Đang tải... (xem toàn văn)
Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính
- 1 -Đại học thái nguyênTrường đại học sư phạm----------------------------------------Trần thiện toảnMộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phươngtrình SAI phân ẩN TUYếN TíNHLuận văn thạc sĩ toán họcThỏi Nguyờn 2008 - 2 -Đại học thái nguyênTrường đại học sư phạm----------------------------------------trần thiện toảnMộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phươngtrình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Chuyên nghành: Giải tích Mã số: 60.46.01Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy PhượngThỏi Nguyờn 2008Thái Nguyên 2008 - 3 -Mục lục TrangLời nói đầu .1-2Chương 1. CễNG THC NGHIM CA H PHNG TRèNH SAIPHN N TUYN TNH 31.1 H phng trỡnh sai phõn n cha tham s iu khin .31.2 Cụng thc nghim Cauchy ca phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh khụngdng .41.3 Khỏi nim cp ma trn chớnh quy 71.4 Cụng thc nghim ca phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh cú iu khinvi cp ma trn chớnh qui .12Chương 2. MT S TNH CHT NH TNH CA H PHNGTRèNH SAI PHN N TUYN TNH .192.1 Tớnh iu khin c ca chui thi gian hu hn 192.2 Tớnh quan sỏt c ca chui thi gian hu hn 292.3 Nghim, tớnh iu khin c v quan sỏt c ca h phng trỡnh saiphõn n tuyn tớnh .342.4 Tớnh n nh v n nh húa c ca h phng trỡnh sai phõn n tuyntớnh .422.5 Quan sỏt trng thỏi ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh .57Chương 3. TNH IU KHIN C CA H PHNG TRèNHSAI PHN N TUYN TNH Cể HN CH TRấN BIN IUKHIN 643.1 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh sai phõn thng tuyn tớnhdng cú hn ch trờn bin iu khin 643.2 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh dng cúhn ch trờn bin iu khin 66Kết luận . .70Tài liệu tham khảo 71 - 4 -LỜI NÓI ĐẦUDo nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn(phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhàtoán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…)được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiêncứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn địnhhóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phânthường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyếntính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiểnđược cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệphương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính củahệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.Luận văn gồm ba Chương.Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phươngtrình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển đượcvà quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệphương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phânẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7],nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nộidung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cốgắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái - 5 -niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết.Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu tríchdẫn.Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học,người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơnTrường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thànhchương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chânthành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na HangTuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình họctập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệtác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập. Thái Nguyên, 20.9.2008Trần Thiện Toản - 6 -CHƯƠNG ICÔNG THỨC NGHIỆMCỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂNHệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng( ( 1), ( ), ., (0), ( ), ( 1), ., (0)) 0;( ) ( ( ), ( 1), ., (0), ( ), ( 1), ., (0)),h x k x k x u k u k uy k g x k x k x u k u k u (1.1)trong đó k là biến thời gian thực rời rạc,0,1,2, .k ;( )nx k được gọi làtrạng thái pha;( )mu k được gọi là biến điều khiển;( )py k được gọi làtham số đo đầu ra hay đầu ra.Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ( ) ( 1) ( ( ), ( ));( ) ( ( ), ( )), 0,1,2, .E k x k H x k u ky k J x k u k k (1.2)trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tươngứng làn vàp. Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0).Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ), 0,1,2, .E k x k A k x k B k u ky k C k x k k (1.3)Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứatham số điều khiển.Trường hợp các ma trận( ), ( ), ( ), ( )E k A k B k C k là các ma trận hằng thì hệ(1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng( 1) ( ) ( );( ) ( ), 0,1,2, .Ex k Ax k Bu ky k Cx k k (1.4)Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trìnhsai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4). - 7 -Nhận xétKhi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành1 -1( 1) ( ) ( )( ) ( ), 0,1,2, .x k E Ax k E Bu ky k Cx k k (1.5)Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩtrong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệphương trình (1.3), chúng ta thường coi( )E klà ma trận suy biến, tức là( )rankE k n với mọi0,1,2, .k Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu chohệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trườnghợp đặc biệt.1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAIPHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNGXét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng0( 1) ( 1) ( ) ( ) ( );(0) , 0,1,2, .E k x k A k x k f kx x k (1.6)trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiềulàn n,( )f k là hàm véc tơ của biến số rời rạck,0,1,2 k Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừngthông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem[3]).1.2.1 Bổ đề.Giả sử( , )F k i là ma trận hàm có số chiềun n thỏa mãn phương trình matrận( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, ., 1F k i E i F k i A i i k (1.7)với điều kiện ban đầu - 8 -( , 1) , ( , ) 0,nF k k I F k i i k . (1.8)Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:100( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2, .kiE k x k F k E x F k i f i k (1.9)Ở đâynI được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n.Chứng minhViết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định,ta có:( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2, ., 1E i x i A i x i f i i k . (1.10)Giả sử( , )F k ilà ma trậnn n. Nhân hai vế của (1.10) với( , )F k i ta được:( , ) ( 1) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ), 0,1,2, ., 1F k i E i x i F k i A i x i F k i f i i t . (1.11)Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến1k ta được:1 10 0( , ) ( 1) ( 1) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]k ki iF k i E i x i F k i A i x i F k i f i . (1.12)Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng:10( , ) ( 1) ( 1)kiF k i E i x i 10( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)kiF k i E i x i F k k E k x k F k E x nên (1.12) có thể viết dưới dạng( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x 1 10 0( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]k ki iF k i E i x i F k i A i x i F k i f i .Do giả thiết( , 1)nF k k I nên10( ) ( ) ( , 1) (0) (0) ( , 1) ( ) ( )kiE k x k F k E x F k i E i x i 10[ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]kiF k i A i x i F k i f i . - 9 -hay10( ) ( ) ( , 1) (0) (0) [ ( , ) ( ) ( , 1) ( )] ( )kiE k x k F k E x F k i A i F k i E i x i 10( , ) ( )kiF k i f i.Do( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, ., 1F k i E i F k i A i i k .nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu0(0)x x ta có:100( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( )kiE k x k F k E x F k i f i .Đây chính là điều phải chứng minh.Nhận xétCông thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệphương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi( )nE k I nótrở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phânthường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây:Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy( )x k chưa được tính ở dạngtường minh (vẫn còn( )E kkèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6)trong trường hợp các ma trận( )E k,( )A k là các ma trận hằng với giả thiếtrằng( , )E A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thểchứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tínhdừng có tham số điều khiển.1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY1.3.1 Định nghĩaCặp ma trận,n nE A được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức sao cho định thức0E A hay đa thức0sE A . - 10 -1.3.2 Bổ đềCặp ma trận ,E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận khôngsuy biếnP vàQ sao cho100nIQEPN ,1200nAQAPI , (1.13)trong đó1 2n n n ,111n nA ,1nI và2nI là hai ma trận đơn vị tươngứng cấp1n và2n;2 2n nN là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tựnhiênh sao cho0hN ).Chứng minhĐiều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biếnP vàQ sao cho(1.13) là đúng. Ta chọn1( )Aa s, trong đó1( )As là phổ của ma trận1A (tậptất cả các giá trị riêng của1A, tức là các số sao cho10I Aa ). Vì1( )As chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số1( )Aa s. Khi đó ta có 1 11 1 1 110.E A Q Q E A PPQ QEP QAP P Q I A Pa aa a Suy ra0E Aa . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận( , )E A là chínhquy.Điều kiện đủ Giả sử( , )E Alà cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồntại sốa sao cho0E Aa . Xét hai ma trận1ˆ( )E E A Ea và1ˆ( )A E A Aa .Ta có: 1 1 11 1( )ˆˆ.E A E A I E A A E A E IE A A I E A E A I Ea a a a aa a a a Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem[10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho [...]... sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn - 19 - CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn Ex(k 1) Ax(k ) Bu (k ) , k 0,1,2, , L , (2.1) trong đó L là một số cố định cho trước, x(k ) là các... hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được 2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng - 32 - Ex(k 1) Ax(k ) Bu (k ); y (k ) Cx(k ), Trong (2.20), x(k ) y (k ) r n k (2.20) 0,1,2, m... chứng minh Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với 0,1,2, , L thường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time k series) Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theo công thức các công thức (1.23a) và (1.23b) Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng ( ) thì các công thức nghiệm của nó được xác định như... cứu hệ phương trình sai phân (1.19) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)) Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22) 1.4.1 Mệnh đề n1 Với mỗi điều kiện ban đầu z1 (0) và dãy điều khiển u (i ), i 0,1,2, , nghiệm của (1.22a) có dạng z1 (k ) A1k z1 (0) k 1 A1k i 1 B1 (i )u (i ) (1.23a) i 0 Chứng minh Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương. .. minh Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]) 1.4.2 Mệnh đề Giả sử L>0 là một số cố định cho trước Khi đó với điều kiện cuối z2 ( L) và dãy điều khiển u (k ) , k Nz2 (k 1) 0,1,2, , L cho trước, nghiệm của phương trình B2 (k )u (k ) , k z2 ( k ) (1.20b) 0,1,2, , L được tính theo công thức sau: z2... không có tính chất nhân quả Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thường là hệ có tính chất nhân quả Phương trình (1.22b) là một công thức truy hồi lùi, trong đó trạng thái z2 (k ) hoàn toàn được xác định bởi z2 ( L) và các điều khiển u (i ), i k , k 1, , L theo công thức (1.23b) Khi N 0 , từ (1.23b), ta có z2 (k ) B2 (k )u (k ) , tức là z2 (k ) hoàn toàn xác định bởi... rằng hệ (2.20) là suy biến, tức là rankE là n Sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn (2.20) và chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là hệ (2.1) là hệ rời rạc hữu hạn, tức là k 0,1, , L , trong đó L là cố định cho trước, do đó nghiệm của nó được xác định theo cả điều kiện đầu x1 (0) và điều kiện cuối x2 ( L) Còn hệ (2.20) là một chuỗi thời gian vô hạn nên ta chỉ có điều kiện ban đầu Trước tiên, với hệ. .. nhất x1 (k ) u (k 1) u (k ) của x2 (k ) tại thời điểm k phụ 2 thuộc vào điều khiển tương lai u (k 1) (trước một bước) và điều khiển u (k ) 2 (tại chính thời điểm k ), trong khi đó tọa độ thứ hai x2 (k ) u (k ) của x2 (k ) chỉ phụ thuộc vào điều khiển u (k ) Nhận xét Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào... là các ma trận có số chiều tương ứng là n n và n r Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thể bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiển đối với x(k ) Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêu chuẩn điều khiển được của hệ (2.1) 2.1.1 Điều... thể đưa hệ (2.20) về dạng x1 (k 1) A1 x1 (k ) B1u (k ); (2.21a) y1 (k ) C1 x1 (k ); Nx2 (k 1) x2 (k ) B2u (k ); (2.21b) y2 (k ) C2 x2 (k ); y (k ) y1 (k ) y2 (k ); k 0,1,2, , (2.21c) trong đó A1 n1 n1 , QB : B1 / B2 , CP : - 33 - C1 C2 và N n2 n2 là lũy linh cấp h Các hệ con (2.21a) và (2.21b) được gọi là hệ con tiến và hệ con lùi Hệ con tiến (2.21a) là hệ phương trình sai phân thường, nghiệm của nó . giữa phương trình sai phân thường và phươngtrình sai phân ẩn. - 20 -CHƯƠNG IIMỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNHCỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH2.1 TÍNH. THỨC NGHIỆMCỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂNHệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển