Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn thi tốt nghĩa môn toán, lời giải chi tiết
Thầy Huy: 0968 64 65 97 KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG www.facebook.com/hocthemtoan Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 5 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------ --------------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 4 2 4 2 x y x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C và trục hoành. 3) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm phân biệt: 4 2 2 2 0x x m Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 2 2 2 2 2 3 0 x x 2) Tìm nguyên hàm ( )F x của 2 1 ( ) 3 4 x f x x e x biết rằng (1) 4F e 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1y x x , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2 1y x . Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 , đường cao h = 2. Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho ( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)A B C 1) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,C và xác định toạ độ tâm I của nó. 2) Tìm toạ độ điểm M sao cho 3 2AM MC . Viết phương trình đường thẳng BM. Câu Va (1,0 điểm): Tính 1 2 x x , biết 1 2 ,x x là hai nghiệm phức của phương trình sau đây: 2 3 2 3 2 0x x 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình d: 1 2 2 1 x t y t z , (P): 2 2 1 0x y z . 1) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P). 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0;1;0), nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d. Câu Vb (1,0 điểm): Gọi 1 2 ;z z là hai nghiệm của phương trình 2 1 0z z trên tập số phức. Hãy xác định 1 2 1 1 A z z ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: . x y -4.5 -2 -4 -1 2 O 1 BÀI GIẢI CHI TIẾT. Câu I: Hàm số: 4 2 4 2 x y x Tập xác định: D Đạo hàm: 3 2 2y x x Cho 3 0 0 2 2 0 1 x y x x x Giới hạn: ; lim lim x x y y Bảng biến thiên x – 1 0 1 + y – 0 + 0 – 0 + y –4 9 2 9 2 Hàm số ĐB trên các khoảng ( 1;0),(1; ) , NB trên các khoảng ( ; 1),(0;1) Hàm số đạt cực đại 4y CÑ tại 0x CÑ . Hàm số đạt cực tiểu CT 9 2 y tại CT 1x . Giao điểm với trục hoành: Cho 2 4 2 2 2 4 1 0 4 0 4 2 2 2 x y x x x x x Giao điểm với trục tung: cho 0 4x y Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2 y 0 –4,5 –4 –4,5 0 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây Giao của ( )C với Oy: cho 0 2y x Diện tích cần tìm: 2 5 3 2 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 224 4 4 4 2 2 10 3 15 x x S x x dx x x dx x (đvdt) 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2 0 2 2 4 4 2 2 x x x x m x x m x m x m (*) Số nghiệm của pt(*) bằng với số giao điểm của 4 2 ( ) : 4 2 x C y x và : 4d y m Từ đó, dựa vào đồ thị ta thấy pt(*) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 4 4 0 9 1 4 2 2 m m m m Câu II: 2 2 2 2 2 2 3 0 4.2 4.2 3 0 x x x x (*) Đặt 2 x t (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành: (nhan) (loai) 2 2 3 3 3 3 2 4 4 3 0 2 log 1 2 2 2 2 x t t t t x t M O I B A C S Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: 2 3 log 2 x Với 2 1 ( ) 3 4 x f x x e x , họ các nguyên hàm của f(x) là: 2 3 1 ( ) 3 4 ln 4 x x F x x e dx x x e C x Do (1) 4F e nên 3 1 1 ln 1 4 4 1e C e C Vậy, 3 ( ) ln 4 1 x F x x x e Viết pttt của 3 1y x x song song với đường thẳng d: 2 1y x TXĐ của hàm số : D 2 3 1y x Do tiếp tuyến song song với 2 1y x nên có hệ số góc 2 2 2 0 0 0 0 0 ( ) 2 3 1 2 3 3 1 1k f x x x x x Với 3 0 0 1 1 1 1 1x y và 0 ( ) 2f x pttt tại 0 1x là: 1 2( 1) 2 1y x y x (loại vì trùng với đường thẳng d) Với 3 0 0 1 ( 1) ( 1) 1 1x y và 0 ( ) 2f x pttt tại 0 1x là: 1 2( 1) 2 3y x y x Vậy, có 1 tiếp tuyến cần tìm là: 2 3y x Câu III Giả sử hình chóp đều đã cho là S.ABC có O là chân đường cao xuất phát từ đỉnh S. Gọi I là điểm trên SO sao cho IS = IA, thì IS IA IB OC R Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Theo giả thiết, SO = 2 2IO R và 2 2 6. 3 2 3 3 2 OA AM Trong tam giác vuông IAO, ta có 2 2 2 2 2 3 (2 ) 2 4 4 2 0 2 IA OI OA R R R R Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 2 2 3 4 4 9 2 S R (đvdt) THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: ( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)A B C Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d Vì 4 điểm O(0;0;0), ( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)A B C thuộc ( )S nên: 0 2.0 2.0 2.0 0 0 0 6 2 4 2 0 2 4 2 6 1 6 4 2 2 0 4 2 2 6 3 10 6 0 2 0 6 0 2 10 2 d d d a b c d a b c a a b c d a b c b a b c d a b c c Vậy, phương trình mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 0S x y z x y z Và toạ độ tâm của mặt cầu là: (1;3;2)I Giả sử toạ độ điểm M là ( ; ; )M a b c thì ( 1; 2; 1) 3 (3 3 ; 3 6 ; 3 3)AM a b c AM a b c (3 ; ;1 ) 2 (2 6 ; 2 ; 2 2)MC a b c MC a b c Ta có, 3 3 2 6 9 3 2 3 6 2 6 ( 9;6; 5) 3 3 2 2 5 a a a AM MC b b b M c c c Đường thẳng BM đi qua điểm: (2;1; 1)B có vtcp: ( 11;5; 4)u BM Phương trình đường thẳng BM: 2 1 1 11 5 4 x y z Câu Va: 2 3 2 3 2 0x x Ta có, 2 2 ( 2 3) 4.3.2 12 24 12 (2 3 )i Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức: 1,2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2.3 6 6 3 3 i x i i Từ đó, 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 6 3 3 3 3 3 x x THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Mặt cầu( )S có tâm I d nên toạ độ của (1 2 ;2 ; 1)I t t Do ( )S có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P) nên ( ,( )) 3d I P 2 2 2 6 3 9 1 2(1 2 ) (2 ) 2( 1) 1 3 6 3 9 6 3 9 2 2 1 ( 2) t t t t t t t Vậy, có 2 mặt cầu thoả mãn yêu cầu bài toán là: 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) : ( 3) ( 2) ( 1) 9 ( ) : ( 3) ( 4) ( 1) 9 S x y z S x y z mp(P) có vtpt (2;1; 2)n , đường thẳng d có vtcp (2;2;0)u Đường thẳng đi qua M(0;1;0) Đường thẳng nằm trong (P), vuông góc với d nên có vtcp 1 2 2 2 2 1 [ , ] ; ; (4; 4;2) 2 0 0 2 2 2 u n u PTTS của : 4 1 4 ( ) 2 x t y t t z t Câu Vb: Phương trình 2 1 0z z (*) có biệt thức 2 2 1 4.1.1 3 ( 3 )i Suy ra, phương trình (*) có 2 nghiệm phức: 1,2 1 3 1 3 2 2 2 i z i & 1 2 1 2 1 . 1z z z z Vậy, 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 . 1 z z A z z z z