Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán ứng dụng - P
Cao Hào Thi 23 Chương 3 HÀM TĂNG TRƯỞNG (Growth Function) 1. HÀM SỐ MŨ: 1.1 Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a với a>0 và a ≠1 có dạng y = ax. Điều kiện a>0 và a ≠ 1 D = R, V = R+ 1.2 Đồ thị của hàm số mũ: y = 2x yx=⎛⎝⎜⎞⎠⎟12 hay y = 2-x x -∞ -2 -1 0 1 2 +∞ x -∞ -2 -1 0 1 2 +∞ y 0 1/4 1/2 1 2 4 ∞ y +∞ 4 2 1 1/2 1/4 021 3456-1-2-3-4-5xy a > 1 + 0 < a < 1 x -∞ 0 1 +∞ x -∞ 0 1 +∞ +∞ +∞ a a 1 1 y 0 y 0 y a x1 0 ya11 0 Cao Hào Thi 24 Nhận xét: f(x) = ax , a> 0, a ≠ 1 + Tất cả đồ thị của hàm số mũ đều đi qua điểm (0,1) + a > 1 hàm số đồng biến + 0 < a <1 hàm số nghịch biến + y = ax > 0 + Hàm số có đường tiệm cận là trục ox. 1.3 Các phép tính về hàm số mũ: 1/ Cho a > 0, a ≠ 1 b > 0, b ≠ 1 ∀x, y ∈ R axay = ax+y (ab)x = axbx aaΧΥ = aΧΥ− abab⎛⎝⎜⎞⎠⎟=ΧΧΧ ()aaΧΥΧΥ=× aaa−==⎛⎝⎜⎞⎠⎟ΧΧΧ11 2/ ax = ay ⇔ x = y 3/ Nếu x ≠ 0, ax = ay ⇔ a = b 1.4 Hàm số mũ cơ số e y = ex e = 2,71828 e = lim 11+⎛⎝⎜⎞⎠⎟mm = 2,71828 m 11+⎛⎝⎜⎞⎠⎟mm 1 2 10 2,59374 100 2,70481 … … ∞ 2,71828 Vấn đề: Mô Hình Tăng Trưởng Dân Số P = Po * 2t/d ( Doubling time growth model) P: dân số ở thời điểm t Po: Dân số ở thời điểm t = 0 d: Số năm để dân số tăng lên gấp đôi, vì t = d ⇒ P = 2Po m→∞ Cao Hào Thi 25 Nước Ethiopia hiện có dân số vào khoảng 42 triệu người, người ta đã ước tính sau 22 năm dân số Ethiopia đã tăng lên gấp đôi. Nếu mức tăng dân số tiếp tục như trên, thì dân số của Ethiopia sẽ là bao nhiêu sau 10 năm và 35 năm. P = P0*2t/d = 42 *2 t/22 t = 10 ⇒ P = 42 * 2(10/22) = 58 triệu t = 35 ⇒ P = 42 * 2(35/22) = 127 triệu Vấn đề: Lãi Kép (Compounded Interest) Giả sử vốn gốc là P được đem cho vay với lãi suất là r% năm và ghép lãi theo năm. Hỏi lượng tiền thu lại được vào năm thứ t sẽ là bao nhiêu. Cuối năm 0: P0 = P (Đầu năm 1): Cuối năm 1: P1 = P + Pr = P(1+r) Cuối năm 2: P2 = P1 + P1r = P1(1+r) = P(1+r)2 Cuối năm 3: P3 = P2 + P2r = P2(1+r) = P(1+r)3 Cuối năm t: Pt = P(1+r)t 2. HÀM SỐ LOGARIT: 2.1 Định nghĩa: Hàm số Logarit cơ số a với a> 0 và a≠1 có dạng y = logax ⇔ x = ay + D = R+ = (0,+∞) vì x = ay>0. + V = R Hàm Logarit là hàm số mũ ngược của hàm số mũ. y = log10x ⇔ x = 10y y = logex ⇔ x = ey 2.2 Đồ thị của hàm số logarit: Đồ thị của hàm số mũ đối xứng với đồ thị của hàm số mũ qua phân giác thứ 1. y = ax yay = logax x a11 Cao Hào Thi 26 2.3 Các phép tính về logaarit: (b>0, b≠1, M>0, N>0). logaax = x hay a xalogΧ= loga1 = 0 a0 = 1 logaMN = logaM + logaN log log logaMNaaMN=− logaMk = k logaM logaM = logaN ⇔ M = N Ví dụ: Giải các phương trình sau: a/ 2x = 4x+1 2x = (22)x+1 = 22(x+1) x = 2x + 2 x = -2 b/ logax = 324loga - 2382log logaa+ = loga43/2 - loga83/2 + loga2 = loga8 - loga4 + loga2 = loga824× logax = loga4 x = 4 c/ log10x + log10(x+1) = log106 Điều kiện xoxx≥+≥ ⇒ ≥−⎧⎨⎩10 1 ⇒ x ≥ 0 log10(x)(x+1) = log106 x(x+1) = 6 x2 + x - 6 = 0 ⇒ x = -3 hay x = 2 Chọn x = 2 . 2-x x - -2 -1 0 1 2 +∞ x - -2 -1 0 1 2 +∞ y 0 1/4 1/2 1 2 4 ∞ y +∞ 4 2 1 1/2 1/4 021 345 6-1 - 2-3 - 4-5 xy a > 1 + 0 < a < 1 x - 0 1 +∞ x - . (22)x+1 = 22(x+1) x = 2x + 2 x = -2 b/ logax = 324loga - 2382log logaa+ = loga43/2 - loga83/2 + loga2 = loga8 - loga4 + loga2 = loga824× logax =