Trờng Đại Học Vinh Khoa toán === === Ngô Thị Miên tính nửa liên tục dới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ khóa Luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán Vinh, 2009 Trờng Đại Học Vinh Khoa toán === === tính nửa liên tục dới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: giải tích Cán hớng dẫn khóa luận: ThS Nguyễn thị Toàn Sinh viên thực hiện: Ngô thị miên Líp: Vinh, 2009 46B1 - To¸n Mơc lơc MỞ ĐẦU Chơng I Bất đẳng thức biÕn ph©n R n 1.1 Điểm bất động 1.2 TÝnh chÊt cđa phÐp chiÕu lªn mét tËp låi 1.3 Định lý bất đẳng thức biến phân .4 1.4 Bất đẳng thức biến phân .5 Chơng II tính nửa liên tục dới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính chất cở sở .6 2.2 C¸c kÕt qu¶ chÝnh .8 2.3 Các kết bổ trỵ 10 2.4 Chứng minh kết 15 2.5 C¸c vÝ dơ 23 KÕt luËn 28 Tài liệu tham khảo .29 M U Phơng trình suy rộng (PTSR) mô hình hữu hiệu giúp ta nghiên cứu toán thuéc c¸c lÜnh vùc kh¸c nh tèi u ho¸, bất đẳng thức biến phân, điều kiện biến phân cân kinh tế Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết PTSR bao gồm: tồn nghiệm, phơng pháp tìm nghiệm, tính ổn định tập nghiệm Ngày nay, mà khoa học máy tính đà phát triển, hầu hết toán lĩnh vực tính toán khoa học đợc rời rạc hoá để thuận lợi cho việc tính toán Một toán đợc gọi ổn định nh sai số liệu đầu vào bé sai số kết đầu không đáng kể Trong trờng hợp ngợc lại, sai số liệu đầu lớn kết tính toán khác xa với kết mong đợi Khi toán đợc gọi không ổn định Giáo s S M Robinson - đà đợc Giải thởng Dantzig Quy hoạch toán học - ngời đầu việc nghiên cứu tính ổn định phơng trình suy rộng Kể từ tới nay, hớng nghiên cứu đợc nhiều nhà toán học quan tâm Có nhiều toán, chẳng hạn nh toán tối u, cân kinh tế, bất đẳng thức biến phân, mô hình hoá thành phơng trình suy rộng Nghiên cứu tính ổn định PTSR nghiên cứu tính chất liên tục, khả vi ¸nh x¹ nghiƯm cđa c¸c PTSR phơ thc tham sè Song song với PTSR, lớp toán tối u có ứng dụng rộng rÃi toán điều khiển tối u có tham số đợc nghiên cứu Di s hớng dẫn tận tình cô giáo Nguyễn Thị Toàn chọn đề tài: "Tính nửa liên tục dới ỏnh x nghim bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ", dựa báo Tin sĩ Bùi Trọng Kiên Mục đích cđa luận văn lµ tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm bất đẳng thức biến phân chứa tham số không gian Banach phn x Với mục đích luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng I Bất đẳng thức biến phân Rn Chơng II Tính nửa liên tục dới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ Phần lớn kết trình bày luận văn đà thu đợc số tác giả tài liệu [2], [4], [7], [8] đà đợc trích dẫn luận văn Một số kết khác đà đợc tác giả chứng minh chi tiết dới dạng Bổ đề dới dạng Nhận xét Tuy đà có nhiều cố gắng nhng lực thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận đợc lời bảo quý báu Thầy giáo, Cô giáo góp ý bạn đọc Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cô giáo Nguyễn Thị Toàn ngời đà hớng dẫn nhiệt tình tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích khoa Toán đà tận tình giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Chơng I bất đẳng thức biến phân rn 1.1 Điểm bất động 1.1.1 Định nghĩa Cho A tập hợp ánh xạ F : A A Một điểm x A đợc gọi điểm bất động F nÕu F ( x ) = x Hay nãi c¸ch khác, điểm bất động F nghiệm phơng trình F ( x ) = x 1.1.2 Định nghĩa Cho S không gian mêtric Một ánh xạ F : S S đợc gọi ánh xạ corót nÕu d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ αd ( x , y ) , ∀ , y ∈S x , (1) vµ : Khi cho = , ánh xạ F đợc gọi không giÃn 1.1.3 Định lý [8] Cho S không gian mêtric đầy đủ F : S S ánh xạ corút Khi tồn điểm bất động F 1.1.3 Định lý (Brower) [8] Cho F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B R n vào Khi F tồn Ýt nhÊt mét ®iĨm bÊt ®éng 1.2 TÝnh chÊt cđa phép chiếu lên tập lồi Trong phần này, xÐt phÐp chiÕu lªn mét tËp låi mét không gian Hinbert thực Những chứng minh đợc đa trờng hợp H không gian hữu hạn chiều, ta chọn R n trùng với không gian Hilbert H 1.2.1 Bỉ ®Ị [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi với x H , tồn nhÊt y ∈K cho x − y = inf x −η (2) η K ∈ 1.2.2 Chú ý [8] Điểm y thoả mÃn (2) đợc gọi hình chiếu x lên K ta viết y = PrK x 1.2.3 Định lý [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi đó, y = PrK x hình chiếu x lên K , η ∀ ∈ K y ∈ K : ( y , η− y ) ≥ ( x , η− y ) (3) 1.2.4 Hệ [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi đó, phép chiếu PrK không giÃn, nghĩa PrK x − PrK x ' ≤ x − x ' ∀ , x' x H 1.3 Định lý bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Định nghĩa Không gian đối ngẫu (R ) R n không gian tất n dạng tuyến tính a : Rn R x a,x , xác định R n 1.3.1 Định lý [8] Cho K R n tập compact, lồi ánh xạ F : K ( R n ) liên tơc Khi ®ã, cã mét ®iĨm x ∈ K cho: F ( x ), y −x ≥0 ∀y ∈K (4) 1.3.2 Hệ [8] Cho x nghiệm bất đẳng thức biến phân (4) giả sử x K , phần K Khi ®ã, F ( x) = 1.4 bất đẳng thức biến phân 1.4.1 Bài toán Cho K tập đóng, lồi R n ánh xạ F : K ( R n ) liên tục Tìm x K cho F ( x ) , y −x ≥0 (5) ∀ y K Định lý sau đây, đa điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Bài toán 1.4.2 Định lý [8] Cho K R n tập đóng, lồi ánh xạ F : K ( R n ) liên tục Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm Bài toán 1.4.1 tồn R > cho cã mét nghiÖm xR ∈ K R điều kiện (5) thoả mÃn: xR < R Trong ®ã K R = K ∩ BR víi BR hình cầu đóng bán kính R tâm ∈ R n 1.4.3 HƯ qu¶ [8] Cho ′ F : K →( R n ) tho¶ F ( x ) − F ( x0 ) , x − x0 x − x0 víi x0 ∈ K → +∞ m·n , x ∈K , x → ∞ + (6) Khi đó, tồn nghiệm Bài toán 1.4.1 1.4.4 Định nghĩa Điều kiện (6) Hệ 1.4.3 đợc gọi điều kiện cỡng 1.4.5 Định nghĩa ánh xạ F : K ( R n ) đợc gọi đơn điệu 〈 F ( x) − F ( x '), x − x '〉 ≥ ∀ x , x' ∈K ánh xạ F đợc gọi đơn điệu ngặt nÕu dÊu '' x = x' = '' x¶y Chơng II Tính nửa liên tục dới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức bIÕN suy réng chøa tham sè kh«ng gian banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính chất sở 2.1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn với không gian đối ngẫu E, ( M ,d ) ( , d ) không gian mêtric Cho F : M ì E có giá trị tập hợp K : toán tử hàm đa trị với giá trị đóng, lồi Bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số liên quan đến tập hợp K ( ) toán tử , F (à ) toán tìm nghiệm x = x ( à, ) thoả mÃn phơng trình suy rộng F (à, x ) + N K ( λ) ( x ) , víi ( µ , ) M ì tham số vµ N K ( λ) ( x ) (1) lµ nón pháp tuyến với K ( ) x đợc ký hiệu ( { x* ∈ E* | x* , y − x ≤ ∀ y ∈ K ( λ ) ) ( x) =   ∅ } nÕu x ∈K ( λ) nÕu x ∉K ( λ) (2) Ta ký hiệu toán (1) cách viết gọn lại GVI ( F ( µ ,.) , K ( λ ) ) Khi F ( µ, x ) = { f ( à, x )} f : M ì E E * toán tử đơn trị phơng trình suy rộng (1) đợc gọi bất đẳng thức biến phân chứa tham số ký hiƯu bëi VI ( f ( µ , K ( λ) ) ,.) Ký hiƯu S ( µ, λ) lµ tập nghiệm phơng trình suy rộng (1) tơng ứng với cặp tham số ( à, ) Nh S : M ì E ánh xạ với giá trị tập hợp đợc gọi ánh xạ nghiệm phơng trình (1) Trong suốt đề tài ta giả sử x0 S ( µ0 , λ0 ) , cã nghÜa lµ ∈ F ( µ0 , x0 ) + N K ( λ0 ) ( x0 ) (3) 10 2.1.2 Định nghĩa Giả sử C tập không rỗng, đóng, lồi không gian định chuẩn E T : C 2E * toán tử Ta ký hiệu đồ thị T gphT : = { ( x , x* ) ∈ C × E * : x* ∈ Tx} * To¸n tư T đợc gọi đơn điệu ngặt với ( u1 , u1 ) , (u , u * ) gphT u1 u2 * * u1 −u , u1 −u > Toán tử T đợc gọi thuộc lớp ( S ) + nÕu * u n ∈Tu n , u n w u lim Sup u * ,u n − u ≤ n n→ ∞ víi un → u NÕu tËp hỵp T (C ) bị chặn T đợc gọi toán tử bị chặn C Toán tử T đợc gọi giả đơn điệu theo quan im Brezis nÕu víi mäi d·y un w → u * ωv ∈Tu vµ ω* ∈Tu n n ∗ cho lim Sup ωn , un − u ≤ th× víi v C tồn n thoả mÃn * * ωv , u − v ≤ lim inf ωn , u n v n 2.1.3 Định nghĩa Hàm đa trị K : E đợc gäi lµ cã tÝnh chÊt Aubin theo thø tù α > điểm ( , x0 ) gphK tồn số dơng ( ) k , ε0 vµ β K ( λ' ) ∩ x0 + ε B E ⊆ K ( λ) + kd ( λ' ,λ ) B E ∀λ' ,λ ∈ B ( λ ,β0 ) , víi BE cho (4) hình cầu đơn vị ®ãng cđa E vµ B( λ0 , β ) lµ hình cầu mở tâm với bán kính không gian mêtric Nếu K thoả mÃn tính chất (4) với = K đợc gọi có tính chất Aubin điểm (0 , x0 ) 2.1.4 Định nghĩa Hàm đa trị P : X 2Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y đợc gọi nửa liên tục dới x0 X với tập mở V ⊂ Y tho¶ m·n P ( x0 ) ∩ V , tồn lân cận U x cho P ( x ) ∩ V ≠ ∅víi mäi x ∈U 16 (i) T lµ ánh xạ nửa liên tục trên không gian hữu hạn chiều E ; T ( x) (ii) Với x C , Thì toán GVI (T ,C ) tập đóng, lồi bị chặn có nghiệm Chứng minh Ta ký hiệu F tập hợp tất không gian hữu hạn chiều L E cho L C ≠ ∅ LÊy mét kh«ng gian αL : E L xác định x , y = x ∗, y L víi mäi L∈ F xét ánh xạ y L Đặt C L = C L xác định ánh xạ TL : CL → E bëi c«ng thøc ∗ TL ( x ) = { α L x ∗ : x ∗ ∈ T ( x )} Theo ®iỊu kiện (i) (ii), TL nửa liên tục trờn C L có giá trị compact Ngoài ra, C L = C ∩ L , với C , L tập đóng bị chặn không gian hữu hạn chiều nên C , L compact Hay C L compact Bây ta xét toán GVI ( T L, C L) Theo mét kÕt qu¶ vỊ tồn bất đẳng thức biến phân suy rộng không gian hữu hạn chiều, toán GVI ( T L, C L) * cã nghiƯm, nghÜa lµ, tồn xL CL zL TL ( xL ) cho z * , y − x L ≥0 L V× ∗ z L = αL x ∗ víi x ∗ ∈T ( x L ) , y L C ta đợc x , y −x L ≥0 ∀ ∈C L y Do ®ã ta cã Sup ∗ x ∈T ( xL ) x ∗ , y − xL ≥ ∀ y C L (9) Với Y F ta ký hiệu SY tập hợp tất x C cho tồn không gian L ⊇Y ˆ víi ®iỊu kiƯn x ∈ C L vµ Sup x ∗ , y − ˆ ≥ x ∗ x ∈ (ˆ ) T x Với yêu cầu r»ng hä ∀ y ∈C L {S } có tính giao hữu hạn tập, Y SY tËp ®ãng yÕu S Y E Thật vậy, với Y F, đặt L = Y , tõ (9) ta suy xY ∈ S Y Do S Y 17 L1 , L2 , , Ln F đặt tập không rỗng Lấy không gian { L1 , L2 , , Ln } , th× ta cã M∈ M = span F Tơng tự nh khái niệm tập S Y có S M tập hợp tất x C cho tồn không gian L ⊇M ˆ víi x ∈ C M = C ∩ M Vµ sup x ∗∈ ( x ) T ˆ V× ˆ x ∈SM Ta suy Li M x Li nên x∗ , y − x ≥ nªn víi mäi i = ,n ˆ ∈S Li , ∀i =1,n x ∀ ∈C M y , tån t¹i L ⊂ F cho Hay n ˆ x ∈ S Li i= Khi ®ã L ⊃ Li SM ⊂ n  S Li Y∈ F Ta i= Điều có nghĩa n n i= i= ∅ S M ⊆ M ⊆ S Li ⊆ ≠ S  S Li Ta có điều phải chứng minh Vì S Y C v C tập compact yếu nên ta đợc SY Y F Điều có nghĩa tồn điểm Y C chọn Y∈ ∅ x0 ∈C cho x ∈S Y F cho Y chứa y x0 Vì với x S Y nên tồn t¹i mét w → d·y xn ∈ SY cho xn x0 Theo cách xác định tập hợp SY ta cã sup x ∈ ( xn ) T ∗ x ∗ ,v − x n ≥ ∀ v ∈CY Do ®ã inf sup ∗ v∈ Y x ∈ ( xn ) C T x ∗ , v xn Theo Định lý Sion giá trị nhỏ ta đợc sup inf x ∗ ,v − xn = inf sup C x ∗∈ ( xn ) v∈ Y T v∈ Y x∗∈ ( xn ) C T Vì hàm nhận giá trị thực më réng * xn ∈T ( xn ) x∗  x ∗ ,v − x n ≥ inf x ∗ , v − xn v∈ Y C cho inf xn∗ , v − xn ≥ vC Y nửa liên tục nên tồn 18 Do ®ã x* , v −x n ≥0 n Trong trêng hỵp ta cã * x n , y − xn ≥ ∗ lim sup x n , x n − x ≤ n →∞ x ∗ ∈T ( x ) vµ ∀ ∈ Y v C x* , x0 −x n ≥0 , n (10) Theo tính giả đơn điệu toán tử T từ (10), tồn cho x* , x0 − y ≤ lim inf n→ ∞ x* , x n − y ≤ n * §iỊu nµy cã nghÜa lµ x , y − x0 ≥ VËy ta ®· chØ r»ng inf sup y∈ x *∈ ( x ) C T x , y x0 Sử dụng Định lý Sion lần ta chứng minh đợc tồn t¹i x* , y − x0 ≥ 0 x* ∈ T ( x0 ) cho ∀y ∈C Vậy ịnh lý đợc chứng minh 2.4 chứng minh kết Trong phần ta chứng minh trực tiếp kết đà đa mục 2.2 Vì Định lý 2.2.2 trờng hợp đặc biệt Định lý 2.2.1 nên ta cần chứng minh Định lý 2.2.1 2.4.1 Chứng minh Định lý 2.2.1 (a) Theo điều kiện (iv) tồn số dơng k , cho K ( λ ') ∩ ( x0 + ε B E ) ⊆ K ( λ ) + kd (λ ', λ )α B E Chọn sè dương s vµ δ cho ∀λ ', λ ∈ B (λ0 , β ) ( (11) ) x0 + s B E ⊂ x0 + ε B E ∩ X , kd ( λ , λ ) < s , α víi mäi λ ∈ B( λ ,δ ) ⊂ B( λ ,β ) Do ®ã ®iỊu kiƯn (11) trở thành K (λ' ) ∩ ( x0 + s B E ) ⊆ K (λ) + kd (λ, λ' )α B E víi mäi λ , λ ∈B( λ0 ,δ ) ' (12) 19   s 1 α    Chän mét h»ng sè β cho < β < δ ,  ÷  Theo Bỉ ®Ị 2.3.1, ta cã   4k     ( ) ( ) K ( λ' ) ∩ x0 + s B E ⊆ K ( λ ) ∩ x0 + s B E + 5kd ( λ' ,λ ) B E , víi mäi λ, λ'∈B(λ0 , β) VËy víi mäi α λ' , λ ∈ B( λ0 ,β ) , (13) c¸c điều kiện (12) (13) thỏa mÃn Đặt cho λ' = λ0 ®iỊu kiƯn (12) ta thÊy với B(0 , ) tồn z λ − x0 ≤ kd (λ, λ0 )α < s VËy K ( λ ) ∩ B E ( x0 , s ) ≠ ∅ víi , z λ ∈ K (λ) mäi λ ∈ B(λ0 , β ) Với ( à, ) M × B(λ0 , β ) ta xÐt ph¬ng tr×nh suy rộng ∈F ( µ, x ) + N K ( λ) ∩B E ( x ,s ) ( x) (14) §Ĩ tiÕp tơc ta chøng minh bỉ đề sau 2.4.1.1 Bổ đề [7] Tồn lân cËn ( ∉ F ( µ , ) + N K ( λ ) ∩ B E ( x với ( à, ) U ìV0 , ,s ) U0 ì V ( µ0 , λ0 ) cho (.) ) ( ∂BE ( x0 , s ) ) , ∂ E ( x0 , s ) B (15) biên hình cÇu BE ( x0 , s ) Chøng minh Giả sử kết luận Bổ đề sai tồn dÃy n , λn → λ0 vµ xn ∈∂ ( x0 , s ) B ∈ F ( µn , xn ) cho + N K ( λ ) ∩B E ( x n ,s ) ( xn ) Vì dÃy { xn } hội tụ yếu nên { xn } bị chặn yếu Do tồn { x }={ x } nk n cho w xn  → x xn ∈ K ( λn ) ∩ ∂BE ( x0 , s ) ∗ xn , z xn với tồn x B E ( x0 , s ) * xn ∈F ( µn , x n ) (16) { x }, nk chän d·y Tõ ®iỊu kiƯn (16) ta