= 1 = Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Nguyễn Thị hơng Các phép biến đổi fourier trong không gian l p Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Giải tích ====Vinh /2005=== = 2 = Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Khoá luận tốt nghiệp đại học Các phép biến đổi fourier trong không gian l p Ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: giải tích Ngời hớng dẫn khoá luận: Th.s Trần văn tự Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị hơng Lớp: 41E 4 - Toán ====Vinh /2005=== Lời nói đầu Các phép biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và hực tiễn, đặc biệt là trong Toán học và Vật lý. Chính bản thân chuỗi Fourier đã chứa đựng những nội dung hết sức đa dạng và phong phú. Nhiều kết quả của nó là cả những công trình nghiên cứu lớn của nhiều nhà toán học đôi khi những kết quả ấy đợc phát triển thành lý thuyết có ứng dụng rộng rải trong khoa học và thực tiễn. Để có thể hiểu sâu sắc hơn và nắm vững một số kiến thức quan trọng của chuổi Fourier và làm tiền đề cho các bớc nghiên cứu và học tập tiếp theo, nên một trong những mong muốn của tác giả là tìm hiểu nghiên cứu phép biến đổi Fourier trong một số không gian. Tuy nhiên, do điều kiện thời gian và năng lực bản thân còn những hạn chế nên trong khoá luận này tác giả chỉ đi sâu nghiên cứu các ván đề về dạng mũ của chuổi Fourier, biến đổi Fourier trong không gian L, một số kết quả của biến đổi Fourier đối với một số lớp hàm. Luận văn này đợc chia làm 4 mục Đ 1. Dạng mũ của chuỗi Fourier. Trong mục này, chúng tôi trình bày về dạng phức của chuỗi Fourier, chuỗi Fourier của hàm thuộc lớp L và một vài biến đổi của nó. Đ 2. Biến đổi Fourier trong không gian L Trong mục này, trớc hêt chúng tôi trình bày về định nghĩa, định lý. Ngoài ra, chúng tôi đã đa ra đợc ví dụ minh hoạ. Đ3. Một số kết quả Fourier trong một số không gian L Trong mục này, chúng tôi trình bày trớc hêt là phép biến đổi ngợc Fourier có ví dụ, kết quả của biến đổi Fourier. Trong phần kết quả này chúng tôi đã đa ra định nghĩa, định lý (có chứng minh). Đ 4. Một số tính chất và biến đổi Fourier của một vài lớp hàm Trong mục này, chúng tôi chủ yếu đa ra một vài biến đổi, tính chất có chứng minh. = 3 = Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành vào tháng 04/2005 tại khoa Toán - Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.s Trần Văn Tự ngời đã trực tiếp giao đề tài và tận tình hớng dẫn giúp đỡ tác giả trong qúa trình làm khoá luận. Vì thời gian và trình độ có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót trong nội dung và hình thức, tác giả rất mong đợc sự lợng thứ và sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên trong và ngoài khoa để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa, tập thể sinh viên lớp 41E 4 - Toán cùng các bạn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Vinh, tháng 04 năm 2005 Tác giả Nguyễn Thị Hơng A. Không gian L p Đ 1. Các khái niệm cơ bản = 4 = 1.1. Định nghĩa. Định nghĩa 1: Một hàm biến thực hay phức f(x) thuộc không gian L p ( P 1), nếu p xf )( dx < (a) Tích phân (a) đợc hiểu theo tích phân Lơbe hay Riman suy rộng Trờng hợp nếu p = 1 ta ký hiệu: không gian L Trờng hợp khi hàm xác định trên (a, b) thì không gian L p đợc ký hiệu là: L p (a,b) Định nghĩa 2: Với mọi f(x) L p ta định nghĩa chuẩn của f(x) là f = p p dxxf 1 )( với p 1 ký hiệu: f đợc đọc là chuẩn của f 1.2. Tính chất a. f 0 và f = 0 f(x) ~ 0 b. f = f với k c. gf + f + g với mọi f , g L p Chứng minh: a. Vì p xf )( 0 nên ta có f = p p dxxf 1 )( 0 và f = 0 dxxf p )( = 0 f(x) ~ 0 (đpcm) b. f = p p dxxf 1 )( = ( ) p p 1 p p dxxf 1 )( = f với mọi k Vậy f = f (đpcm) c. gf + = p p dxxgxf 1 )()( + p p dxxgxf 1 )()( + p p dxxf 1 )( + p p dxxg 1 )( (dùng bất đẳng thức Minkopski) = 5 = f + g với f , g L p Vậy gf + f + g (đpcm) Nhận xét: 1. Nói chung chuẩn của một hàm số trong các không gian L p khác nhau thì nó khác nhau. Từ tính chất b, c suy ra nếu f và g thuộc L p thì f + g L p với mọi , k Chứng minh: Ta cần chứng minh + dxgf p < . Thật vậy ta có + dxgf p ( ) + dxgf p ( ) + dxgf pp dxf p + dxg p dxf p + dxg p < với mọi f, g L p Vậy nếu f và g thuộc L p thì f + g L p với mọi , k (đpcm) 2. Nếu gf = 0 thì không suy ra đợc f (x) = g(x) với mọi x 1.3. Dãy hàm. Dãy hàm {f n (x)} L p với n = 1, 2, , đ ợc gọi là hội tụ trung bình theo dãy luỹ p đến hàm f(x) L p nếu thoả mãn đẳng thức. n lim ff n = 0 và khi đó viết f(x) = L.I.mf n (x). 1.3.1. Nhận xét: - Nếu dãy {f n (x)} hội tụ trung bình đến f(x) thì dãy số { n f } hội tụ đến số f . Chứng minh: Theo bất dẳng thức tam giác c, thì: n f - f ff n n f + f 0 n f - f ff n 0, khi n Suy ra n lim ff n = 0 = 6 = Vậy n lim n f = f (đpcm) - Từ sự hội tụ theo điểm không suy ra đợc hội tụ trung bình. Vì khi có đẳng thức n lim f n (x) = f(x) thì cha suy ra đợc nó thoả mãn với tất cả các giá trị của x. 1.3.2. Tính đủ của L p . a. Định nghĩa: Cho dãy hàm {f n (x)} L p ta nói dãy {f n (x)} hội tụ về chính nó nếu thoả mãn: lim , mn mn ff = 0 b. Bổ đề 1: Nếu dãy hàm {f n (x)} của L p hội tụ trung bình đến hàm f(x) L p thì nó sẽ hội tụ về chính nó. Chứng minh: Xét 0 mn ff = mn ffff + ff n + m ff 0 khi n, m . Vậy lim , mn mn ff = 0 (đpcm) c. Định lý 2: Nếu dãy {f n (x)} L p mà hội tụ về chính nó thì nó sẽ hội tụ. Nghĩa là tồn tại duy nhất một hàm số tơng đơng với hàm f(x) L p sao cho thoả mãn đẳng thức: lim n ff n = 0. Chứng minh: Từ giả thiết mn ff 0, khi n, m thì {f n } là dãy Cauchy. Vậy f n f L p (tồn tại f L p theo nghĩa tơng đơng). Do đó lim , mn ff n = 0 (đpcm) Từ định lý 2 cho ta khái niệm về tính đủ của không gian L p . Vậy L p là không gian tuyến tính, định chuẩn, đầy đủ. = 7 = = 8 = B. Phép biến đổi Fourier Đ 1. Dạng mũ của hệ Fourier 1.1. Dạng phức của chuổi Fourier. Cho f(x) L(- , ), ( tức là hàm f(x) khả tichá tuyệt đối trên [-, ]. Từ đó suy ra tồn tại các hệ số Fourier a k = 1 f(x)coskxdx, k = 0, 1, 2, . b k = 1 f(x)sinkxdx, k = 1, 2, . Và f(x) ~ 2 0 a = = 1k (a k coskx + b k sinkx) Trong đó a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , là các số thực và gọi là các hệ số Fourier của hàm số f(t) Theo công thức Euler ta có: Coskx = 2 ikxikx ee + ;Sinkx = i ee ikxikx 2 với i = 1 Ta có: a -k = a k ; b -k = - b k với k = 1, 2, . Và ta đặt C 0 = 2 0 a ; C k = 2 kk iba + , k 0 Lúc đó ta sẽ có: 2 0 a + = 1k (a k coskx + b k sinkx) = C 0 + = 1k (a k 2 ikxikx ee + + b k i ee ikxikx 2 = C 0 + = 1k (a k 2 ikxikx ee + - ib k i ee ikxikx 2 ) = C 0 + = 1k + + ikx kk ikx kk e iba e iba . 2 . 2 = C 0 + = 1k (C -k . e ikx + C k . e -ikx ) = = k C k . e -ikx Vậy f(x) ~ = k C k . e -ikx (1.1) = 9 = Giả sử chuổi Fourier của hàm f(x) hội tụ đều thì: f(x) = = k C k . e -ikx (1.2) Nhân hai vế của (1.2) với e ilx thì tính chất hội tụ đều không thay đổi do đó lấy tích phân từ - ta đợc: f(x)e ilx dx = ( = k C k xkli e )( dx) = = k C k e i(l-k)x dx (1.3) Tính e i(l-k)x dx = )( )( kli e xkli = )( )()( kli ee klikli = kl kl )sin(2 = 0 với mọi l k Khi k = l thì e i(l-k) dx = dx = x = 2.Thay vào (1.3) ta đợc: f(x) e ilx dx = 2.C l (1.4) Cho l = k thì từ (1.4) suy ra C k = 2 1 f(x)e ikx dx (1.5) với k = 0, 1, 2, 1.2. Chuỗi Fourier của hàm số thuộc lớp L(-l , l). Giả sử hàm f(x) xác định trên đoạn [-l, l] và thuộc không gian L(-l, l). Ta đổi biến số: Đặt x = ul, trong đó u thay đổi trên đoạn [- , ]. Khi đó, g(u) = f(ul) = f(x) sẽ xác định trên đoạn [- , ] và thuộc không gian L(-, ). Đối với chuỗi Fourier của hàm g(u) theo (1.1) và (1.5) sẽ là. g(u) ~ = k C k e -iku và C k = 2 1 g(u)e iku du. Trở về với biến x. Để xác định hệ số C k ta thực hiện đổi biến u = l x thì thu đợc công thức. C k = 2 1 l l g( l x ) l ikx e . l 1 dx = l 2 1 l l f(x) x l ik e .dx = 10 =