Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh Nguyễn thị minh thìn Rèn luyện lực giảI toán theo định hớng phát giảI vấn đề cách sáng tạo cho học sinh trờng trung học phổ thông (Thể qua dạy học giải phơng trình lợng giác) luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh Nguyễn thị minh thìn Rèn luyện lực giảI toán theo định hớng phát giảI vấn đề cách sáng tạo cho học sinh trờng trung học phổ thông (Thể qua dạy học giải phơng trình lợng giác) Chuyên ngành: Lý luận & Phơng pháp dạy học môn toán Mà số: 60.14.10 luận văn thạc sĩ giáo dục học Ngời hớng dÉn khoa häc: TS Bïi gia quang Vinh – 2007 Lời cảm ơn Trong thời gian qua, nỗ lực thân, đề tài luận văn đợc hoàn thành với hớng dẫn tận tình, chu đáo T.S Bùi Gia Quang Luận văn có giúp đỡ tài liệu ý kiến góp ý thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận Phơng pháp giảng dạy môn Toán Xin trân trọng gửi tới thầy cô giáo lời biết ơn chân thành sâu sắc tác giả Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo Ban giám hiệu, tổ Toán trờng Phạm Hồng Thái đà tạo điều kiện trình tác giả thực đề tài Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn Tuy đà có nhiều cố gắng, nhiên Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Tác giả mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Mục lục Trang Mở đầu Chơng 1: Cơ sở lý luận thùc tiƠn D¹y học phát giải vấn đề 1.1 C¬ së khoa häc cđa phơng pháp dạy học PH GQVĐ 1.2 Bản chất, thành tố đặc trng phơng pháp dạy học PH GQVĐ 1.3 Nh÷ng hình thức cấp độ dạy học PH GQVĐ 1.4 Cách tiếp cận PH GQVĐ tiến trình dạy Toán Năng lực giải Toán theo định hớng PH GQVĐ cách sáng tạo 2.1 Quan niệm trình sáng tạo 2.2 Năng lực giải Toán theo định hớng PH GQVĐ cách sáng tạo 2.3 Bản chất, thành phần đặc trng lực giải Toán 2.4 Các điều kiện để hình thành lực giải toán cho học sinh 2.5 Hình thành phát triển lực giải Toán theo định hớng PH GQVĐ cách sáng tạo cho học sinh THPT 7 10 15 18 18 21 23 26 27 Mét vµi nÐt thực trạng dạy học môn Toán trờng THPT 30 3.1.T×nh h×nh chung 30 3.2.Thùc tiƠn d¹y häc giải tập lợng giác theo hớng PH GQVĐ 32 cách sáng tạo trờng phổ thông 32 KÕt luËn Ch¬ng 33 Ch¬ng 2: Một số biện pháp góp phần rèn luyện NLGT theo định hớng PH GQVĐ cách sáng tạo cho học sinh THPT 35 2.1 Vấn đề đổi phơng pháp dạy học 35 2.2 Một số biện pháp góp phần rèn luyện lực giải Toán cho học sinh THPT 41 2.3 KÕt luËn ch¬ng Chơng 3:Thực nghiệm s phạm 76 78 3.1 Mơc ®Ých thùc nghiÖm 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm 3.3 KÕt qu¶ thùc nghiƯm 78 78 81 3.4.Một số vấn đề cần quan tâm 84 85 KÕt luËn Tài liệu tham khảo Quy íc vỊ c¸c chữ viết tắt sử dụng luận văn 86 Viết tắt Viết đầy đủ PH GQVĐ : Phát giải vấn đề NXB : Nhà xuất PPDH : Phơng pháp dạy học SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông NLGT : Năng lực giải toán mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam khoá đà đề ra: ''Phải đổi phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cøu cho häc sinh'' Trong lt gi¸o dơc ViƯt Nam, năm 2005, Điều 24 Khoản đà viết: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, cần phải bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Vì vậy, phơng hớng đổi phơng pháp dạy học làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải tiết học học sinh đợc suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều Đây tiêu chí, thớc đo đánh giá đổi phơng pháp dạy häc Thay cho lèi trun thơ mét chiỊu, thut tr×nh, giảng giải, ngời giáo viên cần phải tổ chức cho học sinh đợc học tập hoạt động hoạt động, tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo [15, tr.5-6] 1.2 Trong năm gần đây, số PPDH đại đà đợc đa vào nhà trờng phổ thông nh: Dạy học theo lý thuyết hoạt động, Dạy học phân hoá, Các phơng pháp dạy học đà đáp ứng đợc phần lớn yêu cầu đợc đặt Tuy nhiên, với số phơng pháp đà đợc sử dụng vấn đề nâng cao hiệu dạy học, phát huy tính chủ động học sinh cha đợc giải cách Vì việc nghiên cứu vận dụng xu hớng dạy học có khả tác động vào hoạt động học sinh theo hớng tích cực hóa trình nhận thức điều thực cần thiết 1.3 Đi sâu vào việc đổi phơng pháp dạy học, cần thiết phải đẩy mạnh việc nghiên cứu lý luận, tìm hiểu lý thuyết dạy học nớc khác có chứa đựng yếu tố phù hợp với thực tiễn giáo dục nớc ta Một xu hớng dạy học gây ý cho nhà nghiên cứu lý luận dạy học ''Dạy học phát giải vấn đề'' Về mặt lý luận, vận dụng quan điểm dạy học Toán trờng phổ thông đợc coi một phơng pháp dạy học tích cực Thầy giáo tạo tình gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo để giải vấn đề, thông qua mà tạo tri thức, rèn luyện kỹ [13,tr 199] 1.4 Hai phạm trù Sáng tạo Giải vấn đề Toán học nói chung - giải Toán nói riêng chủ đề nghiên cứu trờng phái theo quan điểm phơng diện khác Những vấn đề triết học sáng tạo đà đợc nhà triết học cổ đại bàn luận đợc mở bớc ngoặt vào đầu kỷ XX R.JSternberg, M.W Bundy, C.W Taylo [26,tr 16-20] đà xây dựng Lý thuyết sáng tạo: "Hoạt động sáng tạo có ảnh hởng to lớn không đến tiến khoa học mà đến toàn xà hội nói chung" Với phơng pháp luận sáng tạo, khoa học sáng tạo nh gạch nối khoa học tự nhiên, khoa học xà hội, đa phơng thức, quy luật phơng pháp cụ thể để giải vấn ®Ị mét c¸ch tèi u cc sèng thùc tiƠn.Tõ năm 60(thế kỷ XX), đặc biệt công đổi chơng trình SGK PPDH nay, dạy học nhằm bồi dỡng phát triển lực phát giải vấn đề cách sáng tạo cho học sinh không mang tính thời đại mà thực trở thành nhu cầu cấp thiết GS Đặng Hữu[10] đà khẳng định: "Sự sáng tạo đổi thờng xuyên động lực chủ yếu thúc đẩy phát triển Cố thủ tớng Phạm Văn 10 Đồng đà nói: Đất nớc cần mới, sáng tạo mặt khoa học, kỹ thuật Cho nên nhà trờng phải vũ trang cho khả vô tận nghề dạy học nghề sáng tạo sáng tạo ngời sáng tạo [21, tr 1,2] Trên giới Việt Nam nhà khoa học M.WBundy, G.Polya, C.W Taylo, E.P Torance, Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, đà có công trình nghiên cứu dạy học sáng tạo dạy học giải vấn đề theo t tởng: Sáng tạo thông qua đờng PH GQVĐ 1.5 Lợng giác phân môn có nhiều thuận lợi việc xây dựng biện pháp s phạm theo hớng PH GQVĐ lớp 11, phơng trình lợng giác hầu hết ®Ịu cã thĨ quy vỊ d¹ng quen thc ®· cã cách giải; Song định hớng sáng tạo, cách PH GQVĐ việc giải phơng trình lợng giác thể rõ trình biến đổi lợng giác đa dạng có cách giải, biện luận nghiệm, biểu diễn kết hợp nghiệm, cách hệ thống khái quát hóa cách giải Đặc biệt, phơng trình lợng giác việc rèn luyện NLGT thể trình vận dụng kiến thức, cách