cã d·y cho ∀z ∈ K ( λn ) ∩ B E ( x0 , s ) (17) Víi n ®đ lớn, đặt ' = n = ®iỊu kiƯn (13), ta thÊy r»ng tån t¹i mét ®iĨm yn ∈ K (λ0 ) ∩ B E ( x0 , s) cho x n − y n ≤ 5kd ( λn ,λ0 )α (18) 20 V× K ( λ0 ) ∩B E ( x0 , s ) tập bị chặn yếu đóng yếu không gian hữu hạn w chiều nên tËp compact u Ta cã thĨ gi¶ sư yn  y ∈ K (λ0 ) ∩ B E ( x0 , s) Chän x * ∈ E * vµ sử dụng điều kiện (18) ta đợc x , xn − x∗ , y = x∗ , xn − x∗ , yn + x∗ , yn − x∗ , y ≤ ≤ x∗ xn − yn + x∗ , yn x , y w Điều có nghĩa xn y Vì không gian mêtric hội tụ điểm nhÊt nªn x = y ∈K (λ0 ) ∩B E ( x0 , s ) Đặt ' = = n điều kiện (13), ta thấy với n , tồn điểm zn K (λn ) ∩ B E ( x0 , s ) cho Do ®ã z n −x → Thay z = zn z n −x ≤5kd ( λ , λ ) α n VËy d·y { z n } héi tơ vỊ x F ( µ0 , xn ) nªn d (λ0 , λn ) → vào điều kiện (17), ta đợc tập đóng, lồi E nên Theo điều kiÖn (iii) ta cã * * xn −u n →0 (19) tån t¹i * * * d ( x n , F ( µ , x n )) = x n −u n F ( µ0 ,.) , λn → λ0 n → ∞ x* , z n −x ≥ x* , x n −x n n Vì Vì * u n F ( à0 , xn ) cho Kết hợp điều với tính bị chặn ta thấy dÃy { x* } bị chặn Do từ điều kiện (19) ta có n * lim sup xn , xn − x ≤ n Điều có nghĩa * * * * lim sup un , xn − x = lim sup un − xn , xn − x + lim sup xn , xn − x ≤ n→∞ Từ F ( µ0 ,.) n→∞ lµ thuéc líp ( S ) + , suy n→∞ xn → x V× vËy x∈ BE ( x0 , β) ∩K (λ ) ∂ Lấy x ∈ K (λ0 ) ∩ B E ( x0 , s ) , theo điều kiện (13) với n đủ lớn, tồn điểm u n K (λn ) ∩B E ( x0 , s ) cho un → x n → ∞ Thay z = un vào điều kiện (17), ta đợc * x n , u n −xn ≥0 (20) 21 Vì F ( à0 ,.) nửa liên tục x * w bị chặn, ta giả sử un u * Mt khác, xn x , ta đợc u F ( µ0 , x ) x* , u n − x n = x* −u * , u n − xn n n n F ( µ0 , ) lµ Viết lại ta đợc + u * , u n xn n Cho n điều kiƯn (20) trë thµnh ∀ x ∈ K (λ0 ) ∩ B E ( x0 , s ) u* , x − x ≥ Trong trêng hỵp x = x0 ta đợc u , x0 x Vì (*) x0 S ( à0 , ) , tồn * u F ( à0 , x0 ) , cho * u , x −x0 ≥0 Do ®ã, x0 ≠ x u* , x −x0 ≥0 ∀ ∈K (λ ) x Theo tính đơn điệu ngặt F ( à0 , ) trªn X ∩ K (λ0 ) nªn ta cã u * , x −x0 > u* , x − x 0 Điều mâu thuẫn vi (*) Vy Bổ đề đợc chứng minh 2.4.1.2 Bổ đề NÕu ˆ ∈int B( x , s ) x th× ˆ N K ( λ) ( x ) = N K ( λ)∩B ( x ,s ) ˆ ( x) Chứng minh Theo định nghĩa nón ph¸p tuyÕn ta cã { } nÕu  x∗ ∈ E ∗ x∗ , y − xˆ ≤ ∀ y ∈ K (λ ) ∩ B( x0 , s) N K (λ )∩ B( x ,s) ( xˆ) =   ∅ nÕu ˆ x ∈K ( λ ) ∩B( x0 , s ) ˆ ∉K ( λ ) ∩ B( x0 , s ) x §iỊu phải chứng minh tơng đơng với việc chứng minh điều kiÖn sau ˆ  N K ( λ ) ( x ) ⊂ N K ( λ )∩ B( x0 ,s ) ( ˆx )  ˆ  N K ( λ ) ( x ) ⊃ N K ( λ )∩ B( x0 ,s ) ( ˆx ) ThËt vËy, víi mäi ˆ x ∗ ∈ N K ( λ) ( x ) , ˆ x ∗, y − x ≤ Do ®ã x ∗ ∈ N K ( λ )∩B( x ,s ) ( ˆ ) x ta cã x ∗, y −ˆ ≤0 x ∀y ∈ ( λ) K ∀y ∈K ( λ) ∩B( x0 , s ) x x Hay N K ( λ ) ( ˆ ) ⊂ N K ( λ ) ∩B ( x ,s ) ( ˆ ) , suy vµ 22 Víi mäi mäi z ∈K (λ) x ∗ ∈ N K ( λ )B ( x ta đặt ,s ) ( ) x ta có Với đủ bé y = ˆ + λ( z − ˆ ) x x ∀y ∈ ( λ) ∩B ( x0 , s ) K x ∗, y −ˆ ≤0 x Víi y λ ∈B( x , s ) Tõ ®ã ta cã x ∗, y λ −ˆ ≤0 x Điều tơng đơng với Hay x , z −x ≤0 x ∗ , λ z −ˆ ) ≤0 ( x ∀ ∈ ( λ) z K ( ) z K Điều có nghÜa lµ x∗ ∈ N K ( λ) ˆ ( x) ˆ x Do ®ã N K ( λ ) ( ˆ ) ⊃ N K ( λ ) ∩B ( x ,s ) ( x ) Vậy bổ đề đợc chứng minh 2.4.1.3 Bổ đề Nếu f : D Rn Rn đơn điệu ngặt toán VI ( f , K ) có nghiệm nghiệm Chứng minh Giả sư x1 , x2 ∈K lµ hai nghiƯm cđa bµi toán VI ( f , K ) , ta cã f ( x1 ), y − x1 ≥ ∀y ∈K , f ( x ), y − x ≥ ∀y ∈K Trõ hai vÕ hai bất đẳng thức ta có f ( x1 ) − f ( x2 ), x2 − x1 Mặt khác, điều mâu thuẫn với tính đơn điệu ngặt f ( x1 ) f ( x ), x1 − x < Do f , nghĩa x1 , x K x1 x2 Vậy toán VI ( f , K ) cã nhÊt nghiÖm Bây ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.2.1 Chọn Đặt U M V0 B (λ0 , β ) cho ®iỊu kiƯn (15) Bổ đề 2.4.1.1 thoả mÃn với ( à, ) ∈U ×V0 Ta dễ thấy r»ng ˆ Q0 = BE ( x0 , s ) vµ S ( µ, λ) = S ( µ, λ) ∩Q0 U , V0 Q0 thoả mÃn điều kiện Định lý Với ( à, ) U ìV0 , ta xét phơng trình suy rộng F ( µ , x ) + N K ( λ )∩B E ( x ,s ) ( x) (21) 23 F ( , ) Theo điều kiện (ii), giả đơn điệu có giá trị đóng, lồi nửa liên tục trên không gian hữu hạn chiều E Hơn nữa, theo tính bị chặn điều kiện (iii), F ( ,.) có giá trị bị chặn Ngoài ra, K () B ( x0 , s ) F ( µ0 , ) tập đóng, lồi bị chặn E Vậy điều kiện B đề 2.3.2 đợc thoả mÃn Theo điều kiện (15) cách chọn U vµ V0 , ˆ ∈int B E ( x0 , s ) x Bỉ ®Ị 2.4.1.2 ta cã ˆ N K ( λ) ( x) = N K ( λ)∩B E ( x ,s ) Nh vËy, x ( x) thoả mÃn phơng trình suy rộng F ( à, x ) + N K ( λ ) ( x ) §iỊu nµy cã nghÜa lµ ˆ ˆ ∈ S ( µ, λ) ∩Q0 x VËy kÕt luËn (a) cña Định lý đợc chứng minh (b) Giả sử G lµ mét tËp më cho S ( µ ,λ ) ∩ G ≠ ∅ Theo Bæ ®Ị 2.4.1.3 vỊ tÝnh nhÊt cđa BE ( x0 , s ) ⊂ BE ( x0 , s ) ∩G kd ( λ0 , λ ) < s α ˆ x0 ∈S ( µ0 , λ ) , ta cã x0 ∈G Chän s∈0, s ) ( điều kiện (12) Nh vậy, tồn >0 cho cho ( ) K (λ ') ∩ x0 + sB E ⊆ K (λ ) + kd (λ , λ ')α B E víi mäi λ, λ'∈B (λ , δ) ⊂ B (λ , β0 ) 0 h»ng sè β  Nh chøng minh cđa phÇn (a) ta chän mét cho < β < δ , (  ( ) (22) s 1α  )  Theo Bỉ ®Ị 2.3.1 ta cã 4k  ( ) K (λ ') ∩ x0 + sB E ⊆ K (λ ) ∩ x0 + sB E + 5kd (λ , λ ')α B E , (23) víi mäi λ, 'B ( , ) Hơn nữa, với , 'B ( , ) điều kiện (22) thoả 0 mÃn Từ Bổ đề 2.4.1.1 tồn mét l©n cËn ˆ V0 ⊂ V cđa λ cho víi mäi ˆ ( µ, λ) ∈ ìV0 U ( F ( à,.) + N K ( λ )∩B E ( x ,s ) ( ˆ U ⊂U cđa µ0 , mét l©n cËn , ta cã ) (.)) ∂ E ( x0 , s ) B (24) Sư dơng lý luận tơng tự nh cách chứng minh phần (a) ta thấy phơng trình suy rộng 24 F ( µ, x ) + N K ( λ)∩B E ( x ,s ) cã mét nghiÖm u =u ( , ) Theo điều kiện (24), ( x) u ∈int B E ( x0 , s ) N K ( λ) (u ) = N K ( λ)∩B E ( x ,s ) §iỊu nµy kÐo theo (u ) vµ ∈F ( µ, u ) + N K ( λ) (u ) ˆ u ∈S ( µ, λ) ∩ BE ( x0 , s ) ⊂ S ( µ, λ) ∩G Do ( à, ) ×V0 U ˆ Hay nãi c¸ch kh¸c, S ( µ ,λ ) ∩ G ≠ ∅ víi ˆ §iỊu có nghĩa ánh xạ nghiệm S : U ìV0 X nửa liên tục dới ( à0 , ) Vậy ịnh lý đợc chứng minh 2.4.2 Chứng minh Hệ 2.2.3 (a) Nh chứng minh Định lý 2.2.1 ta chọn số dơng s cho điều kiện (12) (13) thoả mÃn Để áp dụng Bổ đề 2.4.1.1 trờng hợp F ( µ,.) = f ( µ,.) , cã thĨ chØ dÃy ta giả sử kết luận Bổ đề sai Khi àn µ0 , λn → λ0 { xn } ⊂ ∂BE ( x0 , s ) ∩ K ( λ n ) cho f ( µn , xn ) , z − xn ≥ V× ∂ E ( x0 , s ) lµ B λ' = λn , λ = λ0 ∀ z ∈ K ( λn ) ∩ B E ( x0 , s ) mét tËp compact nên ta giả sử vào điều kiện (13) ta thấy với n , tồn (25) xn → x Thay y n ∈K (λ0 ) ∩B E ( x0 , s ) cho x n − y n ≤ 5kd ( λn ,λ0 ) α V× K (λ0 ) ∩ B E ( x0 , s) tập compact, không tính tổng quát ta giả sử y n → y ∈ K ( λ ) ∩ B E ( x0 , s ) Đặt ' = λ0 , λ = λn z n ∈ K ( λn ) ∩ B E ( x , s ) ta đợc Từ điều trên, ta có xn → y Do ®ã x = y ∈ K ( λ ) ∩ B E ( x0 , s ) ®iỊu kiƯn (13), ta thấy với cho f ( , x ), x0 −x ≥ 0 z n → x0 Vì f ( , x ) − f ( µ , x ), x −x >0 0 Hay Đặt z = zn n tồn điều kiện (25) cho n f ( à0 , ) đơn điệu ngặt vµ x0 ≠ x , f ( µ , x ), x −x > f ( µ , x ), x −x ≥0 0 ta có 25 Điều mâu thuẫn với x0 nghiệm toán VI ( f ( à0 ,.), K (0 ) đề 2.4.1.1 đợc áp dụng Bây ta chọn lân cận U0 M0 VËy Bỉ cđa µ0 vµ V0 ⊂ B (λ0 , β ) cña λ cho kÕt luËn cña Bổ đề 2.4.1.1 Đặt Q0 = BE ( x0 , s ) Với ( à, ) U ìV0 ta xét phơng trình suy rộng sau ∈ f ( µ, x) + N K ( λ)∩B E ( x ,s ) V× f ( à, ) ( x) (26) liên tục vµ K (λ ) ∩ B E ( x0 , s ) tập compact nên phơng trình suy rộng (26) cã mét nghiÖm ˆ int x ∈ B ( x0 , s ) ˆ ˆ x = x( µ, λ) ∈K (λ) ∩B E ( x0 , s ) Theo Bỉ ®Ị 2.4.1.1 ta cã Do ®ã N K ( λ )∩ B E ( x ,s ) ˆ ˆ ( x) = N K (λ ) ( x) ˆ VËy x lµ mét nghiƯm cđa phơng trình f ( à, x ) + N K ( λ ) ( x ) §iỊu nµy cã nghÜa lµ ˆ x ∈ S ( µ, ) Q0 Vậy kết luận (a) đợc chøng minh (b) B»ng c¸ch sư dơng lÝ ln nh kết luận (b) Định lý 2.2.1 ta ánh xạ S nửa liên tục dới ( à0 , ) 2.5 CáC Ví Dụ Trong phần xét vài Ví dụ minh họa cho phần Trớc tiên ta đa ví dụ không gian hữu hạn chiều 2.5.1 Ví dụ Cho ( , λ ) = ( − 1,1 8) , M ì R lân cận cđa ( µ0 , λ0 ) vµ X = R2 Cho f : M × X R2 hàm đợc xác định f ( µ, x) = ( x1 , µ x2 + x2 ) , x = ( x1 , x2 ) K : R2 xác định K ( λ ) = { ( x1 , x2 ) : x2 ≥ / , x1 + x2 = } Khi kết luận sau đợc đúng: (a) Các điều kiện (i) - (iii) Hệ 2.2.3 thoả mÃn; (27) 26 (b) u = (−1 / 4,1 / 2) (c) ánh xạ nghiệm f ( à0 ,.), K ( λ0 )) ; lµ nghiƯm nhÊt cđa bµi toán VI ( nửa liên tục dới ( µ0 , λ0 ) ˆ S (.) Chøng minh ThËt vËy, ta cã f ( µ0 , x) = ( x1 ,−x2 + x2 ) vµ K ( λ ) = { ( x1 , x2 ) : x2 ≥ / , x1 + x2 = / 4} Víi bÊt kú u = ( u1 ,u ), v = ( v1 ,v2 ) ∈K ( λ0 ) , ta thÊy u + v2 ≥ Ta cã 2 f ( µ ,u ) = ( u1 ,−u + u ) vµ f ( µ , v ) = ( v1 ,−v + v ) Khi ( 2 f ( ,u ) − f ( µ , v ) = u1 − v1 , v2 − u + u − v2 ) = ( u1 − v1 , ( u − v2 ) ( u + v2 − 1) ) Do ®ã f ( µ ,u ) − f ( µ , v ),u − v = ( u1 − v1 , ( u − v )( u + v − 1) ) , ( u1 − v1 ,u − v ) = ( u1 − v1 ) + ( u − v ) ( u + v − 1) > với u v Điều kéo theo f ( à0 , ) đơn điệu ngặt điều kiện (i) Hệ 2.2.3 thoả mÃn 2.5.1.1 Nhận xét Tập hợp K ( ) xác định điều kiện (27) tập lồi, đóng Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh Ta cã K ( λ) lµ tËp låi K ( λ ) = { ( x1 , x2 ) : x2 ≥ / , x1 + x2 = 2λ } Khi ®ã, víi bÊt kú x = ( x1 , x2 ) ∈ K ( λ ) , y = ( y1 , y ) ∈ K ( λ ) , ta cã x2 ≥ , x1 + x2 = 2λ y ≥ , y1 + y = 2λ LÊy bÊt kú [ t ∈ ,1] , ta cã tx + (1 − t ) y = ( tx1 + (1 − t ) y1 , tx + (1 − t ) y ) Tõ nh÷ng ®iỊu trªn ta xÐt tx1 + (1 − t ) y1 + tx2 + (1 − t ) y = t ( x1 + x2 ) + (1 − t ) ( y1 + y ) = t 2λ + (1 −t ) 2λ = 2λ , vµ tx2 + (1 − t ) y ≥ t + (1 − t ) = 27 Vì tx + (1 − t ) y ∈ K ( λ) , ∀ x , y ∈ K ( λ) ,∀ t ∈[0 , 1] Điều chứng tỏ K ( ) lµ tËp låi Ta dƠ thÊy K ( λ) lµ tập đóng Vậy ta có điều phải chứng minh Dễ thấy f ( , ) Mặt khác, với ánh xạ K (.) là ánh xạ liên tục nên điều kiện (ii) Hệ 2.2.3 λ ∈ Λ0 , K ( λ ) lµ mét tập đóng, lồi (theo Nhận xét 2.5.1.1) Ta có liên tục Lipshitz Do điều kiện (iii) Hệ 2.2.3 thoả mÃn Vì tất điều kiện Hệ 2.2.3 thoả mÃn Để chứng minh (b) (c) ta cần chứng minh Nhận xét sau 2.5.1.2 NhËn xÐt u ∈ (λ) K lµ mét nghiƯm toán VI ( f ( à,.), K ()) u thoả mÃn phơng trình u = ∏ ( λ) ( u − ρf ( µ,u ) ) , K víi h»ng sè ρ >0 ë ( ) ( x ) hình chiếu mêtric điểm x R tập hợp K K () Chứng minh Theo Định lý 1.2.3 Chơng I, u hình chiếu u f ( à, u ) lên K ( ) , vµ chØ u , v −u ≥ u −ρ (µ u ), v −u f , Tõ ®ã ta cã f ( µ u ), v − ≥0 , u ∀v ∈K (λ) s cã nghÜa u nghiệm toán VI ( f ( à,.), K ()) Vậy ta có điều phải chøng minh 2.5.1.3 NhËn xÐt NÕu x = ( x1 , x2 ) điểm R th× x  ∏ ( λ ) ( x) =  λ +  K − x2 x − x1  ,λ +  2  28 Chøng minh ThËt vËy, lÊy bÊt kú ( x , y ) K ( ) , ta đặt ( x, y ) = ( λ − z, λ + z ) , víi z ∈ R v× x + y = 2λ Ta cã d ( ( x1 , x2 ) , ( x, y ) ) = ( f ( z ) = λ − x − x1 ) + ( λ + z − x ) Khi ®ã 2 d ( λ − z − x1 ) vµ chØ + ( + z x2 ) , đặt f Mặt khác, ta có f ( z ) = − 2( λ − z − x1 ) + 2( λ + z − x ) = z + 2( x1 − x ) , vµ f ′( z ) = z + 2( x1 − x ) = vµ chØ z = x −x  Tõ ®ã ta cã f = f   , suy  x − x1 x  ∏ ( ) ( x) =  λ +  K λ  − x2 x −x  ,λ +  2  VËy ta có điều phải chứng minh (b) Với x = ( x1 , x2 ) điểm R2 theo NhËn xÐt trªn ta cã x −x x −x   ∏ ( ) ( x) =  λ + 2 ,λ + 2  , K λ   V× x − ρf ( µ, x ) = (( − ρ )x ,( − ρµ )x 2 − ρ x2 ) nªn ta cã ∏ ( ) ( x − ρ f ( µ , x ) ) = ∏ ( ) ( (1 − ρ ) x , (1 − ρµ ) x K λ K λ 2 − ρx2 )  (1 − ρ ) x1 − (1 − ρµ ) x2 + ρx22 , λ + (1 − ρµ ) x2 − ρx22 − (1 − ρ ) x1   = λ +   2   2  2λ + (1 − ρ ) x1 − (1 − ρµ ) x + ρ x 2λ − (1 − ρ ) x1 + (1 − ρµ ) x2 − ρ x   = ,   2   2 = ( 2λ + ( − ρ ) x1 − ( − ρµ )x2 + ρ x2 , 2λ − (1 − ρ ) x1 + (1 − ρµ ) x − ρ x2 ) Theo NhËn xÐt 2.5.1.2, ta cã x = ( x1 , x2 ) = ∏ ( λ) ( x − ρf ( µ, x ) ) K vµ chØ  2λ + ( − ρ )x1 − ( − µ ρ )x2 + ρ x22 = x1   2λ − ( − ρ )x1 + ( − µ ρ )x2 − ρ x22 = x2 29 Điều tơng đơng với x22 + ( + µ )x2 − 2λ =  x1 + x2 = Trong phơng trình đầu hệ (28) có có nghiệm VI ( f (., µ0 ), K (λ0 )) (28) ∆ = ( µ +1) + 8λ u = ( −1 / 4, / ) ∈ K (1 / 8) Khi ( µ0 ,λ0 ) = ( −1, / 8) th× hƯ Nó nghiệm toán Khi > phơng trình hệ có hai nghiƯm θ1 = − (1 + µ) + ∆ vµ θ2 = − (1 + µ) − ∆ Do toán có hai nghiệm u ( µ , λ ) = ( 2λ − θ1 ,θ1 ) vµ u ′( µ , λ ) = ( 2λ − θ , θ ) Ta xÐt lim ( µ ,λ )→( µ ,λ ) u( µ , λ ) = ( ( µ ,λ )→( −1,1 / ) lim 2λ − − ( + µ ) + ( µ + ) + 8λ − ( + µ ) + ( + µ ) + 8λ , 2 )  1 =  − ,  = u0  2 Khi ®ã tån lân cận ánh xạ S U ìV0 M ì điểm ( à0 , λ0 ) vµ Q0 cđa u0 cho lµ nửa liên tục dới ( à0 , ) Bây ta đa phản ví dụ thĨ hiƯn hµm f ( µ0 , ) HƯ 2.2.3 tính đơn điệu ngặt điều kiện đủ điều kiện cần 2.5.2 Ví dụ Ta xét ví dụ tơng tự nh điều kiƯn cđa VÝ dơ 2.5.1 nhng víi K ( λ ) = { ( x1 , x2 ) : x2 ≥ − / 4, x1 + x2 = 2λ} Chng minh Khi tơng tự nh ví dụ điều kiện Hệ 2.2.3 thoả mÃn Ta kiểm tra tính đơn điệu ngặt f XÐt K ( λ ) = { ( x1 , x2 ) : x2 ≥ − , x1 + x2 = 4} Khi ®ã tån t¹i 30 u = (u1 , u ) ∈ K (1 / 8) , v = ( v1 ,v ) ∈ K ( / ) , u = −1 / ,u1 = / , v2 = −1 / 3, v1 = / 12 Ta cã f ( µ ,u ) − f ( µ ,v ) , ( u − v ) = ( u1 − v1 )2 + ( u − v ) ( u + v − ) 2 7  1  1 1  