www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY D 2008. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 – 2 (1) a) Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Cho K là điểm bất kì có toạ độ (1; a), chứng tỏ qua K có một tiếp tuyến với (C), tìm toạ độ tiếp điểm. Câu 2 (2 điểm ) : 1. . Giải phương trình : 4sin x (1 + cos2x) + cos 3x + sin x = 3cos x 2. Giải hệ phương trình : 22 2x - y + x 4x 4 0 (x 1) 1+y x 1 = 4 8 x 4 yy y y ⎧ ++= ⎪ ⎨ +− + + ⎪ ⎩ Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân : I = 4 1 ln x d x x ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C, AC = a và CB = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, biết góc của AM và BC’ là 60 0 , tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa AM và BC’ Câu 5 (1 điểm ). Cho hai số thực thay đổi x, y sao cho : x 2 + y 2 = 1, tìm GTLN và GTNN của biểu thức : T = 22 2 2 2 x xy y xxy −+ ++ Câu 6 (3 điểm ). 1. Trong hệ trục Oxy, cho parabol (P): y 2 = 4x, A, B là hai điểm bất kỳ thuộc (P) sao cho A, B và tiêu điểm F của (P) thẳng hàng , Chứng tỏ đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với một đường chuẩn của (P). . 2. Trong hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) và D(- 4 ; 3; 0). Viết phương trình mặt cầu qua A, B, C, D và tìm toạ độ tâm của đường tròn (ABC). GIẢI VẮN TẮT Câu 1. 2. d qua K : y = k(x – 1) + a d tiếp xúc (C) Ù => - x 32 2 x + 3x - 2 = k(x 1) 3x + 6x = k a ⎧ −− ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ + 3 + 3 x 2 – 2 = (x – 1)(- 3 x 2 + 6x) + a Ù 2x 3 – 6x 2 + 6x – a – 2 = 0 Ù x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 = a/2 Ù (x – 1) 3 = a/2 Ù x = 1 + 3 /2a . Câu 2. 1. Thay 1 + cos2x = 2cos 2 x , ta được : 8sinx cos 2 x + (cos3x – cosx) – 2cos x + sin x = 0 Ù 4sin2x cos x - 2sinxsin2x – 2cos x + sin x = 0 Ù (2cos x – sinx)(2sin2x - 1) = 0 Ù tanx = 2 hay sin2x = ½ . . . . www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 2. (x+ y)(2x 4) 0 (x 1) 1+ y x +1= 4 8x + 4y y y −+ = ⎧ ⎪ ⎨ +− ⎪ ⎩ Do x ≥ - 1 và y ≥ 1 nên x + y > 0 (đẳng thức không xãy ra), từ phương trình đầu suy ra : y = 2x + 4. Thế vào phương trình sau: (x + 1) 2x 3 (2x 4) x 1 16 x + 1++ + += Ù x = - 1 hay (x 1)(2x 3) 12 2x ++=− . . . . . Câu 3. Đặt u = lnx, dv = 1/ x , du = 1/ x , v = 2x 4 1 ln x d x x ∫ = [ln x . 