lựa chọn phơng pháp giải thu nhận hợp thức hóa toán Vì lý đây, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: ''Rèn luyện lực giải Toán theo định hớng phát giải vấn đề cách sáng tạo cho học sinh trờng THPT'' Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá số vấn đề lý luận NLGT theo hớng sáng tạo giải vấn đề, từ xây dựng số biện pháp s phạm nhằm rèn luyện NLGT cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán THPT (Thông qua nội dung phơng trình lợng giác) Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1.Hệ thống hóa sở lý luận dạy học giải vấn đề.Phân tích chất hình thức tổ chức phơng pháp dạy học giải vấn đề 65 Nh vậy, giải pháp quan trọng để rèn luyện lực giải Toán cho học sinh hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự :"Có thể phát minh Toán học sơ cấp nh To¸n häc cao cÊp, thËm chÝ bÊt cø lĩnh vực ta không dùng thao tác t khái quát hóa, đặc biệt hóa tơng tự "[7] c) Mối liên hệ khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự giải Toán Mối liên hệ ba thao tác t duy: Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự xuất phát từ đồng cụ thể lôgic biện chứng (Hay quy luật:"Tính thống mặt đối lập "cđa triÕt häc biƯn chøng)[3,tr.24] Bëi lÏ t chứa đựng thống mặt đối lập (đặc biệt hóa, khái quát hóa) thống tính đa dạng (tơng tự ), đồng tính đặc biệt Quy luật có tác dụng làm cho trình t nhanh, bền vững linh hoạt - Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự có mối liên hệ thống với theo chế chung t đợc phối hợp với việc giải vấn đề Sáng tạo Toán học loại suy diễn quy nạp nhau:Suy diễn đa đến kiện cụ thể riêng biệt(đặc biệt hóa); sau so sánh, đối chiếu kiện với để phát dấu hiệu chung khái quát lên thành lý thuyết tổng quát (khái quát hóa) Suy diễn lại giúp phát vấn đề mới, kiện cụ thể mới, đa dạng phong phú (tơng tự ) Khái quát hóa, đặc biệt hóa hai trình đối lập nhau, song thống với nhau; thờng đợc vận dụng tìm tòi giải Toán Từ tính chất muốn khái quát hóa ta dùng đặc biệt hóa Nếu tìm cách chứng minh dự đoán khái quát hóa Nếu sai bác bỏ dự đoán tìm hớng khác.Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hóa, không yêu cầu học từ riêng đến chung (khái quát hóa) mà đòi hỏi từ chung đến riêng (đặc biệt hóa) làm rõ mối liên hệ chung riêng, đạt đợc xuất phát, giúp cho việc hệ thống hóa kiến thức tiến trình giải 66 Toán Trong nhiều trờng hợp coi phép tơng tự nh tiền thân khái quát hóa, coi nh biểu khái quát hóa đạt đợc khái quát hóa đầy đủ d) Vận dụng phơng pháp suy luận khái quát hóa, đặc biệt hóa tơng tự, so sánh, hệ thống hóa, trừu tợng hóa sở phân tích tổng hợp Vận dụng hoạt động việc rèn luyện lực giải Toán, cần phải phân tích toán cách toàn diện nhiều khía cạnh khác nhau, biểu hai mặt quan trọng: - Phân tích nội dung kết toán nhiều khía cạnh khác nhau, xét trờng hợp đặc bịêt, từ khái quát hóa, tơng tự theo hớng - Tìm nhiều lời giải khác toán, khai thác lời giải để định hớng giải toán đặc biệt, toán tơng tự tổng quát ví dụ đà rõ vận dụng thao tác khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự Từ trờng hợp riêng, khái quát hóa, ®i ®Õn mét vÊn ®Ị, mét t×nh hng vÊn ®Ị tổng quát Từ "bằng đặc biệt hóa" học sinh lại trở nghiên cứu trờng hợp tơng tự Điều chứng tỏ trờng hợp tổng quát tơng đơng với trờng hợp đặc biêt mặt lôgic Rõ ràng, phép khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự kết hợp cách tự nhiên cố gắng tìm kiếm lời giải toán Biện pháp 4:Tập luyện cho học sinh tìm nhiều cách giải, phân tích chọn cách giải hay cho toán Biện pháp nói chiến thuật giải toán cụ thể, chủ yếu dành cho học sinh Trong trình tiếp cận, PH GQVĐ cách sáng tạo giải toán học sinh không nhìn toán từ góc độ mà phải xem xét từ nhiều phía, không chấp nhận cách quen thuộc Từ tìm tòi đề xuất đợc nhiều cách giải khác cho toán Giáo viên có 67 nhiệm vụ định hớng cho em, đặc biệt đợc lời giải tối u cho toán a) Cơ sở khoa học cho vấn đề tìm nhiều lời giải toán - Những công trình nghiên cứu Triết học Toán học [22] đà khẳng định: Sự thiên biến vạn hóa nhng có quy luật tợng có chất, mâu thuẫn đối lập nhng thống với nhau: Đó cặp phạm trù "vận động đứng yên " "Nội dung hình thức" Trong Toán học, cụ thể giải Toán, GS Nguyễn Cảnh Toàn đà rõ [29] : Vận động (vạn biến) phép biến đổi, cách giải (nếu có) toán, đứng yên (bất biến) trạng thái không thay đổi- nội dung toán Lấy bất biến để ứng nghiên cứu vạn biến Do đó, giải Toán hoàn toàn có khả tìm nhiều lời giải cho toán "Khi cách giải dài phức tạp, ta nghĩ có cách giải khác sáng sủa đạt kết nhanh chóng hơn" [28] - Theo Henry Gleitman (1986) t sáng tạo có kiểu phân biệt: T hội tụ t ph©n kú Trong t héi tơ, ngêi ta cố gắng quy câu trả lời hay giải pháp cho vấn đề (Một cách giải cho toán), trái lại t phân kỳ, ngời ta cố gắng tạo nhiều giải pháp khác tốt cho vấn đề ( Nhiều cách giải cho toán) T phân kỳ biểu đặc trng thờng sử dụng hoạt động sáng tạo Các sở khoa học đà khẳng định việc tìm nhiều cách giải cho toán thực đợc, góp phần rèn luyện lực giải Toán cho học sinh b) ý nghĩa việc tìm nhiều cách giải cho toán - Rèn luyện khả t lôgic, t sáng tạo, chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, nhìn đối tợng Toán học, vấn đề hay toán, dới nhiều góc độ khác nhau, nhìn mối tơng quan với tợng khác, tìm cách giải mới, sáng tạo - ý nghĩa thiết thực việc tìm nhiều cách giải cho toán, biểu ngời sáng tạo 68 - Tìm nhiều lời giải cho toán giúp cho học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hóa sử dụng kiến thức, kỹ phơng pháp giải Toán cách chắn, mềm dẻo linh hoạt Đó đặc trng lực giải Toán - Tập hợp nhiều cách giải tìm đợc cách giải tối u cho toán trình suy nghĩ đến cách giải Từ phát vấn đề mới, toán mới; Dễ dàng áp dụng vào thực tiễn, vào trờng hợp riêng toán hay đến hớng giải tổng quát cho loại toán Quy trình suy nghĩ lời giải toán giúp chúng ta: + Tổng hợp đợc nhiều phơng pháp giải Toán từ Toán cụ thể + Tìm đợc nhiều mối liên quan yếu tố liên quan môn Đại số, giải tích, số học, hình học lợng giác giải Toán cụ thể + Mở rộng thành toán mới, toán tổng quát, toán tơng tự từ toán đà giải xong + Khai thác kết to¸n, gióp häc sinh thÊy râ u, khut cđa tõng phơng pháp giải toán Vì tìm nhiều cách giải giúp học sinh thu nhận, hợp thức hóa toán, làm phong phú thêm tri thức ngời giải Toán Ví dụ 1: Giải phơng trình: sin3x + cos3 x = Cách 1: = sin2x + cos2x nªn cã thĨ viÕt sin2x + cos2x - sin3x - cos3x = Vế trái tổng hai thừa số không âm sinx cosx