1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI HỒNG PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI HỒNG PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 1.4 Khơng gian tuyến tính định chuẩn không gian mêtric Chuẩn ánh xạ tuyến tính – Chuẩn ma trận Ánh xạ co Mở rộng nguyên lý ánh xạ co CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 10 2.1 2.2 2.3 Phương pháp chia đôi Phương pháp Newton-RaphSon Phương pháp Newton-Cantorovich CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss - Jordan Phương pháp phân rã ma trận Giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach KẾT LUẬN 10 12 14 21 3.1 3.2 3.3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 32 34 41 42 MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính ngành tốn học nghiên cứu khơng gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi tuyến tính chúng Các khái niệm không gian vectơ, ma trận định thức công cụ quan trọng Đại số tuyến tính Bài tốn Đại số tuyến tính tìm nghiệm phương trình ma trận sau: Đại số tuyến tính sử dụng nhiều toán học, Đại số đại cương, Giải tích hàm, Hình học giải tích, Quy hoạch tuyến tính để giải tốn phép quay khơng gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, tìm nghiệm hệ phương trình vi phân, tìm đường trịn qua ba điểm Đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ ) khoa học xã hội (kinh tế, thống kê, quản lý ), mơ hình phi tuyến tính hay gặp tự nhiên xã hội thường xấp xỉ mơ hình tuyến tính Phương pháp số Đại số tuyến tính (hay cịn gọi phương pháp tính đại số tuyến tính) phận quan trọng Tốn học tính tốn góp phần hiệu để giải tốn cơng nghệ, kỹ thuật, kinh tế, xã hội Công cụ nghiên cứu Phương pháp số Đại số tuyến tính bao gồm nhiều yếu tố Tốn Tin học, nội dung vượt ngồi phạm vi mơn Giải tích số (Phương pháp tính) Luận văn giới thiệu số lời giải toán phương pháp số Đại số tuyến tính thực hành tính tốn phần mềm Maple, Mathematica Đó tốn sau đây: - Giải phương trình phi tuyến (Phương pháp chia đôi, phương pháp Newton - Raphson, Newton – Cantorovic…) - Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss – Jordan - Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp chia - Giải hệ phương trình tuyến tính đường chéo - Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp chia ô - Phân rã ma trận - Giải phương trình tuyến tính không gian Banach Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Nguyễn Thành Quang - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Tốn học, phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học liên kết hai trường đại học Xin cảm ơn thầy cô đồng nghiệp Trường THPT Long Trường, gia đình, bạn hữu quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo q thầy bạn đồng nghiệp Nghệ An, ngày 01 tháng 10 năm 2012 Tác giả Mai Hồng Phương CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn khơng gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính V trường F ( F trường số thực ¡ trường số phức £ ), ta gọi ánh xạ V →¡ xa x hàm chuẩn x chuẩn vectơ x , ánh xạ thỏa mãn ba tiên đề sau: 1) x ≥ x = x = ; 2) α x = α x với số thực α ; 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈V Khơng gian tuyến tính V trường F, mà xác định hàm chuẩn , gọi không gian tuyến tính định chuẩn ký hiệu ( V , ) Một tập hợp khác rỗng M , với ánh xạ ρ : M × M → ¡ , viết ( M , ρ ) gọi không gian mêtric, ánh xạ ρ thỏa mãn ba tiên đề sau: 1) ρ ( x, y ) ≥ ρ ( x, y) = x = y ; 2) ρ ( x, y) = ρ ( y, x) ; 3) ρ ( x, y) ≤ ρ ( x, z) + ρ ( z, y), ∀x, y, z ∈ M Rõ ràng khơng gian tuyến tính định chuẩn ( V , ) không gian mêtric (V , ρ ) với mêtric cảm sinh chuẩn sau : ρ ( x, y ) = x − y Dãy ( un ) không gian mêtric (M,ρ) gọi dãy Cauchy hay dãy bản, phần tử ‘‘phía đi” ‘‘sít nhau”, tức ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n, p ∈ ¥ , n > n0 ⇒ ρ (un , un + p ) < ε Một không gian mêtric (M,ρ) gọi không gian mêtric đầy đủ, dãy Cauchy M dãy hội tụ Khơng gian tuyến tính định chuẩn (V , ) gọi không gian định chuẩn đầy đủ không gian Banach, với mêtric cảm sinh chuẩn ρ (x, y) = x − y không gian mêtric (V, ρ ) không gian mêtric đầy đủ Tập hợp M m×n ( F ) ma trận cấp m × n F , khơng gian tuyến tính F n Khơng gian tuyến tính F = { ( x1 , x2 , , xn ) xi ∈ F } , n ≥ khơng gian tuyến tính định chuẩn hàm p  p x p =  ∑ xi ÷ ,  i=1  n với x = [ x1 x2 xn ] ; ≤ p < ∞ ký hiệu F n Tuy nhiên F n T định nhiều chuẩn khác nữa, hay dùng ba chuẩn sau: 1) x 2) x p , với p = 1,2 ∞ = max xi i Ta thu kết sau đây: 1.1.2 Mệnh đề Mỗi khơng gian tuyến tính định chuẩn (thực phức) hữu hạn chiều F n không gian đầy đủ 1.1.3 Mệnh đề Không gian C0 [ a; b ] hàm thực liên tục đoạn [ a; b ] với hàm khoảng cách xác định sau không gian đầy đủ: ρ(x, y) = max y(t) - x(t) t ∈[ a ,b ] 1.2 Chuẩn ánh xạ tuyến tính ma trận 1.2.1 Định nghĩa Cho f ánh xạ từ khơng gian tuyến tính định chuẩn (U, U ) vào khơng gian tuyến tính định chuẩn ( V , V ) Ta nói f ánh xạ bị chặn, tồn số thực dương m cho: f ( x) V ≤ m x U , ∀x ∈ U Giả sử f ánh xạ bị chặn, ta gọi số thực dương nhỏ số m cho f ( x) V ≤ m x U , ∀x ∈ U chuẩn ánh xạ f ký hiệu kí f U V n Trong tính tốn thực tế ánh xạ tuyến tính từ khơng gian Fp vào m không gian Fq viết dạng ma trận y = Ax , A ma trận cấp m × n Khi đó, chuẩn ánh xạ gọi chuẩn ma trận A ký p p hiệu A q Trường hợp riêng A q ký hiệu lại A p với p = 1,2, ∞ chuẩn ma trận tính theo cơng thức sau: m A = max j ∑a ij i =1 n A = max A3= ( i , ∑a ij , j =1 λ1 , ) A =  aij  m.n ma trận cấp m × n λ1 giá trị riêng lớn   ma trận A* × A ( với A* ma trận liên hợp A ) Trong phần mềm math để tính chuẩn vectơ x p , với p = 1,2, ∞ ta dùng câu lệnh sau: Plus@@ Abs [x] Max [Abs[x]] Sqrt [x.Conjugate[x]] Lệnh sẵn có phần mềm math.: Norm[x,p] cho chuẩn p vectơ x (với ≤ p ≤ ∞ ); chuẩn vô cùng: Norm[x, ∞], chuẩn x dùng lệnh Norm[x] Tính chuẩn ma trận A p với p = 1,2, ∞ : B = Transpose[A];Max[Table[plus@@Abs[B[[i]]],{i,1,length[B]}]] Max[Table[plus@@Abs[A[[i]]],{i,1,length[A]}]] Sqrt[Max[Re[Eigenvaluse[Conjugate[Transpoose[A]].A]]]] Các lệnh có sẵn phần mềm math tương ứng Norm[A, 1], Norm[A, ∞], Norm[A] (trường hợp A ma trận chữ nhật Norm[A] trị số lớn trị số Singular ma trận A ) Ví dụ Cho x = [ − 4,1] ma trận 1 + i A = 2   2i - 0,1  1,2  -1   2,3   Ta có x A A 1 ∞ = 10,1; x ∞ = 4,1; x = 5,55068 { = max { 2,2 + = max 5;0,1 + } ; 3; 4,4} = 4,4; ; 4,5 = A = 3,64186 Chuẩn ma trận có tính chất sau: a) A ≥ 0; A = ⇔ A = 0; b ) α A = α A ( ∀α ∈ F ); c) A+ B ≤ A + B ; d ) A.B ≤ A B 10 1.3 Ánh xạ co 1.3.1 Định nghĩa Ánh xạ f từ không gian mêtric ( M ,ρ ) vào gọi ánh xạ co M tồn số thực α ∈[0,1) cho ρ ( f(x), f(y)) ≤ αρ ( x, y ) ; ∀x, y ∈ M 1.3.2 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co) Mỗi ánh xạ co f không gian mêtric đầy đủ ( M ,ρ ) tồn điểm bất động (tức tồn điểm ξ thuộc M cho f( ξ ) = ξ , định lý cịn có tên ngun lý điểm bất động) Chứng minh Trước hết ta thấy ánh xạ co ánh xạ liên tục, cố định y thuộc M , cho x dần tới y , từ bất đẳng thức ρ ( f(x), f(y)) ≤ α.ρ ( x, y ) ; ∀x, y ∈ M suy f ( x ) dần tới f ( y ) Bây lấy điểm x0 tùy ý thuộc M đặt xi +1 = f ( xi ) , i ∈ ¥ , ∀n, p ∈ ¥ ta có: xn+ p - xn ≤ xn+ p - xn+ p-1 + xn+ p-1 - xn+ p-2 +L+ xn+1 - xn ≤ ≤ α p-1 xn+1 - xn + α p-2 xn+1 - xn +L+ α0 xn+1 - xn = 1-α p α = xn+1 - xn ≤ xn+1 - xn ≤ xn - xn-1 ≤ 1-α 1- α 1- α αn ≤ ≤ x1 - x0 1-α Do ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ , ∀n, p ∈ ¥ , n ≥ n0 ⇒ x n+p − x n ≤ ε Điều chứng tỏ dãy ( xn ) dãy Cauchy khơng gian cho không gian đầy đủ, nên tồn ξ cho lim x n = ξ Vì f liên tục nên n →∞ f(ξ)= f( lim xn )= lim f(xn )= lim xn+1 = ξ x →∞ x →∞ x →∞ Vậy ξ điểm bất động Với điểm η ∈ M η ≠ ξ , ta có ρ ( f (η ), ξ ) = ρ ( f (η ), f (ξ )) ≤ α ρ (η , ξ ) < ρ (η , ξ ) Do η ≠ f (η ) , tức ξ điểm bất động f ▄ 31 Để chia ô ma trận mở rộng C = [A B], A, B hai ma trận có kiểu hm x hm, hm x n, ta dùng chương trình: c= Mapthread[Append,{Partition[A,{m,n}], Partition[B,m]}] sau chia ô ma trận, ta dùng chương trình viết theo thuật tốn Jordan để giải phương trình A.X = B: n=;h=;d[i_,j_,0]:=c[[i]][[j]] d[i_,j_,k]:=If [ i!=k,d[i,j,k-1]-d[i,k,k-1] Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1], Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1]] Print[“dap so:”,Partition[Flatten[Table[d[i,h+1,h],{i,1,h}]],n]] Ví dụ a = {{1,2,3,4.5},{5,6.7,7,8},{9.2,10,11.1,12.3},{13,14,15,16}}; b = {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9},{1,2,0}}; (c= Mapthread[Append,{Partition[a,{2,2}],Partition[b,2]}])//MatrixForm n=3;h=2;d[i_,j_,0]:=c[[i]][[j]] d[i_,j_,k]:=If [ i!=k,d[i,j,k-1]-d[i,k,k-1].Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1], Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1]] Print[“dap so:”,Partition[Flatten[Table[d[i,h+1,h],{i,1,h}]],n]] Đáp số:{{78.5975, 78.7044, 105.358},{71.6352, 72.1384, 96.9811}, {-285.774, -287.396, -386.264},{141.434, 142.491, 191.66}} Đối với ma trận A q lớn cần tính hàng bước ma trận ô, lưu trữ máy khác hệ thống sử dụng liệu chung để giải Trong trường hợp cấp ma trận A không chia hết cho m việc chia phức tạp 3.1.3 Giải hệ ba đường chéo Ma trận ô A gọi ma trận gần 2k + đường chéo, ô thứ pq A p > q + k +1 q > p + k +1; gọi hệ phương trình AX = B hệ gần 2k + đường chéo Ta áp dụng phương pháp Gauss giải hệ gần đường chéo AX = B, với A, B cho dưới, ai, bi, ci, di ma trận có kiểu phù hợp 32  a1 c  0 A=  0  0  b1 a2 b2 c2 a3 0 an −1 0   d1  d       d3   ;B =   ;    d  bn −1    n −1  an  dn     0 cn −1 Lập ma trận mở rộng A’ (bằng cách ghép thêm B vào bên phải A); nhân vào phía trái hàng với a1-1 nhân hàng với –c1 cộng vào hàng 2; hàng A’ trở thành [ a '2 b '2 0 d '2 ] Không kể hàng một, cột ta lại có ma trận dạng tương tự A’ trình khử c2 lại lặp lại tương tự trên, sau n-1 bước ta đưa A dạng ma trận gần tam giác trên, mà ô đường chéo ma trận đơn vị, tức A’ trở thành E 0  0 A' =   0  0  f1 0 E f 0 E 0 0 E f n −1 0 E g1  g2   g3  ,  g n −1   gn   e1 = a1 , f i = ei -1bi , ei+1 = ai+1 – ci f i , với i = 1,2,3… ,n-1 g1 = a1 d1 , g i+1 = ei+1 ( d i+1 – c1 g i ) -1 -1 Tiếp tục khử ngược từ lên ta có nghiệm cần tìm xn = g n , xi = g i – f i xi+1 với i = n – 1, n – 2,…, 2, Ví dụ Giải hệ 10 phương trình tuyến tính 10 ẩn dạng đường chéo: a[i_]:=2+0.1*i;b[i_]:=i;c[i_]:=0.02*i^2;d[i_]:=10-i; khai báo đường chéo cột tự sau: a={2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.}; (tức =table[2+0.1i,{i,1,10}]) 33 b={1,2,3,4,5,6,7,8,9};(= table[i,{i,1,9}]) c={0.02,0.08,0.18,0.32,0.5,0.72,0.98,1.28,1.62};(=table[0.02*i^2,{i,1,9}]) d={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};(= table[10–i,{i,1,10}]) lệnh thực (chính cơng thức trên): e[1]=a[1] f[i_]:=e[i]^( –1)*b[i] e[i_]:=a[i] –c[i–1]*f[i–1] g[1]=a[1]^( –1)*d[1] g[i_]:=e[i]^( –1)*(d[i] –c[i–1]*g[i–1]) x[10]=g[10] x[i_]:=g[i] –f[i]*x[i+1] Table[x[i],{i,1,10}] Kết quả:{32.9109,-60.113,69.7952,-49.5733,28.1032, -9.87891,2.60559,0.439673,-0.223071,0.120458} Chú ý Nếu số liệu khai báo dạng vectơ thay ký hiệu a[i], b[i], c[i], d[i] dòng lệnh a[[i]], b[[i]], c[[i]], d[[i]] tương ứng 3.1.4.Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp chia ô Ứng dụng phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo M −1 phương pháp chia ô, thật chất giải phương trình ma trận MX = E Ở ta xét phương trình a c  b d  E  X =  E    Ta tìm nghiệm dạng u X = y v z  theo phương pháp Gauss-Jordan với giả thiết A ma trận khả nghịch Kết z = (d–ca-1b)-1; y = (d–ca-1b)-1 ( –ca-1)= –zca-1; u = a-1–a-1by; v = –a-1bz 34 a c Ví dụ Tìm nghịch đảo ma trận M =  b , với d  a ={{2,3,4,5},{3,5,7,0},{8,-3,0.6,7},{5,-6,-8,3}}; b ={{9,0,3},{7,0,-3},{0,-9,7},{9,-4,8}}; c ={{4,0,0,5},{6,9,-5,-5},{2,9,-7,8}}; d ={{6,7,8},{4,-5,0},{4,0,0}}; Nhập ma trận a, b, c, d viết tiếp dòng lệnh: p = Inverse[a]; q =p.b; r =c.q; s =c.p; z = Inverse[d-r]; y = –z.s; v = –q.z; u =p – q.y; Kết u = {{−0.243397, 0.192093, 0.0563119, 0.0333477}, {0.104529, −0.087113, −0.0033484, −0.072626}, {0.066712, 0.000770722, 0.0238157, −0.0482638}, {−0.0220318, 0.033072, 0.0316161, 0.0018963}}; v = {{0.0806883, −0.0150759, 0.0304924}, {0.00369012, 0.0692942, 0.00583641}, {0.00269705, −0.000481415, −0.0464214}, {−0.00889641, −0.0708809, 0.0716544}}; y = {{0.0473174, 0.0351626, −0.0421766, 0.0584807}, {−0.11075, 0.0679954, −0.027626, 0.00244223}, {0.196887, −0.202584, 0.0078892, −0.0638565}}; z = {{−0.0261342, −0.00745462, −0.00292437}, {0.0887601, −0.0279629, 0.0195239}, {0.0321517, 0.081897, −0.0749204}}; Như để tìm nghịch đảo ma trận cấp 2k ta đưa tìm hai ma trận cấp k với số phép tính cộng, nhân ma trận cấp k Nếu cấp k ma trận cịn q lớn, chia ma trận làm việc với ma trận 35 có cấp khoảng k Việc mở cho ta khả tìm ma trận nghịch đảo cấp Tuy nhiên việc nghịch đảo ma trận cấp m nhân ma trận cấp m cần khoảng m3 phép toán nhân chia, ta chia thành tiến hành tìm nghịch đảo theo phương pháp vừa trình bày cấp ma trận giảm nửa, cần đến phép nghịch đảo nhân ma trận, nên số lượng phép tốn nhân, chia cần thực khơng khác (tức độ phức tạp thời gian không thay đổi) 3.2 Phương pháp phân rã ma trận Việc chia ô ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính cách phân rã ma trận, trở nên có ý nghĩa kinh tế lớn ma trận ô ma trận gần 3, đường chéo, ma trận gần tam giác gần chéo, cách phân rã khác là: Để giải hệ n phương trình n ẩn AX = B (ma trận A vng) người ta phân tích A thành tích hai ma trận A = CD (trong C ma trận tam giác trên) đưa giải hai hệ tam giác: CY = B, DX = Y Phương pháp gọi phương pháp phân rã ma trận Giả sử A = CD với c11 c C =  21   cn1 0 b22 cn cn  1    ; D = 0     cnn  0 d12 d13 d 23 d1n   d n     Nhân C với D đồng với A , xác định phần tử cij dij , sau giải hai hệ tam giác, kết 36 j −1 ci1 = ai1 ; cij = aij − ∑ cik d kj (i ≥ j > 1); d ij = a1 j / c11 ; k =1 j −1 dij = (aij − ∑ cik d kj ) / cii (1 < i < j ); y1 = b1 / c11; k =1 j −1 yi = (bi − ∑ cik yk ) / cii (1 < i ); k =1 xn = yn ; xi = yi − n ∑d k =i +1 ik xk (i < n) Với ma trận A tự liên hợp ( A = A* ), áp dụng phương pháp phân tích A thành