2x ] - 4 1 4 1 1 2x x d ∫ = 4ln4 – 4 Câu 4. Gọi N là trung điểm của CC’ => góc (AM, MN) = 60 0 . Vì tam giác AMN cân tại C do CM = CA = a nên góc AMN = 60 0 . A B C A’ B’ C’ M N => AN 2 = AM 2 + MN 2 – AM. MN Ù a 2 + h 2 ./ 4 = 2a 2 + (a 2 + h 2 /4) - 22 2. / 4aa h+ Ù a 22 2ah=+/4 Ù h = 2a. V = 2a 3 . * Khoảng cách giữa AM và BC’ là d(B, (AMN)) = d(C, (AMN) = d với 22 2 2 11 1 1 dCACMCNa =+ + = 2 3 => d = a/ 3. Cách khác : Nhận xét hình chóp C. AMN là hình chóp đều có cạnh bên CA = CM = CN = a, và cạnh đáy AM = AN = MN = a 2 => d là chiều cao hình chóp . Ghi nhớ: Trong hình chóp SABC có ba góc vuông tại S thì chiều cao SH của hình chóp cho bởi : 222 1111 SH SA SB SC =++ 2 S A B C I Hơn nữa H là trực tâm tam giác ABC. Câu 5. Thay 2 bằng 2(x 2 + y 2 ), ta được : 22 22 2 32 x xy y T x xy y −+ = ++ H • y = 0 : T = 2/3. • y ≠ 0 : Chia tử và mẫu cho y 2 và đặt t = x/y, T = 2 2 21 32 tt tt − + + + Ù (3T – 2)t 2 + (T + 1)t + 2T - 1 = 0 D = (T + 1) 2 – 4(3T – 2)(2T - 1) ≥ 0 Ù T 2 + 2T + 1 – 4(6T 2 – 7T + 2) ≥ 0 Ù 23T 2 – 30T + 7 ≤ 0 Ù 7/23 ≤ T ≤ 1 Vậy GTNN là 7/23 và GTLN là 1. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Cách khác : Có thể khảo sát hàm số f(t). Câu 6. O A B F I A’ ; B’ I’ 1. F(1 ; 0) A(a 2 / 4; a) và B( 2 4; b) b / Ta có: = (a FA JJJG 2 /4 – 1; a) , = (b FB JJJG 2 /4 – 1; b) cùng phươngÙ 22 44ab ab −− = Ù a 2 b – ab 2 + 4(a – b) = 0 Ù (a – b)(ab + 4) = 0 Ù ab + 4 = 0 PT đường tròn đường kính AB : .AMBM JJJJGJJJJG = 0 Ù (x – a 2 /4 )(x – b 2 /4) + (y – a)((y – b) = 0 Ù x 2 + y 2 – (a 2 + b 2 )x/4 - (a + b)y + a 2 b 2 /16 + ab = 0 Ù x 2 + y 2 – (a 2 + b 2 )x/4 - (a + b)y – 3 = 0 Tâm I((a 2 + b 2 )/8 ; (a + b)/2) , bán kính : R 2 = (a 2 + b 2 ) 2 / 64 + (a + b) 2 /4 + 3 = (a 2 + b 2 ) 2 / 64 + (a 2 + b 2 )/4 + 1 = [(a 2 + b 2 )/8 + 1] 2 => R 2 = (x I + 1) 2 Gọi d: x = - 1 , ta có : |x I + 1| = (a 2 + b 2 )/8 + 1 => (x I + 1) 2 = (a 2 + b 2 ) 2 /64 + (a 2 + b 2 )/4 + 1 (2) Từ (1) và (2) : (I) luôn tiếp xúc với d. Chú ý là đường chuẩn của parabol Cách khác: Có thể giải bằng hình học. Theo định nghĩa parabol, ta có: AF = AA’, BF = BB’, A’, B’ là hình chiếu của A, B lên đường chuẩn d. Suy ra: II’ = '' 22 2 AABB AFBF AB+ + == = R => đpcm. 2. PT mặt cầu : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 Thế toạ độ A, B, C, D: Ù a = - 2; b = - ½; c = ½ ; d = - 12. 44 0 96 0 16 8 0 25 8 6 0 ad bd cd abd −+= ⎧ ⎪ −+= ⎪ ⎨ −+= ⎪ ⎪ +−+= ⎩ * Tâm K của đường tròn (ABC) là hình chiếu của I(- 2; - ½ ; ½) lên mặt phẳng (ABC) : x 1 6x 4 3 12 0 234 yz yz++=<=> + + − = . BC’ là d( B, (AMN)) = d( C, (AMN) = d với 22 2 2 11 1 1 dCACMCNa =+ + = 2 3 => d = a/ 3. Cách khác : Nhận xét hình chóp C. AMN là hình chóp đều có cạnh. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY D 2008. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 – 2 (1) a) Khảo sát biến thi n hàm số