không đồng thời không (do sin2x + cos2x = 1) nên phơng trình tơng đơng với sin x = a)  hc cos x = cos x =  sin x = HÖ a) cã nghiÖm x = 2kπ, k nguyªn b) cã nghiƯm x = π + lπ , l ∈z 69 VËy nghiƯm cđa phơng trình đà cho: x = 2k, x = + 2lπ , k, l ∈z C¸ch 2: Häc sinh nảy ý định biển đổi theo đẳng thøc quen thuéc Ta cã: = sin3x + cos3x = (sinx + cosx) (sin2x + cos2x - sinx cosx)   = (sinx + cosx)  − sin 2x ữ Đặt sinx + cosx = t ⇒ t2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + sin2x ⇒ sin2x = t2 -1 Phơng trình trở thành: t − (t − 1) ÷ =   ⇔ t3 - 3t + = ⇔ (t - 1)2 (t + 2) = π  V× t = cos  x − ÷ ⇒ t ≤ vµ t + > 4  π  Do vËy suy t = ⇒ cos  x − ÷ = 4  ⇒ x− π π π = ± + 2kπ ⇒ x = 2kπ vµ x = + 2kπ (k ∈z) 4 Cách 3: Vì sin x 1, cos x nên sinx cosx trái dấu sinx, cosx đồng dấu âm vế trái bé nên phơng trình vô nghiệm Nếu sinx, cosx đồng dấu, không âm sin x 1; ≤ cosx ≤ ⇒ cos3x ≤ cos2x, sin3x ≤ sin2x ⇒ = sin3x + cos3x ≤ sin2x cos2x = Phơng trình có nghiệm hai vÕ b»ng vµ b»ng ⇒ sin3x = sin2x, cos3x ≤ cos2x ⇒ sin2x (1 - sinx) = 0, cos2x(1 - cosx) = quay cách Cách 4: Cũng lý luận tơng tự nh cách 3, ta cã: 70 ≤ sinx ≤ 1, ≤ cosx ≤ ⇒ = sin3x + cos3x = sinx sin2x + cosx cos2x ≤ ≤ sin x + cos x sin x + cos x = sin x + cos x (áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacopski) Nếu sinx = cosx = cosx = sinx = Do có nghiệm x = 2kπ vµ x = π + 2lπ , k,l ∈ z NÕu sinx > vµ cosx > th× ta cã: ≤ sin x + cos x < sin x + cos x + 2sin x cos x (sin x + cos x) = , Phơng trình vô nghiệm = Ví dụ : Giải phơng trình: sin4x + cos4x = (1) Häc sinh tiÕp cËn, phát giải vấn đề từ nhiều góc độ khác toán Cách 1: Từ ý tởng sử dụng đẳng thức quen thuộc (sin2x + cos2x) = sin4x + cos4x + 2sin2x cos2x = sin4x + cos4x + Khi ®ã (1) ⇔ − sin 2x = ⇔ x=k sin x ⇔ sin22x = π ( k z) Cách 2: Một vấn đề nảy sinh hai số hạng vế trái b»ng th× sao: + NÕu cos4x = ⇔ x= + k , kz Thử thấy nghiệm phơng trình (1) 71 + Nếu cos4x ≠ 0, thay = + tan x , chia vế phơng trình cho cos x cos4x ≠ 1 = (1 +tan x) = + tan x + tan x = + tan x 4 cos x cos x ⇔ 2tan2x = ⇔ tanx = ⇔ x = lπ KÕt hỵp ta cã: x = k π (l ∈ z) (k ∈ z) Cách 3: Học sinh liên tởng đến vấn đề quen thuộc đợc dùng giải Toán lợng giác vận dụng công thức hạ bậc: Phơng trình (1) phơng trình hữu tỉ bậc chẵn sinx, cosx, áp dụng công thức hạ bậc 2 − 2cos 2x   +2cos 2x  sin x + cos x =  ÷ + ÷ =1 2     4 C¸ch 4: Tơng tự cách 3, áp dụng công thức hạ bËc ®a vỊ : sin2x (sin2x - 1) = Cách 5: áp dụng liên tiếp công thức hạ bậc đa phơng trình (1) dạng cos4x = x = k π (k ∈ z) C¸ch 6: Học sinh liên tởng đến cách giải toán quen thuộc, dùng phơng pháp bất đẳng thức để giải toán: (1) sin4x + cos4x = sin2x + cos2x ⇔ sin2x (sin2x - 1) = cos2x (cos2x - 1) NhËn xÐt thÊy r»ng: sin x = π sin2x - ≤ vµ - cos2x ≥ nªn  ⇔ x = k (x ∈ z) cos x = VÝ dô 2a: NhËn xét thấy vấn đề lý thú từ toán học sinh đến giải toán tổng qu¸t sinnx + cosnx = (2 ≤ n ∈ N) 72 1) ThËt khã cho häc sinh, ®a vỊ tanx (cách 2) phức tạp, dùng công thức hạ bậc (cách 3) không giải đợc với n số lẻ Gợi ý cho học sinh áp dụng tơng tự cách 6, có: sinnx +cosnx = = sin2x + cos2x (2) Hay sin2x (1 - sinn -2x) + cos2x (1- cosn - 2x) = (*) Vì n nên - sin2n - x ≥ - cosn - x ≥ (2) ⇔ sin2x (1 - sinn - 