư ng c a v t dao đ ng (cơ năng) W = Wt + Wđ, ta ti n hành sau: Cách 1: Dùng phương pháp đ ng l c h c: + Phân tích l c tác d ng lên v t + Ch n h tr c to đ Ox + Vi t phương trình đ nh lu t II Newtơn cho v t: r r ∑ F = ma chi u phương trình lên OX đ suy ra: x'' = - ω2x : v y v t dao d ng u hồ v i tàn s góc ω Cách 2: Dùng phương pháp lư ng: kx (con l c lò xo) Wđ = mv2 1 Áp d ng đ nh lu t b o toàn năng: W = Wt + Wđ = kx2 + mv2= const 2 + L y đ o hàm hai v theo t phương trình ý: a = v' = x'' + Bi n đ i đ d n đ n: x'' = -ω2x v y v t dao đ ng u hồ v i t n s góc ω * Vì W = Wt + Wđ đó: Wt = Con l c đơn D ng 9: Vi t phương trình dao đ ng c a l c đơn - l c v t lý- chu kỳ dao đ ng nh 1) Phương trình dao đ ng Ch n: + Tr c OX trùng ti p n v i qu đ o + g c to đ t i v trí cân b ng + chi u dương chi u l ch v t + g c th i gian Phương trình ly đ dài: s=Acos(ωt + ϕ) m v = - Aωsin(ωt + ϕ) m/s * Tìm ω>0: 2π ∆t + ω = 2πf = ,v iT = , N: t ng s dao đ ng T N g + ω= , ( l:chi u dài dây treo:m, g: gia t c tr ng trư ng t i nơi ta xét: m/s2) l mgd +ω= v i d=OG: kho ng cách t tr ng tâm đ n tr c quay I I: mơmen qn tính c a v t r n v +ω= A − s2 * Tìm A>0: v2 + A = s2 + v i s = α l ω ¼ MN ¼ + cho chi u dài qu đ o m t cung tròn MN : A = + A = α l , α : ly đ góc: rad GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 * Tìm ϕ ( −π ≤ ϕ ≤ π ) D a vào cách ch n g c th i gian đ xác đ nh ϕ x0  cosϕ = A  x = x0  x0 = Acosϕ  Khi t=0  ⇒ ⇒ϕ = ? ⇔  v0 v = v0 v0 = − Aω sinϕ   sin ϕ =  ωA  s A Phươg trình ly giác: α = = α cos(ωt + ϕ) rad v i α = rad l l 2) Chu kỳ dao đ ng nh  T 2g l = l  4π ⇒ + Con lăc đơn: T = 2π g  g = 4π l   T2  T mgd I = I  4π ⇒ + Con l c v t lý: T = 2π mgd  g = 4π I  T md  D ng 10: Năng lư ng l c đơn - Xác đ nh v n t c c a v t L c căng dây treo v t qua ly đ góc α 1) Năng lư ng l c đơn: Ch n m c th t i v trí cân b ng O + Đ ng năng: Wđ= mv 2 + Th h p d n ly đ α : Wt = mgl(1 - cosα) + Cơ năng: W= Wt+Wđ= mω A 2 Khi góc nh : Wt = mgl(1 − cosα ) = mglα 2 W= mglα 2 2) Tìm v n t c c a v t qua ly đ α (đi qua A): Áp d ng đ nh lu t b o toàn ta có: Cơ t i biên = t i v trí ta xét WA=WN WtA+WđA=WtN+WđN ⇔ mgl(1 − cosα ) + mv A = mgl(1 − cosα ) +0 2 ⇒ v A = 2gl(cosα − cosα ) ⇒ v A = ± 2gl(cosα - cosα ) α0 α r τ N O r P 3) L c căng dây(ph n l c c a dây treo) treo qua ly đ α (đi qua A): r r r r Theo Đ nh lu t II Newtơn: P + τ =m a chi u lên τ ta đư c v2 v2 τ − mgcosα = ma ht = m A ⇔ τ = m A + mgcosα = m2g(cosα − cosα ) + mgcosα l l ⇒ τ = mg(3cosα - 2cosα ) 4) Khi góc nh α ≤ 100 GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang A Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 v = gl(α − α ) sin α ≈ α A    α  2 cosα ≈ − τ = mg(1 − 2α − 3α )   Chú ý: + Khi qua v trí cân b ng(VTCB) α = + Khi v trí biên α = α D ng 11 : Xác đ nh chu kỳ l c đ cao h đ sâu d dây treo không gi n Gia t c tr ng trư ng m t đ t: g = GM ; R: bán kính trái Đ t R=6400km R2 1) Khi đưa l c lên đ cao h: Gia t c tr ng trư ng GM g = h (R + h) (1 + ) R l m t đ t: T1 = 2π (1) g đ cao h: g h = Chu kỳ l c dao đ ng Chu hỳ l c dao đ ng sai đ cao h: T2 = 2π l (2) gh h T gh ⇒ = ⇒ T2 = T1 (1 + ) = R T2 + h g 1+ h R R Khi đưa lên cao chu kỳ dao đ ng tăng lên 2) Khi đưa l c xu ng đ sâu d: d * đ sâu d: g d = g(1 - ) R m( π (R − d)3 D) Chúng minh: Pd = Fhd ⇔ mg d = G D: kh i lư ng riêng trái Đ t (R − d) ( π R D)(R − d)3 d M(R − d)3 GM d ⇔ gd = G =G = (1 − ) ⇒ g d = g(1 - ) 3 R (R − d) R (R − d) R R R l *Chu kỳ l c dao đ ng đ sâu d: T2 = 2π (3) gd ⇒ T1 gh mà = T2 g ⇒ T1 gd mà = T2 g gd d = 1− ⇒ T2 = g R T1 ≈ T1 (1 + 1d ) 2R d R Khi đưa xu ng đ sâu chu kỳ dao đ ng tăng lên tăng đưa lên đ cao 1- D ng 12 : Xác đ nh chu kỳ nhi t đ thay đ i (dây treo làm b ng kim lo i) Khi nhi t đ thay đ i: Chi u dài bi n đ i theo nhi t đ : l = l (1 + λ t) λ : h s n dài nhi t c a kim lo i làm dây treo l c l : chi u dài 00C GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 l Chu kỳ l c dao đ ng nhi t đ t1(0C): T1 = 2π (1) g Chu kỳ l c dao đ ng sai nhi t đ t2(0C): T2 = 2π T l l2 (2) ⇒ = T2 l2 g l1 = l (1 + λ t1 ) l + λ t1 Ta có:  ⇒ = ≈ − λ (t − t1 ) λ = l2 1+ λ t2 l = l (1 + λ t ) T T1 ≈ T1 (1 + λ (t − t1 )) ⇒ ≈ − λ (t − t1 ) ⇒ T2 = T2 2 − λ (t − t1 ) V y T2 = T1 (1 + λ(t - t1 )) + nhi t đ tăng chu kỳ dao đ ng tăng lên + nhi t đ gi m chu kỳ dao đ ng gi m xu ng T h Chú ý: + đưa lên cao mà nhi t đ thay đ i thì: ≈ 1- λ(t - t1 ) T2 R T d + đưa lên xu ng đ sâu d mà nhi t đ thay đ i thì: ≈ 1- λ(t - t1 ) T2 2R D ng 13 : Xác đ nh th i gian dao đ ng nhanh ch m m t ngày đêm M t ngày đêm: t = 24h = 24.3600 = 86400s Chu kỳ dao đ ng là: T1 chu kỳ dao đ ng sai T2 + S dao đ ng l c dao đ ng th c hi n m t ngày đêm: N1 = + S dao đ ng l c dao đ ng sai th c hi n m t ngày đêm: N = t T1 t T2 1 − | T2 T1 T + Th i gian ch y sai m t ngày đêm là: ∆τ = T1.