Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán ứng dụng - P
Cao Hào Thi 84 Chương 9 TÍCH PHÂN (Integration) 1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Nguyên hàm (Antiderivative) a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) ⇔ ∀x ∈ (a,b), F ’(x) = f(x) Ví dụ: F(x) = 3x3 f(x) = x2 Ta có F’(x) = x2 = f(x) ⇒ F(x) là nguyên hàm của f(x) b) Nếu hai hàm số F(x) và G(x) cùng là nguyên hàm của f(x) thì F(x) và G(x) sẽ khác nhau một hằng số K; nghĩa là F(x) = G(x) + K Vì F’(x) = [G(x) + K]’ = G’(x) = f(x) 1.2 Bảng công thức tính nguyên hàm Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x) f(x) = a F(x) = ax + C f(x) = xn F(x) = 1nx1n++ + C (n≠1) f(x) = x1 F(x) = ln|x| + C f(x) = ex F(x) = ex+ C f(x) = ax F(x) =lnaax + C 1.3 Tích phân bất định (Indefinite Integral) • Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), tích phân bất định của hàm số f(x) được ký hiệu là ∫f(x)dx ∫f(x)dx = F(x) + C Cao Hào Thi 85 • Công thức và tính chất của tích phân bất định ∫+= Caxadx ∫++=+C1nxdxx1nn (n≠1) ∫+= Cxlndxx1 ∫+=Cedxexx ∫+=Clnaedxaxx a > 0 ∫∫=f(x)dxkkf(x)dx ∫ ∫∫±=±dxg(x)dxf(x)g(x)]dx[f(x) Ví dụ: Tính ∫ ∫∫∫−++=−+1)dx(2xdxdx4x1)dx 2x(4x33 = Cx2x24x424+−+ = x4 + x2 – x + C Lưu ý: Đổi biến số du = udx ∫+dx1)(x2 Đặt u = (x+1) ⇒ u’ = 1 ⇒ du = dx ∫+dx1)(x2=∫duu2= C31)(xC3u33++=+ Ví dụ: Hàm chi phí a) Xác định hàm chi phí C(x) cho biết: Hàm chi phí cận biên C’(x) = 0,3x2 + 2x và Chi phí cố định là $2000 b) Tìm chi phí để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm Giải: a) C(x) =∫∫+=2x)dx(0,3x(x)dxC'2 = C2x23x0,323++ C(x) = 0,1x3 + x2 + C Ta có x = 0 ⇒ C(0) = C = 2000 Vậy C(x) = 0,1x3 + x2 + 2000 Cao Hào Thi 86 b) C(20) = 0,1*203 + 202 + 2000 = 3200$ Ví dụ: Hàm doanh thu a) Tìm R(x) biết R’(x) = 400 – 0,4x và x = 0 ⇒ R(x) = 0 b) R(1000) Giải: a) R(x) = ∫∫−=0,4x)dx(400(x)dxR' = 400x – 0,4*x2/2 + C R(x) = 400x – 0,2x2 + C R(0) = C = 0 R(x) = 400x – 0,2x2 b) R(1000) = 400×103 – 0,2×106 = 200.000 $ 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (Definite Integral) 2.1 Hình thang cong • Hình thang cong là hình giới hạn bởi các đường y = f(x) y = 0 x = a x = b • Diện tích hình thang cong S ∆Si = f(ξi)∆xi với ∆xi = xi – xi-1 S = ∑∑=∞→=→∆∆ξ=∆n1iiinn1ii0xx)(flimSlim x0 = a xn = b f(ξi) y = f(x) xi-1 xi ξi S Cao Hào Thi 87 2.2 Tích phân xác định a. Định nghĩa: Cho f là hàm liên tục và f(x) ≥ 0 trên đoạn [a, b] Nếu 1. a = x0 ≤ x1≤ x2≤ … ≤ xn-1≤ xn = b 2. ∆xi = xi – xi-1 , i = 1 ÷ n 3. ∆xi → 0 khi n → ∞ 4. xi ≤ ξi ≤ xi-1 , i = 1 ÷ n Thì ∑∫=∞→∆ξ=n1iiinbax)(flimdx)x(f được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, với a là cận dưới và b là cận trên của tích phân. b. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là diện tích của hình thang cong ∫=badx)x(fS c. Tính chất của tích phân xác định Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] • ∫=aa0dx)x(f • ∫∫−=abbadx)x(fdx)x(f • ∫∫=babadx)x(fkdx)x(kf • ∫∫∫±=±bababadx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ • ∫∫∫+=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f với a≤ c≤ b d. Công thức Newton Leibnitz Nếu f(x) là liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ])a(F)b(F)x(Fdx)x(fbaba−==∫ Cao Hào Thi 88 e. Định lý về giá trị trung bình Nếu f liên tục trên [a, b] ⇒ ∃ c∈ [a, b]: ∫−=badx)x(fab)c(f1; f(c) là giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] Ví dụ: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi: y = f(x), y = 0, x =a, x = b ∫=badx)x(fS Tìm diện giới hạn bởi đường y = x, y = 0, và a) x = 0 và x = 2 b) x = 2 và x = 4 Giải: 220222xxdxdx)x(fS2220202201=−=⎥⎦⎤===∫∫ 622242xxdxdx)x(fS2242422422=−=⎥⎦⎤===∫∫ Ví dụ: Diện tích giới hạn bởi hai đường f(x) và g(x), x = a, x = b ∫−=badx)]x(g)x(f[S y = xxy 2 4 S2 S1 xa b y = f(x)y = g(x)S S y = f(x) x y Cao Hào Thi 89 Ví dụ: Thặng dư người tiêu dùng CS (Customers’ Surplus) Thặng dư nhà sản xuất PS (Producers’ Surplus) Cho phương trình đường cầu và đường cung p = D(x) = x20120 − p = S(x) = 2x500012 + a) Tìm điểm cân bằng về giá và sản lượng b) Tìm thặng dư người tiêu dùng CS c) Tìm thặng dư nhà sản xuất PS Giải: Bước 1: Tìm điểm cân bằng Điểm cân bằng là nghiệm của phương trình D(x) = S(x) x20120 − = 2x500012 + x2 + 250x – 9000 = 0 ⇒ x = 200 hay x = -450 Chọn x0 = 200 ⇒ po = 1020020120 =− Bước 2: Vẽ đồ thị Bước 3: Tìm CS CS = 10002000x401x10dx]10x20120[dx]p)x(D[2000220000x00−=⎥⎦⎤−=−−=−∫∫ CS = $1000 S(x) D(x)CS 400300200100 0 PS 20 10 15 5 x p Cao Hào Thi 90 Bước 4: Tìm PS 2000320002200020x00x150001x8dx]x500018[dx)]x500012(10[dx)]x(Sp[PS⎥⎥⎦⎤−=−=+−=−=∫∫∫ = 1600 – 1600/3 = $1,067 Ví dụ: S = ∫∫−=−babadx)x(fdx)]x(f0[ a b S y = f(x) x y . [a, b] Nếu 1. a = x0 ≤ x1≤ x2≤ … ≤ xn-1≤ xn = b 2. ∆xi = xi – xi-1 , i = 1 ÷ n 3. ∆xi → 0 khi n → ∞ 4. xi ≤ ξi ≤ xi-1 , i = 1 ÷ n Thì ∑∫=∞→∆ξ=n1iiinbax)(flimdx)x(f. cong S ∆Si = f(ξi)∆xi với ∆xi = xi – xi-1 S = ∑∑=∞→=→∆∆ξ=∆n1iiinn1ii0xx)(flimSlim x0 = a xn = b f(ξi) y = f(x) xi-1 xi ξi S Cao Hào Thi 87 2.2 Tích