Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình: Chương I: Xác suất
Chương XÁC SUẤT (Probability) 1.1 THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHƠNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ: 1.1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment) Thí nghiệm ngẫu nhiên thí nghiệm có hai đặc tính : - Khơng biết hậu xảy - Nhưng biết hậu xảy Ví dụ: Tung xúc sắc thí nghiệm ngẫu nhiên : - Ta mặt xuất - Nhưng biết có trường hợp xảy (xúc sắc có mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6) Ràng buộc: - Con xúc sắc đồng chất để mặt xuất - Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt 1.1.2 Không gian mẫu (Sample Space) Tập hợp hậu xảy thí nghiệm ngẫu nhiên gọi khơng gian mẫu thí nghiệm Ví dụ: Khơng gian mẫu thí nghiệm thảy xúc xắc là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Không gian mẫu thí nghiệm thảy lúc hai đồng xu là: E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa 1.1.3 Biến cố (Event) a) Biến cố - Mỗi tập hợp không gian mẫu biến cố - Biến cố chứa phần tử gọi biến cố sơ đẳng Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy xúc sắc : - Biến cố mặt chẵn : {2, 4, 6} Biến cố mặt lẻ: {1, 3, 5} - Các biến cố sơ đẳng : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Cao Hào Thi b) Biến cố xảy (hay thực hiện) Gọi r hậu xảy A biến cố - r ∈ A ta nói biến cố A xảy - r ∉ A ta nói biến cố A khơng xảy Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy xúc sắc mặt xuất thì: - Biến cố {2,4,6} xảy ∈ {2, 4, 6} - Biến cố {1,3,5} khơng xảy ∉ {1, 3, 5} Ghi chú: - φ ⊂ E => φ biến cố ∀ r, r ∉ φ => φ biến cố vô phương (biến cố không) - E ⊂ E => E biến cố ∀ r, r ∈ E => E biến cố chắn 1.1.4 Các phép tính biến cố Cho biến cố A, B với A ⊂ E B ⊂ E a) Biến cố hội A ∪ B (Union) Biến cố hội biến cố A B ký hiệu A ∪ B: A ∪ B xảy (A xảy HAY B xảy ra) E A B A∪B b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection) A ∩ B xảy (A xảy VÀ B xảy ra) E A B A∩B Cao Hào Thi c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A) A xảy A không xảy A E A d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event) A cách biệt với B A cách biệt với B A∩B=φ A với B khơng xảy E A A∩B=φ B Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, ta có không gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Gọi A biến cố mặt lẻ xuất => A = {1, 3, 5} - Gọi B biến cố bội số xuất => B = {3, 6} - Gọi C biến cố mặt xuất => C = {4}, biến cố sơ đẳng Ta có: A ∪ B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A = {2,4,6} : biến cố mặt chẵn xuất A ∩ C = φ => A C biến cố cách biệt e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive) Gọi A1, A2…, Ak k biến cố không gian mẫu E Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E K biến cố gọi hệ đầy đủ Cao Hào Thi 1.2 XÁC SUẤT (Probability) 1.2.1 Định nghĩa: Nếu thơng gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng biến cố A có n biến cố sơ đẳng xác suất biến cố A : P(A) = n(A) N Một cách khác ta viết : P(A) = Số trường hợp A xảy Số trường hợp xảy Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, xác suất biến cố mặt chẵn xuất : P(A) = n(A) = = N 1.2.2 Tính chất: a Gọi A biến cố không gian mẫu E ≤ P(A) ≤ b P (φ) = => φ P (E) = => E Biến cố vô phương Biến cố chắn 1.2.3 Công thức xác suất : a) Xác suất biến cố hội: P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B) Chứng minh: Gọi N : số phần tử không gian mẫu E n1: số phần tử (A - B) n2: số phần tử (A∩B) n3: số phần tử (B - A) E A n1 n2 n3 B Cao Hào Thi n(A ∪ B) = n1 + n2 + n3 = n1 + n2 + n2 + n3 - n2 - n(A ∩ B) = n(A) + n(B) Do : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Ghi : Nếu A B biến cố cách biệt, ta có: A ∩ B = φ => P(A ∩ B) = P(φ) = ==> P (A ∪ B) = P(A) + P(B) b) Xác suất biến cố phụ (biến cố đối lập) Biến cố phụ biến cố A không gian mẫu E A : P(A) + P ( A ) = Chứng minh: A∪ A = E P (A∪ A ) = P(E) P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = P(A∩ A ) = P(φ) = 1.2.4 Công thức nhân xác suất : a) Xác xuất có điều kiện : Gọi P (B / A) xác suất có điều kiện biến cố B sau biến cố A thực P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A) Với P(A) > ; P(B) > hay P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B) Chứng minh : • Gọi E khơng gian mẫu chứa hai biến cố A,B • Giả sử A thực A biến cố chắn, ta chọn A làm khơng gian mẫu thu gọn • Biến cố B thực sau biến cố A xảy trở thành biến cố B/A • Trong khơng gian mẫu biến cố B/A thực A ∩ B thực r ∈ B/A r∈A∩B A E B Cao Hào Thi A∩B Theo định nghĩa, ta có: n (A ∩ B) n (A ∩ B) P(A ∩ B) N P( B / A ) = = = n (A) n (A) P( A) N b) Công thức nhân xác suất: Cho hai biến cố A B không gian mẫu E, xác suất biến cố giao tính: P(A∩B) = P(B/A) * P(A) P(A∩B) = P(A/B) * P(B) hay c) Biến cố độc lập : Biến cố gọi độc lập với biến cố A phương diện xác suất xác suất biến cố B không thay đổi cho dù biến cố A xảy ra, nghĩa là: P(B/A) = P(B) ngược lại: P(A/B) = P(A) Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành: P(A∩B) = P(A) * P(B) 1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử biến cố B xảy biến cố hệ đầy đủ cách biệt đôi A1, A2…, Ak xảy Biết xác suất P(Ai) P(B/Ai) tìm P(B) A1 A2 Ak E B B∩A1 Cao Hào Thi B∩A2 B∩Ak Theo giả thiết tốn B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B∩Ak) P(B)= P[(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪…∪ (B∩Ak)] = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩Ak) Vì: P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai) P(B) = k ∑ P ( B / A i ) * P (A i ) i =1 Công thức gọi công thức xác xuất đầy đủ Ví dụ: Trong nhà máy có phân xưởng Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng nhà máy; Phân xưởng II chiếm 1/4; Phân xưởng III chiếm 1/4; Phân xưởng IV chiếm 1/6 Tỷ lệ phế phẩm tương ứng với phân xưởng 0,15; 0,08; 0,05; 0,01 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên sản phẩm kho sản phẩm nhà máy sản phẩm phế phẩm Giải : Gọi A1, A2, A3, A4 biến cố lấy sản phẩm phân xưởng I,II,III,IV Gọi B biến cố lấy phế phẩm B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) ==> P(B) = ∑ P(B / A i ) * P(A i ) i =1 Theo đề bài: P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, ∑ P(Ai) = P(B/A1) = 0,15, P(B/A2) = 0,08, P(B/A3) = 0,05, P(B/A4) = 0,01 Vậy P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816 b) Công thức Bayes: Giải toán ngược toán trên, tức biết P(Ai), P(B/Ai) biến cố B xảy ra, tìm P(Ai/B) Ta có : B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) P(Ai∩B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai) P(B/A i ) * P(A i ) P(B) P(Ai /B) = P(Ai /B) = k P(B/A i ) * P(A i ) ∑ P(B/A i ) * P(A i ) i =1 Cao Hào Thi Công thức gọi công thức Bayes, hay công thức xác suất giả thiết biến cố Ai xem giả thiết theo biến cố B xuất Ta phải tính xác suất giả thiết với điều kiện biến cố B xuất Ví dụ: Xét lại thí dụ 2.2, với giả thiết ta yêu cầu xác suất để lấy sản phẩm phân xưởng thứ biết phế phẩm Ta phải tìm P(A1/B) P(A1/B) = [P(B/A1) * P(A)]/P(B) = [0,15 * 1/3]/0,0816 = 0,61 1.2.6 Công thức Bernoulli : a) Công thức Bernoulli : Nếu tiến hành phép thử độc lập, phép thử xác suất biến cố A p xác suất để biến cố A xuất k lần n phép thử biểu diễn cơng thức Bernoulli k Pn(k) = C pk qn-k n Với q = 1-p Ghi : a Trong trường hợp biến cố A xuất từ k1 đến k2 lần n phép thử ta ký hiệu xác xuất Pn(k1,k2) Gọi Aki biến cố A xuất ki lần A = Aki ∪ Ak1+1 ∪…∪ Ak2 k2 Pn (k1,k2) = P(A) = ∑ C in p i q n −i i = k1 b Khi n k lớn việc tính tốn Pn(k) Pn(k1, k2) phức tạp Để khắc phục điều người ta phải tìm cách tính gần xác suất cách áp dụng định lý giới hạn Ví dụ: Trong thùng có 30 bi: 20 trắng 10 đen Lấy liên tiếp bi, bi lấy hoàn lại thùng trước lấy bi bi trộn lại Hỏi xác suất để bi lấy có bi trắng Giải: Xác suất lấy bi trắng p = 20/30 =2/3 xem phép thử: q = - p = 1/3 áp dụng công thức Bernoulli 2 (4-2) P4(2) = C p²q 4*3⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ = ≈ 0,3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = * ⎝ 30 ⎠ ⎝ ⎠ 27 Ví dụ: Cao Hào Thi Xác suất xuất biến cố A 0,4 Hỏi xác suất để 10 phép thử biến cố A xuất không lần Giải: p = 0.4, q = 0.6 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(0) = q10 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(1) = 10pq9 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(2) = 45p2q8 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(3) = 120p3q7 Xác suất để biến cố A xuất không lần P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ≈ 0.38 Ghi chú: • • • n! (n - p)! n! Tổ hợp Cpn = p!(n - p)! Chỉnh hợp Apn = Hoán hợp pn = Cnn = n! = n* (n - 1) * ( n - 2) * … * * b) Số lần xuất chắn nhất: Trị số Pn(k) nói chung phụ thuộc vào k Ta tìm số k0 cho Pn(k0) đạt giá trị lớn Số k0 gọi số lần xuất chắn biến cố A n phép thử Ta có: np-q ≤ k0 ≤ np + p p ≠ p ≠ Ví dụ: Xác suất bắn trúng đích người 0,7 Nếu người bắn 25 phát Xác định số lần có khả trúng đích Giải : n = 25, p = 0,7, q = 0,3 np - q ≤ k0 ≤ np + p 25 * 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25 * 0,7 + 0,7 17,2 ≤ k0 ≤ 18,2 Vì k số nguyên, nên chọn k = 18 c) Các cơng thức gần để tính Pn (k) Pn (k1,k2) Các công thức rút từ định lý giới hạn Công thức Moixre - Laplace : Pn(k) ≈ ϕ(xk)/ npq • Cơng thức Moixre - Laplace sử dụng n lớn Cao Hào Thi • p xác suất biến cố A phép thử Bernoulli, p không gần xk = (k-np)/ npq ϕ(x) = / 2π * e-x²/2 : hàm số Gauss y x f(x)/ 2π Ví dụ: Xác suất để sản xuất chi tiết loại tốt 0.4 Tìm xác suất để 26 chi tiết sản xuất có 13 chi tiết loại tốt Vấn đề tìm P26(13) n = 26 p = 0.4 q = 0.6 xk = (k - np)/ npq = 1,04 ϕ(xk) = ϕ(1,04) = 0,2323 P26(13) = ϕ(xk) / npq = 0,2323/2,5 = 0,093 Pn (k1, k2) ≈ ∅ (β) - ∅ (α) ∅(x) 1/2 -1/2 α = (k1 - np)/ npq Cao Hào Thi 10 β = (k2 - np)/ npq x ∅(x) = 1/ 2π ∫ e-x²/2dx : hàm Laplace chuẩn Ví dụ: Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình 70% sản phẩm loại tốt Tìm xác suất để 1000 bóng đèn có từ 652 đèn 760 bóng đèn loại tốt Xác suất phải tìm P1000 (652, 760) n = 1000, p = 0,7 q = 0,3 k1 = 652 k2 = 700 α = (k1 - np)/ npq = - 3,31 => ∅ (α) = ∅(-3,31) = - 0,499520 β = (k2 - np)/ npq = 4,14 => ∅ (β) = ∅(4,14) = 0,499968 P1000 (652, 760) = ∅ (β) - ∅ (α) = 0,999488 Cơng thức Poisson • Nếu n → ∞ p → cho np = λ (const) Pn (k) ≈ (e-λλk) / k! • Định lý Poisson dùng để tính gần Pn (k1,k2) k2 Pn (k1, k2) = k2 ∑ P (k) ≈ ∑ k =k1 n k =k1 e−λ λ k! k Ví dụ: Tổng sản phẩm xí nghiệp A quí 800 Xác xuất để sản xuất phế phẩm 0.005 Tìm xác suất : Có sản phẩm phế phẩm Có khơng q 10 sản phẩm bị hỏng Giải: n =800, p = 0,005 => λ = np = P800(3) = e-44³/3! = 0,1954 10 P800(0,10) = ∑ e-44k/k! = 0, 997 k =0 Cao Hào Thi 11 ... A 0,4 Hỏi xác suất để 10 phép thử biến cố A xuất không lần Gi? ?i: p = 0.4, q = 0.6 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(0) = q10 Xác suất để biến cố A xuất lần : P10(1) = 10pq9 Xác suất để biến... gần xác suất cách áp dụng định lý giới hạn Ví dụ: Trong thùng có 30 bi: 20 trắng 10 đen Lấy liên tiếp bi, bi lấy hồn lại thùng trước lấy bi bi trộn lại Hỏi xác suất để bi lấy có bi trắng Gi? ?i: Xác. .. P(A) * P(B) 1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử biến cố B xảy biến cố hệ đầy đủ cách biệt đôi A1, A2…, Ak xảy Biết xác suất P(Ai) P(B/Ai) tìm P(B)