ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

11 7K 121
ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đồ thò hàm số chứa dấu giá trò tuyệt đối 1. Đối xứng qua trục hoành : Cho hàm số y = f(x) , đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = f(x) , (C 1 ) được suy ra từ đồ thò (C) như sau : + Viết lại y = f(x) = f(x) Khi f(x) 0 f(x) Khi f(x) < 0      Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Chú ý : + đồ thò (C 1 ) chỉ là những phần nằm trên trục hoành + Tuỳ theo việc bỏ dấu giá trò tuyệt đối thể gặp các dạng đồ thò khác nhau . Ví dụ1 : a)Vẽ đồ thò hàm số y= x 2 4x +3 Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x 4x 3  Giải : Hàm số : y= x 2 4x +3 +TXD : D= R + Đạo hàm : y’=2x4 y’=0 <=> x=2 + Bảng biến thiên : x   2 + y’  0 + y + 1 + CT + Đồ thò : x=1 => y=0 x=3 => y=0 ; x=0 => y=3  Suy ra đồ thò y = 2 x 4x 3  (C 1 ) + Viết lại y = 2 x 4x 3  = 2 2 2 2 x 4x 3 x 4x 3) (x 4x 3) x 4x 3)                Khi ( 0 Khi ( < 0 Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 3x+2. Suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2  Giải : y = x 3 3x + 2 x y 3 1 4 1 2 3 x y 3 1 4 1 2 3 + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 3x+2) = +∞ ; x lim  (x 3 3x+2) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 3 y’= 0 <=> 3x 2 3=0 <=> x 1 y(1) =0 x 1 y( 1) =4          hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (1;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (1;1) + y’’ =6x y’’=0 <=> 6x =0 <=> x =0 => y(0) =2 BXD x ∞ 0 +∞ y’’  0 + Điểm uốn I(0;2) Đồ thò lồi lõm + Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 0 +∞ ∞ 4 CT hàm số đạt cực đại tại x =1 ; y CĐ = 4 hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; y CT = 0 + Đồ thò : Đồ thò cắt trục Ox tại A(1;0) ; B(2;0) Đồ thò cắt trục Oy tại I (0;2) Đồ thò nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng Suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2  Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Ví dụ 3: Xác đònh m để phương trình : 4 2 x 2x 1  =m 6 nghiệm phân biệt Giải :  khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 4 2x 2 1 , đồ thò (C) + TXĐ : D= R + Giới hạn : x lim  (x 4 2x 2 1) =+∞ ; x lim  (x 4 2x 2 1) =+∞ + Đạo hàm : y’= 4x 3 4x =4x(x 2 1) Đ. uốn 4 1 1 2 2 x y 4 1 1 2 2 x y y’= 0 <=> 4x(x 2 1) =0 <=> x 0 y(0) = 1 x 1 y( 1) 2             hàm số đồng biến trên khoảng: (1;0) ;(1;+∞ ) hàm số nghòch biến trên khoảng :(∞;1) ; (0;1 ) +Bảng biến thiên x ∞ 1 0 1 +∞ y’  0 + 0  0 + y +∞ 2 CĐ 2 +∞ CT 1 CT Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CT =1 Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; y CĐ =2 + Đồ thò : Đồ thò hàm số cắt trục Ox tại A( 1 2 ;0) ; B( 1 2 ;0) Đồ thò hàm số cắt trục Oy tại M(0;1) Nhận trục tung làm trục đối xứng  Suy ra đồ thò y= 4 2 x 2x 1  , đồ thò (C 1 ) Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành  Dựa vào đồ thò (C 1 ) pt : 4 2 x 2x 1  =m 6 nghiệm phân biệt <=> 1 < m <2 Ví dụ 4:a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : y= x 4 5x 2 +4 b) Xác đònh m để pt : 4 2 x 5x 4  =m 8 nghiệm phân biệt Giải :+ TXĐ : D= R + Giới hạn : x lim  (x 4 5x 2 +4 ) =+∞ ; x lim  (x 4 5x 2 +4) =+∞ + Đạo hàm : y’= 4x 3 10x =x(4x 2 10) y’= 0 <=> x(4x 2 10) =0 <=> x 0 y(0) =4 10 10 9 x y( ) 2 2 4              hàm số đồng biến trên khoảng( 10 2 ;0) ; ( 10 2 ;+∞ ) hàm số nghòch biến trên khoảng (∞; 10 2 ) ;(0; 10 2 ) +Bảng biến thiên : x ∞ 0 +∞ 0 1 x y 1 1 2 1 2 0 1 x y 1 1 2 1 2 y=m 10 2 10 2 y’  0 + 0  0 + y +∞ 9/4 CĐ 9/4 +∞ CT 4 CT Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CĐ =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 10 2 ; y CT = 9 4 + Đồ thò : Nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thò hàm số cắt trục Ox tại A(2;0) ; B(1;0) Đồ thò hàm số cắt trục Oy tại M(0;4) b)  suy ra đồ thò hàm số : y= 4 2 x 5x 4  Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Dựa vào đồ thò (C 1 ) Pt : 4 2 x 5x 4  =m 8 nghiệm phân biệt 0 < m < 9/4 Ví dụ 5: a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 1 x 1   , (C) b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) Giải : + TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì x (1) lim   x 1 x 1   = + ; x (1) lim   x 1 x 1   = => x =1 là tiệm cận đứng vì x lim  x 1 x 1   = x lim  1 1 x 1 1 x   =1 => y =1 là TCN + Đạo hàm : y / = 2 2 (x 1)   < 0 ,  x D Hàm số nghòch biến trên (∞;1) ; (1;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞ y’   y 1 +∞ ∞ 1 + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox tại A(1;0) y 0 1 x 10 2 1 9/4  2  4 y 0 1 x 10 2 1 9/4 2 2 4 x= 1 y=1 2 x y O 1 1 1 3 Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;1) Nhận I(1;1) làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành 2 Đối xứng qua trục tung ( hàm số chẵn): Hai điểm (x;y) và (x;y) đối xứng với nhau qua trục tung => đồ thò hàm số y=f(x) và y=f(x) đối xứng nhau qua trục Oy  Cho hàm số y = f(x) đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = f( x ) , (C 2 ) được suy ra từ đồ thò hàm số (C) như sau : + Vì hàm số y =f( x ) là hàm số chẵn => đồ thò đối xứng nhau qua trục tung + Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía bên phải trục tung ( ứng với x ≥ 0) , bỏ phần còn lại của đồ thò (C)  Nhánh 2 , lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Ví dụ6 : a) Vẽ đồ thò hàm số y=x 3 3x 2 b) suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2 Giải: + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 3x 2 ) = +∞ ; x lim  (x 3 3x 2 ) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 6x y’= 0 <=> 3x 2 6x=0 <=> x 2 y( ) = 4 x 0 y(0) =0          hàm số đồng biến (∞ ;0) ; (2;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (0;2) + y’’ =6x 6 y’’=0 <=> 6x6 =0 <=> x =1 => y(1) =2 BXD x ∞ 1 +∞ y’’  0 + Đồ thò lồi lõm Điểm uốn I(1;3) y x= 1 y=1 2 x O 1 1 1 3 Đ. uốn 2 0 2 1 1 x y 4 1 3 + Bảng biến thiên : x ∞ 0 2 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 4 +∞ ∞ 0 CT hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CĐ = 0 hàm số đạt cực tiểu tại x =2 ; y CT =4 + Đồ thò :Đồ thò cắt trục Ox tại M(3;0) và đi qua gốc O b) y= 3 x 3x 2 = 3 x 3 2 x =f( x ) , đồ thò (C 2 ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Ví dụ 7: a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 3 +3x 2 +1 , (C) b) Từ đồ thò ( C) suy ra đồ thò hàm số y= 3 x +3x 2 +1 , biện luận theo k số nghiệm của phương trình :  3 x 3x 2 +1 +k =0 Giải : + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 +3x 2 +1 ) = +∞ ; x lim  (x 3 +3x 2 +1 ) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 +6x y’= 0 <=> 3x 2 +6x=0 <=> x 2 y( ) =5 x 0 y(0) =1           hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (2;0) + y’’ =6x +6 y’’=0 <=> 6x+6 =0 <=> x =1 => y(1) =3 BXD x ∞ 1 +∞ y’’  0 + Đồ thò lồi lõm Điểm uốn I(1;3) + Bảng biến thiên : x ∞ 2 0 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 1 +∞ ∞ 5 CT hàm số đạt cực đại tại x =2 ; y CĐ = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; y CT = 1 + Đồ thò : Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;1) Đồ thò nhận điểm I(1;3) làm tâm đối xứng Đ. uốn 5 0 1 2 3 x y 3 1 2 0 2 1 1 x y 4 1 3 2 b) y= 3 x +3x 2 +1= f( x ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ  pt :  3 x 3x 2 +1 +k =0 <=> 3 x +3x 2 +1 =k+2 (*) Đặt y = 3 x +3x 2 +1 , đồ thò (C 1 ) y= k+2 , đường thẳng (d) Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C 1 ) và (d) . Nhìn vào đồ thò ta :  k+2 > 1 <=> k > 1 : pt (*) hai nghiệm  k+2 =1 <=> k=1 : pt (*) một nghiệm  k+2 < 1 <=> k < 1 : pt (*) vô nghiệm Ví dụ 8:a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= 2 x x 1 ; b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 Giải :+ TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì x ( 1) lim    2 x x 1 =+; x ( 1) lim    2 x x 1 = => x =1 là tiệm cận đứng Viết lại hàm số : y = x1 + 1 x 1 ; vì x lim  [y(x1)]= x lim  1 x 1 =0 => y = x1 là tiệm cận xiên + Đạo hàm : y / = 2 2 x 2x (x 1)   y’= 0 <=> x 2 +2x =0 <=> x 0 y(0) =0 x 2 y( 2) = 4           hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ ) ; hàm số nghòch biến trên (2;1) ; (1;0) + Bảng biến thiên : x ∞ 2 1 0 +∞ y’ + 0   0 + y CĐ +∞ 0 +∞ ∞ 4 ∞ CT hàm số đạt cực đại tại x =2 ; y CĐ = 4 hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; y CT = 0 5 0 1 x y 1 1 k+2 +Đồ thò : Đồ thò đi qua gốc tọa độ Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 =f( x ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Ví dụ 9: a) Vẽ đồ thò hàm số y = x 1 x 2   ; b) Suy ra đồ thò hàm số y= x 1 x 2   , (C 2 ) Giải : Giải : + TXĐ : D = R\{2} + Tiệm cận: vì x (2) lim   x 1 x 2   =  ; x (2) lim   x 1 x 2   =+ => x =2 là tiệm cận đứng vì x lim  x 1 x 2   = x lim  1 1 x 2 1 x   =1 => y =1 là TCN + Đạo hàm : y / = 2 1 (x 2)   < 0 ,  x D Hàm số nghòch biến trên (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞ y’   y 2 +∞ ∞ 2 + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox tại A(1;0) Đồ thò cắt trục Oy tại M(0; 1 2 ) . Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng b) đồ thò hàm số y= x 1 x 2   =f( x ); đồ thò (C 2 ). 4 2 x y 1 O 2 1 x y 1 O x= 2 y=1 2 x y O 1 1/2 3 2 + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=2 và x=2 Ví dụ 10: a)Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : y= 2 x x 2 x 1    , đồ thò (C) b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 2 x 1    , (C 2 ) Giải : + TXĐ : D = R\{1} +Tiệm cận:vì x (1) lim   2 x x 2 x 1    = + ; x (1) lim   2 x x 2 x 1    = => x =1 là tiệm cận đứng Viết lại hàm số : y = x+2 + 4 x 1 ; vì x lim  [y(x+2)]= x lim  4 x 1 =0 => y = x+2 là tiệm cận xiên + Đạo hàm : y / = 2 2 x 2x 3 (x 1)    y’= 0 <=> x 2 2x3 =0 <=> x 1 y( 1) = 1 x 3 y(3) =7           hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (3;+∞ ) ; hàm số nghòch biến trên (1;1) ; (1;3) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 3 +∞ y’ + 0   0 + y CĐ +∞ 7 +∞ ∞ 1 ∞ CT hàm số đạt cực đại tại x =1 ; y CĐ = 1 hàm số đạt cực tiểu tại x =3 ; y CT = 7 +Đồ thò :Đồ thò cắt trục tung tại điểm A(0;2).Nhận I(1;3) làm tâm đối xứng x= 2 y=1 2 x y O 1 1 1/2 3 2 3 x=2 3 1 x y 2 7 O 2 2 b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 2 x 1    =f( x ); đồ thò (C 2 ). + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=1 và x=1 + Tiệm cận xiên : y= x+2 và y=x+2 3. Cho hàm số y = f(x) , đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = x   .g(x) , (C 2 ) với (x).g(x) = f(x) (C 2 ) được suy ra từ đồ thò (C) như sau : + Viết lại y = x   .g(x)= f(x)          Khi x 0 f(x) Khi x < 0 = f(x)        Khi x f(x) Khi x < Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) với x    Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) với x <  qua trục hoành Ví dụ 11: a) Vẽ đồ thò hàm số y= x 1 x 1   , (C) b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) c) Suy ra đồ thò y = x 1 x 1   , đồ thò (C 2 ) d) Suy ra đồ thò y = x 1 x 1   , đồ thò (C 3 ) 2) Vẽ đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1    , (C) Từ đó suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1    , đồ thò (C 1 ) 4) a) Khảo sát hàm số : y = 2 (x 1) x 2   b) Biện luận theo m số nghiệm pt : (x+1) 2 m |x+2| = 0 3 1 x y 2 7 O 3 2 2 2 . y= x 2 4x +3 +TXD : D= R + Đạo hàm : y’=2x4 y’=0 <=> x=2 + Bảng biến thi n : x   2 + y’  0 + y + 1 + CT + Đồ thò : x=1 => y=0 x=3 =>. y(0) =2 BXD x ∞ 0 +∞ y’’  0 + Điểm uốn I(0;2) Đồ thò lồi lõm + Bảng biến thi n : x ∞ 1 1 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 0 +∞ ∞ 4 CT hàm số đạt cực đại tại x

Ngày đăng: 21/12/2013, 21:59

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan