BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TÀO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHÚ QUỐC MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An-12.2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHÚ QUỐC MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS: LÊ QUỐC HÁN Nghệ An-12.2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC … .… .…………………… …………… .…………………… .1 MỞ ĐẦU ……………………………… …………… .…………………… .2 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH 1.1 Nửa môđun trên nửa vành ………….……….…………………….………. 4 1.2 Đồng cấu nửa môđun ………… ………… ……….…………………… 10 1.3 Tương đẳng và nửa môđun thương ………….……… ………………….14 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH 2.1 Nửa môđun giản ước được ……………….……………………………….20 2.2 Nửa môđun tự do ………… …………… ………………………………24 2.3 Nửa môđun xạ ảnh ……………………… …………….….…………… 28 2.4 Nửa môđun nội xạ ……………………….….………………………… . 33 KẾT LUẬN ………………………………………………………….………39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………… ………………… .40 MỞ ĐẦU Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực rỡ. Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào các lĩnh vực khác của toán học hiện đại . Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế. Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science của Jonathan S.Golan (1992) (xem [4]) để trình bày những kiến thức cơ sở về lý thuyết nửa môđun trên nửa vành và đi sâu vào tìm hiểu các lớp nửa môđun cơ bản: nửa môđun tự do, nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ. Nội dung luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Cơ sở lý thuyết nửa môđun trên nửa vành Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm: nửa môđun trên nửa vành, đồng cấu nửa môđun, tương đẳng, nửa nhóm thương và các tính chất của chúng. Chương 2. Một số lớp nửa môđun trên nửa vành Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của các lớp nửa môđun: nửa môđun giản ước được, nửa môđun tự do, nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đến PGS. TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cám ơn về những giúp đỡ, chỉ bảo quý báo của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán – Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, cũng như trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ, trao đổi chân thành của các bạn trong lớp Cao học 17(Đồng Tháp), chuyên ngành Đại số-Lý thuyết số. Tác giả rất biết ơn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 12 năm 2011. Tác giả CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH 1.1. NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH Các môđun trên một vành là công cụ quan trọng trong việc đặc trưng các tính chất của vành và do đó rất tự nhiên nếu chúng ta xét cấu trúc tương ứng trên các nửa vành. Thực tế, có nhiều cấu trúc từ lý thuyết vành có thể chuyển được, ít nhất một phần, đến phạm trù tổng quát hơn. Hơn nữa, có nhiều cấu trúc quan trọng trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng được hiểu như những nửa môđun trên nửa vành. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của nửa môđun. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành. Một R-nửa môđun trái là một vị nhóm giao hoán (M, +) với đơn vị cộng tính M O và có một hàm RxM → M ký hiệu bởi (r;m) → r m được gọi là phép nhân vô hướng thỏa mãn các điều kiện sau đây , ' ; , 'r r R m m M∀ ∈ ∀ ∈ : (1) ( ') ( ' )rr m r r m = (2) ( ') 'r m m rm rm + = + (3) ( ') 'r r m rm r m + == + (4) 1 R m m= (5) M M M rO O O r= = . Nửa môđun phải trên R được định nghĩa tương tự. Từ đây về sau, nói chung chúng ta sẽ làm việc với các nửa môđun trái, với các kết quả tương ứng đối với các nửa môđun phải được thừa nhận mà không đề cập đến một cách minh bạch. Nếu R và S là các nửa vành thế thì một (R,S)- song nửa môđun (M,+) là một R- nửa môđun trái đồng thời là S- nửa môđun phải thỏa mãn điều kiện bổ sung (rm)s=r (ms) đối với tất cả ,m M r R∈ ∈ và s S ∈ . Nếu M là một R– nửa môđun trái thì nó là một (R, C(R) ) -song nửa môđun, với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi m.r =m.r. Nói riêng, nếu R là nửa vành giao hoán thì R – nửa môđun trái tùy ý một (R,R) – song nửa môđun. 1.1.2. Định nghĩa. Nếu m là một phần tử của R – môđun M thì một phần tử 'm M∈ thỏa nãn m+m’= M O là một nghịch đảo cộng tính của m. Rõ ràng nghịch đảo cộng tính, nếu tồn tại duy nhất và sẽ được ký hiệu là -m Ký hiệu { } ( ) ' : ' M V M m M m M m m O= ∈ ∃ ∈ + = Vì ( ) M O V M∈ nên ( )V M ≠ ∅ . Rõ ràng M là R- môđun nếu V(M) =M. Một R – nửa môđun M được gọi là bất khả đối nếu { } ( ) M V M O= . 1.1.3. Định nghĩa. Một tập con khác rỗng N của một R – nửa môđun trái M được gọi là nửa môđun con của M nếu N đóng dưới các phép cộng và nhân vô hướng. Chú ý rằng điều đó kéo theo M O N∈ . Chẳng hạn: Nếu A là một tập con khác rỗng của một R- nửa môđun trái M và nếu I ∈ Ideal (R) thì tập hợp các tổng hữu hạn dạng r 1 m 1 + .+ r k m k (r i ∈ I và m i ∈ A) là một nửa môđun con của M. Một nửa môđun con mà nó là một R – môđun là một môđun con. Như vậy V(M) là một môđun con của R – nửa môđun phải hay trái tùy ý chứa tất cả các môđun khác của M. Chú ý rằng nếu N là một nửa môđun con của R – nửa môđun trái M và nếu m M thì (N:m)= {a R|am N} là một iđêan trái của R. Nói chung, nếu A là một tập con khác rỗng của M thì chúng ta sẽ đặt ( N :A ) = { } ( : )N m m A∩ ∈ Để thuận tiện, ta viết ( 0:A ) thay cho ({0}, A). Vì giao của một họ tùy ý các iđêan trái là một iđêan trái nên (N:A) là một iđêan trái của R. Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4], trang 139. 1.1.4. Mệnh đề. Nếu N và N’ là các nửa môđun của một R – nửa môđun trái M và nếu A,B là các tập con khác rỗng của M thì : (1) A ⊆ B kéo theo (N :B) ⊆ (N:A) (2) (N ∩N’:A) ⊆ (N:A) ∩ (N’:A) (3) (N:A)∩ (N:B) ⊆ (N:A+B), đẳng thức xảy ra nếu O M A ∩ B. 1.1.5. Chú ý. Nếu : R S γ → là đồng cấu của các nửa vành và nếu M là một S- nửa môđun trái thì nó cũng là một R – nửa môđun trái với phép nhân vô hướng được xác định bởi rm = ( )r m γ với tất cả r R và m M. Nói riêng, nếu M là một S- nửa môđun trái thì M là R nửa môđun trái đối với mỗi nửa vành con R của S. 1.1.6. Ví dụ. a) Các ¥ – nửa môđun chính là các vị nhóm cộng giao hoán. Chẳng hạn, Z\P là ¥ – nửa môđun, trong đó P là tập hợp tất cả các số nguyên dương. Cũng như vậy, mỗi nửa vành R là một N– nửa môđun. Nếu ( M,+) là một vị nhóm lũy đẳng giao hoán, thế thì M là một N – nửa môđun trái với phép nhân vô hướng đã được định nghĩa bởi Om=O M đối với tất cả m M và im = m đối với tất cả m M và tất cả o<i N. b) Nếu M là một R – nửa môđun trái và A là một tập hợp khác rỗng thì M A là một R – nửa môđun trái với phép cộng và phép nhân vô hướng được định nghĩa theo phần tử: nếu f,g M A và r R thì (f + g)(a) = f(a) +g(a) và (rf) (a)=r[f(a)] với mọi a A. Hơn nữa, M (A) ={f M A | f có giá hữu hạn} là một nửa môđun con của M A . Tương tự, nếu M là một ( R,R) – song nửa môđun thì M A và M (A) cũng vậy. Như vậy, tập hợp tất cả các quan hệ R được định giá giữa các tập hợp không rỗng A và B là một ( R,R) – song nửa môđun, như là tập hợp tất cả các đồ thị R – được định giá trên một tập hợp các vectơ. c) Nếu R là một nửa vành bất khả đối nguyên và M là một R – môđun trái, và nếu vô cùng là một phần tử không nằm trong M, thế thì có thể định nghĩa R – nửa môđun trái M{∞ } đối với tập hợp { } M ∪ ∞ mà trên nó các phép toán cộng và nhân vô hướng từ M được mở rộng bằng cách đặt m’+∞=∞+m’=∞ với tất cả m’ M{∞ }, r∞= ∞ đối với tất cả o ≠ r R và o∞=o M . d) Nếu : R S γ → là một đồng cấu của các nửa vành thì S là một (R,R) – song nửa môđun bằng cách định nghĩa r.s = γ (r)s ca sr = s γ(r) đối vói tất cả r R và s S. Mỗi nửa vành lũy đẳng cộng tính là một (R,R) – song nửa môđun. e) Giả sử R là một nửa vành và giả sử M là một R – nửa môđun. Thế thì (O;M) = {r R|rm = O M đối với tất cả m M} là một iđêan của R. Hơn nữa, nếu I là một iđêan tùy ý của R được chứa trong (O;M) thì M là R I – nửa môđun trái, với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi ( ) r I m = rm đối với tất cả r R và m M. 1.1.7. Chú ý. Một phần tử m của một R – nửa môđun trái M là lũy đẳng nếu và chỉ nếu m + m = m. Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của M chứa O M và là nửa môđun con của M, được kí hiệu là I(M). Nếu I(M) = M thì M được gọi là lũy đẳng cộng tính. Nếu M là một – nửa môđun trái thì C(R) – nửa môđun trái ssm(M) là lũy đẳng cộng tính. 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử M là một R – nửa môđun trái và {N i |i Ω} là một họ các nửa môđun con của M. Thế thì i I∈ ∩ N i là một nửa môđun con của M và là môđun con lớn nhất của M được chứa trong mỗi N i . Nói riêng, nếu A là một tập con của R – nửa môđun trái M thì giao của tất cả các nửa môđun con của M chứa A là một nửa môđun con của M, được gọi là môđun con sinh bởi A. Môđun con này chính là RA ={r 1 a 1 + + r n a n |r i R, a i A} Nếu A sinh ra toàn bộ nửa môđun M thì A được gọi là tập sinh của M. Tập sinh tùy ý đối với M chứa một tập sinh tối tiểu. Một R – nửa môđun có một tập sinh hữu hạn được gọi là nửa môđun hữu hạn sinh. Một phần tử tùy ý của nửa môđun con được sinh bởi một tập con A của nửa môđun M là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của A. 1.1.9. Chú ý. Nếu M là một R – nửa môđun trái thì tập hợp i i N ∈Ω ∑ tất cả tổng hữu hạn của các phần tử của i i N ∈Ω ∪ là một nửa môđun con của M và nó là nửa môđun con bé nhất của M chứa N i . Nếu N là nửa môđun con của M và I Ideal(R) thì IN cũng là nửa môđun con của M. Nói riêng, nếu m M thì Rm={rm|r R} là nửa môđun con của M. Rõ ràng: { } Rm m M∈ ∑ . 1.1.10. Ví dụ. Giả sử R là nửa vành và giả sử M là một R-nửa môđun trái. Thế thì ssm(M) là một Iđêan (r) – nửa môđun trái, trong đó phép nhân vô hướng được xác định như trên. Nói riêng, Iđêan(R) là Iđêan (R) – nửa môđun trái. 1.1.11. Định nghĩa. Tập con N của R-nửa môđun trái M là được gọi trừ được nếu m + m’ N và m N ∈ kéo theo 'm N ∈ đối với tất cả , 'm m M ∈ . N được gọi là mạnh nếu 'm m N + ∈ kéo theo m,m’ N đối với tất cả , 'm m M ∈ . Mỗi môđun con của một R – nửa môđun trái là trừ được. Thật vậy, nếu N là một môđun con của một R – nửa môđun M và m M, n N là các phần tử thỏa mãn m + n N thì m = (m + n ) + (-n) N. . PHÚ QUỐC MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS:. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHÚ QUỐC MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An-12.2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH