1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ LỆ HẰNG SỐ HỌC TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 12-2011 MỞ ĐẦU Một số nguyên Gauss số phức với phần thực phần ảo số nguyên Tập số nguyên Gauss miền nguyên, ký hiệu Z[i] Trong Đại số Số học, gặp toán đa thức số nguyên mà lời giải trình bày ngắn gọn dựa vào cơng cụ số phức Chính tốn thơi thúc viết luận văn với niềm tin nội dung này, việc giới thiệu hiểu biết tốn học mới, cịn giúp ích tích cực việc giải số toán Đại số Số học Luận văn giới thiệu số tính chất số học vành số nguyên Gauss ứng dụng Đại số Số học Trong trình bày, chúng tơi có tham khảo nhiều nguồn khác nhau, chủ yếu báo The arithmetic of Gaussian integers A B Gonrachov Kvant, No.12, 1985, pp 8-13 viết Các số nguyên Gauss tác giả Nguyễn Chu Gia Vượng (Viện Tốn học) đăng Thơng tin Tốn học Hội Toán học Việt Nam, Tập 15, Số Số 2, năm 2011 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm kết sở vành số nguyên Gauss Z[i] Nội dung chương giới thiệu tính chất số học vành Z[i] số nguyên Gauss, có Định lý Số học, thuật tốn Euclid, tốn mơ tả phần tử bất khả quy vành Z[i] Chương 2: Giới thiệu ứng dụng số nguyên Gauss việc chứng minh tìm tịi suy rộng Định lý Fermat tổng hai số phương; tìm số Pythagore; giải số tập số học đa thức Albert Girard người đưa nhận xét “mỗi số nguyên tố lẻ mà đồng dư với theo môđun 4, biểu diễn dạng tổng hai số phương” vào năm 1632 (xem [9]) Fermat người đưa chứng minh Fermat thông báo điều thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640, ngày giáng sinh; định lý đơi gọi “Định lý ngày giáng sinh” Fermat Nhờ công cụ số nguyên Gauss, Định lý Fermat tổng hai số phương mở rộng tới Định lý 2.2.2 diễn đạt sau: “Cho số nguyên dương n Khi đó, số nghiệm nguyên phương trình x  y n lần hiệu số ước đồng dư với theo mod4 n trừ số ước đồng dư với theo mod4 n.” Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Nguyễn Thành Quang - tận tình hướng dẫn bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Toán học, Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh – giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn quan công tác tơi, gia đình, bạn hữu quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 01 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Vành số nguyên Gauss Ta nhắc lại định nghĩa tập hợp số nguyên Gauss: [i] {a  bi; a, b  }   ,  trường số phức, i  Chú ý rằng, ta coi [i ] vành  Điều có nghĩa là, với phép toán cộng nhân quen thuộc số phức, với  ,   [i ], ta có     ,     ;     i  1.1.2 Chuẩn số phức Về mặt hình học, ta biểu diễn số phức điểm mặt phẳng tọa độ, số phức độ ( x, y ) z x  yi với điểm M có tọa mơđun số phức z đo khoảng cách từ điểm M biểu diễn tới gốc toạ độ Rõ ràng là, tập số ngun Gauss ổn định phép lấy liên hợp:    i     i  Ngồi ra, mơđun số ngun thơng thường giá trị tuyệt đối nó, cụ thể số ngun khơng âm, mơđun số ngun Gauss nói chung khơng cịn số nguyên nữa, chẳng hạn 1 i  Chính vậy, ta đưa khái niệm ch̉n thay cho khái niệm môđun, để thuận tiện làm việc với số học vành số nguyên Gauss Theo định nghĩa, chuẩn số ngun Gauss bình phương mơđun Nói khác đi,  a  bi   i  N ( )   a  b Ta có N :  i   , N ( ) 0   0 phép lấy liên hợp giao hoán với phép nhân, nên hàm ch̉n cũng Vì vậy, ta nói hàm ch̉n có tính N ( ) N ( ) N (  ) chất nhân: 1.1.3 Nhận xét Với  a  bi,  c  di , đẳng thức chuẩn N ( ) N ( ) N (  ) N (  ) N ( ) N (  ) cho ta đẳng thức quen thuộc sau (1) (ac  bd )  (ad  bc) (a  b )(c  d ); (2) (ac  bd )  (ad  bc) (a  b )(c  d ) 1.2 Quan hệ chia hết, phần tử khả nghịch phần tử bất khả quy vành số nguyên Gauss 1.2.1 Quan hệ chia hết vành số nguyên Gauss Với hai số nguyên Gauss   , ta nói  ước  hay  bội  , kí hiệu   , tồn   [i ] cho    Khái niệm mở rộng khái niệm chia hết quen thuộc vành số nguyên  Một số nguyên Gauss gọi khả nghịch n ước 1, nói cách khác, n 0 cho nghịch đảo n  cũng số nguyên Gauss Chú ý rằng, ước số nguyên Gauss, nên phần tử khả  nghịch ước số nguyên Gauss Tập  i  phần tử khả nghịch  i  miêu tả sau 1.2.2 Mệnh đề Tập hợp phần tử khả nghịch vành  i   i   1, i    [i ]; N ( ) 1  Chứng minh Thật vậy, giả sử  khả nghịch    [i ] nghịch đảo 1 1 Ta có N ( ) N ( )  N (1) 1 Do N ( ), N ( ) số nguyên dương nên ta 1 phải có N ( )  N ( ) 1 Ngược lại, N ( ) 1 N ( )  1 nên  2 nghịch đảo  Cuối nhận xét từ N (a  bi ) a  b 1 kéo theo (a, b) (1,0) (a, b) (0,1) , nói cách khác a  bi 1 i  1 Chú ý rằng, từ định nghĩa [i ] {  [i ];   [i ]} ta cũng tìm lại kết trên, mà khơng dùng cơng cụ hàm ch̉n Ta nói hai số nguyên Gauss liên kết với nhau, kí hiệu   ,     Nhận xét rằng, hai số nguyên Gauss liên kết với chúng sai khác với qua phép nhân với phần tử khả nghịch 1.2.3 Phần tử bất khả quy vành số nguyên Gauss Khái niệm quan trọng quan hệ chia hết phần tử bất khả quy, khái niệm đóng vai trị tương tự số nguyên tố vành số nguyên Ta nói   [i ] phần tử bất khả quy vành [i ]  0,  không khả nghịch    khả nghịch (khi   )  khả nghich (khi   ) Nói cách khác, số nguyên Gauss bất khả quy khác khơng có ước thực Lưu ý rằng, a  bất khả quy [i ] a số nguyên tố thông thường Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn phần tử bất khả quy [i ] i (1  i ) Ta nghiên cứu phần tử bất khả quy cách chi tiết 1.3 Tính Euclid Định lý Số học vành số nguyên Gauss Tính chất chuẩn cho phép ta xác định phép chia Euclid với số nguyên Gauss sau 1.3.1 Mệnh đề (Phép chia Euclid vành số nguyên Gauss) Cho  ,  số nguyên Gauss với  0 Khi đó, tồn số nguyên Gauss  ,  cho     N (  )  N (  ) Chứng minh Đặt  x  yi với x, y   Trong mặt phẳng phức  với trục  tung i trục hoành  , tập số nguyên Gauss tập điểm có tọa độ nguyên Ta chọn   [i ] điểm tọa độ nguyên gần x  yi Khi đó, khoảng cách  x  yi không vượt nửa độ dài đường chéo hình vng đơn vị, nghĩa  nghĩa N ( , nói riêng ln nhỏ Điều có    ) < Do  N (   ) N (  (     )) N (  ) N (   ) N (  )   Nhân xét rằng, cặp  ,  mệnh đề nói ■ Ví dụ Ta minh họa mệnh đề với  5  8i,  7  3i Ta có  8i (5  8i)(7  3i) 11 71    i  3i (7  3i)(7  3i) 58 58 Số nguyên Gauss gần với 11 71  i  i Ta lấy thương phép 58 58 chia Euclid   i , ta nhận phần dư     2  i Đẳng thức  5i (7  3i)(  i )  (2  i), phép chia Eculid  5i cho  3i Ví dụ Cho số nguyên Gauss: a = − 36 + 242i, b = 50i + 50i Ta có: a 103 139   i b 50 50 Ta cần xác định số nguyên Gauss q gần với thương a b Trong hình vẽ đây, mặt phẳng số phức, thương a biểu thị b chấm đen, nằm ô vuông độ dài đơn vị với đỉnh số nguyên Gauss, ô vuông tô màu đỏ nâu nhạt Do khoảng cách điểm a q b không 1, nên giá trị q số nguyên Gauss biểu thị đỉnh Ta vẽ đường tròn bán kính đơn vị nhận đỉnh làm tâm (các đường trịn tơ màu xanh nhạt) Nếu điểm a nằm đường trịn q b nhận giá trị tâm đường trịn Nhìn vào hình vẽ ta thấy q nằm đường trịn có tâm điểm tơ màu đỏ, nhận giá trị bằng: + 2i; + 3i; + 3i 10 Kết cho thấy tồn thuật toán Eculid vành số nguyên Gauss Thuật toán áp dụng cho cặp số  ,   [i ],  0 cho phép ta tìm ước chung lớn   ,  theo nghĩa sau: (1)   ,   ; (2) Với số   cho   ,      liên kết với  N ( )  N ( ) Ước chung lớn hai số nguyên Gauss (mà tồn nêu trên) không Nếu  ước chung lớn  ,     cũng ước chung lớn tập { ;    } tập ước chung lớn  ,  Hơn nữa, thuật toán Euclid cũng cho hai phần tử  ,   [i ] cho   v  Đẳng thức biết đến tên gọi đẳng thức Bezout Ta nói hai số nguyên Gaus khác nguyên tố ước chung lớn chúng Nhận xét Cho hai số hữu tỉ nguyên a 0, b 0 Khi đó, a b nguyên tố vành số nguyên chúng nguyên tố vành số nguyên Gauss Tính Euclid vành [i ] cho ta trường hợp đặc biệt Bổ đề Gauss 1.3.2 Bổ đề Cho  ,  ,  số nguyên Gauss với  bất khả quy Nếu       Chứng minh Giả sử  không ước  Khi đó, sử dụng thuật tốn Euclid cho  , (điều kiện  bất khả quy đảm bảo  0 ) cho ta tồn ước chung lớn   , với số nguyên Gauss  , v cho    v Vì    bất khả quy theo giả thiết, nên  phần tử khả nghịch phần tử liên kết với  Nhưng  liên kết  ta có     , dẫn tới   Như  phần tử ... hệ quả, tồn phép chia Euclid vành số nguyên Gauss, ta có Định lý Số học cho vành [i ] sau: 1.3.3 Định lý (Định lý Số học cho vành số nguyên Gauss) Mọi số nguyên Gauss khác viết dạng  1 n... hai số nguyên Gaus khác nguyên tố ước chung lớn chúng Nhận xét Cho hai số hữu tỉ nguyên a 0, b 0 Khi đó, a b nguyên tố vành số nguyên chúng nguyên tố vành số nguyên Gauss Tính Euclid vành. .. thuộc vành số nguyên  Một số nguyên Gauss gọi khả nghịch n ước 1, nói cách khác, n 0 cho nghịch đảo n  cũng số nguyên Gauss Chú ý rằng, ước số nguyên Gauss, nên phần tử khả  nghịch ước số nguyên