NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG TOÁN XÁC SUẤT & THỐNG KÊ 1|Page Giới thiệu môn học Lý thuyết xác suất vào nửa cuối kỷ thứ 17 nước Pháp, phận tốn học nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Hơn 300 năm tồn phát triển, đến lý thuyết có nội dung vơ phong phú, áp dụng nhiều ngành khoa học sống đời thường Thống kê toán học(TKTH) khoa học phương pháp toán học để xử lí kết thực nghiệm liệu thống kê nhằm rút kết luận khoa học thực tiễn Để có phán đốn xác, TKTH phải dựa vào lí thuyết xác suất Mục đích mơn học Xác suất & thống kê chương trình đào tạo trường kỹ thuật trang bị cho kỹ sư tương lai khái niệm kết lý thuyết xác suất & thống kê toán học, để giúp người học tiếp thu mơn học có liên quan cách thức thu thập xử lý số liệu q trình cơng tác sau Nội dung gồm chương Chương I Biến cố xác suất biến cố Chương II Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Chương III Kỳ vọng toán Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp Chương V Mẫu ngẫu nhiên phân phối số thống kê Chương VI Ước lượng tham số Chương VII Kiểm định giả thiết Chương VIII Hồi quy tương quan tuyến tính 2|Page Tài liệu tham khảo [1] Ronald E Walpole, Raymond H.Myers Sharon L.Myers, Xác suất thống kê dành cho kỹ sư nhà khoa học(Bản dịch lần Bộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL) [2] Morris H DeGroot, Mark J Schervish, Probability and Statistics(Third edition) [3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng,Nhà XBGD,1997 [4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết thực hành tính tốn, Nhà xuất ĐHQGHN, 2004 3|Page NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG TOÁN TUẦN 4|Page BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1 Phép thử không gian mẫu Ta biết tốn học có khái niệm không định nghĩa, chẳng hạn điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tập hợp Phép thử ngẫu nhiên khái niệm kiểu vậy, hành động mà kết khơng thể dự đốn trước gọi chung phép thử ngẫu nhiên, gọi tắt phép thử (do ta không quan tâm đến hành động dự đốn trước kết quả) Tuy khơng đốn kết phép thử ta liệt kê kết Định nghĩa 1.1 Tập hợp gồm tất kết phép thử gọi không gian mẫu(sample space) ký hiệu S  Mỗi phần tử không gian mẫu gọi kết phép thử điểm mẫu Do định nghĩa nên trình bày khơng gian mẫu ta dùng cách trình bày tập hợp Ví dụ 1.1 Tung đồng xu Khơng gian mẫu  ={S, N}, S biểu thị cho kết mặt sấp xuất hiện, N biểu thị cho kết mặt ngửa xuất Ví dụ 1.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y [0, 2] Không gian mẫu S = { (x, y) | ≤ x ≤ ≤ y ≤ 2} Ví dụ 1.3 Tung xúc xắc Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất khơng gian mẫu S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nếu ta quan tâm đến số chẵn chấm hay số lẻ chấm xuất khơng gian mẫu S2 = {C, L} Qua Ví dụ 1.3 ta thấy có nhiều khơng gian mẫu để mơ tả kết phép thử, nhiên ta biết kết S1 xuất suy kết S2 xuất hiện, ngược lại khơng Người ta thường dùng khơng gian mẫu “giàu thông tin” để mô tả kết phép thử Trong Ví dụ trên, ta dễ dàng xác định không gian mẫu Đôi ta gặp tình khó khăn Khi dùng sơ đồ để xác định không gian mẫu, Ví dụ sau minh họa cho cách Ví dụ 1.4 Tung đồng xu, mặt ngửa xuất ta tung đồng xu lần thứ hai mặt sấp xuất ta tung xúc xắc Hãy xác định không gian mẫu? 5|Page Sơ đồ cho kết phép thử Tung lần Tung lần N Điểm mẫu NN N S S NS S1 S2 S3 S4 S5 S6 Như không gian mẫu S = {NN, NS, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6} 1.2 Biến cố phép toán biến cố Với phép thử cụ thể, ta quan tâm đến kiện gồm kết Chẳng hạn, trò chơi may rủi sau: Gieo hai đồng xu, hai mặt ngửa xuất người chơi 5000 đồng ngược lại người chơi 1000 đồng Lúc này, không gian mẫu  ={SS, NN, SN, NS} Sự kiện mà ta quan tâm gồm “hai mặt ngửa xuất hiện” = {NN} “không có hai mặt ngửa xuất hiện” ={NN, SN, NS} Mỗi kiện đồng với tập không gian mẫu, người ta gọi biến cố Tổng quát, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố Dùng chữ in hoa A, B, C, A1, A2,… để ký hiệu cho biến cố Đặc biệt, kiện không xảy thực phép thử đồng với tập rỗng nên ký hiệu  gọi biến cố khơng, cịn kiện chắn xảy thực phép thử ký hiệu S gọi biến cố chắn Mỗi điểm mẫu biến cố, gọi biến cố sơ cấp Trong lý thuyết tập hợp ta biết khái niệm tập con, hai tập hợp nhau, phần bù phép toán hợp hai tập, giao hai tập Tương ứng , ta có khái niệm phép toán biến cố lý thuyết xác suất sau Định nghĩa 1.3 Cho A B hai biến cố phép thử với không gian mẫu S + A  B ta nói biến cố A kéo theo biến cố B + A = B ta nói A tương đương với B + Phần bù A S gọi biến cố đối A, ký hiệu A’ 6|Page + Hợp A B, ký hiệu A  B A+B, biến cố gồm điểm mẫu thuộc A thuộc B Tương tự, ta định nghĩa hợp nhiều biến cố + Giao A B, ký hiệu A  B AB, biến cố gồm điểm mẫu thuộc A B Đặc biệt, A  B = , ta gọi A B hai biến cố xung khắc Tương tự, ta định nghĩa giao nhiều biến cố Ví dụ 1.5 Gieo đồng xu hai lần Không gian mẫu  = {SS, SN, NS, NN} Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN} a) Biến cố kéo theo biến cố nào? Biến cố tương đương với biến cố “có lần xuất mặt ngửa”? b) Tìm biến cố đối B? c) Hãy phát biểu lời biến cố giao A B Hai biến cố A B có xung khắc? d) Xác định biến cố A  B Giải a) Vì B  C nên B kéo theo C b) Do  \B = A nên biến cố B’ = A c) A  B ={SN, NS} = “một lần xấp lần ngửa xuất hiện” Vì A  B ≠  nên A B không xung khắc d) A  B =  Nhận xét + Biến cố A kéo theo biến cố B tức A xảy B xảy + A = B tức A xảy B xảy + A’ biến cố đối A mà thực phép thử chắn A A’ xảy xảy đồng thời + A  B biến cố xảy A B xảy + A  B biến cố xảy A B xảy Ví dụ 1.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn người viên đạn vào mục tiêu Gọi A, B, C biến cố “ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng” i) Hãy mô tả lời biến cố sau ABC, A’B’C’, A  B  C ii) Xét biến cố sau D = “ Có hai xạ thủ bắn trúng” E = “Có nhiều xạ thủ bắn trúng” F = “Chỉ có xạ thủ bắn trúng” G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng” Hãy biểu diễn biến cố theo biến cố A, B, C 7|Page Giải i) ABC biến cố “cả ba xạ thủ bắn trúng” A’B’C’ biến cố “cả ba xạ thủ bắn trượt” A  B  C biến cố “có xạ thủ bắn trúng” ii) D = AB  BC  CA E = A’B’  B’C’  C’A’ F = AB’C’  A’BC’  A’B’C G=A’B’C Từ định nghĩa ta phép biến cố có tích chất (tương ứng với tính chất phép tốn tập hợp) sau: a) Giao hoán A  B = B  A; AB=BA b) Kết hợp A  B  C = (A  B)  C = A  (B  C ) ABC = (AB)C = A(BC) c) Phân phối A(B  