∆N = t | − 1| T2 ü N u chu kỳ tăng l c dao đ ng ch m l i ü N u chu kỳ gi m l c dao đ ng nhanh lên + S dao đông sai m t ngày đêm: ∆N =| N1 − N1 |= t | * Khi đưa lên đ cao h l c dao đ ng ch m m t ngày là: ∆τ = t * Khi đưa xu ng đ sâu h l c dao đ ng ch m m t ngày là: h R τ = t * Th i gian ch y nhanh ch m nhi t đ thay đ i m t ngày đêm là: * Th i gian ch y nhanh ch m t ng quát: τ = t | d 2R τ = t λ | t - t1 | h + λ(t - t1 ) | R D ng 13 : Xác đ nh chu kỳ lăc v p(vư ng) đinh biên đ sau v p đinh 1) Chu kỳ l c: * Chu kỳ cn l c trư c v p đinh: T1 = 2π GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 l1 , l1 : chi u dài l c trư c v p đinh g Trang Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 l * Chu kỳ l c sau v p đinh: T2 = 2π , l : chi u dài l c g sau v p đinh * Chu kỳ c a l c: T = (T1 + T2 ) N 2) Biên đ góc sau v p đinh β0 : Ch n m c th t i O Ta có: WA=WN ⇒ WtA=WtN ⇔ mgl (1 − cosβ0 ) = mgl1 (1 − cosα ) ⇔ l (1 − cosβ0 ) = l1 (1 − cosα ) góc nh nên α0 β0 O 1 l ⇒ l (1 − (1 − β 02 )) = l1 (1 − (1 − α 02 ) ⇒ β = α : biên đ góc sau v p đinh 2 l2 Biên đ dao đ ng sau v p đinh: A' = β l D ng 14: Xác đ nh chu kỳ l c b ng phương pháp trùng phùng Cho hai l c đơn: Con l c chu kỳ T1 bi t Con l c chu kỳ T2 chưa bi t T2 ≈ T1 Cho hai l c dao đ ng m t ph ng th ng đ ng song song trư c m t m t ngư i quan sát Ngư i quan sát ghi l i nh ng l n chúng qua v trí cân b ng lúc chi u(trùng phùng) G i θ th i gian hai l n trùng phùng liên ti p a) N u T1 > T2 : l c T2 th c hi n nhi u l c T1 m t dao đ ng θ  T2 = n + 1 1 θ  ta có θ = nT1 = (n + 1)T2 ⇒  ⇒ = + ⇒ T2 = ⇒ T2 = θ 1 T2 T1 θ n = θ +1 + T1 T1 θ T1   b) N u T1 < T2 : l c T1 th c hi n nhi u l c T2 m t dao đ ng θ  T2 = n θ 1 1  ta có θ = nT2 = (n + 1)T1 ⇒  ⇒ = ⇒ T2 = ⇒ T2 = θ 1 T2 T1 θ n = θ − −1 − T1 T1 θ T1   D ng 15 : Xác đ nh chu kỳ l c ch u tác d ng thêm c a r ngo i l c không đ i F * Chu kỳ l c lúc đ u: T1 = 2π l (1) g * Chu kỳ l c lúc sau: T2 = 2π l (2) g hd r Khi l c ch u tác d ng thêm c a ngo i l c khơng đ i F đó: r r r Tr ng l c hi u d ng(tr ng l c bi u ki n): Phd = F + P r r r r r r F ⇔ mg hd = F + mg ⇒ g hd = g + m r r 1) Khi F ↑↑ P (cùng hư ng) GV: Lê Thanh Sơn, (: 0905930406 α0 N r r F P O Trang 10 A Lý thuy t phương pháp gi i d ng toán ph n dao đ ng l p 12 F g hd = g + T2 T1: chu kỳ tăng m r r 3) Khi F ⊥ P (vng góc) r F α0 F N g hd = g +   T2 0, P r r F ↑↓ E q