2x) = cos2x (1 - cosn -2x) = a) NÕu n chẵn, phơng trình (2) tơng đơng với: sin x = sin x = ;  ;  cos x = cos x = −1 cho nghiÖm x = k π sin x = ;  cos x = sin x = −1  cos x = (k ∈ z) b) NÕu n lỴ, ®a vỊ gi¶i: sin x = sin x = π ;  cho nghiƯm x = k2π vµ x = + 2kπ (k ∈z)  cos x = cos x = VÝ dơ 2.b Trªn cách giải phơng trình (1) (2) học sinh đến cách giải phơng trình tổng quát sau: sin2mx + cos2nx = (1 ≤ m, n ∈N) Nh vËy tõ mét vÝ dơ SGK, trªn sở tìm cách giải, nhìn toán đà cho theo góc độ khác nhau, học sinh tìm đợc cách giải tối u đến toán với dạng tổng quát Biện pháp : Dự đoán hớng khắc phục sai lầm học sinh giải Toán Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định : " Bất kì sai lầm làm cho học sinh nh giáo viên không ý tới sai lầm đó, cách hớng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa, khắc phục sai 73 lầm" Các sai lầm học sinh dạy học giải Toán đợc hiểu : Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích giải Toán, yêu cầu toán) lẽ phải (các tình điển hình môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, nội dung lôgic toán, phơng pháp suy luận suy diễn ), không đạt đợc mục đích dạy học giải Toán Các sai lầm giải Toán thờng nguyên nhân từ góc độ khác tính cách, trình độ nắm kiến thức kĩ Do biện pháp chủ yếu dành cho học sinh lẽ đối tợng tập dợt nghiên cứu sáng tạo, làm quen với cách tiếp cận, phát giải vấn đề Nhiệm vụ giáo viên phải dự đoán giúp đỡ học sinh khắc phục sai lầm giải Toán Điều tra thực trạng cho thấy học sinh phạm nhiều sai lầm đối tợng học sinh (cả số giáo viên) mắc sai lầm Do để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán có hớng khắc phục sai lầm học sinh giải Toán Khi giải phơng trình hệ phơng trình, học sinh thờng gặp phải sai lầm liên quan tới việc lấy nghiệm, kết hợp nghiệm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng Ví dụ1: Giải phơng trình : 2cos(2cosx) = Có học sinh đặt: t = 2cosx, đợc phơng trình: 2cost = cos t = ⇔ t = ± 300 + k 3600 Sai lầm học sinh không nắm đợc giải phơng trình cost = a với t = 2cosx tìm tất số thực t làm cho đề cost = a đúng, ẩn t góc, cung lợng giác ,do số đo đơn vị đo độ Hớng giải đúng: Giải phơng trình cos t = t = ± π + k 2π (1) 74 Xét phơng trình: 2cosx = t (2) với tham số t lấy giá trị tập hợp xác t ®Þnh bëi (1), cã (2) ⇔ cos x = Phơng trình có nghiệm t k + Điều không xảy 12 với k nguyên khác không Víi k = ta cã: cosx = ± π 12 Nhiệm vụ quan trọng ngời giáo viên hớng dẫn học sinh dự đoán đợc sai lầm phân tích để tìm nguyên nhân sai lầm biện pháp tích cực để rèn luyện lực giải Toán Ví dụ 2: Giải phơng trình: (cos2x - cos4x)2 = + cos23x Đây phơng trình không mẫu mực nên học sinh khó khăn chọn phơng pháp giải, dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuất bình phơng nên khai triển ra, sau dẫn đến phơng trình phức tạp tìm cách biến đổi đa hàm lợng giải góc Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)2 ≤ 4 + cos23x ≥ ∀x ∈R ∀x ∈R (cos 2x − cos 4x)  VËy (cos2x + cos4x) = 4cos 3x ⇔  4 + cos 3x =  (cos 2x − cos 4x) =  cos3x = (1) (2) Gi¶i (1) cos 2x = cos 2x = −1 hay  (1) ⇔  cos 4x = −1 cos 4x = 2x = k2π ⇔ Gi¶i (a)  4x = π + k2π (b)  x = kπ   π π ⇔ v« nghiƯm x= +k   75 π  x = + kπ  2x = π + k2π  π ⇔  Gi¶i (b)  ⇔ x = + kπ 4x = k2π x = k π   XÐt (2): 3x = VËy x = (k ∈z) 3π + 3kπ ⇒ cos3x = (tho¶ m·n) π + kπ (k ∈ z) lµ nghiƯm phơng trình Ví dụ 3: Giải phơng trình tan7x=tan5x π Ta cã: tan7x = tan5x ⇔ 7x=5x+kπ ⇔ x=k Rõ ràng, k=1 x= lại (k z) nghiệm, giá trị không thoả mÃn điều kiện cos 5x 0, cos7x Sai lầm học sinh đà quên tìm tập xác định phơng trình Để khắc phục sai lầm giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng: Nếu số tuỳ ý phơng trình tanx = tan có nghiƯm x= α + k π KÕt ln ®ã bao hàm khẳng định số x = +k π tho· m·n ®iỊu kiƯn cosx ≠ VÝ dụ 4: Giải phơng trình: sinx + cosx = (1) + cos x + sin x Ta gỈp nhiỊu häc sinh lËp ln nh sau: Tập xác định (1) là: + cosx + sin2x ≥0 ⇔ 2+2( cos 2x + sin 2x ) ≥ 2 π ⇔ 2+2 cos( 2x − ) ≥ ⇔ ∀x ∈ R Khi vế phải không âm mà vế phải vế trái nên vế trái không âm Vì hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng: 76 (sinx + cosx)2 = + cos2x + sin2x π  π    2(cos( x − ) = 1 + cos( x − )      π       π   1 + cos( 2x − )  = 1 + cos( x − ) ®óng víi ∀x ∈ R Vậy nghiệm phơng trình (1) với x R Đây lập luận sai, sai lầm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng Cách lập luận học sinh xét tập nghiệm phơng trình, nhng giải phơng trình lại tìm tập nghiệm Do sau tìm đợc giá trị cần phải đối chiếu xem x có thuộc tập nghiệm hay không, tức phải lần lợt kiểm tra giá trị, điều nói chung không khả thi Lời giải đúng: Ta có (1) sin x + cos x ≥ ⇔  (sin x + cos x)2 = + cos 2x + sin 2x π 2π   π  cos(x − ) ≥  − + k2π ≤ + k2π ⇔ ⇔ 3  ∀ x ∈ R  ∀ x ∈ R π 2π ⇔ − + k 2π ≤ x ≤ + k π , k ∈ z 3 VÝ dụ 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: f(x) = sin x + tan x + m(tan x + cot x) − = NhiÒu häc sinh lËp luËn nh sau: (5) 77 Tacã(5) ⇔ 3(tan x + ) + m(tan x + cot x) − = sin x ⇔ 3(tan x + + cot x ) + m(tan x + cot x ) −1 = ⇔ 3(tan x + cot x ) + m(tan x + cot x) + = Đặt tanx + cotx = t tan x + cot x = t − Khi ®ã ta cã: (t2-2) + mt + = ⇔ 3t2 + mt – = (5) Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm, phơng trình (5) có a.c=-12 < nên phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt Do phơng trình (5) có nghiệm Học sinh đà mắc phải sai lầm lập luận chỗ đà không quan tâm đến điều kiện t cho phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm Lời giải cần bổ sung Điều kiện t là: t Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm thoả mÃn t Phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt t1,t2 Mặt khác, t t = nghiƯm t1, t2 tho¶ m·n nên phơng trình (5) đồng thời có hai t1 t2 Do (5) có nghiệm (5) có nghiệm đoạn [ 2;2] nghiệm khoảng (-2; 2) f ( − )f ( 2) ≤ (8 − 2m)(8 + 2m) ≤ m ≥4 Học sinh tìm điều kiện để phơng trình (5,) có nghiệm thoả mÃn t theo cách khác Các biện pháp hạn chế khắc phục sai lầm: G.Polya viết: "Con ngời phải biết học sai lầm thiếu sót mình"(G.Polya,1995,tr 24) Nh vậy, khẳng định sai lầm học sinh 78 giải Toán hoàn toàn khắc phục đợc; Hơn nữa, dạng sai lầm cần thiết, song điều quan trọng dự đoán khắc phục đợc sai lầm J A Kômenxki khẳng định: Bất kỳ sai lầm làm cho học sinh nh giáo viên không ý tới sai lầm cách hớng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa khắc phục sai lầm Cần phải tập cho học sinh phát chỗ sai lời giải, tìm nguyên nhân đề xuất cách giải Bởi vì, biết bị sai lầm lỗi kiến thức bản, học sinh thực thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc chất tri thức đà lĩnh hội quan trọng em thấy thực cần thiết phải tự kiểm tra lại bớc lập luận trình tìm tòi lời giải toán Để giúp học sinh có phơng pháp nhận biết lời giải sai, Lê Thống Nhất cho cần trang bị cho họ dấu hiệu quan trọng sau: - Kết lời giải toán mâu thuẫn với kết trờng hợp riêng - Trờng hợp riêng kết không thoả mÃn toán - Kết lời giải không chứa kết trờng hợp riêng - Kết tìm đợc mâu thuẫn với thực tế - Kết không bình đẳng yếu tố bình đẳng giả thiết - Kết lời giải khác kết lời giải khác - Đơn vị đo hai vế đẳng thức khác Cuối phải nói thấy học sinh mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ sai lầm mà cè g¾ng dÉn d¾t khÝch lƯ häc sinh tù nhËn thức đợc sai lầm Tiến hành nh hợp lý muốn tích cực phải có hứng thú, mà hứng thú thờng mang màu sắc xúc cảm Các biện pháp sau hạn chế đợc sai lầm mà học sinh thờng mắc phải: a) Nắm vững kiến thức môn To¸n 79 R.AAxnop nãi: "ViƯc tiÕp thu tri thøc cách có ý thức đợc kích thích việc học sinh tự phân tích cách có suy nghĩ nội dung sai lầm mà phạm phải, giải thích nguồn gốc sai lầm lý luận chất sai lầm" Một nguyên nhân chủ yếu sai lầm trình độ yếu Trong học sinh không nắm vững kiến thức môn Toán Khi truyền thụ giáo viên cần lu ý : Nắm vững nội dung môn Toán phổ thông trung học: Đặc biệt tình điển hình môn Toán ( Dạy học khái niệm môn Toán, định lý Toán học, quy tắc, phơng pháp đặc biệt dạy học giải tập Toán học ) Khi dạy khái niệm cần ý đến nội hàm, ngoại diên mối quan hệ khái niệm, dạy định lý cần ý đến cấu trúc lôgic giả thiết định lý Trong giải Toán để tránh sai lầm, học sinh cần đặc biệt ý tới hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt ®éng häc tËp Häc sinh chđ ®éng n¾m kiÕn thøc "Lao động" Đó hoạt động nhận dạng, thể hoạt động Toán học phức hợp, hoat động trí tuệ hoạt động ngôn ngữ, thông qua hoạt động học sinh bộc lộ sai lầm, từ mà dự đoán, phòng tránh sửa chữa sai lầm * Đặc biệt phơng pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ việc phòng ngừa sai lầm cho học sinh Nếu học sinh đợc làm quen với hệ thống phơng pháp dạy học mới, khêu gợi trí sáng tạo, biết phát giải vấn đề tự tin, động, tạo tâm vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầm dạy học giải Toán b Nắm vững kiÕn thøc vỊ l«gic: " RÌn lun t l«gic cho học sinh nhiệm vụ hàng đầu việc dạy học môn Toán trờng phổ thông Nhiệm vụ đòi hỏi ngời giáo viên có kiến thức vỊ l«gic häc- khoa häc vỊ suy ln, vỊ t duy, vận dụng kiến thức vào môn Toán" ( Hoàng Chóng ) ... thể cho cách giải vấn đề Trong giải Toán không dừng lại việc đa tình vấn đề, phát vấn đề, nhận biết vấn đề nảy sinh tình huống, mà quan trọng giải vấn đề, giải tình vấn đề, phải rèn luyện cho học. .. độ dạy học PH GQVĐ 1.4 Cách tiếp cận PH GQVĐ tiến trình dạy Toán Năng lực giải Toán theo định hớng PH GQVĐ cách sáng tạo 2.1 Quan niệm trình sáng tạo 2.2 Năng lực giải Toán theo định. .. đào tạo Trờng đại học Vinh Nguyễn thị minh thìn Rèn luyện lực giảI toán theo định hớng phát giảI vấn đề cách sáng tạo cho học sinh ë trêng trung häc phỉ th«ng (ThĨ hiƯn qua dạy học giải phơng trình