Mục lục Trang Mở đầu 2 Chơng I: tổng quan về nhóm tôpô 4 Đ 1. Định nghĩa và một số tính chất của nhóm tôpô 4 Đ 2. Nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng, đồng cấu của nhóm tôpô. 6 A. Nhóm con, ớc chuẩn. 6 B. Nhóm thơng. 8 C. Đồng cấu và đẳng cấu của nhóm tôpô. 8 Đ 3. Một số lớp nhóm tôpô. 11 A. Nhóm compact và nhóm compact địa phơng. 11 B. Nhóm compact địa phơng thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng. 13 Chơng II. Một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh 16 Đ 1. Tích các ớc chuẩn luỹ linh xạ ảnh của nhóm tôpô. 17 Đ 2. Tính chất luỹ linh của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. 18 Đ 3. Tính chất compact của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. 19 Đ 4. Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng. 22 Kết kuận 24 Tài liệu tham khảo 25 Mở đầu 1 Trong lý thuyết nhóm tôpô cũng tơng tự nh trong lý thuyết nhóm trừu t- ợng, ngời ta thờng quan tâm nghiên cứu một lớp nhóm gần với lớp nhóm Aben; đó là lớp nhóm luỹ linh. Một nhóm tôpô G gọi là nhóm tôpô luỹ linh, nếu nhóm trừu tợng G là nhóm luỹ linh, nghĩa là trong G có dãy tâm dới: G G 1 G 2 G k = {e} trong đó G i = [ G , G i-1 ] , với mọi i = 1 , 2 , , k , dừng tại e sau một số hữu hạn bớc. Rộng hơn lớp nhóm tôpô luỹ linh là lớp nhóm tôpô luỹ linh địa phơng. Một nhóm là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nếu bao đóng của mọi nhóm con tôpô của nó, đều là nhóm tôpô luỹ linh. K . Iwasawa đã nghiên cứu và có nhiều kết quả về nhóm tôpô luỹ linh địa phơng. Song song với lớp nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, là lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Một nhóm tôpô G gọi là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, nếu với mỗi lân cận V của đơn vị e G , tồn tại một ớc chuẩn K V sao cho nhóm thơng K G là nhóm luỹ linh. Một nhóm tôpô luỹ linh thì hiển nhiên là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Tuy nhiên, điều ngợc lại không đúng. Khoá luận này nghiên cứu một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Nội dung của khoá luận bao gồm hai chơng: - Chơng I: Chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm tôpô, cần cho việc nghiên cứu trong chơng II nh: định nghĩa, tính chất của nhóm tôpô; nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng, đồng cấu của nhóm tôpô; nhóm compact, compact địa phơng và nhóm compact địa phơng thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng. - Chơng II là nội dung cơ bản của khoá luận. Trong chơng này , chúng tôi đã chứng minh đợc các kết quả chủ yếu sau đây: + Nhóm con, nhóm thơng của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Bao đóng của một nhóm con luỹ linh xạ ảnh cũng là nhóm luỹ linh xạ ảnh. Tích của hai ớc chuẩn luỹ linh xạ ảnh cũng là một ớc chuẩn luỹ linh xạ ảnh ( Định lý 2.1.1. và Định lý 2.1.2.). + Tìm điều kiện để một nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh là nhóm tôpô luỹ linh. Đó là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh liên thông, hữu hạn chiều (Định lý 2.2.2.). + Nghiên cứu tính chất compact của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Trong phần này đã đạt đợc hai kết quả chính, đó là: . Nếu G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, với nhóm thơng 0 G G compact và trong G 0 có nhóm con xoắn tôpô trù mật H thì G là nhóm compact. 2 . G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, B là tập hợp các phần tử compact của G thì B là ớc chuẩn compact của G và nhóm thơng B G là nhóm phi xoắn tôpô. + Cuối cùng khoá luận nghiên cứu nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng. Định lý 2.4.1 đã chứng minh đợc rằng: nếu nhóm G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng thì nhóm thơng 0 G G là nhóm xoắn trừu tợng, G 0 là xuyến Lie và tâm tập của G 0 có chỉ số hữu hạn trong G. Các kết quả chính của khoá luận đã đợc đăng trong: Tạp chí khoa học Đại học Vinh, XXXIII, 4A-2004,5-10 Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo , nghiêm khắc nhng đầy trách nhiệm của GS . TS . Nguyễn Quốc Thi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, ngời đã dẫn dắt tác giả bớc đầu tập dợt nghiên cứu khoa học. Tác giả chân thành cảm ơn PGS . TS . Lê Quốc Hán , PGS . TS . Mỵ Vinh Quang , PGS . TS . Ngô Sĩ Tùng đã đọc và chỉ bảo cho tác giả sữa chữa những chỗ còn sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Đại số; các thầy, cô giáo trong Khoa Toán Đại học Vinh đã dạy dỗ, quan tâm , động viên tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong lúc làm khoa luận . Tập thể, bạn bè trong lớp 42A 1 Khoa Toán ĐH Vinh chính là môi trờng tốt nhất để tác giả đợc học tập, rèn luyện và trởng thành. Cảm ơn tất cả các bạn. Khoá luận chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong đ- ợc sự góp ý của các thầy, cô và các bạn. Tác giả 3 Chơng I: tổng quan về nhóm tôpô Trong chơng I chúng tôi trình bày tóm tắt một số kết quả cơ bản của lý thuyết nhóm tôpô và một số lớp nhóm tôpô cần cho việc nghiên cứu ở chơng II. Nội dung chơng I gồm ba phần: Đ1. Định nghĩa và một số tính chất của nhóm tôpô. Đ2. Nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng, đồng cấu của nhóm tôpô. Đ3. Một số lớp nhóm tôpô: A. Nhóm compact và nhóm compact địa phơng. B. Nhóm tôpô thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con. Đ1. định nghĩa và một số tính chất của nhóm tôpô Định nghĩa: Nhóm tôpô là một tập hợp G , trên đó đã đợc trang bị một cấu trúc nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện sau: 1. ánh xạ f : G ì G G liên tục. ( x, y ) xy 2. ánh xạ g : G G liên tục. x x -1 Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm và cấu trúc tôpô là tơng thích với nhau. Hai diều kiện trên tơng đơng với điều kiện sau: ánh xạ : G ì G G liên tục. ( x , y ) xy -1 1.1.1. Định lý. Giả sử G là một nhóm tôpô và a G . Khi đó, các ánh xạ: f a : G G x ax g a : G G x x a : G G x x -1 là các ánh xạ đồng phôi của không gian tôpô G. Chứng minh. - Ta chứng minh f a đồng phôi. +) Ta có ánh xạ f a là song ánh vì: . Với mọi x 1 , x 2 thuộc G mà f a (x 1 ) = f a (x 2 ) a x 1 = a x 2 x 1 = x 2 ( vì phép toán trong nhóm G thoả mãn luật giản ớc ). Vậy f a là đơn ánh. . Với mọi g thuộc G, tồn tại x = a -1 g G sao cho: 4 f a (x) = ax = a(a -1 g) = (aa -1 )g = eg = g Vậy f a là toàn ánh. Do đó f a là song ánh. +) f a liên tục: Với mọi x G , đặt z = ax . Với mọi lân cận W của z , do phép nhân liên tục nên tồn tại lân cận U của a , lân cận V của x sao cho UV W. Vì a U nên suy ra: aV UV W , do đó f a (V) W . Vậy f a liên tục. +) f a -1 liên tục: Vì a G và G là một nhóm nên a -1 G , do đó f a 1 liên tục. Với mọi x G , ta có: f a .f a 1 (x) = f a (f a 1 (x)) = f a (a -1 x) = a(a -1 x) = (aa -1 )x = ex = x Suy ra f a -1 liên tục. Vậy f a là một phép đồng phôi. - Ta chứng minh hoàn toàn tơng tự cho các ánh xạ còn lại. 1.1.2. Hệ quả: Giả sử F là tập đóng, U là tập mở, P là tập hợp bất kỳ và a là phần tử bất kỳ của nhóm tôpô G. Khi đó ta có: Fa , aF , F -1 là các tập đóng và UP , PU , U -1 là các tập mở. Chứng minh. Do f a , g a , là các ánh xạ đồng phôi nên ta suy ra, qua các ánh xạ trên , ảnh của tập đóng là tập đóng, ảnh của tập mở là tập mở. - F là tập đóng, a là phần tử bất kỳ thuộc G nên ta có: f a (F) , g a (F) , (F) đóng, mà: aF = f a (F) , Fa = g a (F) , F -1 = (F) Do đó aF , Fa , F -1 là các tập đóng. - U là tập mở, a là phần tử bất kỳ thuộc G nên ta có: f a (U) , g a (U) , (U) là các tập mở mà: aU = f a (U) , Ua = g a (U) , U -1 = (U) , do đó aU , Ua , U -1 là các tập mở. Suy ra: PU = Pa aU , UP = Pa Ua là các tập mở ( do hợp tuỳ ý các tập mở là tập mở). 