Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ------------------------ Tạ ngọc thanh Môđun đối đồng điều địa phơng Trên giá xác định bởi một cặp iđêan Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 Mục lục Trang Mở đầu . Chơng I. kiến thức chuẩn bị . 1.1. Hàm tử khớp . 1.2. Lời giải nội xạ 1.3. Hàm tử dẫn xuất phải . 1.4. Hàm tử mở rộng 1.5. Giới hạn thuận . 1.6. Giới hạn ngợc . 1.7. Môđun xoắn . 1.8. Hàm tử xoắn . 1.9. Hàm tử đối đồng điều địa phơng . 1.10. Môđun đối đồng điều địa phơng . 1.11. Phức ech 1.12. Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phơng Chơng 2. Môđun đối đồng điều địa phơng trên giá xác định bởi một cặp iđêan 2.1. Môđun (I,J)-xoắn . 2.2. Hàm tử (I,J)-xoắn . 2.3. Môđun đối đồng điều địa phơng , ( ) i I J H M 2.4. Phức ech . Chơng 3. mối liên hệ giữa i I H và , i I J H . tính triệt tiêu, không triệt tiệu của , ( ) i I J H M . 3.1. Liên hệ giữa i I H và , i I J H . 3.2. Tính triệt tiêu và không triệt tiệu của , ( ) i I J H M Kết luận Tài liệu tham khảo 2 Mở đầu Lí thuyết Đối đồng điều địa phơng của Grothendieck đóng vai trò quan trọng trong Hình học đại số và ngày càng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán. Cho R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị, I là iđêan của R. Hàm tử I-xoắn : mod mod I R R xác định nh sau: ( ) ( ) 0 0 : n I M n M I = U với mọi R-môđun M. Khi đó I là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R-môđun. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i đối với iđêan I và đợc kí hiệu là i I H . Cho R-môđun M, khi đó ( ) i I H M đợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i của M có giá là I. Dựa vào ý tởng trên, Ryo Takahashi, Yuji Yoshino, Takeshi Yoshizawa [7] đã mở rộng khái niệm môđun đối đồng điều địa phơng và gọi là môđun đối đồng điều địa phơng trên giá xác định bởi một cặp iđêan. Cho R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị, I và J là các iđêan của R. Hàm tử ( ) ,I J -xoắn , : mod mod I J R R đợc xác định nh sau: ( ) { } = Â ? , | , , 1 n I J M x M I x Jx n n với mọi R-môđun M. Khi đó ,I J là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R-môđun. Với mỗi số nguyên i, hàm tử đối đồng điều địa phơng , i I J H với giá ( ) ,I J đợc định nghĩa từ hàm tử ( ) ,I J -xoắn ,I J và gọi ( ) , i I J H M là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i của M với giá ( ) ,I J . Theo ý tởng mở rộng trên, nếu 0J = thì hàm tử ,I J trùng với hàm tử I và 3 , i I J H trùng với hàm tử đối đồng điều địa phơng thông thờng i I H . Nếu I J thì ,I J là hàm tử đồng nhất và , 0 i I J H = với 0i > . Do đó, ta có thể coi hàm tử đối đồng điều địa phơng , i I J H là họ các hàm tử với tham số J và hàm tử đối đồng điều địa phơng i I H là một trờng hợp đặc biệt của , i I J H . Mục đích của luận văn là trình bày lại khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phơng có giá xác định bởi một cặp iđêan dựa vào tài liệu [ ] 7 và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn đợc chia làm 3 chơng. Ch- ơng 1, trình bày các kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán, môđun đối đồng điều địa phơng ( ) i I H M liên quan đến các kết quả và chứng minh ở hai ch- ơng sau để ngời đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Chơng 2, trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phơng trên giá xác định bởi một cặp iđêan ( ) , i I J H M . Chơng 3, trình bày về mối liên hệ giữa hàm tử i I H và , i I J H , tính triệt tiêu, không triệt tiêu của môđun ( ) , i I J H M . Luận văn đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng đến cô giáo, ngời đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời xin đợc cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Sở GD&ĐT Thanh Hoá, Trờng THPT Triệu Sơn 4, đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2008 Tác giả 4 Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả thiết R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị, I và J là các iđêan của vành R. Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị Nội dung của Chơng 1 là nhắc lại (không chứng minh) một số kiến thức cơ sở của Đại số đồng điều và môđun đối đồng điều địa phơng liên quan đến các kết quả, chứng minh ở hai chơng sau. Những chứng minh cụ thể ngời đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo [1], [2]. 1.1. Hàm tử khớp 1.1.1. Định nghĩa. Cho : mod modF R R là một hàm tử hiệp biến. (1) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp các R-môđun 0 .A B C ta có dãy khớp các R-môđun ( ) ( ) ( ) 0 .F A F B F C (2) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các R-môđun . 0A B C ta có dãy khớp các R-môđun ( ) ( ) ( ) . 0F A F B F C (3) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp nếu F vừa khớp trái vừa khớp phải. 1.1.2. Nhận xét. Cho : mod modF R R là một hàm tử hiệp biến. (1) Hàm tử F là hàm tử khớp trái khi và chỉ khi với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0A B C thì dãy 5 ( ) ( ) ( ) 0 F A F B F C cũng là dãy khớp các R-môđun. (2) Hàm tử F là hàm tử khớp phải khi và chỉ khi với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0A B C thì dãy ( ) ( ) ( ) 0F A F B F C cũng là dãy khớp các R-môđun. (3) Hàm tử F là hàm tử khớp khi và chỉ khi với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0A B C thì dãy ( ) ( ) ( ) 0 0F A F B F C cũng là dãy khớp ngắn các R-môđun. 1.2. Lời giải nội xạ 1.2.1. Định nghĩa. (1) Một đối phức các R-môđun 0 1 2 : 0 .I I I I đợc gọi là một đối phức nội xạ nếu i I là môđun nội xạ với mọi i. (2) Cho R-môđun M. Một lời giải nội xạ của M là một đối phức nội xạ I cùng với một R-đồng cấu 0 : M I sao cho dãy sau là khớp 0 1 2 0 .M I I I Kí hiệu lời giải nội xạ của M là M I 1.2.2. Định lí. Cho R-môđun M. Khi đó M luôn có lời giải nội xạ. 1.2.3. Định lí. Cho M, N là các R-môđun và :f M N là R-đồng cấu. Giả sử N I là một lời giải nội xạ của N. Khi đó mọi lời giải nội xạ M E của M đều tồn tại một cấu xạ :f E I là nâng của f , tức là ta có biểu đồ giao hoán sau 6 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 . 0 . f f f f M E E E N I I I và cấu xạ f xác định duy nhất theo nghĩa sai khác một đồng luân. 1.3. Hàm tử dẫn xuất phải 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử : mod modF R R là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R-môđun. Cho R-môđun M với lời giải nội xạ 0 1 2 0 1 2 . d d d M I I I Ta có phức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2 : 0 . F d F d F d F I F I F I F I nói chung không khớp. Hàm tử dẫn xuất phải R F của F là họ các hàm tử { } 0 i i R F R F = = xác định bởi ( ) ( ) ( ) i i R F M H F I = , trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ker Im i i i H F I F d F d = . 1.3.2. Định lí. ( ) i R F M không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của R-môđun M. 1.3.3. Định lí. R F là một -hàm tử đối đồng điều, nghĩa là hai điều kiện sau đợc thỏa mãn: (1) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0M N P . Khi đó tồn tại các đồng cấu nối i sao cho ta có dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 . . i i i i R F M R F N R F P R F M R F N R F P R F M R F N + + (2) Giả sử 0 0 0 0 M N P M N P 7 là biểu đồ giao hoán các R-môđun trong đó các hàng là khớp. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán sau với các hàng là khớp i Ơ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . . . . i i i i i i i i R F M R F N R F P R F M R F M R F N R F P R F M + + 1.3.4. Mệnh đề. ( ) 0, 0 i R F Q i= khi Q là môđun nội xạ. 1.3.5. Mệnh đề. 0 R F F . Do đó 0 R F là hàm tử khớp trái. 1.3.6. Định lí. { } 0 i i R F R F = = là -hàm tử đối đồng điều phổ dụng. 1.4. Hàm tử mở rộng 1.4.1. Định nghĩa. Cho R-môđun M. Kí hiệu hàm tử ( ) Hom , _ : mod mod R F M R R= . Ta có F là hàm tử cộng tính, khớp trái. Khi đó { } 0 i i R F R F = = đợc gọi là hàm tử mở rộng của M, ( ) : mod mod i R F R R . Kí hiệu ( ) ( ) Ext , i i R R F N M N= và gọi là hàm tử mở rộng thứ i của M và N. 1.4.2. Mệnh đề. ( ) ( ) 0 Ext , Hom , R R M N M N . 1.4.3. Mệnh đề. Nếu I là R- môđun nội xạ thì ( ) Ext , 0, 0 i R M I i= . 1.4.4. Mệnh đề. Từ dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0N N N ta có dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 Hom , Hom , Hom , Ext , Ext , Ext , . R R R R R R M N M N M N M N M N M N 1.4.5. Nhận xét. Cho R-môđun M, hàm tử ( ) Hom _ ,F M = . Bằng cách xây dựng tơng tự nh trên ta cũng đợc các hàm tử mở rộng ( ) Ext , i R N M với chú ý rằng F là hàm tử phản biến. Hàm tử mở rộng ( ) , i R Ext N M có các tính chất sau: (1) ( ) ( ) 0 Ext , Hom , R R N M N M . 8 (2) ( ) Ext , 0, 1 i R P M i= khi P là xạ ảnh. (3) Từ dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0N N N ta có dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 Hom , Hom , Hom , Ext , Ext , Ext , . R R R R R R N M N M N M N M N M N M 1.5. Giới hạn thuận Cho ( ) ,V là tập sắp thứ tự định hớng và ( ) V M là một họ các R- môđun. Họ ( ) V M đợc gọi là một hệ thuận trên V nếu với mọi ; , V thì có các đồng cấu : M M thoả mãn các điều kiện sau: (1) id M = , (2) Với ; , , V ta có . = . Xét tập V M M = U là hợp rời các tập M , trên M ta định nghĩa quan hệ : nh sau: với , ; x y M x y : nếu ;x M y M thì tồn tại ; để ( ) ( ) x y = . Với cách xây dựng nh trên thì quan hệ : là một quan hệ tơng đơng. Khi đó M : đợc gọi là giới hạn thuận của hệ thuận ( ) V M . Kí hiệu là lim M uuur . 1.6. Giới hạn ngợc Cho ( ) ,V là tập sắp thứ tự định hớng. Họ ( ) ; t rt M f gồm các R- môđun t M và các đồng cấu : ; , ; rt r t f M M t r V t r đợc gọi là một hệ ngợc trên V nếu thoả mãn hai điều kiện sau: (1) id t tt M f = , 9 (2) Với , , :t r s V t s r ta có . st rs rt f f f= . Cho ( ) ; t rt M f và ( ) ; t rt M f là hai hệ ngợc của các R-môđun trên cùng một tập định hớng V. Một đồng cấu của các hệ ngợc ( ) ( ) : ; ; t rt t rt M f M f là một họ gồm các đồng cấu { } : t t t M M thoả mãn . . , rt r t rt f f t r = . Giới hạn ngợc của hệ ngợc ( ) ; t rt M f đợc định nghĩa nh sau: Trên R-môđun tích trực tiếp t t M ta lấy môđun con D gồm tất cả các phần tử ( ) t x thoả mãn ( ) ; , ; rt r t f x x t r V t r= . Khi đó D đợc gọi là giới hạn ngợc của ( ) ; t rt M f . Kí hiệu là lim t t M suuu . 1.7. Môđun xoắn 1.7.1. Định nghĩa. Cho R-môđun M, ta đặt ( ) ( ) 0 0 : n I M n M I = U Khi đó ( ) I M là một môđun con của M. Môđun ( ) I M gọi là môđun con I-xoắn của R-môđun M. Một R-môđun M đợc gọi là môđun I-xoắn nếu ( ) I M M= , nghĩa là với mỗi m M , tồn tại n Ơ sao cho 0 n mI = . 1.7.2. Mệnh đề. Nếu M là I-xoắn, N là môđun con của M thì N và M N là I-xoắn. 1.7.3. Mệnh đề. Nếu M là R-môđun nội xạ thì ( ) I M cũng là R-môđun nội xạ. 1.8. Hàm tử xoắn 1.8.1. Định nghĩa. Cho R-môđun M. Khi đó hàm tử ( ) : mod mod I I R R M M a 10 . [7] đã mở rộng khái niệm môđun đối đồng điều địa phơng và gọi là môđun đối đồng điều địa phơng trên giá xác định bởi một cặp iđêan. Cho R là vành Noether,. > . Chơng 2. môđun đối đồng điều địa phơng trên giá xác định bởi một cặp iđêan 2.1. Môđun ( , )I J -xoắn 2.1.1. Định nghĩa. Cho R -môđun M, ta đặt {