Bài tập lớn lý thuyết tạo hình Câu 1: Viết phương trình và vẽ đường hypoxycloid -Giả sử có đường tròn bán kính r lăn không trượt trên đường tròn R như hình vẽ. Khi đó quỹ đạo của 1 điểm M cách đường tròn 1 khoảng không đổi kr sẽ tạo thành đường hypoxycloid kéo dài. - Xác định phương trình điểm M Giả sử có hệ trục cố định Oyxz, tâm O của hệ trục trùng với tâm đường tròn bánh kính R. Hệ trục toạ độ động vvvv zyxO gắn với bánh nhỏ, tâm đường tròn bán kính r trùng với tâm của hệ toạ độ động. x x y x y O O O 1 2 2 1 1 1 y Tại thời điểm ban đầu có    ∈ = 11 11 xOM OxxO Xác định toạ độ điểm M trong hệ toạ độ Oxyz 1 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình Tại thời điểm bất kỳ điểm M tới vị trí M v , hệ trục toạ độ động ở vị trí O 2 x 2 y 2 z 2 , trục O 2 x 2 quay được 1 góc γ , tâm hệ trục toạ độ động quay 1 góc ϕ , góc hợp bởi phương của đường thẳng qua tâm hệ trục cố định và tâm hệ trục động với O 2 x 2 là β . Ta có : β = ϕ + γ Toạ độ điểm M là: m MOOOrOM 22 +== Trong hệ trục Oxyz ta có: ( ) ( )       − − = ϕ ϕ sin. cos. 2 rR rR OO Trong hệ trục toạ độ động O 2 x 2 y 2 z 2 toạ độ của điểm M v là:       = 0 kr r v M Vậy toạ độ điểm M trong hệ trục toạ độ đi qua O 2 và có các trục song song với Ox và Oy là : O 2 M =       =       0 . ' ' ' kr M y x v Trong đó ' v M là ma trận chuyển từ hệ trục toạ độ đi qua O 2 và có các trục song song với Ox và Oy sang hệ trục O 2 x 2 y 2 z 2 với góc quay là - γ 2 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình Ta có: ( ) ( )    − − = γ γ sin cos ' v M ( ) ( )    − −− γ γ cos sin =    − γ γ sin cos    γ γ cos sin Vậy r M = ( ) ( )       − − ϕ ϕ sin. cos. rR rR +    − γ γ sin cos    γ γ cos sin .       0 kr ( ) ( )    −−= +−= ⇒ γϕ γϕ sin.sin cos.cos rrRy rrRx M M Ta lại có β = ϕ + γ và R. ϕ = r. β Do đó: ϕγ r rR − = Vậy ta có phương trình đường Hypoxycloid là ( ) ( )              − −−=       − +−= ϕϕ ϕϕ r rR krrRy r rR krrRx sin.sin cos.cos Đây là hình vẽ và chương trình vẽ đường Hypoxycloid trên Matlab lấy các giá trị R =120 , r=20 , k = 1,5 3 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình -150 -100 -50 0 50 100 150 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Chương trình vẽ trên Matlab %Cac thong so co ban phi = 0:0.01:4*pi; k = 1.5; r = 20; R = 120; a = R-r; b = a/r; 4 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình %--------------------------------- %Thong so ve duong tron x1=R*cos(phi); y1=R*sin(phi); %---------------------------------- %Thong so ve duong Hypoxycloid x2=a*cos(phi)+k*r*cos(b*phi); y2=a*sin(phi)- k*r*sin(b*phi); %----------------------------------- %Lenh ve plot(x,y ,x2,y2, 'k-'); axis equal; Câu 2 Cho cặp bánh răng chốt ăn khớp ngoài như hình vẽ. Biết Z 1 = 20, Z 2 = 40, r 1 = 60 mm, d = 10 mm, t = 6π mm. Hãy tìm biên hình bánh răng. Giả sử bánh răng 2 cố định, khi đó tâm của vòng tròn của chốt trên bánh 1 lăn không trượt trên bánh răng 2 sẽ tạo thành đường Hyopxycloid, còn biên hình của bánh răng 2 là đường cong tiếp xúc với đường tròn có tâm là tâm chốt chuyển động trên đường Hyopxycloid, bán kính là bán kính chốt, ký hiệu (C,d/2). Ta phải tìm biên hình của bánh răng 2, tức là tìm bao hình của họ đường tròn (C,d/2). Gọi P là tâm quay tức thời của bánh răng 1, nối P và C, gọi giao điểm của đường thẳng đi qua PC và đường tròn (C,d/2) là M và M’. Khi đó quỹ tích của điểm M và M’ là bao hình của họ đường tròn (C,d/2). Ta xác định phương trình của điểm M. Phương trình của điểm M’ tương tự. 5 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình Giả sử có hệ tọa độ cố định Oxy có tâm trùng với tâm bánh răng 2, hệ trục tọa độ động O v x v y v có tâm trùng với tâm bánh răng 1 lăn không trượt trên bánh 2, các trục tương ứng song song với các trục Ox, Oy. x x y O v C C o x y M P y v 1 1 1 1 Xét tại thời điểm bất kỳ, hệ tọa độ động ở vị trí O 1 x 1 y 1 . So với thời điểm ban đầu tâm bánh răng 1 quay được 1 góc φ 2 , đồng thời bánh răng 1 cũng lăn được 1 góc φ 1 . Do bánh răng 1 lăn không trược trên bánh răng 2 nên ta có: 2112 ϕϕϕϕ r R rR =⇔= Tìm tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định. Ta có COOCOC 11 += Trong hệ tọa độ Oxy ta có:    −= −= 21 21 sin).( cos).( ϕ ϕ rRy rRx O O Trong hệ tọa độ O 1 x 1 y 1 ta có: 6 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình ( ) ( )    −−=+−−= −=+−−= )sin(.180sin. )cos(.180cos. 2112 2112 ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ rry rrx C C Vậy tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định Oxy là:    −−−= −+−= )sin(.sin)( )cos(.cos)( 212 212 ϕϕϕ ϕϕϕ rrRy rrRx C C Xét đoạn CM, đường thẳng qua CM hợp với phương song song với Oy một góc       − + 2 180 1 2 ϕ ϕ . Do đó ta có độ dài của CM theo phương Ox và Oy là:        −= − += −= − += ) 2 cos( 2 ) 2 180 sin( 2 ) 2 sin( 2 ) 2 180 cos( 2 2 11 2 2 11 2 ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ dd y dd x CM CM Vậy tọa độ điểm M trong hệ tọa độ Oxy là:        −−−+       −= −+−+       −= )sin(.sin)( 2 cos 2 )cos(.cos)( 2 sin 2 2122 1 2122 1 ϕϕϕϕ ϕ ϕϕϕϕ ϕ rrR d y rrR d x M M Với 21 ϕϕ r R = ta có:        − −−+       − = − +−+       − = )sin(.sin)( 2 2 cos 2 )cos(.cos)( 2 2 sin 2 222 222 ϕϕϕ ϕϕϕ r rR rrR r rRd y r rR rrR r rRd x M M Theo bài ra ta có Z 1 = 20, Z 2 = 40, r 1 = 60 mm, d = 10 mm. Do đó 7 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình ( ) mmr Z Z R 12060 20 40 1 2 === Vậy ta có phương trình của điểm M là:    = = ⇔    −+= += 5 cos120 sin.60sin605 cos.60cos60 2 22 22 M M M M y x y x ϕ ϕϕ ϕϕ Suy ra phương trình của điểm M’ là:    −= −= 5 cos120 2 M M y x ϕ Phương trình của điểm C    = = ⇔    −= += 0 cos120 sin.60sin60 cos.60cos60 2 22 22 C C C C y x y x ϕ ϕϕ ϕϕ Ta có hình vẽ và chương trình vẽ biên hình của bánh răng ứng với 1 chốt trên Matlap 8 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình -150 -100 -50 0 50 100 150 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -150 -100 -50 0 50 100 150 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 9 Bài tập lớn lý thuyết tạo hình Chương trình vẽ trên Matlab phi = 0:0.01:4*pi; %------------------------------ %Toa do diem M xm = 120*cos(phi); ym = 5; %------------------------------- %Toa do diem C xc= 120*cos(phi); yc=0; %-------------------------------- %Thong so ve banh rang lon x= 120*cos(phi); y = 120*sin(phi); %--------------------------------- %Cac thong so ve chot xchot1=120+5*cos(phi); ychot1=5*sin(phi); xchot2=-120+5*cos(phi); ychot2=5*sin(phi); xchot3=5*cos(phi); ychot3=5*sin(phi); %--------------------------------- %Cac thong so ve banh rang nho xbanh11=60+60*cos(phi); ybanh11=60*sin(phi); xbanh12=-60+60*cos(phi); ybanh12=60*sin(phi); xbanh13=60*cos(phi); ybanh13=60+60*sin(phi); 10