C) = AB  AC A  (BC) = (A  B)(A  C) d) Công thức De Morgan (A  B)’ = A’  B’ (A  B)’=A’  B’ Ngoài (A’)’ = A A  A’=S A  A’ =  I.3 Định nghĩa xác suất biến cố Theo tài liệu lịch sử có lẽ thèm khát khơn ngi người trò cờ bạc dẫn đến đời phát triển lý thuyết xác suất Nhằm làm tăng chiến thắng, bạc nhờ nhà toán học cung cấp chiến lược tốt cho trò chơi may rủi khác Một số nhà toán học cung cấp chiến lược Pascal, Leibniz, Fermat, James Bernuolli, nhà toán học coi người khai sinh lý thuyết xác suất Sự phát triển lý thuyết xác suất thời kỳ đầu với suy diễn thống kê, dự đoán khái qt hố vượt khỏi trò chơi may rủi để bao hàm nhiều lĩnh vực khác có liên quan đến xuất ngẫu nhiên trị, kinh doanh, dự báo thời tiết, nghiên cứu khoa học Như vậy, để đưa dự đốn suy diễn thống kê có sở ta cần phải có hiểu biết lý thuyết xác suất Trong đời sống hàng ngày, ta gặp khẳng định như: “Tơi có 90% hội thi qua môn xác suất thông kê” “Cơ hội chiến thắng chia cho hai đội” “Đội tuyển bóng đá Việt Nam có hội giành chiến thắng trước đội tuyển Brazil”…Trong trường hợp, ta thấy đề cập đến biến cố mà ta khơng chắn có xảy hay không, thông tin từ khứ hiểu biết phép thử mà ta có mức độ tin tưởng vào khả đắn khẳng định Có biến cố thường xun xảy ra, có biến cố xảy ra,…Như vậy, vấn đề đặt phải đo lường mức độ xảy biến cố Con số để đo lường mức độ xảy biến cố gọi xác suất 8|Page Dựa vào đặc điểm không gian mẫu mà người ta đưa định nghĩa xác suất biến cố cho phù hợp  Không gian mẫu gồm đếm điểm mẫu Giả sử không gian mẫu phép thử S = {s1, s2, s3,…} Từ đặc điểm phép thử, ta gán cho điểm mẫu si số thực pi với điều kiện pi  [0; 1] tổng pi 1, gọi pi xác suất si Tổng xác suất điểm mẫu A gọi xác suất A (the probability of A), ký hiệu P(A) Định nghĩa Cho phép thử với không gian mẫu S mà điểm mẫu gán xác suất A biến cố phép thử Ta gọi tổng xác suất điểm mẫu A xác suất A Như ≤ P(A) ≤ P(S) = P() = Ví dụ 1.7 Một xúc xắc đổ chì cho khả xuất mặt chẵn chấm gấp đôi khả xuất mặt lẻ chấm Gieo xúc xắc lần Đặt A = “số chấm xuất nhỏ 4” B = “số chấm xuất chẵn” C = “số chấm xuất chia hết cho 3” a) Tính xác suất biến cố A? b) Tính P(A+B), P(AC)? Giải Không gian mẫu S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Ta gán cho mặt lẻ chấm xác suất p, theo giả thiết mặt chẵn chấm phải gán cho xác suất 2p ta phải có: 3p + 3(2p) = hay p = 1/9 a) Do A = {1, 2, 3} nên P(A) =    9 9 2 b) Do B = {2, 4, 6} nên A + B = {1, 2, 3, 4, 6}, từ P(A + B) =      9 9 9 Vì C = {3, 6} nên AC ={3}, từ P(AC) = 1/9 Ví dụ 1.8 Gieo đồng xu cân đối hai lần Tính xác suất để lần mặt ngửa xuất hiện? Giải Không gian mẫu phép thử  = {SS, SN, NS, NN} Do đồng xu cân đối nên điểm mẫu không gian có khả xuất nhau, ta gán cho điểm mẫu xác suất p phải thoả mãn 4p = hay p = 1/4 Khi đó, A = “ít lần mặt ngửa xuất hiện” = {SN, NS, NN} 1 P(A) =    4 4 9|Page Ta thường gặp trường hợp không gian biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử đặc điểm phép thử yêu cầu ta phải gán cho điểm mẫu xác suất Từ định nghĩa suy Nếu phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả có n biến cố sơ cấp biến cố A, P(A) = n N Như vậy, để tính biến cố A, trường hợp ta việc: + Đếm số biến cố sơ cấp phép thử + Đếm số biến cố sơ cấp nằm A, biến cố sơ cấp(b.c.s.c) nằm A gọi b.c.s.c thuận lợi cho A Ví dụ 1.9 Một đống kẹo trộn lẫn bạc hà, kẹo bơ, chocolate Nếu người chọn ngẫu nhiên kẹo này, tìm xác suất để (a) bạc hà; b)một kẹo bơ chocolate Giải Đặt M, T C biểu thị biến cố chọn được,tương ứng, bạc hà, kẹo bơ, chocolate Tổng số kẹo 13 đồng khả chọn (a) Do 13 bạc hà, suy P(M) = 13 (b) Do 13 kẹo bơ chocolate, suy P(TC) =  13 Việc đếm số lượng điểm mẫu đơi ta phải dùng “mẹo” , dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ta học chương trình phổ thông Xin xem thêm phần nhắc lại bổ xung phép đếm cuối Mục Ví dụ 1.10 Rút ngẫu nhiên từ 52 quân, tìm xác suất để Át J Giải  4 4! Số cách lấy từ Át   = = số cách lấy từ J  2 2!2!   Theo quy tắc nhân, có n = (6)(4) = 24 kết có Át J Tổng số trường hợp rút bài, mà tất đồng khả năng,  52  52! N=   =   5!47! = 2598960   Do đó, xác suất biến cố C = “rút Át J” 24 P(C) = = 0.910-5  2598960  4 Lưu ý ký hiệu:   trùng với ký hiệu C 3   10 | P a g e  4 4!   =   3!1! =    Nếu không gian mẫu gồm vô hạn không đếm phần tử, phần tử đồng khả xuất biểu diễn hình học khơng gian mẫu miền S cịn biến cố A biểu diễn miền D nằm S, tỉ số số đo miền hình học D S gọi xác suất A P(A) = sd miê`n D sd miê`n S Ở đây, sd miền hình học hiểu độ dài diện tích thể tích, tuỳ thuộc việc S biểu diễn đoạn thằng, miền mặt phẳng hay hình khối khơng gian  Nếu khơng gian mẫu khơng thuộc hai loại trên, ta thực phép thử n lần gọi k số lần biến cố A xuất Tỉ số k/n gọi tần suất A Số phép thử tăng dần mà tần suất A dần đến số cố định p0 ta gọi p0 xác suất A Đây phương thức xác định xác suất sử dụng rộng rãi dùng nhiều khoa học kĩ thuật, y học, xã hội học… Một số thí nghiệm tiếng gieo đồng xu nhiều lần Người làm thí Số lần gieo Số lần xuất mặt sấp Tần suất nghiệm Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12 000 6010 0.5016 Pearson 24 000 12012 0.5005 Còn để xác định xác suất thắng ván tennis, phải dựa vào trận đấu trước khả đối thủ yếu tố niềm tin Tương tự, để tìm xác suất để vận động viên đua marathon, phải dựa vào thành tích trước vận động viên tranh tài, thành tích đạt luyện tập,…Sử dụng trực giác, niềm tin người thông tin gián tiếp khác để gán xác suất cho biến cố định nghĩa chủ quan xác suất Trong phần lại chương chủ yếu ta đề cập đến không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử Nhắc lại bổ xung phép đếm Nguyên lý phép đếm dựa vào quy tắc nhân, phát biểu sau: Nếu hành động thực theo n1 cách, cách hành động thứ hai thực theo n2 cách, hai hành động thực đồng thời theo n1n2 cách Ví dụ Có điểm mẫu khơng gian mẫu cặp xúc xắc gieo đồng thời? Giải Con xúc xắc thứ rơi theo n1 = cách Đối với cách xúc xắc thứ hai rơi theo n2 = cách Do cặp xúc xắc rơi theo n1n2 = (6)(6) = 36 cách  11 | P a g e Quy tắc nhân mở rộng đến số hành động Quy tắc nhân tổng quát có k hành động khẳng định sau: Nếu hành động thực theo n1 cách, cách hành động thứ hai thực theo n2 cách, với cặp hành động hành động hai hành động ba thực theo n3 cách, vân vân, dãy k hành động thực theo n1n2 nk cách Ví dụ Có cách lựa chọn bữa ăn gồm có xúp, sandwich, tráng miệng, đồ uống từ xúp, kiểu sandwich, tráng miệng, đồ uống? Giải Do n1 = 4, n2 = 3, n3 = n4 = 4, có n1n2n3n4 =    = 240 cách khác để chọn bữa ăn  Ví dụ Có số chẵn có ba chữ số tạo thành từ chữ số 1, 2, 5, chữ số sử dụng lần? Giải Do số phải chẵn, ta có n1 = cách chọn cho hàng đơn vị Đối với cách chọn ta có n2 = cách chọn cho hàng trăm cuối n3 = cách chọn cho hàng chục Do đó, ta tạo tổng cộng n1n2n3 = (2)(4)(3) = 24 số chẵn có ba chữ số  Ta thường quan tâm đến không gian mẫu mà phần tử tất cách thứ tự xếp nhóm đối tượng Chẳng hạn, ta muốn biết có xếp khác cho người ngồi quanh bàn, ta muốn tìm có cách rút khác thứ tự để lấy 20 vé số Những xếp khác gọi hoán vị Định nghĩa Một hoán vị xếp toàn phận tập phần tử Xét ba chữ a, b, c Những hốn vị abc, acb, bac, bca, cab cba Như vậy, ta thấy có xếp khác Sử dụng Định lý 2.2 ta trả lời mà khơng cần liệt kê cách thứ tự khác Có n1 = cách chọn cho vị trí thứ nhất, có n2 = cách chọn cho vị trí thứ hai, rốt có n3 = cách chọn cho vị trí cuối cùng, cho tổng cộng gồm n1n2n3 = (3)(2)(1) = hốn vị Nói chung, n đối tượng phân biệt xếp theo n(n - 1)(n - 2)  (3)(2)(1) cách Ta ký hiệu tích n!, mà đọc "n giai thừa." Ba đối tượng xếp theo 3! = (3)(2)(1) = cách Theo định nghĩa, 1! = 0! = Số hoán vị n phần tử phân biệt n! 12 | P a g e Số hoán vị bốn chữ a, b, c, d 24 Bây xét số hốn vị lấy liên tiếp hai chữ Đấy ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc Lại dùng Định lý 2.1, ta có hai vị trí để chọn, với n1 = cách chọn cho vị trí n2 = cách chọn cho vị trí hai nên tổng cộng có n1n2 = (4)(3) = 12 hốn vị Nói chung, n đối tượng phân biệt lấy r lần liên tiếp xếp theo n(n - 1)(n - 2)  (n - r + 1) cách Ta ký hiệu tích nPr = n! Anr ( n  r )! Vậy ta có Số hoán vị n phần tử phân biệt lấy r lần liên tiếp nPr = n! ( n  r )! Ví dụ Hai vé số rút từ 20 vé dành cho giải nhì Hãy tìm số điểm mẫu khơng gian S Giải Tổng số điểm mẫu 20! = (20)(19) = 380  18! Ví dụ Một đề tài nhánh Hội Hóa học Mỹ có cách bố trí báo cáo viên cho họp khác họ thu xếp ngày? 20P2 = Giải Tổng số cách bố trí 5! = (5)(4)(3) = 60  2! Những hoán vị xuất xếp phần tử theo vịng trịn gọi hốn vị vịng quanh Hai hốn vị vịng quanh khơng coi khác trừ phần tử tương ứng hai cách xếp đứng trước đứng sau phần tử khác chuyển động theo chiều kim đồng hồ Ví dụ người chơi bài, họ khơng có hốn dịch chuyển vị trí theo chiều kim đồng hồ Bằng cách cố định người vị trí cố định xếp ba người theo 3! cách, ta tìm xếp khác trò chơi 5P3 = Ta có Số hốn vị n phần tử phân biệt xếp theo vòng tròn (n-1)! Cho đến ta xét hoán vị phần tử phân biệt Nghĩa là, tất phần tử khác hồn tồn phân biệt Rõ ràng, chữ b c x, hốn vị chữ a, b, c trở thành axx, axx, xax, xax, xxa, xxa, mà có hốn vị phân biệt Do với chữ cái, giống nhau, ta có 3!/2! = hốn vị khác Với chữ khác a, b, c, 13 | P a g e d ta có 24! hốn vị phân biệt Nếu ta cho a = b = x c = d = y, ta có liệt kê sau đây: xxyy, xyxy, yxxy, yyxx, xyyx, yxyx Như ta có 4!