1.1.3. Định lý. Không gian tôpô G là không gian thuần nhất. Chứng minh. Để chứng minh không gian tôpô G là không gian thuần nhất, ta chứng minh: với hai phần tử bất kỳ x , y của nhóm G bao giờ cũng tìm đợc một đồng phôi của G lên chính nó biến x thành y. Thật vậy: Với mọi x , y G , đặt a = x -1 y thì a G . Khi đó, ánh xạ: g a : G G x xa là một phép đồng phôi của G và g a (x) = xa = x(x -1 y) = (xx -1 )y = ey = y. Tính thuần nhất của không gian tôpô G cho phép ta muốn kiểm tra một tính chất tôpô tại địa phơng nào đó của nhóm G thì chỉ cần làm đối với một điểm, chẳng hạn tại đơn vị e G. 5 1.1.4. Định lý. Nếu P và Q là các tập compact của nhóm tôpô G thì PQ là tập compact. Chứng minh. Ta xét ánh xạ f : P ì Q P.Q ( x , y ) x.y Giả sử a P , b Q và W là lân cận bất kỳ của tích ab, do tính chất liên tục của phép nhân nên khi đó tồn tại các lân cận U của a trong P, V của b trong Q , sao cho UV W. Ta có: f( U , V ) = UV W Vậy với mỗi lân cận W của ab , tồn tại lân cận ( U, V) của (a,b) sao cho: f( U , V ) W Suy ra f là ánh xạ liên tục. Do đó f biến một tập compact thành một tập compact. Từ đó, P , Q là các tập compact nên P ì Q là tập compact, do đó f( P ì Q ) = P.Q là tập compact. Lu ý rằng: P.Q = { xy / x P , y Q} 1.1.5. Định lý. Giả sử G là nhóm tôpô. Khi đó không gian G là không gian chính quy. Chứng minh. Vì G là nhóm tôpô nên G là không gian thuần nhất. Do đó, để chứng minh G là không gian chính quy, ta chỉ cần kiểm tra tính chính quy tại điểm đơn vị e của G. Giả sử U là lân cận bất kỳ của e, suy ra tồn tại V e sao cho VV -1 U Ta sẽ chứng minh V U . Thật vậy, với mọi x V , vì V e xV x xV là lân cận của x xV V a, b V: x a = b x = b a -1 VV -1 U V U . Nh vậy, với mọi lân cận U của e, tồn tại lân cận V e sao cho V U. Do đó, không gian G là không gian chính quy. Đ 2. nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng, đồng cấu của nhóm tôpô. A. Nhóm con, ớc chuẩn: - Giả sử G là nhóm tôpô. Tập con H của G đợc gọi là nhóm con tôpô của nhóm tôpô G nếu hai điều kiện sau thoả mãn: i) H là nhóm con của nhóm trừu tợng G. ii) H là tập con đóng của không gian tôpô G. - Nhóm con tôpô N của nhóm tôpô G đợc gọi là ớc chuẩn của nhóm tôpô G nếu N là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G. 1.2.1.Định lí. Giả sử G là nhóm tôpô, H là ớc chuẩn của nhóm trừu t- ợng G. Khi đó, H là ớc chuẩn của nhóm tôpô G. Nếu H là tập mở trong G thì HH = . 6 Chứng minh. Do H đóng trong không gian tôpô G nên để chứng minh H là ớc chuẩn của nhóm tôpô G ta chỉ việc chứng minh H là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G, điều đó tơng đơng với việc chứng minh: +) H là nhóm con của G +) g G, h H thì g -1 hg H - Với mọi a, b H , ta có ab -1 H . Thật vậy, giả sử W là lân cận tuỳ ý của ab -1 . Do G là nhóm tôpô nên phép nhân trong G liên tục, vì vậy tồn tại các lân cận U của a và V của b sao cho UV -1 W. Vì a H , b H nên tồn tại các phần tử x H, y H sao cho x U, y V. Do H là nhóm con trừu t- ợng của G nên xy -1 H, mặt khác xy -1 UV -1 W, do đó xy -1 W H. Từ đó suy ra ab -1 H . Vậy H là nhóm con trừu tợng của nhóm G. - g G, h H , ta có g -1 hg H . Thật vậy, do phép nhân trong G liên tục nên với mọi lân cận V của g -1 hg thì tồn tại lân cận U của h để g -1 Ug V. Vì h H nên tồn tại x H sao cho x U, thế thì g -1 x g H vì H là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G. Mặt khác, ta có g -1 x g g -1 Ug V, do đó g -1 x g H V. Vậy g -1 hg H . - Nếu H mở trong G và a H thì a đợc chứa trong tập mở aH, do đó H aH ; vì hai lớp ghép của G theo H hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc trùng nhau nên suy ra aH = H. Vậy a H. 1.2.2. Mệnh đề. Giả sử C(G) = { g G / xg = gx, x G } . Khi đó C(G) là ớc chuẩn của nhóm tôpô G . Chứng minh. Hiển nhiên C(G) là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G theo lý thuyết nhóm trừu tợng, nên ta chỉ cần chứng minh C(G) đóng trong G, tức là chứng minh: )(GC = C(G) +) Hiển nhiên C(G) )(GC . +) Ta cần chứng minh )(GC C(G) : Giả sử a )(GC mà a C(G) , suy ra tồn tại x G sao cho xa ax .Khi đó a = x -1 ax a . Vì G là T 2 - không gian, nên tồn tại các lân cận U của a , U của a thoả mãn: U U = Đặt V = C( G ) U , thế thì a V . Vì a )(GC U nên a )(GC U = VUGC = )( . Còn a = x -1 ax VVxxxVx == 11 . Suy ra U V mâu thuẫn với U V = . Bởi vậy: x -1 ax = a với mọi x G hay ax = xa tức là a C(G). Ta có )(GC C(G). Vậy )(GC = C(G) . 1.2.3 Mệnh đề: Thành phần liên thông của đơn vị G 0 của nhóm tôpô G là ớc chuẩn tôpô của G. 7 Chứng minh. Giả sử a , b G 0 , vì G 0 liên thông nên aG 0 -1 cũng liên thông và e eG 0 . Bởi vậy aG 0 -1 G 0 và do đó ab -1 aG 0 -1 G 0 nên G 0 là nhóm con trừu tợng của G . Giả sử a G 0 và x G khi đó x -1 G 0 x liên thông và chứa e nên x -1 G 0 x G 0 , do đó x -1 ax x -1 G 0 x G 0 , nên G 0 là ớc chuẩn trừu tợng của G. Do thành phần liên thông của không gian tôpô luôn luôn đóng nên G 0 đóng. Vậy G 0 là ớc chuẩn của G. B. Nhóm thơng Giả sử N là ớc chuẩn của nhóm tôpô G, ta đa vào nhóm thơng N G của nhóm trừu tợng G một tôpô xác định nh sau: Giả sử B là một cơ sở của G , với mỗi U B , xét tập con U * = { Ng / g U } của N G . Khi đó B * = { U * / U B } là cơ sở của không gian N G và N G với tôpô xác định nh trên gọi là nhóm thơng tôpô của nhóm tôpô G theo ớc chuẩn N và đợc ký hiệu là G * . 1.2.4. Định lý. Giả sử G là nhóm tôpô và N là ớc chuẩn tôpô của G . Khi đó nhóm thơng N G cũng là nhóm tôpô. Chứng minh. Ta có không gian N G là không gian tôpô. Để chứng minh N G là nhóm tôpô ta chỉ cần chứng minh phép toán đại số trên nhóm thơng N G là liên tục. Thật vậy, giả sử A và B là hai phần tử của nhóm thơng N G , C = AB -1 và W * là một lân cận nào đó của phần tử C. Khi đó W * là tập hợp tất cả các lớp dạng Nz , trong đó z W , còn W là một lân cận nào đó trong G . Vì C W * nên tồn tại một phần tử c W sao cho C = Nc. Giả sử b B , a = cb, khi đó a A . Do phép toán trong nhóm G liên tục nên tồn tại các lân cận U và V của a và b sao cho UV -1 W. Gọi U * là lân cận của phần tử A , đợc thiết lập từ tất cả các lớp dạng Nx , trong đó x U và V * là lân cận của phần tử B , đợc thiết lập từ tất cả các lớp dạng Ny , trong đó y V . Ta có: Nx(Ny) -1 = Nxy -1 N -1 = NN -1 xy -1 = Nxy -1 W * . Vậy U * V *-1 W * tức là phép toán trên N G liên tục. Do đó N G là nhóm tôpô. C. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm tôpô 8 Định nghĩa. ánh xạ từ nhóm tôpô G đến nhóm tôpô G gọi là đồng cấu nếu thoả mãn hai điều kiện sau: i) là đồng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu tợng G . ii) là ánh xạ liên tục. là đẳng cấu nếu là đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu trợng G . là ánh xạ mở nếu mở từ không gian tôpô G đến không gian tôpô G . 1.2.5. Mệnh đề. Giả sử G và G là hai nhóm tôpô, g là một đồng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu tợng G . Để g liên tục hay mở chỉ cần g liên tục hay mở tại đơn vị e của G. Chứng minh. Ta cần chứng minh: với mọi a G thì g liên tục tại a . Giả sử a = g(a) và U là lân cận mở của a , khi đó U (a ) -1 là lân cận mở của đơn vị e của G . Vì g liên tục tại e nên tồn tại lân cận mở Vcủa e để g(V) U (a ) -1 , ta có tập U = Va là lân cận mở chứa a. Ta có: g(U) = g(Va) = g(V) g(a) U (a ) -1 Vậy g liên tục tại a. Mặt khác, giả sử a G và U là lân cận mở của a, khi đó ta có g(U) = g(Ue) = g(U) g(e) = g(U).e . Do g mở tại e nên g(U).e là tập mở, hiển nhiên nó là lân cận của g(a), vậy g mở tại a. 1.2.6. Mệnh đề. Giả sử G là nhóm tôpô và N là ớc chuẩn của G. Khi đó ánh xạ tự nhiên từ nhóm G lên nhóm thơng N G của nó : p : G N G x Nx là ánh xạ liên tục, mở. Chứng minh. - Chứng minh p liên tục: a G, a = p(a) = Na, giả sử U là một lân cận bất kỳ của a trong không gian N G và U là lân cận bất kỳ của a. Khi đó tập NU là một tập mở trong G và chứa a nên tồn tại lân cận mở V chứa a mà V NU. Ta có p(V) U , suy ra p liên tục. - Chứng minh p mở: a G, A = Na = p(a), giả sử U là một lân cận bất kì của a. Khi đó U = { Nx / x U } là lân cận của A trong N G thoả mãn điều kiện p(U) = U , suy ra p mở. 1.2.7. Định lí. Giả sử g : G G là toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G . Khi đó: i) N = Ker (g) là ớc chuẩn tôpô của nhóm tôpô G 9 ii) Nhóm thơng N G đẳng cấu với G . Chứng minh. i). Theo lý thuyết nhóm trừu tợng, ta có N = Ker (g) là - ớc chuẩn trừu tợng của G . Vì { e } là tập đóng trong G và g : G G liên tục, mở nên nghịch ảnh của tập đóng { e } là N = g -1 ({ e }) là tập đóng trong G. Vậy N = Ker (g) là ớc chuẩn tôpô của G. ii). Theo lý thuyết nhóm trừu tợng thì ánh xạ : G N G x Nx trong đó x = g -1 (x ), là đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G lên nhóm trừu tợng N G . Ta chứng minh là đồng phôi từ không gian tôpô G lên không gian tôpô N G . Muốn vậy ta chứng minh liên tục hai chiều. - Chứng minh liên tục: Giả sử x G và (x ) = A . Giả sử U là lân cận nào đó của phần tử A trong không gian N G , suy ra tồn tại phần tử U B ( cơ sở của G ) sao cho U = { Ng / g U }. Vì U A nên tồn tại một a U sao cho A = Na. ánh xạ g là ánh xạ mở, nên tồn tại một lân cận V chứa x = f(x) , sao cho g(U) V . Suy ra (V )U , do đó liên tục. - Chứng minh -1 liên tục: Giả sử A = Na N G và -1 (A) = a .Giả sử U là một lân cận của a trong G . Vì g liên tục nên tồn tại một lân cận V a sao cho g(V) U . Ký hiệu V = { Nx / x V }, khi đó V là lân cận của A trong N G và -1 (V ) U , do đó -1 liên tục. Vậy g là đẳng cấu từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô N G . 1.2.8. Định lý. Giả sử G là một nhóm compact, H và N là nhóm con, ớc chuẩn của nhóm G sao cho HN là đóng trong không gian G. Khi đó HN là nhóm con của G và H N là ớc chuẩn của H. Hơn nữa NH H N HN . Chứng minh. Theo lý thuyết nhóm trừu tợng, ta có HN và H N là nhóm con trừu tợng của nhóm tôpô G. Theo giả thiết HN đóng trong G, suy ra HN là nhóm con tôpô của nhóm tôpô G. Vì H và N là nhóm con và ớc chuẩn của G nên H , N đóng trong G , suy ra H N đóng trong G và do đó H N là ớc chuẩn tôpô của G. 10 . + Nhóm con, nhóm thơng của nhóm t pô luỹ linh xạ ảnh là nhóm t pô luỹ linh xạ ảnh. Bao đóng của một nhóm con luỹ linh xạ ảnh cũng là nhóm luỹ linh xạ ảnh. . luỹ linh xạ ảnh. Đ2. Tính chất luỹ linh của nhóm t pô luỹ linh xạ ảnh Nhóm t pô luỹ linh hiển nhiên là nhóm t pô luỹ linh xạ ảnh. Vì: mọi lân cận V của