LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2x 3 y x 2 − = − có ñồ th ị (C). 1. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị c ủ a hàm s ố (C) 2. Tìm trên (C) nh ữ ng ñ i ể m M sao cho ti ế p tuy ế n t ạ i M c ủ a (C) c ắ t hai ti ệ m c ậ n c ủ a (C) t ạ i A, B sao cho AB ng ắ n nh ấ t. Câu II (2 ñ i ể m) 1. Gi ả i ph ươ ng trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 2. Gi ả i ph ươ ng trình: x 2 – 4x - 3 = x 5+ Câu III (1 ñ i ể m) Tính tích phân: න ݔ ଶ √1െݔ ଶ ݀ݔ √ ଶ ଶ ଴ Câu IV (1 ñ i ể m) Kh ố i chóp tam giác SABC có ñ áy ABC là tam giác vuông cân ñỉ nh C và SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC), SC = a. Hãy tìm góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng (SCB) và (ABC) ñể th ể tích kh ố i chóp l ớ n nh ấ t. Câu V (1 ñ i ể m) Cho x, y, z là các s ố d ươ ng th ỏ a mãn 1 1 1 4 x y z + + = . CMR: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 ñiểm ) 1 . Tam giác cân ABC có ñ áy BC n ằ m trên ñườ ng th ẳ ng : 2x – 5y + 1 = 0, c ạ nh bên AB n ằ m trên ñườ ng th ẳ ng : 12x – y – 23 = 0 . Vi ế t ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng AC bi ế t r ằ ng nó ñ i qua ñ i ể m (3;1) 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a ñộ ð êcác vuông góc Oxyz cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai ñườ ng th ẳ ng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và (d’) x 1 2t y 2 t z 1 t = +   = +   = +  Vi ế t ph ươ ng trình tham s ố c ủ a ñườ ng th ẳ ng ( ∆ ) n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng (P) và c ắ t c ả hai ñườ ng th ẳ ng (d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho ả ng cách gi ữ a chúng. Câu VIIa . ( 1 ñ i ể m ) Tính t ổ ng : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 S C C C C C C C C C C C C= + + + + + B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 ñiểm ) 1. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n chung c ủ a hai ñườ ng tròn : (C 1 ) : (x - 5) 2 + (y + 12) 2 = 225 và (C 2 ) : (x – 1) 2 + ( y – 2) 2 = 25 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a ñộ ð êcác vuông góc Oxyz cho hai ñườ ng th ẳ ng: (d) x t y 1 2t z 4 5t =   = +   = +  và (d’) x t y 1 2t z 3t =   = − −   = −  a. CMR hai ñườ ng th ẳ ng (d) và (d’) c ắ t nhau. b. Vi ế t ph ươ ng trình chính t ắ c c ủ a c ặ p ñườ ng th ẳ ng phân giác c ủ a góc t ạ o b ở i (d) và (d’). Câu VIIb. ( 1 ñ i ể m ) Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 5 log x 3 2 x + = ----------------------------- H ế t ----------------------------- LOPLUYENTHI.COM ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 5 NĂM 2010 TVE MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao ñề) LUYN THI I HC LOPLUYENTHI.COM đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Nội dung Điểm I 2.0đ 1 1.25đ Hàm số y = 2x 3 x 2 có : - TXĐ: D = R \ {2} - Sự biến thiên: + ) Giới hạn : x Lim y 2 = . Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng y = 2 làm TCN , x 2 x 2 lim y ; lim y + = = + . Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng x = 2 làm TCĐ +) Bảng biến thiên: Ta có : y = ( ) 2 1 x 2 < 0 x D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;2 và hàm số không có cực trị - Đồ thị + Giao điểm với trục tung : (0 ; 3 2 ) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0) - ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 0,5 2 0,75 ủ L y ủ i m 1 M m;2 m 2 + ( ) C . Ta cú : ( ) ( ) 2 1 y' m m 2 = . Ti p tuy n (d) t i M cú ph ng trỡnh : ( ) ( ) 2 1 1 y x m 2 m 2 m 2 = + + Giao ủ i m c a (d) v i ti m c n ủ ng l : 2 A 2;2 m 2 + 0,25 ủ 0,25 ủ 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 y y x + - + 2 - 2 2 2 LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C LOPLUYENTHI.COM Giao ñ i ể m c ủ a (d) v ớ i ti ệ m c ậ n ngang là : B(2m – 2 ; 2) Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 1 AB 4 m 2 8 m 2   = − + ≥   −     . D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi ( ) ( ) 2 2 m 3 1 m 2 m 1 m 2 =  − = ⇔  = −  V ậ y ñ i ể m M c ầ n tìm có t ọ a ñộ là : (3; 3); (1; 1) 0,25 ñ II 2,0® 1 1,0® Ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 ( ) ( ) sin x cosx 2 1 sin x 1 cosx 0 cosx sin x 2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x 0 cosx sin x     ⇔ + − + + − =         + − + − ⇔ + = ( ) 2 3 cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x   ⇔ + + − =     • Xét 2 3 3 0 tan x tan x cosx sin x 2 − + = ⇔ = = α ⇔ = α + π k • Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . ðặ t t = sinx + cosx v ớ i t 2; 2   ∈ −   . Khi ñ ó ph ươ ng trình tr ở thành: 2 2 t 1 t 0 t 2t 1 0 t 1 2 2 − − = ⇔ − − = ⇔ = − Suy ra : 1 2 2cos x 1 2 cos x cos 4 4 2 π π −     − = − ⇔ − = = β         x 2 4 π ⇔ = ±β + π k 0,25 0,25 0,5 2 1,0® x 2 - 4x + 3 = x 5+ (1) TX§ : D = [ 5; )− +∞ ( ) ( ) 2 1 x 2 7 x 5⇔ − − = + ®Æt y - 2 = x 5+ , ( ) 2 y 2 y 2 x 5≥ ⇒ − = + Ta cã hÖ : ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 x 2 y 5 x 2 y 5 y 2 x 5 x y x y 3 0 y 2 y 2  − = +  − = +     − = + ⇔ − + + =     ≥ ≥     ( ) ( ) 2 2 x 2 y 5 x y 0 5 29 x 2 x 2 y 5 x 1 x y 3 0 y 2    − = +      − =     +  =   ⇔ ⇔   − = +       = −   + + =      ≥  0,25 0,25 0,5 III 1.0® 1® ðặ t t = x + 2 x 1+ ( ) 2 2 2 2 2 t 1 t 1 x 1 t x x dx dt 2t 2t − + ⇒ + = − ⇒ = ⇒ = ðổ i c ậ n : Khi x = -1 thì t = 2 1− và khi x = 1 thì t = 2 1+ . 0,5 LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C LOPLUYENTHI.COM Do ñ ó : ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 t 1 1 1 1 2 I dt dt 2 t t 1 2 t t t 1 + + − − +   = = − +   + +   ∫ ∫ 2 1 2 1 1 1 ln t 2ln t 1 | 1 2 t + −   = − − + + =     0,5 IV 2® 1.0® G ọ i ϕ là góc gi ữ a hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có :  SCAϕ = ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ V ậ y ( ) 3 2 3 2 SABC ABC 1 1 1 1 V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin 3 6 6 6 = = = ϕ ϕ = ϕ − ϕ Xét hàm s ố : f(x) = x – x 3 trên kho ả ng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x 2 . ( ) 1 f ' x 0 x 3 = ⇔ = ± T ừ ñ ó ta th ấ y trên kho ả ng (0;1) hàm s ố f(x) liên t ụ c và có m ộ t ñ i ể m c ự c tr ị là ñ i ể m c ự c ñạ i, nên t ạ i ñ ó hàm s ố ñạ t GTLN hay ( ) ( ) x 0;1 1 2 Maxf x f 3 3 3 ∈   = =     V ậ y MaxV SABC = 3 a 9 3 , ñạ t ñượ c khi sin ϕ = 1 3 hay 1 arcsin 3 ϕ = ( v ớ i 0 < 2 π ϕ < ) 0,25 0,5 V 1.0® +Ta có : 1 1 1 1 2 4 2 .( ) x y z x y z ≤ + + + + ; 1 1 1 1 2 4 2 ( ) x y z y x z ≤ + + + + ; 1 1 1 1 2 4 2 ( ) x y z z y x ≤ + + + + + L ạ i có : 1 1 1 1 ( ); x y 4 x y ≤ + + 1 1 1 1 ( ); y z 4 y z ≤ + + 1 1 1 1 ( ); x z 4 x z ≤ + + c ộ ng các B ð T này ta ñượ c ñ pcm. 1® VIa 2® 1 1® ðườ ng th ẳ ng AC ñ i qua ñ i ể m (3 ; 1) nên có ph ươ ng trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0). Góc c ủ a nó t ạ o v ớ i BC b ằ ng góc c ủ a AB t ạ o v ớ i BC nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 5b 2.12 5.1 2 5 . a b 2 5 . 12 1 − + = + + + + 2 2 2a 5b 29 5 a b − ⇔ = + ( ) ( ) 2 2 2 5 2a 5b 29 a b⇔ − = + 0,25 0,25 0,25 A B C S ϕ LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C LOPLUYENTHI.COM ⇔ 9a 2 + 100ab – 96b 2 = 0 a 12b 8 a b 9 = −   ⇒  =  Nghi ệ m a = -12b cho ta ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i AB ( vì ñ i ể m ( 3 ; 1) không thu ộ c AB) nên không ph ả i là c ạ nh tam giác . V ậ y còn l ạ i : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Ph ươ ng trình c ầ n tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 0,25 2 1® M ặ t ph ẳ ng (P) c ắ t (d) t ạ i ñ i ể m A(10 ; 14 ; 20) và c ắ t (d’) t ạ i ñ i ể m B(9 ; 6 ; 5) ðườ ng th ẳ ng  c ầ n tìm ñ i qua A, B nên có ph ươ ng trình: x 9 t y 6 8t z 5 15t = −   = −   = −  + ðườ ng th ẳ ng (d) ñ i qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( ) u 1;1;2 v + ðườ ng th ẳ ng (d’) ñ i qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( ) u' 2;1;1 uur Ta có : • ( ) MM' 2; 1;3= − uuuuur • ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 MM' u,u' 2; 1;3 ; ; 8 0   = − = − ≠   uuuuur r uur Do ñ ó (d) và (d’) chéo nhau .( ð pcm) Khi ñ ó : ( ) ( ) ( ) MM' u,u ' 8 d d , d ' 11 u,u '     = =     uuuuur r uur r uur 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa 1 ñ Ch ọ n khai tri ể n : ( ) 5 0 1 2 2 5 5 5 5 5 5 x 1 C C x C x C x+ = + + + +L ( ) 7 0 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 x 1 C C x C x C x C C x C x C x + = + + + + = + + + + + L L L H ệ s ố c ủ a x 5 trong khai tri ể n c ủ a (x + 1) 5 .(x + 1) 7 là: 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 C C C C C C C C C C C C+ + + + + M ặ t khác : (x + 1) 5 .(x + 1) 7 = (x + 1) 12 và h ệ s ố c ủ a x 5 trong khai tri ể n c ủ a (x + 1) 12 là : 5 12 C T ừ ñ ó ta có : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 C C C C C C C C C C C C+ + + + + = 5 12 C = 792 .0,25 0,25 0,25 0,25 LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C LOPLUYENTHI.COM VIb 2ñ 1 1ñ ðườ ng tròn (C 1 ) có tâm I 1 (5 ; -12) bán kính R 1 = 15 , ðườ ng tròn (C 2 ) có tâm I 2 (1 ; 2) bán kính R 1 = 5 . N ế u ñườ ng th ẳ ng Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 ≠ 0) là ti ế p tuy ế n chung c ủ a (C 1 ) và (C 2 ) thì kho ả ng cách t ừ I 1 và I 2 ñế n ñườ ng th ẳ ng ñ ó l ầ n l ượ t b ằ ng R 1 và R 2 , t ứ c là : ( ) ( ) 2 2 2 2 5A 12B C 15 1 A B A 2B C 5 2 A B  − + =   +  + +  =  +  T ừ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = ± 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) ⇒ C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 2 2 A B+ 2 2 21A 28AB 24B 0⇒ + − = 14 10 7 A B 21 − ± ⇒ = N ế u ta ch ọ n B= 21 thì s ẽ ñượ c A = - 14 10 7± , C = 203 10 7− ± V ậ y có hai ti ế p tuy ế n : (- 14 10 7± )x + 21y 203 10 7− ± = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) 4A 3B C 2 − + ⇒ = , thay vào (2) ta ñượ c : 96A 2 + 28AB + 51B 2 = 0 . Ph ươ ng trình này vô nghi ệ m . 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® a) + ðườ ng th ẳ ng (d) ñ i qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( ) u 1;2;5 v + ðườ ng th ẳ ng (d’) ñ i qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( ) u' 1; 2; 3− − uur Nh ậ n th ấ y (d) và (d’) có m ộ t ñ i ể m chung là 1 3 I ;0; 2 2   −     hay (d) và (d’) c ắ t nhau . ( ð PCM) b) Ta l ấ y u 15 15 15 v .u ' ; 2 ; 3 7 7 7 u'   = = − −       r r uur uur . Ta ñặ t : 15 15 15 a u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = + = + − −       r r r 15 15 15 b u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = − = − + +       r r r Khi ñ ó, hai ñườ ng phân giác c ầ n tìm là hai ñườ ng th ẳ ng ñ i qua I và l ầ n l ượ t nh ậ n hai véct ơ a,b r r làm VTCP và chúng có ph ươ ng trình là : 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + +             = −             = + −         và 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + −             = +             = + +         LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C LOPLUYENTHI.COM VIIb 1® ð K : x > 0 PT ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i : log 5 ( x + 3) = log 2 x (1) ðặ t t = log 2 x, suy ra x = 2 t ( ) ( ) t t t 5 2 log 2 3 t 2 3 5 ⇔ + = ⇔ + = t t 2 1 3 1 3 5     ⇔ + =         (2) Xét hàm s ố : f(t) = t t 2 1 3 3 5     +         f'(t) = t t 2 1 ln0,4 3 ln0,2 0, t 3 5     + < ∀ ∈         R Suy ra f(t) ngh ị ch bi ế n trên R L ạ i có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghi ệ m duy nh ấ t t = 1 hay log 2 x = 1 hay x =2 V ậ y nghi ệ m c ủ a PT ñ ã cho là : x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 . LUYN THI I HC LOPLUYENTHI.COM đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu. r uur 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 VIIa 1 ñ Ch ọ n khai tri ể n : ( ) 5 0 1 2 2 5 5 5 5 5 5 x 1 C C x C x C x+ = + + + +L ( ) 7 0 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 5 7 7 7 7