/(2!2!) = hoán vị phân biệt Số hoán vị phân biệt n phần tử mà n1 phần tử thuộc kiểu, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, , nk phần tử thuộc kiểu thứ k n! n1!n2 ! nk ! Ví dụ Có cách khác để tạo thành xâu đèn thơng Noel có bóng đèn đỏ, bóng đèn vàng, bóng đèn xanh với ổ cắm? Giải Tổng số xếp phân biệt 9! = 1260  3!4!2! Ta thường quan tâm đến số cách phân hoạch tập gồm n phần tử thành r tập gọi ngăn Một phân hoạch hoàn thành giao cặp r tập tập rỗng  hợp tất tập tập ban đầu Thứ tự phần tử bên ngăn không quan trọng Xét tập {a, e, i, o, u} Tất phân hoạch có hai ngăn mà ngăn đầu chứa phần tử ngăn thứ hai chứa phần tử {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)},{(e, i, o, u), (a)},{(a, e, o, u), (i)}, {(a, e, i, u), (o)} Ta thấy có đường để phân hoạch tập gồm phần tử thành hai tập hay ngăn chứa phần tử ngăn đầu phần tử ngăn thứ hai Số phân hoạch ví dụ minh họa ký hiệu 5  5!   =  4, 1 4! 1! = 5,   Một cách tổng quát Số cách phân hoạch tập gồm n phần tử thành r ngăn mà có n1 phần tử ngăn thứ nhất, n2 phần tử ngăn thứ hai, , n   n!   n , n , , n  = n !n ! n ! ,   r k n1 + n2 +  + nr = n Ví dụ Có cách phân cho nhà khoa học vào buồng ba hai buồng đôi khách sạn? Giải   7! Tổng số phân hoạch có   3, 2,  = 3! 2! 2! = 210     14 | P a g e Trong nhiều toán ta quan tâm đến số cách chọn r phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự Những phép chọn gọi tổ hợp Một tổ hợp thực chất phân hoạch có hai ngăn, ngăn chứa r đối tượng chọn ngăn chứa (n - r) đối tượng lại  n  Số tổ hợp vậy, ký hiệu   r , n  r  hay thường ký hiệu vắn tắt    n r   C n , r    số phần tử ngăn thứ hai n - r Số tổ hợp n phần tử phân biệt tạo lấy r phần tử lúc n n!   =  r  r!( n  r )!   Ví dụ Hãy tìm số ủy ban gồm nhà hóa học nhà vật lí mà tạo từ nhà hóa học nhà vật lý  4  3 4! Giải Số cách chọn nhà hóa học   = = Số cách chọn nhà vật lí    2 1  2! 2!     = 3! = Sử dụng quy tắc nhân Định lý 1.1 với n1 = n2 = 3, ta tạo 1! 2! n1n2 = (6)(3) = 18 ủy ban với nhà hóa học nhà vật lí  I.4 Quy tắc cộng xác suất Với hai biến cố A, B phép thử, ta có biến cố A + B Vấn đề đặt P(A + B) biểu diễn qua P(A) P(B) hay không? Nếu giải vấn đề này, việc tính xác suất biến cố giải cách biểu thị biến cố thành tổng biến cố với xác suất dễ tính tốn Mục tập trung vào trình bày kết có liên quan đến vấn đề Trước tiên, quan sát Biểu đồ Veen sau Biểu đồ mô tả hai biến cố xung khắc, xác suất A + B tổng xác suất điểm mẫu A điểm mẫu B hai biến cố điểm mẫu chung nên P(A + B) = P(A) +P(B) 15 | P a g e Biểu đồ sau mô tả hai biến cố không xung khắc Trong trường hợp này, tính tổng xác suất điểm mẫu nằm A , tổng điểm mẫu B cộng lại điểm mẫu nằm AB tính hai lần nên P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Tóm lại ta Quy tắc cộng Nếu A B hai biến cố phép thử, P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Hệ  Nếu A, B, C ba biến cố phép thử, P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC) Tương tự, quy nạp ta đưa công thức cho xác suất tổng n biến cố, với n số tự nhiên lớn  P(A) + P(A’) =  Nếu A1, A2, …, An biến cố đôi xung khắc P(A1 + A2 +  + An ) = P(A1 ) + P( A2 ) +  + P( An )  Nếu A1, A2, …, An biến cố đôi xung khắc tổng S(thường gọi phân hoạch S), P(A1 ) +P( A2 ) +  + P( An ) = Trên công thức quan trọng xác suất tổng biến cố Ta thấy, biến cố xung khắc xác suất tổng biến cố tổng xác suất cịn nói chung biểu diễn qua tổng xác suất xác suất tích biến cố Đặc biệt, việc tính xác suất biến cố chuyển qua tính xác suất biến cố đối Ví dụ 1.11 Một lớp học có 100 sinh viên, có 54 sinh viên học tốn, 69 sinh viên học lịch sử 35 sinh viên học lịch sử toán Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất để: a) Sinh viên học tốn lịch sử b) Sinh viên khơng học mơn tốn khơng học lịch sử Giải 16 | P a g e Phép thử có khơng gian mẫu gồm 100 b.c.s.c đồng khả a) Đặt A = “sinh viên chọn, học toán lịch sử” Khi số biến cố sơ cấp kéo theo A 35 35 Nên P(A) =  100 20 b) Đặt B = “sinh viên chọn khơng học mơn tốn khơng học mơn lịch sử” E = “sinh viên chọn, học toán” F = “sinh viên chọn, học lịch sử” Ta có B’ = “sinh viên chọn, học mơn” = E + F; EF = A P(B) = – P(B’ ) = – (P(E) + P(F) – P(EF)) 54 69 35 =1-(   ) =  88  12 100 100 100 100 100 = 25 Trong vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%, mắc huyết áp 12% hai bệnh 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc hai bệnh nói trên? Ví dụ 1.12 Cho A, B, C biến cố cho P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6 P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 P(ABC) = 0.1 a) Tính xác suất để ba biến cố khơng xảy ra; b) Tính xác suất để có hai biến cố ba biến cố xảy ra; c) Tính xác suất để có ba biến cố xảy Giải a) Đặt K = “Cả ba biến cố khơng xảy ra” Ta có K = A’B’C’ = (A + B + C)’ nên P(K) = – P(A + B + C) P(A + B + C) = 0.5 + 0.7 + 0.6 - 0.3 -0.4 - 0.2 + 0.1 = Suy P(K) = b) Đặt L = “Đúng hai biến cố ba biến cố xảy ra” Ta có L = ABC’ + AB’C + A’BC , mặt khác ABC’, AB’C , A’BC biến cố đôi xung khắc Nên P(L) = P( ABC’) + P(AB’C) + P( A’BC) Do ABC + ABC’ = AB suy P(ABC’) = 0.3 – 0.1 = 0.2 Tương tự P(AB’C) = 0.1 P( A’BC) =0.3 Như P(L) = 0.6 c) Đặt M = “Chỉ có ba biến cố xảy ra” Ta có K, M, L, ABC phân hoạch S Nên P(M) = – (0 + 0.6 + 0.1) = 0.3 Nên Những ý giảng tuần    Khái niệm phép thử, không gian mẫu biến cố Mối quan hệ biến cố phép toán biến cố Định nghĩa xác suất biến cố Quy tắc cộng xác suất P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) 17 | P a g e Bài tập tuần 1và đáp số * Bài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố 1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28) * Bài tập: 2.3 Đếm điểm mẫu 1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210) * Bài tập: 2.4 Xác suất biến cố 1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) * Bài tập: 2.5 Quy tắc cộng 1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) 1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b)0,65 18 | P a g e (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25) (c) 0,12  ... thuyết xác suất ứng dụng,Nhà XBGD,1997 [4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết thực hành tính tốn, Nhà xuất ĐHQGHN, 2004 3|Page NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG TOÁN TUẦN 4|Page BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT... quan trọng xác suất tổng biến cố Ta thấy, biến cố xung khắc xác suất tổng biến cố tổng xác suất cịn nói chung biểu diễn qua tổng xác suất xác suất tích biến cố Đặc biệt, việc tính xác suất biến... thuyết xác suất Mục đích mơn học Xác suất & thống kê chương trình đào tạo trường kỹ thuật trang bị cho kỹ sư tương lai khái niệm kết lý thuyết xác suất & thống kê tốn học, để giúp người học tiếp