Tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác docx

28 530 0
Tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác docx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ Chương B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s : CÁC BƯ C ð U CƠ S ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta khơng th khơng chu n b hành trang ñ lên ñư ng Toán h c v y Mu n khám phá ñư c hay ñ p c a b t ñ ng th c lư ng giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n h u d ng, chương 1: “Các bư c ñ u s ” Chương t ng quát nh ng ki n th c b n c n có đ ch ng minh b t đ ng th c lư ng giác Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c ñ y ñ cho m t cu c “hành trình” Trư c h t b t ñ ng th c ñ i s b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Ti p theo ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan b n tam giác Cu i m t s đ nh lý khác cơng c ñ c l c vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm n tính …) M cl c: 1.1 Các b t ñ ng th c ñ i s b n…………………………………………… 1.1.1 B t ñ ng th c AM – GM… …………… 1.1.2 B t ñ ng th c BCS…………………………………………………… 1.1.3 B t ñ ng th c Jensen……………………………………………… 13 1.1.4 B t ñ ng th c Chebyshev………………………………………… 16 1.2 Các ñ ng th c, b t ñ ng th c tam giác…………………………… 19 1.2.1 ð ng th c…………………………………………………………… 19 1.2.2 B t ñ ng th c……………………………………………………… 21 1.3 M t s ñ nh lý khác……………………………………………………… 22 1.3.1 ð nh lý Largare ……………………… …………………………… 22 1.3.2 ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………… 25 1.3.3 ð nh lý v hàm n tính…………………………………………… 28 1.4 Bài t p…………………………………………………………………… 29 The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s 1.1 Các b t ñ ng th c ñ i s b n : 1.1.1 B t ñ ng th c AM – GM : V i m i s th c không âm a1 , a , , a n ta ln có a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) m t b t ñ ng th c quen thu c có ng d ng r t r ng rãi ðây b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ ràng nh t, s cơng c hồn h o cho vi c ch ng minh b t ñ ng th c Sau ñây hai cách ch ng minh b t ñ ng th c mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho r ng ng n g n hay nh t Ch ng minh : Cách : Quy n p ki u Cauchy V i n = b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng Khi n = b t ñ ng th c tr thành a1 + a ≥ a1 a ⇔ a1 − a ≥ (ñúng!) Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c : a1 + a + + a k k ≥ a1a a k k Ta s ch ng minh v i n = 2k Th t v y ta có : (a1 + a + + ak ) + (a k +1 + ak +2 + + a 2k ) (a1 + a + + ak )(ak +1 + ak +2 + + a2k ) ≥ 2k k ( ) ≥ (k k )( a1 a a k k k a k +1 a k + a k ) k = k a1 a a k a k +1 a k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − Khi : a1 + a + + a k −1 + k −1 a1a a k =1 ≥ k k a1 a a k −1 k −1 a1a a k −1 = k k −1 a1 a a k −1 ⇒ a1 + a + + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a a k −1 Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn ð ng th c x y ⇔ a1 = a = = a n Cách : ( l i gi i c a Polya ) The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ G i A = B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a + a + + a n n Khi b t đ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i a1 a a n ≤ A n (*) Rõ ràng n u a1 = a = = a n = A (*) có d u đ ng th c Gi s chúng không b ng Như v y ph i có nh t m t s , gi s a1 < A m t s khác, gi s a > A t c a1 < A < a Trong tích P = a1 a a n ta thay a1 b i a'1 = A thay a b i a' = a1 + a − A Như v y a'1 + a' = a1 + a mà a'1 a' −a a = A(a1 + a − A) − a1a = (a1 − A)(a − A) > ⇒ a'1 a' > a1 a ⇒ a1 a a3 a n < a'1 a' a3 a n Trong tích P ' = a '1 a' a3 a n có thêm th a s b ng A N u P ' cịn th a s khác A ta ti p t c bi n đ i đ có thêm m t th a s n a b ng A Ti p t c v y t i ña n − l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A đư c tích A n Vì q trình bi n đ i tích th a s tăng d n ⇒ P < A n ⇒ đpcm Ví d 1.1.1.1 Cho A,B,C ba góc c a m t tam giác nh n CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 L i gi i : tan A + tan B = − tan C − tan A tan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương Theo AM – GM ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ ⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C ) ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 ð ng th c x y ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñ u Ví d 1.1.1.2 Cho ∆ABC nh n CMR : cot A + cot B + cot C ≥ The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s L i gi i : Ta ln có : cot ( A + B ) = − cot C cot A cot B − ⇔ = − cot C cot A + cot B ⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = Khi : (cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ ⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ D u b ng x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.1.3 CMR v i m i ∆ABC nh n n ∈ N * ta ln có : n −1 tan n A + tan n B + tan n C ≥3 tan A + tan B + tan C L i gi i : Theo AM – GM ta có : tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C ) n tan n A + tan n B + tan n C n −3 ≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 ⇒ tan A + tan B + tan C ⇒ ñpcm ( ) n −3 =3 n n −1 Ví d 1.1.1.4 Cho a,b hai s th c th a : cos a + cos b + cos a cos b ≥ CMR : cos a + cos b ≥ L i gi i : Ta có : cos a + cos b + cos a cos b ≥ ⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ Theo AM – GM : The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s (1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ ⇒ cos a + cos b ≥ Ví d 1.1.1.5 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :  cos C cos A cos B cos C A B B C C A cos A cos B + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A B B C C A 2 2 2 3 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 L i gi i : Ta có cos A A A = sin cot A 2 cos cos A cos B A B    =  sin sin  cot A cot B  A B  2   cos cos 2 Theo AM – GM : A B 3   cos A cos B  sin sin + cot A cot B  2  ≤ A B   cos cos   2   cos A cos B A B   ≤  sin sin + cot A cot B  A B 2 3  cos cos 2 Tương t ta có : cos B cos C B C   ≤  sin sin + cot B cot C  B C 2 3  cos cos 2 ⇒ cos C cos A A  C ≤  sin sin + C A 2 3 cos cos 2 C ng v theo v b t ñ ng th c ta ñư The Inequalities Trigonometry  cot C cot A   c: Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s cos A cos B cos B cos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 ≤ A B B C C A  (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3 = A B B C C A  ⇒ ñpcm  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3 Bư c ñ u ta m i ch có b t đ ng th c AM – GM ñ ng th c lư ng giác nên s c nh hư ng ñ n b t ñ ng th c h n ch Khi ta k t h p AM – GM BCS, Jensen hay Chebyshev th c s m t vũ khí đáng g m cho b t ñ ng th c lư ng giác 1.1.2 B t ñ ng th c BCS : (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta ln có : (a1b1 + a2 b2 + + a n bn )2 ≤ (a1 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) V i hai b s N u AM – GM “cánh chim ñ u ñàn” vi c ch ng minh b t đ ng th c BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c V i AM – GM ta ln ph i ý u ki n bi n không âm, ñ i v i BCS bi n không b ràng bu c b i u ki n đó, ch c n s th c ñúng Ch ng minh b t ñ ng th c r t ñơn gi n Ch ng minh : Cách : Xét tam th c : 2 f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a x − b2 ) + + (a n x − bn ) Sau khai tri n ta có : 2 2 2 f ( x) = a1 + a + + a n x − 2(a1b1 + a b2 + + a n bn )x + b1 + b2 + + bn M t khác f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên : ( ) ( ( )( ∆ f ≤ ⇔ (a1b1 + a b2 + + a n bn ) ≤ a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn ð ng th c x y ⇔ 2 2 2 ) ) ⇒ ñpcm a a1 a = = = n (quy c n u bi = = ) b1 b2 bn Cách : The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có : 2 bi + ≥ 2 2 a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s bi (a 2 )( 2 + a + + a n b1 + b2 + + bn Cho i ch y t ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có đpcm ðây cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh ! ) Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, h m c thêm cánh, r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a Hai b t đ ng th c bù ñ p b sung h tr cho vi c ch ng minh b t ñ ng th c Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” cơng phá thành cơng nhi u tốn khó “Trăm nghe khơng b ng m t th y”, ta xét ví d đ th y rõ u Ví d 1.1.2.1 CMR v i m i a,b, α ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b      L i gi i : Ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin α + (a + b )sin α cos α + ab cos α + cos 2α − cos 2α (a + b ) sin 2α + ab + 2 = (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) = (1) Theo BCS ta có : (2) A2 + B A sin x + B cos x ≤ Áp d ng (2) ta có : (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2 Thay (3) vào (1) ta ñư c : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ (1 + ab + (a ( (a )) a+b +1 b2 +1 ≤ +     )( The Inequalities Trigonometry )( (a )( ) (3) +1 b2 +1 )) (4) +1 b2 +1 Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b : 1 + ab + = (5) Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Th t v y : (5) ⇔ ab + + 2 (a )( ) +1 b2 +1 ≤ 1+ a + b ab + a2 + b2 + 2 a +1 + b2 +1 2 (6) ⇔ a +1 b +1 ≤ Theo AM – GM (6) hi n nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng T (1) (5) suy v i m i a,b, α ta có : ( )( ) ( ⇔ )( ) ( a +1 b2 +1 ≤ ) ( ) (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b      ð ng th c x y x y ñ ng th i d u b ng (1) (6) a = b a = b a = b    ⇔  a+b ab − ⇔  π a+b a+b ⇔  = +k  tgα = α = arctg  sin 2α cos 2α ab − ab − 2   (k ∈ Z ) Ví d 1.1.2.2 Cho a, b, c > a sin x + b cos y = c CMR : cos x sin y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : − sin x − cos y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 c2 sin x cos y ⇔ + ≥ (*) a b a + b3 Theo BCS : (a1b1 + a b2 )2 ≤ a12 + a 2 b1 + b2 ( v i )( ) sin x cos y  ; a2 = a1 = b a  b = a a ; b = b b   sin x cos y  3 ⇒   a + b  a + b ≥ (a sin x + b cos y )   3 a + b > a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm ( The Inequalities Trigonometry ) 10 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ ð ng th c x y ⇔ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a1 a sin x cos y = ⇔ = b1 b2 a b  sin x cos y =  ⇔  a2 b a sin x + b cos y = c   a 2c sin x =   a + b3 ⇔ cos y = b c  a3 + b3  Ví d 1.1.2.3 CMR v i m i ∆ABC ta có : a2 + b2 + c2 2R v i x, y, z kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên ∆ABC ñ n ba c nh BC , CA, AB x+ y+ z≤ A L i gi i : Ta có : S ABC = S MAB + S MBC + S MCA ⇔ P Q S MAB S MBC S MCA + + =1 S ABC S ABC S ABC y z M x B z y x ⇔ + + =1 hc hb C N  x y z  ⇒ + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +  h   a hb hc  Theo BCS : x + y + z = x + hb y hb + hc z hc ≤  x y z  + +  = + hb + hc   hb hc  (ha + hb + hc )  1 aha = ab sin C ⇒ = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B 2 ab bc ca ⇒ + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + + 2R 2R 2R T suy : mà S = x+ y+ z≤ ab + bc + ca ≤ 2R The Inequalities Trigonometry a2 + b2 + c2 ⇒ ñpcm 2R 11 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a = b = c ð ng th c x y ch  ⇔ ∆ABC ñ u M tâm n i ti p ∆ABC x = y = z Ví d 1.1.2.4 Ch ng minh r ng :  π cos x + sin x ≤ ∀x ∈  ;   2 L i gi i : Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p l n ta có : ( cos x + sin x ) ≤ ((1 ) ≤ (1 + ) (1 ) + 12 (cos x + sin x ) 2 2 )( ) + 12 cos x + sin x = ⇒ cos x + sin x ≤ ð ng th c x y ch x = π Ví d 1.1.2.5 Ch ng minh r ng v i m i s th c a x ta có − x sin a + x cos a ≤1 1+ x2 ( ) L i gi i : Theo BCS ta có : ((1 − x )sin a + x cos a ) 2 (( ≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin 2 2 a + cos a = − 2x + x + 4x = + 2x + x ) (( ) ) ≤ (1 + x ) (1 − a )sin a + x cos a ≤ ⇔ ⇒ − x sin a + x cos a 2 2 1+ x2 ⇒ ñpcm The Inequalities Trigonometry 12 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C   sin A + sin B + sin C ≥ sin A + sin B + sin C  3 sin A + sin B + sin C ≤ 3 ⇒ < sin A + sin B + sin C ≤ Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1] Ta có f ' ( x ) = ln x + 1 f ' ' ( x ) = > ∀x ∈ (0 ;1] x Bây gi v i Jensen ta ñư c : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C ) ln ≤ 3    sin A + sin B + sin C  ⇔ ln    sin A+ sin B + sin C ≤ ln(sin A) sin A + ln(sin B ) sin B + ln(sin C ) sin C  sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C  sin A sin B sin C ⇔ ln    ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C )      [ ] (sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C ⇔ sin A+ sin B + sin C ⇒ (sin A) sin A (sin B ) (sin C ) sin B sin C sin A+sin B +sin C   ≥ sin A+sin B +sin C =   3 sin A + sin B + sin C 2 ≥  3 3 ⇒ ñpcm 1.1.4 B t ñ ng th c Chebyshev : V i hai dãy s th c ñơn ñi u chi u a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ta có : a1b1 + a b2 + + a n bn ≥ (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) n Theo kh c a tác gi r t s d ng b t đ ng th c Vì trư c h t ta c n ñ ý t i chi u c a bi n, thư ng ph i s p l i th t bi n Do tốn c n có u c u đ i x ng hoàn toàn gi a bi n, vi c s p x p th t s không làm m t tính t ng quát c a tốn Nhưng khơng th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t ñ ng th c Chebyshev vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n ng n g n The Inequalities Trigonometry 16 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Ch ng minh : B ng phân tích tr c ti p, ta có ñ ng th c : n ∑ (a − a )(b − b ) ≥ u nên (a − a )(b − b ) ≥ n(a1b1 + a b2 + + a n bn ) − (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) = i j i j i , j =1 Vì hai dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ñơn ñi u chi i j i j N u dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn đơn u ngư c chi u b t ñ ng th c ñ i chi u Ví d 1.1.4.1 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : aA + bB + cC π ≥ a+b+c L i gi i : Khơng m t tính t ng qt gi s : a≤b≤c⇔ A≤ B≤C Theo Chebyshev :  a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC   ≤ 3    aA + bB + cC A + B + C π ≥ = ⇒ a+b+c 3 ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.2 Cho ∆ABC khơng có góc tù A, B, C đo b ng radian CMR :  sin A sin B sin C  + + 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C )  B C   A L i gi i : sin x  π v i x ∈  0;  x  2 cos x( x − tan x )  π Ta có f ' ( x ) = ≤ ∀x ∈  ;  x  2 Xét f ( x ) = The Inequalities Trigonometry 17 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s V y f ( x ) ngh ch bi n  ; π    2  Không m t t ng quát gi s : sin A sin B sin C A≥ B≥C⇒ ≤ ≤ A B C Áp d ng b t đ ng th c Chebyshev ta có : ( A + B + C ) sin A + sin B + sin C  ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm   B C   A ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.3 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C ≤ cos A + cos B + cos C L i gi i : Không m t t ng quát gi s A ≥ B ≥ C tan A ≥ tan B ≥ tan C ⇒ cos A ≤ cos B ≤ cos C Áp d ng Chebyshev ta có :  tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ⇔ ≤ cos A + cos B + cos C Mà ta l i có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.4 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin 2C 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C L i gi i : Không m t t ng quát gi s a≤b≤c The Inequalities Trigonometry 18 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A ≤ sin B ≤ sin C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cos C Khi theo Chebyshev :  sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin 2C ⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch ∆ABC ñ u 1.2 Các ñ ng th c b t ñ ng th c tam giác : Sau ñây h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c tam giác lư ng giác ñư c dùng chuyên ñ ho c r t c n thi t cho q trình h c tốn c a b n đ c Các b n có th dùng ph n m t t ñi n nh ñ tra c u c n thi t.Hay b n đ c có th ch ng minh t t c k t qu t p rèn luy n Ngồi tơi xin nh c v i b n ñ c r ng nh ng ki n th c ph n áp d ng vào t p ñ u c n thi t ñư c ch ng minh l i 1.2.1 ð ng th c : a b c = = = 2R sin A sin B sin C a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a + b − 2ab cos C c = a cos B + b cos A 1 a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = = R sin A sin B sin C = pr 4R = ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc S= = p( p − a )( p − b )( p − c ) The Inequalities Trigonometry 19 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ 2bc cos ma mb mc la = 2b + 2c − a = 2c + 2a − b = 2a + 2b − c = A = ( p − b )( p − c ) sin B = ( p − c )( p − a ) sin C = ( p − a )( p − b) bc ca ab A B C = ( p − c ) tan A B C = R sin sin sin 2 B = ( p − b ) tan C a+b  A− B tan  a−b   = a+b  A+ B tan     B−C  tan  b−c   = b+c B+C tan    C − A tan  c−a   = c+a C + A tan    sin r = ( p − a ) tan c+a 2ab cos lc = A b+c 2ca cos lb = B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s b2 + c2 − a2 4S c + a2 − b2 cot B = 4S a + b2 − c2 cot C = 4S cot A = a2 + b2 + c2 cot A + cot B + cot C = 4S cos A = p( p − a ) bc tan A = cos B = p( p − b ) ca tan B = cos C = p( p − c ) ab tan C = ( p − b)( p − c ) p( p − a ) ( p − c )( p − a ) p( p − b ) ( p − a )( p − b ) p( p − c ) A B C p cos cos = 2 R sin A + sin B + sin 2C = sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C = cos sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) A B C r cos A + cos B + cos C = + sin sin sin = + R 2 2 2 cos A + cos B + cos C = − cos A cos B cos C The Inequalities Trigonometry 20 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cot sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) cos(2k + 1) k sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1) k +1 A B C cos(2k + 1) cos(2k + 1) 2 sin kA sin kB sin kC A B C k cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = + (− 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) 2 k cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) cos kA cos kB cos kC tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = A B B C C A tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 2 2 2 A B C A B C cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1) 2 2 2 k 2 cos kA + cos kB + cos kC = + (− 1) cos kA cos kB cos kC tan (2k + 1) sin kA + sin kB + sin kC = + (− 1) k +1 cos kA cos kB cos kC 1.2.2 B t ñ ng th c : a−b < c < a+b b−c < a x  Ta có f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x − x +1 Xét g (t ) = ln t liên t c [x ; x + 1] kh vi ( x ; x + 1) nên theo Lagrange : ln( x + 1) − ln x ∃c ∈ ( x ; x + 1): = g ' (c ) > (x + 1) − x x +1 ⇒ f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x − >0 x +1 v i x > ⇒ f ( x ) tăng (0 ; + ∞ )   ⇒ f ( x + 1) > f ( x ) ⇒ ln1 +  x + 1    ⇒ 1 +  x + 1  ⇒ ñpcm x +1  1 > 1 +  x  x +1  1 > ln1 +  x  x x Ví d 1.3.1.5 Ch ng minh r ng ∀n ∈ Z + ta có : 1   ≤ arctan ≤ 2 n + 2n +  n + n +1 n +1 L i gi i : Xét f ( x ) = arctan x liên t c [n ; n + 1] ⇒ f ' (x ) = (n ; n + 1) ∀n ∈ Z + 1+ x2 Theo ñ nh lý Lagrange ta có : f (n + 1) − f (n ) ∃c ∈ (n ; n + 1): f ' (c ) = (n + 1) − n ⇒  n +1− n  = arctan(n + 1) − arctan n = arctan  + (n + 1)n   1+ c   ⇒ 1   = arctan  1+ c  n + n + 1 The Inequalities Trigonometry 24 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ð ý c ∈ (n ; n + 1) ⇒ ≤ n < c < n + ⇒ n < c < (n + 1) ⇔ n + < c + < n + 2n + 1 < < n + 2n + c + n + 1 1   ⇔ < arctan < n + 2n +  n + n + 1 n + ⇒ ñpcm ⇔ 1.3.2 ð nh lý v d u c a tam th c b c hai : Cho tam th c f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b − 4ac - N u ∆ < f ( x ) d u v i h s a, v i m i s th c x b - N u ∆ = f ( x ) d u v i a v i m i x ≠ − 2a - N u ∆ > f ( x ) có hai nghi m x1 , x gi s x1 < x Th f ( x ) d u v i a v i m i x ngồi đo n [x1 ; x ] (t c x < x1 hay x > x ) f ( x ) trái d u v i a x kho ng hai nghi m (t c x1 < x < x ) Trong m t s trư ng h p, đ nh lý m t cơng c h t s c hi u qu Ta s coi bi u th c c n ch ng minh m t tam th c b c hai theo m t bi n r i xét ∆ V i đ nh lý b t ñ ng th c thư ng rơi vào trư ng h p ∆ ≤ mà ta xét ∆ > Ví d 1.3.2.1 CMR ∀x, y, z ∈ R + ∆ABC b t kỳ ta có : cos A cos B cos C x + y + z + + ≤ x y z xyz L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x − x( y cos C + z cos B ) + y + z − yz cos A ≥ Coi ñây tam th c b c hai theo bi n x ∆' = ( y cos C + z cos B ) − y + z − yz cos A ( ( ) ) = −( y sin C − z sin B ) ≤ V y b t ñ ng th c ñúng The Inequalities Trigonometry 25 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ð ng th c x y ch :  y sin C = z sin B ⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c   x = y cos C + z cos B t c x, y, z ba c nh c a tam giác tương ñương v i ∆ABC Ví d 1.3.2.2 CMR ∀x ∈ R ∆ABC b t kỳ ta có : 1 + x ≥ cos A + x(cos B + cos C ) L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x − x(cos B + cos C ) + − cos A ≥ ∆' = (cos B + cos C ) − 2(1 − cos A) 2 B+C B−C   A cos =  cos  − sin 2   A B −C  = sin  cos − 1 2  A B−C = −4 sin sin ≤0 2 V y b t ñ ng th c ñúng ð ng th c x y ch : ∆ = B = C ⇔   x = cos B + cos C  x = cos B = cos C Ví d 1.3.2.4 CMR m i ∆ABC ta đ u có : a+b+c ab sin A + bc sin B + ca sin C ≤     2 2 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : a + 2a(b cos A + c cos 2C ) + b + c + 2bc cos B ≥ ( ∆' = (b cos A + c cos 2C ) − b + c + 2bc cos B The Inequalities Trigonometry ) 26 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s = −(b sin A + c sin 2C ) ≤ V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh xong Ví d 1.3.2.4 Cho ∆ABC b t kỳ CMR : cos A + cos B + cos C ≤ L i gi i : B+C B−C cos − cos( A + B ) 2 A+ B A− B A+ B ⇔ cos − cos cos + k −1 = 2 A+ B nghi m c a phương trình : Do cos A−B x − cos x + k −1 = A+ B Xét ∆' = cos − 2(k − 1) ð t n t i nghi m : A− B ∆' ≥ ⇔ 2(k − 1) ≤ cos ≤1⇒ k ≤ 2 ⇒ cos A + cos B + cos C ≤ ⇒ ñpcm ð t k = cos A + cos B + cos C = cos Ví d 1.3.2.5 CMR ∀x, y ∈ R ta có : sin x + sin y + cos( x + y ) ≤ L i gi i : ð t k = sin x + sin y + cos( x + y ) = sin Khi sin x+ y x− y x+ y cos + − sin 2 2 x+ y nghi m c a phương trình : x− y x − cos x + k −1 = The Inequalities Trigonometry 27 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ⇒ ∆' = − 2(k − 1) ≥ ⇒k≤ ⇒ ñpcm 1.3.3 ð nh lý v hàm n tính : Xét hàm f ( x ) = ax + b xác ñ nh ño n [α ; β ]  f (α ) ≥ k (k ∈ R ) N u  f (β ) ≥ k f ( x ) ≥ k ∀x ∈ [α ; β ] ðây m t ñ nh lý hay Trong m t s trư ng h p, mà AM – GM ñã bó tay, BCS đ u hàng vơ u ki n đ nh lý v hàm n tính m i phát huy h t s c m nh c a M t phát bi u h t s c đơn gi n l i l i cho nhi u b t đ ng th c khó Ví d 1.3.3.1 Cho a, b, c nh ng s th c không âm th a : a2 + b2 + c2 = a + b + c ≤ abc + CMR : L i gi i : Ta vi t l i b t ñ ng th c c n ch ng minh dư i d ng :   1 − bc a + b + c − ≤     Xét f (a ) = 1 − bc a + b + c − v i a ∈ [0 ; 2]   Khi : ( ) f (0) = b + c − ≤ b + c − = − = f (2 ) = − bc + b + c − = − < − = (vì a = ⇔ b = c = ) V y f (a ) ≤ ∀a ∈ [0 ; 2] ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch a = , b = c = hoán v The Inequalities Trigonometry 28 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Ví d 1.3.3.2 CMR ∀a, b, c khơng âm ta có : 7(ab + bc + ca )(a + b + c ) ≤ 9abc + 2(a + b + c ) L i gi i : a b c ;y = ;z = Khi tốn tr thành : a+b+c a+b+c a+b+c Ch ng minh 7( xy + yz + zx ) ≤ xyz + v i x + y + z = Khơng m t tính t ng qt gi s x = max{x, y, z} 1  Xét f ( x ) = (7 y + z − yz )x + yz − v i x ∈  ;1 3  Ta có : 1 f   = ; f (1) = −2 < 3 1  ⇒ f ( x ) ≤ ∀x ∈  ;1 3  V y b t ñ ng th c ch ng minh xong ð ng th c x y ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c ð t x= ðây ph n nh t c a chun đ khơng đ c p ñ n lư gi i thi u cho b n ñ c m t ñ nh lý hay ñ ch ng minh b t m t s b t ñ ng th c lư ng giác, ta v n có th áp d b n nên ý d u b ng c a b t ñ ng th c x y ph c a hàm lư ng giác ng giác Nó ch mang tính đ ng th c Nhưng th c ng ñ nh lý Ch có ñi u i phù h p v i t p xác ñ nh 1.4 Bài t p : Cho ∆ABC CMR : 1.4.1 cot A + cot B + cot C ≥ 1.4.2 sin 1.4.3 1.4.4 v i ∆ABC nh n A B C 2− + sin + sin ≤ 4 1 + + ≥2 sin A sin B sin C A B C A B C sin + sin + sin + sin sin sin ≥ 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 29 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ 1.4.5 1.4.6 1.4.7 1.4.8 1.4.9 1.4.10 1.4.11 1.4.12 1.4.13 1.4.14 1.4.15 B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A sin B sin C A− B B−C C−A cos cos cos ≥ sin A sin B sin C 2 + cos A cos B cos C ≥ sin A sin B sin C 1 34 + + ≥ a+b−c b+c−a c+a−b S a b c + + ≥2 m a mb m c cot A + cot B + cot C ≤ m a mb mc 3 + + ≥ a b c m a l a + mb l b + m c l c ≥ p 1 + + > a ma b mb c mc abc ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc + hb + hc ≥ 9r  A + 3B   B + 3C   C + A  sin A sin B sin C ≤ sin  sin  sin         The Inequalities Trigonometry 30 ... ch ∆ABC ñ u 1.2 Các ñ ng th c b t ñ ng th c tam giác : Sau ñây h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c tam giác lư ng giác ñư c dùng chuyên ñ ho c r t c n thi t cho q trình h c tốn... b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n ng n g n The Inequalities Trigonometry 16 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c... chung Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen Dù có v khó tin s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo

Ngày đăng: 23/12/2013, 07:17

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan