Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Nguyễn thị lam giang Quan hệ green Trên một số lớp nửa nhóm Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 Ngời hớng dẫn khoa học: pGS.TS lê quốc hán Vinh-2010 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi . 3 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 9 Chương 2. Các quan hệ Green trên một số lớp nửa nhóm 18 2.1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm Tx 18 2.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm T(X, ρ) . 25 Kết luận . 30 Tài liệu tham khảo 31 2 LỜI NÓI ĐẦU Các quan hệ Green đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm. Thông qua việc xét các quan hệ Green trên một số lớp nửa nhóm nào đó sẽ giúp chúng ta biết được nhiều thông tin của lớp nửa nhóm ấy, và nhờ thế có thể mô tả cấu trúc của chúng một cách tường minh. Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ đã được một số tác giả nghiên cứu. Trong luận văn này trước hết chúng tôi hệ thống hoá những kết quả đó và xét một lớp nhóm con đặc biệt của nhóm T x nhóm các phép biến đổi đầy đủ. Giả sử X là một tập hợp và T x là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của X, ρ là quan hệ tương đương trên X. Ký hiệu: T(X, ρ ) : = {f ∈ T x : ∀ (x,y) ∈ ρ ; (f (x) ;f (y) ) ∈ ρ }. Thế thì: T(X, ρ ) là một nửa nhóm con của T x . Dựa trên bài báo “A note on Green’s relations in the semigroups T(X, ρ )” của hai tác giả Huisheng Pei và Weina Deng đăng trên tạp chí Semigroup Forum tháng 4 năm 2009, chúng tôi mô tả một cách chi tiết quan hệ tương đương ρ trên X sao cho các quan hệ Green D và J bằng nhau trong nửa nhóm T(X, ρ ). Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm Chương 2. Các quan hệ Green trên một số lớp nửa nhóm 2.1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm T x . 2.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm T(X, ρ ). Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến 3 PGS. TS. Lê Quốc Hán cùng với các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, các cô và các bạn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. NỬA NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Ta nhắc lại rằng một tập hợp S cùng với một phép toán hai ngôi trên nó được gọi là nửa nhóm nếu luật kết hợp được thoả mãn, nghĩa là với mọi a, b, c thuộc S có (ab)c =a(bc) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán trên S thoả mãn luật giao hoán, nghĩa là với mọi a, b thuộc S, có ab = ba. Nửa nhóm S được gọi là một vị nhóm nếu S có đơn vị, nghĩa là tồn tại phần tử 1 thuộc S sao cho a.1 = 1.a = a với mọi a thuộc S. Phần tử 0 thuộc S được gọi là phần tử không nếu với mọi phần tử a thuộc S, có a.0 = 0.a = 0. Không phải nửa nhóm nào cũng có phần tử không. Nếu S có phần tử không thì ta nói rằng S là nửa nhóm với phần tử không. Phần tử e thuộc S được gọi là phần tử luỹ đẳng nếu e 2 = e. Phần tử đơn vị và phần tử không của S (nếu có) là phần tử luỹ đẳng; tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Ký hiệu T x là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào chính nó. Thế thì T x cùng với phép nhân ánh xạ là một nửa nhóm, vì phép nhân ánh xạ thoả mãn luật kết hợp. Hơn nữa T x là một vị nhóm đối với đơn vị và là ánh xạ đồng nhất trên X mà ta sẽ ký hiệu là 1 x . Nửa nhóm T x được gọi là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X Giả sử S và S’ là các nửa nhóm. Khi đó ánh xạ :S S'ϕ → được gọi là một đồng cấu nếu thoả mãn điều kiện (ab) (a). (b)ϕ = ϕ ϕ với mọi a, b thuộc S. 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và X là một tập hợp khác rỗng tuỳ ý. 5 i) Một đồng cấu x :S Tϕ → được gọi là một biểu diễn của nửa nhóm S; ii) Biểu diễn x :S Tϕ → được gọi là một biểu diễn trung thành nếu ϕ là một đơn ánh. Giả sử S là một nửa nhóm không có đơn vị. Khi đó S có thể được nhúng vào vị nhóm S 1 = { } S 1∪ trong đó 1 là một ký hiệu không thuộc S và x.1 = 1.x = x với mọi x thuộc S 1 . Kết quả sau đây tương tự Định lý Cayley trong Lý thuyết nhóm. 1.1.3. Định lý. Mỗi nửa nhóm S đều có một biểu diễn trung thành. Chứng minh. Giả sử X = S 1 . Với mỗi a S∈ xác định ánh xạ 1 1 a :S S ,λ → a (x) axλ = với mỗi 1 x S∈ . Khi đó a x Tλ ∈ và với mọi a,b thuộc S, mọi x thuộc S 1 có ab a b a b (x) (ab)(x) a(bx) ( (x)) ( )(x).λ = = = λ λ = λ λo Do đó ab a b λ = λ λo , nên ánh xạ ( ) x a :S T , aϕ → ϕ = λ là một đồng cấu. Hơn nữa, ( ) ( ) a bϕ = ϕ kéo theo a b λ = λ ; do đó a b (1) (1)λ = λ nên a.1 = b.1 hay a = b. Từ đó ϕ là đơn ánh nên ϕ là một biểu diễn trung thành.  Từ Định lý 1.1.3, suy ra rằng: Lý thuyết nửa nhóm tổng quát có thể quy về Lý thuyết nửa nhóm các phép biến đổi. Ánh xạ a :S Sλ → xác định trong chứng minh Định lý 1.1.3 được gọi là phép chuyển dịch trong bên trái hay phép tịnh tiến trái xác định bởi phần tử a. Phép chuyển dịch trong bên phải ρ a : S → S được xác định tương tự: a (x) xaρ = với mỗi x thuộc S. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó ánh xạ :S Sρ → được gọi là phép chuyển dịch bên phải nếu thoả mãn điều kiện (xy) x (y)ρ = ρ với mọi x,y S.∈ Ánh xạ :S Sλ → được gọi là phép chuyển dịch bên trái nếu thoả mãn điều kiện (xy) (x)yλ = λ với mọi x,y S.∈ 6 1.1.5. Mệnh đề. Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải ( bên trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con của nửa nhóm T. Chứng minh. Ký hiệu P là tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải và Q là tất cả các phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S. Khi đó nếu 1 2 , Qλ λ ∈ thì với mọi x,y S∈ có. yxyxyxxyxy )])([()]([])([)]([))(( 1212121212 λλλλλλλλλλ  ==== nên 2 1 Q.λ λ ∈o Do đó Q là một nửa nhóm con của T x . Tương tự có P là một nửa nhóm con của T x . 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm. Khi đó ánh xạ s :S T ,ϕ → a (a)ϕ = λ được gọi là biểu diễn chính quy của S; còn ánh xạ s :S T ,ϕ → '(a) (a)ϕ = ρ được gọi là phản biểu diễn chính quy của S. Nhắc lại rằng: Ánh xạ :S S'ϕ → từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S’ được gọi là phản đồng cấu, nếu ϕ (ab) = ϕ (b). ϕ (a) với mọi a,b thuộc S. Từ các định nghĩa trên trực tiếp suy ra kết quả sau: 1.1.7. Mệnh đề. Tập hợp tất cả các phép chuyển đổi dịch trong bên phải (bên trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con P 0 của nửa nhóm P ( hoặc nửa nhóm con Q 0 của nửa nhóm Q). Ánh xạ a a → λ ( hoặc a a → ρ ) là đồng cấu ( hoặc phản đồng cấu ) từ nửa nhóm S lên P 0 ( hoặc Q 0 ) chính là biểu diễn chính quy ( hoặc phản biểu diễn chính quy ) của nửa nhóm S. 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Nếu x và y là các phần tử thuộc S sao cho xy = 1 thì x gọi là nghịch đảo bên trái của y, còn y được gọi là nghịch đảo bên phải của x. Phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S được định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải. 1.1.9. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Khi đó: 7 i) Tập hợp P (hay Q) tất cả các phần tử khả nghịch bên trái (hay bên phải) của S là một nửa nhóm con với luật giản ước phải ( hay trái) và chứa 1. ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nửa nhóm con của S và U = P Q∩ . Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U và không có nghịch đảo bên phải hay bên trái nào đó thuộc tập đó. iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U. Chứng minh. i) Nếu xy = x′y′ =1 thì (xx′)(yy′) = 1 điều đó chứng tỏ rằng P và Q là các nửa nhóm con của S. Rõ ràng P và Q chứa 1. Nếu ax = bx với a.b S∈ và x P ∈ thì tồn tại x' S∈ sao cho xx′ =1 nên a=a1= axx′= bxx′ = b1 = b nên P là nửa nhóm với luật giản ước phải. Tương tự Q là nửa nhóm với luật giản ước trái. ii) Hiển nhiên U P Q= ∩ nên U là nửa nhóm con của S. Nếu u U∈ thì tồn tại các phần tử x, y S∈ sao cho xu = uy =1. Thế thì x = x1 = xuy = 1y = y. Do đó mọi phần tử nghịch đảo bên trái của u bằng phần tử nghịch đảo bên phải tuỳ ý của nó, vì vậy u có nghịch đảo hai phía duy nhất u’ và không có các phần tử nghịch đảo bên phải và bên trái nào khác, từ các đẳng thức uu′ = u′u = 1 suy ra u' U∈ và do đó U là một nhóm. iii) Giả sử G là một nửa nhóm con của nửa nhóm S, G chứa 1 và a G∈ . Giả sử a -1 là phần tử nghịch đảo của a trong G. Khi đó aa -1 = a -1 a = 1 suy ra a U∈ và do đó G ⊆ U.  Một nửa nhóm không phải bao giờ cũng chứa các nhóm con. Hơn nữa, S chứa nhóm con nếu và chỉ nếu S chứa luỹ đẳng. Nếu e là một luỹ đẳng của S, thì eS gồm tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái, nghĩa là ea = a. Thật vậy, nếu a = ex với x nào đó thuộc S thì ea = e (ex) = e 2 x = ex = a: Mệnh đề đảo là hiển nhiên. Tương tự, Se gồm tất cả các phần tử thuộc nửa nhóm S nhận e làm đơn vị phải, và eSe là tập tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía. Dễ thấy rằng eSe eS Se.= ∩ 8 Vì eSe có đơn vị hai phía là e nên eSe có nhóm con các phần tử khả nghịch trong nó mà ta sẽ ký hiệu là H e . 1.1.10. Mệnh đề. Giả sử e là một phần tử luỹ đẳng tuỳ ý của nửa nhóm S và H e là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe. Thế thì H e chứa mỗi nhóm con G của S, mà G giao với S khác rỗng. Chứng minh. Giả sử f là đơn vị của G. Trước hết ta chứng tỏ rằng f = e. Theo giả thiết, G H∩ khác rỗng; giả sử a là một phần tử thuộc giao đó. Nếu x và y là các nghịch đảo của a tương ứng trong các nhóm G và H e thì e = ya = yaf = ef = eax = ax = f. Vì e là đơn vị hai phía của G nên G eSe.⊆ Theo Mệnh đề 1.1.9 có G ⊆ U. 1.1.11. Định nghĩa. Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của S, nếu G không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của S. Giả sử G nhóm con tối đại của nửa nhóm S và e là đơn vị của G, khi đó e e G H∈ ∩ do đó G = H e do tính chất tối đại của G. Đảo lại, nếu e là một luỹ đẳng của S thì từ Mệnh đề 1.1.10 suy ra rằng H e là nhóm con tối đại của S. Như vậy, các nhóm con H e trong Mệnh đề 1.1.10 và chỉ có chúng là các nhóm con tối đại của nửa nhóm S Từ Mệnh đề 1.1.10 cũng suy ra rằng, nếu e và f là luỹ đẳng khác nhau của nửa nhóm S, thì H e và H f không giao nhau. Ta nhắc lại rằng ánh xạ f: X Y→ được gọi là ánh xạ một - một nếu f là một đơn ánh và f được gọi là ánh xạ từ X lên Y nếu f là một toàn ánh. 1.1.12. Mệnh đề. Giả sử T x là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X. Khi đó i) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên trái trong T x gồm tất cả các ánh xạ một – một từ X vào X. 9 ii) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong T x gồm các ánh xạ từ X lên X. iii) Nhóm tất cả các phần tử khả nghịch trong T x trùng với nhóm G x gồm tất cả các song ánh từ X lên chính nó. Chứng minh. Rõ ràng từ (iii) suy ra trực tiếp từ (i) và (ii). Hơn nữa, (i) là hệ quả của mệnh đề tổng quát sau đây: “ Ánh xạ f: X Y→ là đơn ánh nếu và chỉ nếu có một ánh xạ g: Y X→ sao cho g∘f = 1” x (* ), còn (ii) là hệ quả của Mệnh đề “ Ánh xạ f: X Y→ là toàn ánh nếu và chỉ nếu có một ánh xạ g: Y X→ sao cho f∘g = 1 y ” (**). Cả hai mệnh đề đó là những kết quả quen thuộc trong lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh mệnh đề (*). Giả sử f: X Y→ là một đơn ánh. Vì X ≠ θ nên tồn tại 0 x X∈ . Đặt Y 1 = Y – f (X) (Y 1 có thể rỗng). Vì f là đơn ánh nên y f (X)∀ ∈ tồn tại duy nhất y x X∈ sao cho y f (x ) y.= Ta có ánh xạ g: Y X→ được xác định bởi: y 0 1 x g(y) x ∈  =  ∈  nÕu y f(x) nÕu y Y Khi đó với mọi x X,∈ có [ ] x g f (x) g f (x) x 1 (x)= = =o nên x g f 1 .=o Đảo lại, nếu tồn tại ánh xạ g : Y X→ sao cho g∘f = 1 x và f ( x 1 ) = f (x 2 ) thì [ ] [ ] 1 2 g f (x ) g f (x )= nên 1 2 (g f )(x ) (g f )(x ).=o o Do đó x 1 x 2 1 (x ) 1 (x )= hay x 1 = x 2 suy ra f là đơn ánh.  10