BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = 2x + x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến – Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 25 x − 6.5 x + = π 2) Tính tích phân I = ∫ x (1 + cos x ) dx 3) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f ( x) = x − ln(1 − x) đoạn [– ; 0] Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA n = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a vng góc với mặt phẳng đáy Biết BAC II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình chọn phần dành riêng cho chương trình (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = 36 (P): x + y + z + 18 = 1) Xác định toạ độ tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) 2) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d (P) Câu 5a (1,0 điểm) Giải phương trình z − z + = tập số phức Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b (2,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) đường thẳng d có phương trình x +1 y − z + = = −1 1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng d 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình z − iz + = tập số phức Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị 1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Bộ giáo dục v đo tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban Đề thi thức Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I Phần chung cho thí sinh ban (8 điểm) Câu (3,5 điểm) Cho hàm số y = x + 3x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm thực phơng trình 2x + 3x = m Câu (1,5 điểm) Giải phơng tr×nh 32x +1 − 9.3x + = Câu (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức P = (1 + i) + (1 − i) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC 1) Chứng minh SA vuông góc với BC 2) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABI theo a II PHầN dnh cho thí sinh ban (2 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) 1) Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = x + cos x đoạn 0; Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 2) mặt phẳng (P) có phơng trình 2x − y + z − = 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (P) 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ điểm A đến (P) B Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 6a câu 6b Câu 6a (2,0 điểm) 1) Tính tích phân J = ∫ (2x − 1) cos xdx 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè f ( x ) = x x + đoạn [0; 2] Câu 6b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; − 1), B( 2; 4; 3) vµ C(2; 2; 1) 1) Viết phơng trình mặt phẳng qua A vuông góc với đờng thẳng BC 2) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành .Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Ch÷ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007 Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban Đề thi thức Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I Phần chung cho thí sinh ban (8,0 điểm) Câu (3,5 điểm) Cho hµm sè y = x − x + 1, gọi đồ thị hàm số (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C) Câu (1,5 điểm) Giải phơng trình log x + log (4 x) = C©u (1,5 điểm) Giải phơng trình x x + = tập số phức Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp S.ABC II PHầN dành cho thí sinh ban (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) Tính tích phân J = ∫ xdx x +1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa hµm sè f ( x) = x − x + 16 x đoạn [1; 3] Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M ( 1; 1; ) mặt phẳng (P) có phơng tr×nh x + y – 2z – = Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mặt phẳng (P) Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua điểm M vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm H đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P) B Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a câu 6b Câu 6a (2,0 điểm) TÝnh tÝch ph©n K = ∫ xlnxdx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè f ( x) = x x + đoạn [0; 2] Câu 6b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E (1; 2; 3) mặt phẳng ( ) có phơng trình x + 2y 2z + = Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm gốc toạ độ O tiếp xúc với mặt phẳng ( ) Viết phơng trình tham số đờng thẳng ( ) qua điểm E vuông góc với mặt phẳng ( ) Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Ch÷ ký cđa giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006 Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban §Ị thi chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót, không kể thời gian giao đề I Phần chung cho thí sinh ban (8,0 điểm) Câu (4,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hµm sè y = − x3 + 3x2 Dùa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phơng trình x3 + 3x2 m = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành Câu (2,0 điểm) Giải phơng trình 22x+2 9.2 x + = Giải phơng trình 2x2 5x + = tập số phức Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB a Tính thể tÝch cđa khèi chãp S.ABCD Chøng minh trung ®iĨm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II PHầN dành cho thí sinh ban (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 4a câu 4b Câu 4a (2,0 điểm) ln TÝnh tÝch ph©n I= ∫ ln ( e x + 1)e x ex − dx x − 5x + , biết tiếp Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x2 tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 2006 Câu 4b (2,0 điểm) Trong không gian täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) Viết phơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phơng trình mặt cầu đờng kÝnh OG B ThÝ sinh Ban KHXH-NV chän c©u 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) 1 Tính tÝch ph©n J = ∫ (2x + 1)e x dx Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x + điểm thuộc đồ thị có x +1 hoành độ x0 = Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba ®iĨm A( − 1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) Chøng minh tam gi¸c ABC Viết phơng trình tham số đờng thẳng AB JJJG vuông JJJG Gọi M điểm cho MB = 2MC Viết phơng trình mặt phẳng qua M vuông góc với đờng thẳng BC .Hết Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Ch÷ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN – Giáo dục trung học phổ thông HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực toàn Hội đồng chấm thi 3) Sau cộng điểm tồn bài, làm trịn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Câu (3,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,0 