CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b  ab bc ca ab   a  b  c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  x  4x  17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a)  15 b) c) 23  19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 17   và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  21 5  2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 2 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S  23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y  2 y x  x y2   x y  b)        0 x   y x y a) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  x y4   x y2   x y  c)            2 x  y x   y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ?  x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh :   3    y x  y x x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh :      y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh :  x    y   x  y  x  6x  17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A    với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d    2 bc cd d a a b 39 Chứng minh  2x   x   x   38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 § HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  G  3x   B x  4x  C x 2x  D 1 x2  5x   x  x  42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? E x   2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình : 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình : 2x  8x  x  4x  12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E B 1  3x G 2x   x 45 Giải phương trình : C 2   9x x  x x 4 D x  5x  H  x  2x    x 2 x  3x 0 x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 1 b)  13  n+1  n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a   b= c) n 2  n  49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1  50 Tính : a) 4 b) 51 Rút gọn biểu thức : M   6x  9x  (3x  1) 11  d) A  m  8m  16  m  8m  16 3 c) 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 45  41  45  41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x  y)  (y  2)  (x  y  z) 0 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau : a) x  x   d) x  b) x   x x  0 x  2x  1 e) x  4x   x  0 h) x  2x   x  6x  1 c) x  x  x  x  0 g) x   x   i) x    x x  25 k) x   x   x   x  1 l) 8x   3x   7x   2x  x  y2 2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13  30   b) m  m   m  m  c)        57 Chứng minh 2  58 Rút gọn biểu thức :  2 2 2 d) 227  30  123  22 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a) C  62   6 3  6  6 3  b) D  9  59 So sánh : a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  60 Cho biểu thức : A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) 11  10  11   52  62   10 b)  14 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1  2    a b c a b c x  16x  60  x  64 Tìm x cho : x   x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  67 Cho biểu thức : A  x  x  2x x x  2x  x 2x  x x  2x x  x  2x b) B  16  x  x  8x  2x  a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(  74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ;  5)(   5) 3 75 Hãy so sánh hai số : a 3  b=2  ; 76 So sánh 4  4 77 Rút gọn biểu thức : Q  7 ; 2 3  1 2 số    4 2 3 78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x  y  y  x 1 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A   x   x  81 Tìm giá trị lớn : M  a b  với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh :  a b  2 2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x  2)  8x x x a 2 2 Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a 1 ab  b 88 Rút gọn : a) A   b 90 Tính : A     a b B b) hai cách 5 6,9 b) 2 2  92 Tính : P   2  2 91 So sánh : a) 13  12 7 93 Giải phương trình : x   2x   x   2x  2 1.3.5 (2n  1)  94 Chứng minh ta ln có : Pn  ; n  Z+ 2.4.6 2n 2n  a2 b2 a b  b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x 4(x  1)  x  4(x  1)      x    x  4(x  1) a b b a : a  b (a, b > ; a ≠ b) ab a b  14   a  a  a  a  15   b)    c)   :  1   1  a (a > 0) 1   a 1   a  1  1  97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a) 5 3 29  20 ; b)   13  48 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  c)    28  16   48  99 So sánh : a)  15 b)  15 12  16 c) 18  19 d) 25  48  100 Cho đẳng thức : a  a2  b a  a  b (a, b > a2 – b > 0)  2 a b  Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2  2  2 2 2 10  30  2  10  2 : 3 2 ; b) 17  12  32 17  12 2 31 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A  b) B  xy  x  y  1 2 xy  x  y  a  bx  a  bx a  bx  a  bx 102 Cho biểu thức P(x)  1 a 1 2 với x   a   , y   b  với x  1  b (a > ; b > 1) 2am , m 1 b   m2  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A x 2 x   x 24 x  4   x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x b) x  x (x  0) e)   3x c)   x g) 2x  2x  106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) x  10    10  a b  a  i) 2x  x 3 2x  , ba cách ?  48  10  c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a)  x  2x  h)  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   d) x   b  a  a2  b  b) 94  42  94  42 b a  a2  b a  a2  b a b   2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 109 Tìm x y cho : xy  x  y  2   b  d 110 Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c2  d  111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a b c    bc ca a b  a  c 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a   b   c   3,5 113 CM : a  c2   b2  c2   b) a a b  b c  c a   d   b  d  (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x  x 115 Tìm giá trị nhỏ : A  (x  a)(x  b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x +  x 118 Giải phương trình : x 1 119 Giải phương trình : x  x   x  x  2 5x   3x  120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x  2 121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x 2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c b(a  c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a  b) a  b  a b  b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh    với a, b, c > bc a c a b 127 Chứng minh 129 Cho x  y  y  x 1 Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12  134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x   x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn  x  2x   b) A x 99  101  x a b  1 (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN A   xy yz zx   với x, y, z > , x + y + z = z x y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 138 Tìm GTNN A  x2 y2 z2   biết x, y, z > , x y yz zx  139 Tìm giá trị lớn : a) A   b) B  a b   a c   a b a d  xy  yz  zx 1 với a, b > , a + b ≤   b c   b d   c d  với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A  b c  với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ cd a b 142 Giải phương trình sau : a) x  5x  3x 12 0 d) x   x  2 b) x  4x 8 x  e) x  x   x  1 h) x   x   x   x  1 k)  3x  1 g) x  2x   x  2x   i) x  x   x 1 x2  x  x  l) 2x  8x   x  2x  m) x  x  x  n) x   x  10  x   x   x  1  x  3x   4  o) x   x   c) 4x   p) 2x   x   2x   2x x  1  x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI  143 Rút gọn biểu thức : A  2  3  144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta ln có :  145 Trục thức mẫu : a) 1  18   20  2 1     n 1  n b) x  x 1   146 Tính : a) 5 3 29  20 147 Cho a   148 Cho b    3 2 17  12  b)   13  48  10  32 17  12 c) 5 3 29  12  Chứng minh a số tự nhiên b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) c)    x  x 4   x 0  x   x  3 x  5 x  x  b) 2    x 2   1 x  3 d) x  x  5 150 Tính giá trị biểu thức : M  12  29  25  21  12  29  25  21 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 1     1 2 3 n 1 n 1 1     152 Cho biểu thức : P  2 3 4 2n  2n  151 Rút gọn : A  a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1     1   100 99  99 100 1     n 154 Chứng minh :  n 155 Cho a  17  Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a  a   a   a  (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x  x   (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S  x   y  , biết x + y = 153 Tính : A  159 Tính giá trị biểu thức sau với a   2a  2a : A    2a   2a 160 Chứng minh đẳng thức sau :   10    15 2    10   8 d) a)  15 c)  b)    48  2    1   e) 17     161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5   10  5 5   1   c)     0,  1,01     1  1     2 3 2 3 3  d)    3    2 6  2 2  a) 27   48 e) h) 2  3 b) 21 5 2      1,9  3  3 g) i) 17  12   3   2  0,8  n  n  Từ suy ra: n 1 2004       2005 1006009 2 3 b) 163 Trục thức mẫu : a)    4 2  3 3 y= 164 Cho x  Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3 3 162 Chứng minh : n   n  CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 2002 2003   2002  2003 2003 2002 x  3xy  y 166 Tính giá trị biểu thức : A  với x 3  y 3  x y2 6x  3  x  x 167 Giải phương trình : x  1 x b) 10x  14 1 c)  2  2x 4 168 Giải bất pt : a) 3  5x  72 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A   c) C  3 29  12 x   x2  2x   x  1 E     1 2 3 b) B   a  a(a  1)  a d) D  a1 a x  5x   x  x 3x  x  (x  2)  x 24  25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A    x2  171 Tìm giá trị nhỏ A  với < x < 1 x x 172 Tìm GTLN : a) A  x   y  biết x + y = ; b) B  y x  x y 173 Cho a  1997  1996 ; b  1998  1997 So sánh a với b, số lớn ? b) B   x  2x  174 Tìm GTNN, GTLN : a) A  52 6 x 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 179 Giải phương trình : A x  x A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A x x  y y biết x  y 1  x  x  3x   (x  2) x 3 x § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180 Giải phương trình : x  2x    4x  2x 1 1      2 (n  1) n 1 1     182 Cho A  Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x  y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n  Z+ , ta có : 184 Cho a  3  ; b   2   CMR : a, b số hữu tỉ 3 ... 1999.1 183 Cho số x, y x  y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n  Z+ , ta có : 184 Cho a  3  ; b   2   CMR : a, b số hữu tỉ 3 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU... 3x  120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x  2 121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x 2 124 ... : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  x y4   x y2   x y  c)            2 x  y x   y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số