C.C* (lúc gọi phương pháp bậc hai) Công thức xác định C nghiệm hệ A= C.C * ; c11 c C =  21   cn1 0 b22 cn cn3   ;   cnn  j −1 c11 = a11 ; ci1 = ai1 / c11 ; cii = aii − ∑ cik c ik (1 < i ≤ n ); k =1 j −1 cij = (aij − ∑ cik cik ) / c jj ( j < i ≤ n); k =1 j −1 y1 = b1 / c11 ; yi = (bi − ∑ cik yk ) / cii (1 < i ); k =1 xn = yn / cnn ; xi = ( yi − n ∑c k =i +1 ki xk ) / cii (i < n) Để tính ma trận C , D cần điều kiện cii ≠ , điều kiện thỏa mãn A ma trận có định thức góc khác mà trường hợp riêng A ma trận đối xứng xác định dấu Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính AX = B với ma trận mở rộng A’ = [ A B ] A ' = {{10,2,3,4,5},{2,10,6,7,-1},{3,6,20,5,4.3},{4,7,5,28,-9}} Vì A la ma trận thực đối xứng, nên không cần lấy liên hợp phức, đặt A = CC T , ta có a[i_,j_]:=Part[Part[A’,i],j] 37 b[i_]:=Part[Part[A’,i],5] c[1,1]=Sqrt[a[1,1]]//N c[1,i]:=a[1,i]/c[1,1] c[i ,i]:=Sqrt[a[i,i]–sum[c[i,k]^2,{k,1,i-1}]] c[i_,j_]:=(a[i,j]–sum[c[i,k]*c[j,k],{k,1,j-1}])/c[j,j] y[1]=b[1]/c[1,1]//N y[i_]:=(b[i]–sum[c[i,k]*y[k],{k,1,i-1}])/c[i,i] x[4]=y[4]/c[4,4]//N x[i_]:=(y[i]– sum[c[k,i]*x[k],{k,i+1,4}])/c[i,i] Table[x[i],{i,1,4}]//N Đáp số: {0.612614, –0.0683273, 0.25286, –0.437017} 3.3 Giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach 3.3.1 Phương pháp lặp đơn Đưa phương trình AX = B dạng X = CX + D ; công thức lặp: Lấy X0 tùy ý, lập dãy lặp X n+1 = CX n + D ; điều kiện hội tụ q = C < Công thức sai số Xn −ξ ≤ q X n − X n −1 1− q 3.3.2 Lặp đơn mở rộng Đưa phương trình AX = B dạng X = C1 X + C2 X + D ; công thức lặp: Lấy X0 tùy ý, lập dãy lặp X n+1 = C1 X n+1 + C2 X n + D ; điều kiện hội tụ q = (1 − C1 ) −1.C2 < ( ánh xạ đồng ) sai số Xn −ξ ≤ q X n − X n −1 1− q 3.3.3 Lặp bậc hai tìm ánh xạ nghịch đảo 38 Giả sử A, B phép tốn biến đổi tuyến tính mà − BA < , tốn tử đồng cần tìm phép biến đổi nghịch đảo A Đặt ∆ = − BA Suy A−1 = ( − ∆ ) B −1 Vì ∆ ≤ − BA < 1, nên ( − ∆ ) thừa ( − ∆ ) −1 ∞ −1 khai triển thành chuỗi lũy ∞ = ∑ ∆ , A = ∑ ∆ n B n=0 n =0 ( 2k −1 Mặt khác −1 n ∑ ∆n = + ∆2 n =0 k −1 ) ( + ∆ ) ( + ∆ ) ( + ∆ ) , nên ta có cơng thức lặp để tìm ánh xạ nghịch đảo A sau: ( X = B, n ) xn +1 = + ∆ X n Công thức cịn gọi cơng thức tăng độ xác ánh xạ B (như xấp xỉ nghịch đảo biết A) Công thức lặp vừa nêu tương đương với công thức lặp bậc hai sau X = B; xn +1 = ( + − X n A ) X n Và có tốc độ hội tụ lớn cơng thức lặp bậc nhất: X = B; xn +1 = B + ∆ X n (công thức suy từ A −1 ∞ = ∑ ∆ n B ) Khi tính ma trận nghịch đảo n =0 phương pháp ánh xạ đồng ma trận đơn vị mà thường ký hiệu E Ví dụ B ={{2.03,2.98,-1.1},{0.98,-1.95,0.98},{4.11,1.97,-2.91}; A ={{0.21,0.37,0.05},{0.37,-0.11,-0.16},{0.53,0.42,-0.37}}; e =IdentityMatrix[3]; d[0]=e-B.A;d[k_]:=d[k-1] d[k-1]; x[0]=B;x[k_]:=(e+d[k-1]) x[k-1];x[4] A.x[4] 39 Kết quả: Ma trận nghịch đảo A  2, 05051 0,990099   4, 60112  − 1, 02051  − 1,98020 0990099   2, 05051 − 3, 04061   3, 00070 (Tích A X [ 4] xấp xỉ ma trận đơn vị với sai số không 10-15) Để tìm nghịch đảo ma trận cỡ lớn, trước hết tìm ma trận nghịch đảo gần B , mà thực phép tính trung gian ta lấy chữ số có nghĩa để giảm khối lượng tính tốn, sau dùng phương pháp để tinh chỉnh kết 3.3.4 Lặp hai phía 3.3.4.1 Định nghĩa Trong không gian Banach X , ta gọi : 1) Tập [a, b] = {x/αa+(1-α)b, α∈[0, 1]} đoạn thẳng nối a với b 2) Tập K X tập lồi ∀ a,b∈K ⇒ [a, b] ⊂ K 3) Tập lồi K X nón, K tập lồi, đóng thỏa mãn a )∀x ∈ K; ∀t ∈ ¡ t ≥ ⇒ tx ∈ K; b)(x ∈ K) ∧ (-x ∈ K) ⇒ x = 4) Nón K nón đúng, dãy ( xn ) không giảm hội tụ theo chuẩn (dãy ( xn ) không giảm nghĩa x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ , quan hệ '' ≤ '' quan hệ thứ tự xác định sau: a ≤ b ⇔ b - a ∈ K ) 5) Ánh xạ f : X → X ánh xạ dương, f ( K ) ⊂ K , với K nón 3.3.4.2 Định lý Cho nón K khơng gian Banach X , ánh xạ dương A : X → X x0 ; y0 ∈ X; xn+1 = Axn +b; yn+1 = Ayn +b, x0 ≤ x1 ; y1 ≤ y0 ; x0 ≤ y0 Khi đó, dãy ( xn ) ( yn ) hội tụ đến nghiệm x y (tương ứng) phương trình u = Au + B x ≤ y 40 3.3.4.3 Hệ Cho nón K khơng gian Banach X , A B ánh xạ tuyến tính dương Nếu tồn x0 , y0 mà n x0 ≤ Ax0 - By0 + c; y0 ≥ Ay0 - Bx0 + c; x0 ≤ y0 lim(A+ B) = 0, hai dãy ( xn ) n →∞ ( yn ) , với xn +1 = Axn - Byn + c; yn+1 = Ayn - Bxn + c thỏa mãn xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn hội tụ đến nghiệm u phường trình u = Au - Bu + c, với sai số (x + yn ) u- n ≤ ( A+ B) (y n - x0 ) ) Ví dụ Áp dụng phương pháp lặp lại hai phía giải phương trình u = Au - Bu + c, 0,  0  0, 06  2 A = 0 0, 05  ; B = 0, 03 0  ; c = 3      0 0, 02  0, 01 5 0           nón k gốc phần tám thứ (gồm điểm υ = [ u1 u2 u3 ] mà u1 ≥ 0;u2 ≥ 0;u3 ≥ 0); T A:B ánh xạ dương thỏa mãn giả thiết hệ ta lấy x0 , y0 cho bảng sau Trong bảng cho kết sau sáu bước lập x0 =[1 y0 =[ 2, 3, x1 =[1, 882 3,134 y1 =[1, 99 3, 245 ] T 5, 5] T 5, 018] T 5, 056 ] T 41 x2 = [ 1, 90566 3,1912 y2 = [ 1, 91308 3,19634 x3 = [ 1, 9090752 3,1947466 y3 = [ 1, 9094496 3,1951342 x4 = [ 1, 9091858 3,1949512 y4 = [ 1, 9092126 3,1949713 x5 = [ 1, 9091977 3,1949636 y5 = [ 1, 9091992 3,194965 x6 = [ 1, 9091982 3,1949644 y6 = [ 1, 9091983 3,1949644 5, 04278] T ] T 5, 0446932 ] T 5, 0448702 ] T 5, 0448004 ] T 5, 0448119 ] T 5, 0448069] T 5, 0448076 ] T 5, 0448073] T 5, 0448073] 5, 04608 T Kết nghiệm cần tìm : [ 1,9091983 3,1949644 5, 0448073] T 3.3.5 Lặp với không khớp nhỏ 3.3.5.1 Định nghĩa Không gian Banach H đường F không gian Hilbert, H khơng gian tuyến tính với tích vơ hướng H hữu hạn chiều, tồn dãy vectơ ( en ) H , cho với vectơ x ∈ H tồn dãy số ( an ) F , mà x tổng chuỗi hội tụ ∞ ∑a e n =0 n n 3.3.5.2 Định lý Cho phương trình tuyến tính Ax = b với A ánh xạ tuyến tính tự liên hợp xác định dương, không gian Hilbert H Khi dãy (x ) n với x0 tùy ý, ∆ n := Ax n − b (gọi khơng khớp nghiệm gần xn phương trình Ax = b ), xn+1 = xn - AΔn , Δn Δn AΔn , AΔn hội tụ đến nghiệm phương trình có đánh giá n  M −m x n − x ≤  ÷ ∆0 m M +m 42 Ax,x Với < m ≤ x,x ≤ M < +∞ ( M , m cận cận phổ tốn tử A) Ta khơng chứng minh trực tiếp định lý này, nhận xét công thức lặp nhằm có ∆ n+1 nhỏ chuẩn Thật giả sử x n +1 = x n − a.∆ n , ∆ n +1 2 = Axn+1 − b = Axn − b − aA∆ n = ∆ n − aA∆ n 2 = ∆ n − 2a A∆ n, ∆ n + a A∆ n Do ∆ n+1 nhỏ chuẩn a = A∆ n , ∆ n A∆ n , A∆ n Tổng quát hóa phương pháp ta xây dựng dãy lặp x0 tùy ý x n +1 = x n − Aα ∆ n , ∆ n Aα ∆ n , A∆ n ∆ n Khi α = có x n +1 = x n − A∆ n , ∆ n A∆ n , A∆ n với giảm dư nhanh x n +1 = x n − ∆ n , α = ta có cơng thức lặp ∆n , ∆n ∆ n ∆ n , A∆ n Các phép lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân Công bội M −m M +m Ví dụ Giải phương trình 11 10 10 9.5   −3 −  −3  13  −  x = 5       −9  45     100    Lấy x0 =   áp dụng công thức  −100   x n +1 = x n − A∆ n , ∆ n A∆ n , A∆ n kết lặp sau 300 bước: ∆ n (1) x n +1 = x n − ∆n , ∆n ∆ n , A∆ n ∆ n (2) 43 17, 04594936   15, 7130498  x 300 ( 1) =  −17,39244935  x 300 ( ) =  −15,96395238      0,1630480252  0,1447975947      kết xác 16, 62694301  x =  −16,94300518   0,1554404145    44 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu số lời giải toán phương pháp số Đại số tuyến tính thực hành tính tốn phần mềm Maple, Mathematica Đó tốn sau đây: - Giải phương trình phi tuyến (Phương pháp chia đôi, phương pháp Newton - Raphson, Newton – Cantorovic…) - Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss – Jordan - Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp chia - Giải hệ phương trình tuyến tính đường chéo - Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp chia ô - Phân rã ma trận - Giải phương trình tuyến tính không gian Banach 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Dỗn Tam Hịe (2008), Tốn học tính tốn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [6] L N Trefethen, I D Bau (1997), Numerical linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics [7] B M Chen (2011), Linear Algebra & Numerical Methods, National University of Singapore ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI HỒNG PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN... Newton-RaphSon Phương pháp Newton-Cantorovich CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss - Jordan Phương pháp phân rã ma trận Giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach KẾT LUẬN 10... hình phi tuyến tính hay gặp tự nhiên xã hội thường xấp xỉ mơ hình tuyến tính Phương pháp số Đại số tuyến tính (hay cịn gọi phương pháp tính đại số tuyến tính) phận quan trọng Tốn học tính tốn góp