điểm) a) Tập xác định: D = \ \ {2} 0,25 b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y' = − < ∀x ∈ D ( x − 2) Suy ra, hàm số nghịch biến khoảng ( −∞ ; ) ( 2;+ ∞ ) 0,50 • Cực trị: Hàm số cho khơng có cực trị Lưu ý: Ở ý b), cho phép thí sinh khơng nêu kết luận cực trị hàm số • Giới hạn tiệm cận: lim y = + ∞ , lim y = − ∞ ; lim y = lim y = x → 2+ x → 2− x →−∞ x →+∞ Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = tiệm cận ngang đường thẳng y = 0,50 • Bảng biến thiên: x –∞ y' y +∞ – – –∞ 0,25 +∞ y c) Đồ thị (C): 1⎞ ⎛ (C) cắt trục tung điểm ⎜ 0; − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ ⎞ cắt trục hoành điểm ⎜ − ;0 ⎟ ⎝ ⎠ 0,50 − O − 2 x Lưu ý: - Cho phép thí sinh thể toạ độ giao điểm (C) trục toạ độ hình vẽ - Nếu thí sinh vẽ dạng đồ thị (C) cho 0,25 điểm (1,0 điểm) Kí hiệu d tiếp tuyến (C) (x0; y0) toạ độ tiếp điểm Ta có: Hệ số góc d – ⇔ y'(x0) = – ⇔ − x =1 = −5 ⇔ ⎡ ⎣⎢ x0 = ( x0 − 2) 0,25 0,50 x0 = ⇒ y0 = − 3; x0 = ⇒ y0 = Từ đó, ta phương trình tiếp tuyến theo u cầu đề là: y = − x + y = − x + 22 Câu 0,25 (1,0 điểm) x (3,0 điểm) Đặt = t, t > 0, từ phương trình cho ta có phương trình t2 – 6t + = (*) Giải (*), ta t = t = Với t = 1, ta được: 0,50 0,25 5x = ⇔ x = Với t = , ta được: 5x = ⇔ x = Vậy, phương trình cho có tất nghiệm giá trị x vừa nêu 0,25 (1,0 điểm) Đặt u = x dv = (1 + cos x)dx , ta có du = dx v = x + sin x π π Do đó: I = x( x + sin x) − ∫ ( x + sin x)dx 0,50 0,25 π ⎛ x2 ⎞ π2− − cos x ⎟ = = π −⎜ 2 ⎝ ⎠0 2 0,25 Lưu ý: • Thí sinh phép trình bày lời giải vừa nêu sau: π ⎛ x2 ⎞ π −4 I = ∫ xd(x + sin x) = x( x + sin x) − ∫ ( x + sin x)dx = π − ⎜ − cos x ⎟ = 0 ⎝ ⎠0 π π π • Ngồi cách nêu trên, cịn tính I theo cách sau: Cách 2: π π I = ∫ xdx + ∫ x cos xdx (*) π x = π + ∫ xd(sin x) = π2 π2 π2− π = + cos x = 2 0 π π + x sin x − ∫ sin xdx (**) Trong trường hợp thí sinh tính I theo cách 2, việc cho điểm thực sau: - Biến đổi (*): 0,25 điểm; - Biến đổi từ (*) (**): 0,50 điểm; - Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả: 0,25 điểm (1,0 điểm) Ta có: f '( x) = x + 2(2 x + 1)( x − 1) = 1− x x −1 Suy ra, khoảng (– 2; 0): Ta có: ∀x ∈(– 2; 0) 0,50 f '( x) = ⇔ x = − ⎛ 1⎞ f (0) = , f (−2) = − ln , f ⎜ − ⎟ = − ln ⎝ 2⎠ 0,25 e4 e Vì − ln = ln > (do e4 > 5) − ln = ln < (do e < 24 ) Nên f ( x) = − ln max f ( x) = − ln x∈[ −2;0] x∈[ −2;0] 0,25 Lưu ý: Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x) đoạn [– 2; 0] cịn kí hiệu tương ứng f ( x) max f ( x) [ −2;0] [ −2;0] S Câu Vì SA ⊥ mp(ABC) nên (1,0 điểm) SA ⊥ AB SA ⊥ AC Xét hai tam giác vuông SAB SAC, ta có } SA chung ⇒ Δ SAB = Δ SAC SB = SC a 0,25 A ⇒ AB = AC C B Áp dụng định lí cơsin cho tam giác cân BAC, ta n = AB (1 − cos1200 ) = AB a = BC = AB + AC − AB AC.cos BAC Suy AB = a 0,50 a Do SA = SB − AB = Vì VS.ABC = SABC a2 n = AB sin BAC = 12 a3 SABC.SA = 36 0,25 Lưu ý: Ở câu này, khơng cho điểm hình vẽ Câu 4a (0,75 điểm) (2,0 điểm) • Tâm T bán kính R (S): T = (1;2; 2) R = • Khoảng cách h từ T đến (P): h= |1.1 + 2.2 + 2.2 + 18 | 12 + 22 + 22 0,25 =9 0,50 (1,25 điểm) • Phương trình tham số d: G Vì d ⊥ (P) nên vectơ pháp tuyến n (P) vectơ phương d G Từ phương trình (P), ta có n = (1; 2;2 ) 0,25 ⎧⎪ x = + t Do đó, phương trình tham số d là: ⎨ y = + 2t ⎪⎩ z = + 2t 0,25 • Toạ độ giao điểm H d (P): Do H∈ d nên toạ độ H có dạng (1 + t ; + 2t ; + 2t) 0,25 Vì H ∈ (P) nên + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay t = − 0,25 Do H = (−2; − 4; − 4) 0,25 Câu 5a Ta có: Δ = 16 − 32 = − 16 = (4i ) (1,0 điểm) Do đó, phương trình cho có nghiệm là: + 4i 1 − 4i 1 z1 = = + i z2 = = − i 16 4 16 4 Lưu ý: Cho phép thí sinh viết nghiệm dạng z1, = 0,50 1± i ± 4i z1, = 16 Câu 4b (0,75 điểm) (2,0 điểm) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d G u d vectơ pháp tuyến (P) Vì d ⊥ (P) nên vectơ phương G Từ phương trình d, ta có u = ( 2;1; − 1) Do đó, phương trình tổng qt mp(P) là: 2.( x − 1) + 1.( y + 2) + ( −1)( z − 3) = hay x + y − z + = 0,50 0,25 0,50 (1,25 điểm) • Khoảng cách h từ A đến d: Từ phương trình d suy điểm B(–1; 2; –3) thuộc d JJJG G ⎡ BA , u ⎤ Do h = ⎣ G ⎦ |u| JJJG Ta có BA = (2; − 4;6) Do đó: JJJG G − ; −1 ; = (2; − 14; − 10) ⎡ BA , u ⎤ = ⎣ ⎦ 2 −4 −4 ( Vì h = ) 22 + (−14) + (−10) 22 + 12 + (−1) = 0,50 0,25 0,25 • Phương trình mặt cầu (S) tâm A(1; –2; 3), tiếp xúc với d: Vì (S) tiếp xúc với d nên có bán kính h Do đó, phương trình (S) là: 0,25 ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 50 2 Lưu ý: Có thể sử dụng kết phần 1) để tính khoảng cách h từ A đến d Dưới lời giải tóm tắt theo hướng thang điểm cho lời giải đó: Gọi H giao điểm d mặt phẳng (P), ta có H hình chiếu vng góc A (P) Do h = AH 0,25 Toạ độ H nghiệm hệ phương trình ⎧x + y − z + ⎪ = = ⎨ −1 ⎪⎩2 x + y − z + = Từ kết giải hệ ta H = ( −3 ; ; − ) 0,50 Vì h = AH = 2 (1 + 3) + ( −2 − 1) + ( + ) = Câu 5b Ta có: Δ = i − = − = ( 3i ) (1,0 điểm) Do đó, phương trình cho có nghiệm là: i + 3i i − 3i z1 = = i z2 = = − i 4 2 - Hết - 0,25 0,50 0,50 Bộ giáo dục v đo tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban đề thi chÝnh thøc H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang I H−íng dÉn chung 1) NÕu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá thang ®iĨm (nÕu cã) so víi thang ®iĨm h−íng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội ®ång chÊm thi 3) Sau céng ®iĨm toµn bµi, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm câu Câu (3,5 điểm) Đáp án Điểm (2,5 điểm) 0,25 a) Tập xác định: R b) Sự biến thiên: ã Chiều biến thiên: y = 6x + 6x = 6x ( x + 1) Phơng trình y = có nghiệm: x = -1, x = 0,50 y′ > ⇔ x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; + ∞ ) , y′ < ⇔ x ∈ (− 1; ) Hàm số đồng biến khoảng (− ∞; − 1) vµ (0; + ∞ ) , nghịch biến khoảng (-1; 0) ã Hàm số đạt cực đại x = -1, yCĐ = 0, đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 ã Giíi h¹n: lim y = −∞ ; x →−∞ 0,75 lim y = + x + ã Bảng biến thiên: x -∞ y’ -1 + y - -1 + 0,50 +∞ -∞ +∞ c) §å thị: Giao điểm với Oy: (0; -1) Giao điểm víi Ox: (-1; 0) vµ ( ; 0) y O -1 -1 x 0,50 (1,0 ®iĨm) Số nghiệm thực phơng trình 2x3 + 3x -1= m số giao điểm đồ thị (C) cđa hµm sè y = x + 3x đờng thẳng (d): y = m Dựa vào đồ thị ta có: Với m < -1 m > 0, (d) (C) có điểm chung, phơng trình có nghiệm Với m = -1 m = 0, (d) (C) có hai điểm chung, phơng trình có hai nghiệm Víi -1 < m < 0, (d) vµ (C) cã ba điểm chung, phơng trình có ba nghiệm Câu (1,5 điểm) Câu (1,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Đặt x = t > ta có phơng trình 3t2 9t + = phơng trình có hai nghiệm t = t = (đều thoả mÃn) 0,75 Nếu t =1 th× = ⇔ x = NÕu t = th× = ⇔ x = log32 Vậy phơng trình đà cho có hai nghiệm: x = 0, x = log32 Khai triĨn ®óng: (1 + i )2 = + i − vµ (1 − i )2 = − i x 1,0 x Rút gọn đợc P = (1,0 điểm) Tam giác SBC cân S, I trung điểm BC suy BC SI Tam giác ABC suy BC ⊥ AI 0,75 0,50 0,50 S 0,50 A C O I B Vì BC vuông góc với hai cạnh AI SI tam giác SAI nên BC ⊥ SA 0,50 (1,0 ®iĨm) 2a a Vì S.ABC = AI = 3 hình chóp tam giác nên SO (ABC) Gọi O tâm đáy ABC, ta có AO = 0,50 Xét tam giác SOA vuông t¹i O: SO = SA − AO = (2a ) − ( a 33 a 33a ) = ⇒ SO = ThĨ tÝch khèi chãp S.ABI lµ: 11 a a a 33 a 11 (®vtt) VS.ABI = S ABI SO = AI.BI.SO = = 32 2 24 Câu 5a (2,0 điểm) 0,50 (1,0 điểm) Đặt u = x3 du = -3x2dx Víi x = -1 ⇒ u = 2, x = ⇒ u = 0 32 12 I = ∫ (− u )du = ∫ u du = u = 30 15 0,50 0,50 (1,0 điểm) Xét đoạn 0; , hàm số đà cho có: f ( x ) = − sin x ; ⎣ 2⎦ π f ′( x ) = ⇔ x = π π π π f (0) = ; f ( ) = + 1; f ( ) = 4 2 π VËy f ( x ) = , max f ( x ) = + π π [ 0; ] [ 0; ] Câu 5b (2,0 điểm) 0,50 0,50 (1,0 điểm) Đờng thẳng cần tìm vuông góc với (P), nhận n = (2; 2;1) vectơ chØ ph−¬ng ⎧x = + t ⎪ Ph−¬ng trình tham số đờng thẳng là: y = −2 − t ⎪z = −2 + t ⎩ (1,0 điểm) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: 2.3 2.(2) + 1.(2) d(A, (P)) = = 2 + (2) + 12 Phơng trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng 2x 2y + z + D = 1,0 0,25 C©u 6a (2,0 điểm) Chọn điểm M(0; 0; 1) thuộc mặt phẳng (P) Khoảng cách từ điểm M đến mặt 2.0 − 2.0 + 1.1 + D + D = phẳng (Q) là: d(M, (Q)) = 2 + (2) + 12 Khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) 1+ D Do từ gi¶ thiÕt ta cã: = ⇔ 1+ D = 3 = D ⎡ ⇔⎢ ⎣ D = Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mÃn đề bµi: (Q1): 2x – 2y + z + = 0; (Q2): 2x – 2y + z - = (1,0 ®iĨm) π π ⎧du = 2dx u = x Đặt ⇒ J = [(2x − 1)sin x ] − ∫ sin xdx ⎩dv = cos xdx ⎩v = sin x π J = (π − 1) + cos x = (π -1) + 2(0 -1) = -3 (1,0 điểm) Xét đoạn [0; 2], hàm số đà cho có: f ( x ) = x − x = x ( x − 1) ; ⎡x = f ′( x ) = ⇔ ⎢ ⎣x = f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = VËy f(x)=0, max f(x)=9 [0;2] C©u 6b (2,0 ®iÓm) [0;2] 0,75 0,50 0,50 0,50 0,50 (1,0 ®iÓm) Mặt phẳng cần tìm vuông góc với BC, nhận BC = (0; 2; 4) vectơ pháp tuyến 0,50 Phơng trình mặt phẳng cần tìm là: 0(x -1) – 2(y - 4) – 4(z + 1) = ⇔ y + 2z – = 0,50 (1,0 điểm) ABCD hình bình hành BC = AD (1) Gọi toạ độ D lµ (x; y; z) Ta cã AD = ( x − 1; y − 4; z + 1) vµ BC = (0; − 2; − 4) §iỊu kiƯn (1) ⎧x − = ⎧x = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ y − = −2 ⇔ ⎨ y = ⇒ D(1; 2; -5) ⎪z + = −4 ⎪z = −5 ⎩ ⎩ ……….HÕt……… 0,50 0,50 giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007 Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban đề thi thøc H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang I H−íng dÉn chung 1) NÕu thÝ sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nÕu cã) so víi thang ®iĨm h−íng dÉn chÊm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi 3) Sau cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm Câu Câu (3,5 điểm) Đáp án Điểm (2,5 điểm) 1) Tập xác định: R 0,25 2) Sự biến thiên: ã Chiều biến thiên: Ta có: y ' = x − x = x( x − 1) ; y '= ⇔ x = 0, x = Trên khoảng (− 1; ) vµ (1; + ∞ ) , y > nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( ; 1) (0;1) , y < nên hàm số nghịch biến ã Cực trị: Từ kết suy ra: Hàm số có hai cùc tiĨu t¹i x = ± 1; yCT = y( 1) = Hàm số có cực đại x = 0; yCĐ = y(0) = ã Giới hạn vô cực: lim y = + ; lim y = + ∞ x→−∞ 0,50 0,75 x+ ã Bảng biến thiên: x y - 0 + +∞ - y + + + 0,50 3) Đồ thị: Hàm số đà cho chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị cắt trục tung điểm (0; 1) Điểm khác đồ thÞ: (± 2;9 ) y 0,50 -2 -1 Câu (1,5 điểm) Câu O1 x (1,0 ®iĨm) - HƯ sè gãc cđa tiÕp tun điểm cực đại (0; 1) đồ thị đà cho y(0) = - Phơng trình tiếp tuyến (C) điểm cực đại y = Điều kiện xác định phơng trình x > Phơng trình đà cho tơng đơng với log x + log + log x = ⇔ log x = ⇔ log x = ⇔ x = (thoả mÃn điều kiện) Vậy phơng trình đà cho cã nghiÖm x = 1,00 0,75 0,75 Ta cã: ∆' = − = 3i 0,50 (1,5 điểm) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: x = − 3i vµ x = + 3i 1,00 Câu (1,5 điểm) Giả thiết SA vuông góc với đáy suy đờng cao hình chóp SA = a Đáy tam giác vuông (đỉnh B), có diện tích a VËy thĨ tÝch khèi chãp S.ABC lµ: 1 V = a a = a (®vtt) S a C A a a B 1,50 Câu 5a (2,0 điểm) (1,0 điểm) Đặt x + = t ⇒ 2xdx = dt Víi x = th× t = 2; víi x = t = 5 Do J = t dt ∫ 0,50 = 2.t = ( − ) 0,50 (1,0 ®iĨm) - Ta cã f ' ( x) = x − 16 x + 16 - Xét đoạn [1; 3] ta cã f ' ( x) = ⇔ x = ⎛ ⎞ 13 , f(3) = - - Ta cã f(1) = 0, f ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 27 ⎛ ⎞ 13 , f ( x) = f (3) = −6 VËy max f ( x) = f ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 27 [1; 3] [1; 3] C©u 5b (2,0 điểm) 1,00 (1,0điểm) Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên phơng trình mặt phẳng (Q) có dạng x + y 2z + m = (m - 4) Mặt phẳng (Q) ®i qua ®iÓm M(-1; -1; 0) ⇔ – – + m = ⇔ m = VËy phơng trình mặt phẳng (Q) là: x + y 2z + = 0,50 0,50 (1,0®iĨm) - Vì đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) nên véctơ pháp tuyến n = (1;1; 2) mặt phẳng (P) véctơ phơng đờng thẳng (d) - Đờng thẳng (d) qua điểm M(-1; -1; 0) nhËn n = (1;1; − 2) lµm ⎧ x = + t véctơ phơng nên có phơng trình tham số là: y = + t ⎪ z = − 2t ⎩ C©u 6a (2,0 điểm) - Toạ độ H(x; y; z) thoả mÃn hÖ: ⎧ x = −1 + t ⎧t = ⎪ y = −1 + t ⎪x = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪ z = − 2t ⎪y = ⎪⎩ x + y − z − = ⎪⎩ z = − VËy H(0; 0; - 2) (1,0 điểm) Đặt u = lnx vµ dv = 2xdx; ta cã du = dx vµ v = x x 3 Do ®ã K = ∫ x ln xdx = ( x ln x) − ∫ xdx 1 x2 3 = ln − = ( x ln x) − 0,50 0,50 1,00 (1,0 ®iĨm) - Ta cã f ' ( x) = x − - Xét đoạn [0; 2] ta có f(x) = ⇔ x = - Ta cã f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = VËy max f ( x) = f (2) = , f ( x) = f (1) = −1 [0; 2] [0; 2] Câu 6b (2,0 điểm) 1,00 (1,0 điểm) - Mặt cầu (S) có tâm gốc toạ độ O tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên bán kính mặt cầu khoảng cách từ O ®Õn ( α ) 0+0−0+6 d(O; ( α )) = = 2 2 + + (2) Mặt cầu (S) có tâm gốc toạ độ O bán kính có phơng 0,50 0,50 trình là: x + y + z = (1,0 điểm) Vì đờng thẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng ( ) nên véctơ pháp tuyến n = (1; 2; 2) mặt phẳng ( ) véctơ phơng đờng thẳng ( ) Đờng thẳng ( ∆ ) ®i qua ®iĨm E(1; 2; 3) nhËn n = (1;2;2) làm véctơ x = + t phơng có phơng trình tham số là: y = + 2t ⎪ z = − 2t .Hết 1,00 Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006 Môn thi: Toán - Trung học phổ thông phân ban §Ị thi chÝnh thøc h−íng dÉn chÊm THi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm: 05 trang I H−íng dÉn chung Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi Sau cộng điểm toàn làm tròn điểm thi theo nguyên tắc: Điểm toàn đợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm Đáp án Điểm Câu 1 (2,5 điểm) (4,0 điểm) a) Tập xác định: R b) Sự biến thiên: ã Chiều biến thiªn: y' = −3x + 6x y' = x = x = Trên khoảng ( ; ) ( 2;+ ) , y' < hàm số nghịch biến Trên khoảng (0; 2), y' > hàm số đồng biÕn Chó ý: NÕu chØ xÐt dÊu y' hc chØ nêu khoảng đồng biến, nghịch biến cho 0,25 điểm ã Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 0; yCT = y(0) = Hàm số đạt cực đại x = 2; yCĐ = y(2) = ã Giới hạn vô cực: lim y = +∞; lim y = −∞ x →−∞ x + ã Bảng biến thiên: x y' +∞ 0 + − 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 +∞ 0,50 y −∞ y (C) c) Đồ thị: Giao điểm với trục tọa độ : (0; 0) (3; 0) m x O 0,50 (0,75 ®iĨm) −x3 + 3x − m = ⇔ − x3 + 3x = m (1) Số nghiệm phơng trình (1) số giao điểm đồ thị (C) đờng thẳng y = m Dựa vào tơng giao đồ thị (C) đờng thẳng y = m ta có: ã Nếu m < m > phơng trình có nghiệm ã Nếu m = m = phơng trình có nghiệm ã Nếu < m < phơng trình có nghiệm (0,75 điểm) Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm 0,25 0,50 Từ đồ thị ta có: S = x + 3x dx 0,25 ⎛ x4 ⎞ = ∫ (−x + 3x )dx = ⎜ − + x3 ⎟ ⎝ ⎠0 27 = (®vdt) 3 Câu (2,0điểm) (1,0 điểm) 22x + − 9.2 x + = ⇔ 4.(2 x )2 − 9.2 x + = ⎡2 = ⇔⎢ x ⎢2 = ⎢⎣ x = x = Phơng trình đà cho có hai nghiệm x = 1; x = − 2 (1,0 ®iĨm) ∆ = −7 5+i 7 x1 = = +i ; 4 0,25 0,25 0,25 x x2 = 5−i 7 = i 4 Phơng trình có hai nghiÖm x1 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 7 +i ; x2 = − i 4 4 0,25 Chó ý: NÕu làm hình vẽ không cho ®iĨm C©u (2,0 ®iĨm) S I A B D C (1,0 điểm) Gọi độ dài đờng cao hình chóp h, diện tích đáy hình chóp S ABCD Ta cã: h = SA = SB − AB = a 2; S ABCD = a 1 Gäi V lµ thĨ tÝch cđa khèi chãp Ta cã: V = S ABCD h = a (®vtt) 3 (1,0 ®iĨm) Gäi I trung điểm cạnh SC SA(ABCD) SAAC SAC vuông A IA = IC = IS (1) CB ⊥ AB, CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ (SAB) CB SB SBC vuông B ⇒ IB = IC = IS (2) Chøng minh tơng tự: SDC vuông D ID = IC = IS (3) Tõ (1), (2), (3) suy ra: trung điểm I cạnh SC cách đỉnh hình chóp S.ABCD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD (1,0 điểm) Câu 4a (2,0 điểm) Đặt t = e x e x = t + 1, e x dx = 2tdt x = ln2 ⇒ t = 1; x = ln5 ⇒ t = 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 I = ∫ (t + 2)dt 0,25 ⎛ t3 ⎞ + 2t ⎟ = 2⎜ ⎝ ⎠1 26 = 0,25 0,25 ... giáo dục v đo tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban Đề thi thức Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I Phần chung cho... 0,25 0,50 0,50 Bộ giáo dục v đo tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban đề thi chÝnh thøc H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang... ……….HÕt……… 0,50 0,50 giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007 Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban đề thi thøc H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang I