1 Px!phangiakhue GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 0 ࣊ ૚૛ ࣊ ૡ ࣊ ૟ ࣊ ૝ ࣊ ૜ ૜࣊ ૡ ૞࣊ ૚૛ ࣊ ૛ ૠ࣊ ૚૛ ૞࣊ ૡ ૛࣊ ૜ ૜࣊ ૝ ૞࣊ ૟ ૠ࣊ ૡ ૚૚࣊ ૚૛ ࣊ sin 0 √ 6− √ 2 4 ඥ 2− √ 2 2 1 2 √ 2 2 √ 3 2 ඥ 2+ √ 2 2 √ 6+ √ 2 4 1 √ 6+ √ 2 4 ඥ 2+ √ 2 2 √ 3 2 √ 2 2 1 2 ඥ 2− √ 2 2 √ 6− √ 2 4 0 cos 1 √ 6+ √ 2 4 ඥ 2+ √ 2 2 √ 3 2 √ 2 2 1 2 ඥ 2− √ 2 2 √ 6− √ 2 4 0 √ 2− √ 6 4 − ඥ 2− √ 2 2 − 1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 − ඥ 2+ √ 2 2 − √ 6+ √ 2 4 -1 tan 0 2− √ 3 √ 2−1 √ 3 3 1 √ 3 √ 2+1 √ 6− √ 2 4 | −2− √ 3 − √ 2−1 − √ 3 -1 − √ 3 3 1− √ 2 √ 3−2 0 cot | 2+ √ 3 √ 2+1 √ 3 1 √ 3 3 √ 2−1 2− √ 3 0 √ 3−2 1− √ 2 − √ 3 3 -1 − √ 3 − √ 2−1 −2− √ 3 | Dấu của các giá trị lượng giác: 0 < α < గ ଶ గ ଶ < α < π cosα + - sinα + + tanα + - cotα + - Các đẳng thức lượng giác cơ bản: sin 2 ߙ + cos 2 ߙ = 1 tanߙ.cotߙ = 1 1 cos 2 ߙ =1+ tan 2 ߙ 1 sin ଶ ߙ =1+cot ଶ ߙ Hàm số lượng giác của cung đối nhau : sin ሺ −ߙ ሻ = −sinߙ cos ሺ −ߙ ሻ = cosߙ tan ሺ −ߙ ሻ = −tanߙ cot ሺ −ߙ ሻ = −cotߙ Hàm số lượng giác của các cung bù nhau: sinሺߨ−ߙሻ = sinߙ cosሺߨ−ߙሻ = −cosߙ tanሺߨ−ߙሻ = −tanߙ cotሺߨ−ߙሻ = −cotߙ Hàm số lượng giác của cung phụ nhau: sinሺ ߨ 2 −ߙሻ= cosߙ cosሺ ߨ 2 −ߙሻ = sin ߙ tanሺ ߨ 2 −ߙሻ = cotߙ cotሺ ߨ 2 −ߙሻ = tanߙ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng: sin ሺ ߙ± ߚ ሻ = sinߙcosߚ± cosߙsinߚ cos ሺ ߙ± ߚ ሻ = cosߙcosߚ∓ sinߙsinߚ tan ሺ ߙ± ߚ ሻ = tanߙ ± tanߚ 1∓tanߙ.tanߚ cot ሺ ߙ±ߚ ሻ = ±cotߙcotߚ−1 cotߙ±cotߚ Công thức nhân đôi: sin2ߙ =2sinߙ.cosߙ tan2ߙ = 2tanߙ 1−tan ଶ ߙ cos2ߙ = cos ଶ ߙ−sin ଶ ߙ =2cos ଶ ߙ −1=1−2sin ଶ ߙ Công thức nhân ba: cos3ߙ =4cos ଷ ߙ−3cosߙ tan3ߙ = 3tanߙ−tan ଷ ߙ 1−3tan ଶ ߙ sin3ߙ= 3sinߙ−4sin ଷ ߙ 2 Px!phangiakhue Công thức biến đổi tích thành tổng: cosߙ.cosߚ= 1 2 ሾ cos ሺ ߙ+ߚ ሻ +cos ሺ ߙ−ߚ ሻሿ sinߙ.sinߚ= 1 2 ሾ cos ሺ ߙ−ߚ ሻ −cos ሺ ߙ+ߚ ሻሿ sinߙ.cosߚ= 1 2 ሾ sin ሺ ߙ+ߚ ሻ +sin ሺ ߙ−ߚ ሻሿ cosߙ.sinߚ= 1 2 ሾ sin ሺ ߙ+ߚ ሻ −sin ሺ ߙ−ߚ ሻሿ Công thức biến đổi tổng thành tích: cosߙ+cosߚ=2cos ߙ+ߚ 2 cos ߙ−ߚ 2 cosߙ−cosߚ=−2sin ߙ+ߚ 2 sin ߙ−ߚ 2 sinߙ+sinߚ=2sin ߙ+ߚ 2 cos ߙ−ߚ 2 sinߙ−sinߚ=2cos ߙ+ߚ 2 sin ߙ−ߚ 2 tanߙ+tanߚ= sin ሺ ߙ+ߚ ሻ cosߙ.cosߚ cotߙ+cotߚ= sin ሺ ߙ+ߚ ሻ sinߙ.sinߚ tanߙ−tanߚ= sin ሺ ߙ−ߚ ሻ cosߙ.cosߚ cotߙ−cotߚ= sin ሺ ߚ−ߙ ሻ sinߙ.sinߚ Công thức hạ bậc: sin ଶ ߙ= 1−cos2ߙ 2 cos ଶ ߙ= 1+cos2ߙ 2 sin ଷ ߙ= 3sinߙ−sin3ߙ 4 cos ଷ ߙ= 3cosߙ+cos3ߙ 4 Công thức rút gọn: asinݔ+ܾcosݔ= √ ܽ ଶ +ܾ ଶ sin ሺ ݔ+ߙ ሻ ݒớ݅ cotߙ= ௕ ௔ = √ ܽ ଶ +ܾ ଶ cos ሺ ݔ−ߙ ሻ ݒớ݅ tanߙ= ௔ ௕ asinݔ−ܾcosݔ= ඥ ܽ ଶ +ܾ ଶ sin ሺ ݔ−ߙ ሻ ݒớ݅ cotߙ= ܾ ܽ = √ ܽ ଶ +ܾ ଶ cos ሺ ݔ+ߙ ሻ ݒớ݅ tanߙ= ௔ ௕ Hệ quả: sinߙ+cosߙ= √ 2sinቀߙ+ ߨ 4 ቁ= √ 2cosቀߙ− ߨ 4 ቁ sinߙ−cosߙ= √ 2sinቀߙ− ߨ 4 ቁ=− √ 2cosቀߙ+ ߨ 4 ቁ tanߙ+cotߙ= 2 sin2ߙ tanߙ−cotߙ=−2cot2ߙ Công thức tính sinα, cosα, tanα theo ࢚=࢚ࢇ࢔ ࢻ ૛ sinߙ= 2ݐ 1+ݐ ଶ cosߙ= 1−ݐ ଶ 1+ݐ ଶ tanߙ= 2ݐ 1−ݐ ଶ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lý hàm số cosin: ܽ ଶ =ܾ ଶ +ܿ ଶ −2ܾܿcosܣ ܾ ଶ =ܽ ଶ +ܿ ଶ −2ܽܿcosܤ ܿ ଶ =ܽ ଶ +ܾ ଶ −2ܾܽcosܥ 3 Px!phangiakhue Định lý hàm số sin: ܽ sinܣ = ܾ sinܤ = ܿ sinܥ =2ܴ Định lý đường trung tuyến : ܾ ଶ +ܿ ଶ =2݉ ௔ ଶ + ܽ ଶ 2 ܽ ଶ +ܿ ଶ =2݉ ௕ ଶ + ܾ ଶ 2 ܽ ଶ +ܾ ଶ =2݉ ௖ ଶ + ܿ ଶ 2 Định lý đường phân giác: Phân giác trong ݈ ஺ = 2ܾܿcos ܣ 2 ܾ+ܿ = 2 ඥ ܾܿ݌ሺ݌−ܽሻ ܾ+ܿ ݈ ஻ = 2ܽܿcos ܤ 2 ܽ+ܿ = 2 ඥ ܽܿ݌ሺ݌−ܾሻ ܽ+ܿ ݈ ஼ = 2ܾܽcos ܥ 2 ܽ+ܾ = 2 ඥ ܾܽ݌ሺ݌−ܿሻ ܽ+ܾ Phân giác ngoài ݈′ ஺ = 2ܾܿcos ܣ 2 |ܾ−ܿ| ݈′ ஻ = 2ܽܿcos ܤ 2 |ܽ−ܿ| ݈′ ஼ = 2ܾܽcos ܥ 2 |ܽ−ܾ| Định lý hình chiếu: a = b. cos C + c. cos B b = c. cos A + a. cos C c = a. cos B + b. cos A Công thức về diện tích: ܵ= ଵ ଶ ܾܿsinܣ= ଵ ଶ ܽܿsinܤ= ଵ ଶ ܾܽsinܥ ܵ= ܾܽܿ 4ܴ ܵ=݌ݎ=݌ ሺ ݌−ܽ ሻ tan ܣ 2 =݌ ሺ ݌−ܾ ሻ tan ܤ 2 =݌ሺ݌−ܿሻtan ܥ 2 ܵ= ඥ ݌ ሺ ݌−ܽ ሻሺ ݌−ܾ ሻ ሺ݌−ܿሻ ܵ= 1 2 ܽℎ ௔ = 1 2 ܾℎ ௕ = 1 2 ܿℎ ௖ ܵ=2ܴ ଶ sinܣsinܤsinܥ ܵ= ܽ ଶ sinܤsinܥ 2sinܣ = ܾ ଶ sinܣsinܥ 2sinܤ = ܿ ଶ sinܣsinܤ 2sinܥ ܵ=ݎ ௔ ሺ ݌−ܽ ሻ =ݎ ௕ ሺ ݌−ܾ ሻ =ݎ ௖ ሺ݌−ܿሻ ܵ= 3 4 ඥ ݌ ᇱ ሺ ݌ ᇱ −݉ ௔ ሻሺ ݌ ᇱ −݉ ௕ ሻ ሺ݌ ᇱ −݉ ௖ ሻ ܸớ݅ ݌ ᇱ = 1 2 ሺ݉ ௔ +݉ ௕ +݉ ௖ ሻ ܵ= ℎ ௔ ଶ ℎ ௕ ଶ 4 . 1 ට ݌ ᇱ ሺ ݌ ᇱ −ℎ ௔ ሻሺ ݌ ᇱ −ℎ ௕ ሻ ሺ݌ ᇱ − ℎ ௔ ℎ ௕ ℎ ௖ ሻ ܸớ݅ ݌ ᇱ = 1 2 ൬ℎ ௔ +ℎ ௕ + ℎ ௔ ℎ ௕ ℎ ௖ ൰ Cho A’, B’, C’ là chân các đường phân giác: ܵ ஺ᇱ஻ᇱ஼ᇱ =ܵ 2ܾܽܿ ሺ ܽ+ܾ ሻሺ ܾ+ܿ ሻ ሺܿ+ܽሻ Cho H A , H B , H C là chân các đường cao: ܵ ு ಲ ு ಳ ு ಴ =ܵcosܣcosܤcosܥ 4 Px!phangiakhue Công thức liên quan đường tròn nội tiếp: ݎ= ܵ ݌ =4ܴsin ܣ 2 sin ܤ 2 sin ܥ 2 = ሺ ݌−ܽ ሻ tan ܣ 2 = ሺ ݌−ܾ ሻ tan ܤ 2 =ሺ݌−ܿሻtan ܥ 2 ݎ ௔ =݌tan ܣ 2 ݎ ௕ =݌tan ܤ 2 ݎ ௖ =݌tan ܥ 2 1 ݎ = 1 ℎ ௔ + 1 ℎ ௕ + 1 ℎ ௖ Công thức về góc: sin ܣ 2 = ඨ ሺ ݌−ܾ ሻ ሺ݌−ܿሻ ܾܿ sin ܤ 2 = ඨ ሺ ݌−ܽ ሻ ሺ݌−ܿሻ ܽܿ sin ܥ 2 = ඨ ሺ ݌−ܽ ሻ ሺ݌−ܾሻ ܾܽ cos ܣ 2 = ඨ ݌ሺ݌−ܽሻ ܾܿ cos ܤ 2 = ඨ ݌ሺ݌−ܾሻ ܽܿ cos ܥ 2 = ඨ ݌ሺ݌−ܿሻ ܾܽ tan ܣ 2 = ඨ ሺ ݌−ܾ ሻ ሺ݌−ܿሻ ݌ሺ݌−ܽሻ tan ܤ 2 = ඨ ሺ ݌−ܽ ሻ ሺ݌−ܿሻ ݌ሺ݌−ܾሻ tan ܥ 2 = ඨ ሺ ݌−ܽ ሻ ሺ݌−ܾሻ ݌ሺ݌−ܿሻ Một số công thức trong tam giác vuông: ܽ ଶ =ܾ ଶ +ܿ ଶ 1 ℎ ଶ = 1 ܾ ଶ + 1 ܿ ଶ ܾ ଶ =ܾ′ܽ ܿ ଶ =ܿ′ܽ ℎ ଶ =ܾ′ܿ′ ܽℎ=ܾܿ Một số công thức trong tam giác thường: AI và AJ là phân giác của ܤܣܥ ෣ thì: ܫܤ ܫܥ = ܬܤ ܬܥ = ܣܤ ܣܥ H A là chân đường cao từ A, O A là trung điểm BC: ܣܤ ଶ −ܣܥ ଶ =2ܤܥ തതതത .ܱ ஺ ܪ ஺ തതതതതതത H’ là trực tâm tam giác, H A là chân đường cao từ A: ܪ ஺ ܪ.ܪ ஺ ܣ=ܪ ஺ ܤ.ܪ ஺ ܥ Đẳng thức trong tam giác: sinܣ+sinܤ+sinܥ=4cos ܣ 2 .cos ܤ 2 .cos ܥ 2 cosܣ+cosܤ+cosܥ=4sin ܣ 2 .sin ܤ 2 .sin ܥ 2 +1 tanܣ+tanܤ+tanܥ=tanܣ.tanܤ.tanܥ cotܣ.cotܤ+cotܤ.cotܥ+cotܣ.cotܥ=1 tan ܣ 2 .tan ܤ 2 +tan ܤ 2 .tan ܥ 2 +tan ܣ 2 .tan ܥ 2 =1 cot ܣ 2 +cot ܤ 2 +cot ܥ 2 =cot ܣ 2 .cot ܤ 2 .cot ܥ 2 Bất đẳng thức trong tam giác: sinܣ+sinܤ+sinܥ≤ 3 √ 3 2 1<cosܣ+cosܤ+cosܥ≤ 3 2 1<sin ܣ 2 +sin ܤ 2 +sin ܥ 2 ≤ 3 2 2<cos ܣ 2 +cos ܤ 2 +cos ܥ 2 ≤ 3 √ 3 2 sinܣ.sinܤ.sinܥ≤ 3 √ 3 8 sin ܣ 2 .sin ܤ 2 .sin ܥ 2 ≤ 1 8 cosܣ.cosܤ.cosܥ≤ 1 8 cos ܣ 2 .cos ܤ 2 .cos ܥ 2 ≤ 3 √ 3 8 5 Px!phangiakhue sin ଶ ܣ+sin ଶ ܤ+sin ଶ ܥ≤ 9 2 tanܽ+tanܤ+tanܥ≥3 √ 3 tan ܣ 2 +tan ܤ 2 +tan ܥ 2 ≥ √ 3 tan ܣ 2 .tan ܤ 2 .tan ܥ 2 ≤ 1 3 √ 3 cotܣ+cotܤ+cotܥ≥ √ 3 cot ܣ 2 +cot ܤ 2 +cot ܥ 2 ≥3 √ 3 HỆ THỨC TRONG TỨ GIÁC ܵ= ඨ ሺ ݌−ܽ ሻሺ ݌−ܾ ሻሺ ݌−ܿ ሻሺ ݌−݀ ሻ −ܾܽܿ݀cos ଶ ܤ+ܦ 2 ܸớ݅ ݌= ܽ+ܾ+ܿ+݀ 2 ܵ= ܣܥ.ܤܦ.sinߙ 2 ܸớ݅ ߙ ݈à ݃óܿ ݃݅ữܽ ℎܽ݅ đườ݊݃ ܿℎé݋ Nếu tứ giác nội tiếp thì: Tích hai đường chéo bằng tổng tích hai cạnh đối. ܵ= ඥ ሺ ݌−ܽ ሻሺ ݌−ܾ ሻሺ ݌−ܿ ሻሺ ݌−݀ ሻ ---------®--------- VI PHÂN Hàm lũy thừa: ݀ ሺ ݔ ఈ ሻ =ߙݔ ఈିଵ ݀ݔ ݀ ሺ ܽݔ+ܾ ሻ =ܽ ݀ݔ ݀൬ 1 ݔ ൰=− ݀ݔ ݔ ଶ ݀൬ 1 ݔ ௡ ൰=− ݊ݔ ௡ିଵ ݔ ଶ௡ ݀ݔ ݀൫ √ ݔ൯= ݀ݔ 2 √ ݔ ݀൫ √ ݔ ೙ ൯= ݀ݔ ݊√ݔ ௡ିଵ ೙ Hàm lượng giác: ݀ ሺ sinݔ ሻ =cosݔ ݀ݔ ݀ ሺ cosݔ ሻ =−sinݔ ݀ݔ ݀ ሺ tanݔ ሻ = ݀ݔ cos ଶ ݔ = ሺ 1+tan ଶ ݔ ሻ ݀ݔ ݀ ሺ cotݔ ሻ =− ݀ݔ sin ଶ ݔ Hàm lượng giác ngược: ݀ ሺ sin ିଵ ݔ ሻ = ݀ݔ √1−ݔ ଶ ݀ ሺ cos ିଵ ݔ ሻ =− ݀ݔ √1−ݔ ଶ ݀ ሺ tan ିଵ ݔ ሻ = ݀ݔ 1+ݔ ଶ ݀ ሺ cot ିଵ ݔ ሻ =− ݀ݔ 1+ݔ ଶ Hàm mũ và logarithme: ݀ ሺ lnݔ ሻ = ݀ݔ ݔ ݀ ሺ log ௔ ݔ ሻ = ݀ݔ ݔlnܽ ݀ ሺ ݁ ௫ ሻ =݁ ௫ ݀ݔ ݀ ሺ ܽ ௫ ሻ =ܽ ௫ lnܽ ݀ݔ 6 Px!phangiakhue TÍCH PHÂN Hàm lũy thừa: න݇ ݀ݔ=݇ݔ+ܿ න ݀ݔ ݔ =ln | ݔ | නݔ ௡ ݀ݔ= ݔ ௡ାଵ ݊+1 +ܿ නݔ ௠ ௡ ݀ݔ= ݊ ݉+݊ ݔ ௠ା௡ ௡ +ܿ න √ ݔ ೙ ݀ݔ= ݊ ݊+1 ඥ ݔ ௡ାଵ ೙ +ܿ න ݀ݔ ݔ ଶ =− 1 ݔ +ܿ න ݀ݔ ݔ ௡ =− 1 ሺ ݊−1 ሻ ݔ ௡ିଵ +ܿ න ݀ݔ √ ݔ ೙ = ݊ ݊−1 ඥ ݔ ௡ିଵ ೙ +ܿ නሺܽݔ+ܾሻ ௡ ݀ݔ= ሺܽݔ+ܾሻ ௡ାଵ ܽሺ݊+1ሻ +ܿ ሺݒớ݅ ݊≠1ሻ න ݀ݔ ܽݔ+ܾ = 1 ܽ ln | ܽݔ+ܾ | +ܿ ሺݒớ݅ ܽݔ+ܾ ≠0ሻ න݀ ሺ ܽݔ+ܾ ሻ =ܽݔ+ܾ+ܿ නሺܽݔ+ܾሻ ௠ ௡ ݀ݔ= ݊ ܽሺ݉+݊ሻ ሺܽݔ+ܾሻ ௠ା௡ ௡ +ܿ න ݀ݔ ሺܽݔ+ܾሻ ௡ =− 1 ܽሺ݊−1ሻሺܽݔ+ܾሻ ௡ିଵ +ܿ න √ ܽݔ+ܾ ೙ ݀ݔ= ݊ ܽሺ݊+1ሻ ඥ ሺܽݔ+ܾሻ ௡ିଵ ೙ +ܿ න ݀ݔ √ ܽݔ+ܾ ೙ = ݊ ܽሺ݊−1ሻ ඥ ሺܽݔ+ܾሻ ௡ିଵ ೙ +ܿ Hàm lượng giác: නsinݔ ݀ݔ=−cosݔ+ܿ නcosݔ ݀ݔ =sinݔ+ܿ නtanݔ ݀ݔ=−ln | cosݔ | +ܿ නcotݔ ݀ݔ=ln | sinݔ | +ܿ න ݀ݔ sin ଶ ݔ =−cotݔ+ܿ න ݀ݔ cos ଶ ݔ =tanݔ+ܿ නsin ሺ ܽݔ+ܾ ሻ ݀ݔ=− 1 ܽ cos ሺ ܽݔ+ܾ ሻ +ܿ නcos ሺ ܽݔ+ܾ ሻ ݀ݔ= 1 ܽ sin ሺ ܽݔ+ܾ ሻ +ܿ නtan ሺ ܽݔ+ܾ ሻ ݀ݔ=− 1 ܽ ln | cos ሺ ܽݔ+ܾ ሻ| +ܿ නcot ሺ ܽݔ+ܾ ሻ ݀ݔ= 1 ܽ ln | sin ሺ ܽݔ+ܾ ሻ| +ܿ න ݀ݔ sin ଶ ሺ ܽݔ+ܾ ሻ =− 1 ܽ cot ሺ ܽݔ+ܾ ሻ +ܿ න ݀ݔ cos ଶ ሺ ܽݔ+ܾ ሻ = 1 ܽ tan ሺ ܽݔ+ܾ ሻ +ܿ Hàm logarithme: න݁ ௫ ݀ݔ=݁ ௫ +ܿ න݁ ௞௫ ݀ݔ= 1 ݇ ݁ ௞௫ +ܿ නܽ ௫ ݀ݔ= ܽ ௫ lnܽ +ܿ නܽ ௞௫ ݀ݔ= 1 ݇ ܽ ௫ lnܽ +ܿ න݁ ି௫ ݀ݔ=−݁ ି௫ +ܿ නlnݔ ݀ݔ =ݔ ሺ lnݔ−1 ሻ +ܿ න݁ ௔௫ା௕ ݀ݔ= 1 ܽ ݁ ௔௫ା௕ +ܿ නܽ ఈ௫ାఉ ݀ݔ= ܽ ఈ௫ାఉ ߙlnܽ +ܿ නln ሺ ܽݔ+ܾ ሻ ݀ݔ= 1 ܽ ሺ ܽݔ+ܾ ሻሾ ln ሺ ܽݔ+ܾ ሻ −1 ሿ +ܿ 7 Px!phangiakhue Hàm phân thức: න ݀ݔ ܽݔ+ܾ = 1 ܽ ln | ܽݔ+ܾ | +ܿ න ݀ݔ ݔ ଶ +1 =tan ିଵ ݔ+ܿ න ݀ݔ ݔ ଶ −1 = 1 2 lnฬ ݔ−1 ݔ+1 ฬ+ܿ න ݀ݔ ݔ ଶ +ܽ ଶ = 1 ܽ tan ିଵ ݔ ܽ +ܿ න ݀ݔ ݔ ଶ −ܽ ଶ = 1 2ܽ lnቚ ݔ−ܽ ݔ+ܽ ቚ+ܿ න ݀ݔ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ +a ଶ = 1 aߙ tan ିଵ ߙݔ+ߚ a +ܿ න ݀ݔ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ −a ଶ = 1 2aߙ lnቤ ሺ ߙݔ+ܾ ሻ −ܽ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ +ܽ ቤ+ܿ Hàm căn thức: න ݀ݔ √1−ݔ ଶ =sin ିଵ ݔ+ܿ න ݀ݔ ඥ ݔ ଶ ±1 =lnቚݔ+ ඥ ݔ ଶ ±1ቚ+ܿ න ݀ݔ √ܽ ଶ −ݔ ଶ =sin ିଵ ݔ ܽ +ܿ න ݀ݔ ඥ ݔ ଶ ±ܽ ଶ =lnቚݔ+ ඥ ݔ ଶ ±ܽ ଶ ቚ+ܿ න ඥ ܽ ଶ −ݔ ଶ ݀ݔ= ݔ 2 ඥ ܽ ଶ −ݔ ଶ + ܽ ଶ 2 sin ିଵ ݔ ܽ +ܿ න ඥ ݔ ଶ ±ܽ ଶ ݀ݔ= ݔ 2 ඥ ݔ ଶ ±ܽ ଶ + ܽ ଶ 2 lnቚݔ+ ඥ ݔ ଶ ±ܽ ଶ ቚ+ܿ න ݀ݔ ඥa ଶ − ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ = 1 α sin ିଵ ߙݔ+ߚ a +ܿ න ݀ݔ ඥ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ±a ଶ = 1 ߙ lnቚ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ + ඥ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ±ܽ ଶ ቚ+ܿ න ඥ a ଶ − ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ݀ݔ= ሺ ߙݔ+ߚ ሻ 2ߙ ඥ a ଶ − ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ + ܽ ଶ 2ߙ sin ିଵ ߙݔ+ߚ a +ܿ න ඥ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ±a ଶ ݀ݔ= ߙݔ+ߚ 2ߙ ඥ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ±ܽ ଶ + a ଶ 2ߙ lnቚݔ+ ඥ ሺ ߙݔ+ߚ ሻ ଶ ±a ଶ ቚ+ܿ . cosߙ cosሺ ߨ 2 −ߙሻ = sin ߙ tanሺ ߨ 2 −ߙሻ = cotߙ cotሺ ߨ 2 −ߙሻ = tanߙ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng: sin ሺ ߙ± ߚ ሻ = sinߙcosߚ± cosߙsinߚ cos ሺ ߙ± ߚ ሻ = cosߙcosߚ∓. ±cotߙcotߚ−1 cotߙ±cotߚ Công thức nhân đôi: sin2ߙ =2sinߙ.cosߙ tan2ߙ = 2tanߙ 1−tan ଶ ߙ cos2ߙ = cos ଶ ߙ−sin ଶ ߙ =2cos ଶ ߙ −1=1−2sin ଶ ߙ Công thức nhân ba: cos3ߙ