Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân đại số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số . 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận . 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số . 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số . 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động . 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định . 37 3.3 Công thức bán kính ổn định . 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt . 55 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo . 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, . Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, . Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: '( ) + ( ) 0ttA x t B x t ở đó, , , , : , , ,nnA B C I L x I I aRR a là hằng số, det 0 A t t I. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng '( ) - ( ) 0Ax t Bx t trong đó A, B là các ma trận thực, det 0.A Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 ' , 0A t x t B t x t t trong đó . 0, ;loc nnAL K, . 0, ;loc nnBL K, ở đây công thức bán kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1. Cho . P L P được gọi là một phép chiếu nếu 2PP. Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: ImnKerP P . ii) Mỗi phân tích nUV tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho nAL. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà 1kkKerA KerA. 1min :kkindA k KerA KerA Định lý 1.1.4. Với mọi nAL ta luôn có: k k nimA KerA với mọi k thoả mãn 0<k<indA. k k k k nimA KerA imA KerA với k indA. Định nghĩa 1.1.5. Cho ,nA B L . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính quy nếu c sao cho det 0cA B. Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà det 0cA B. Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là ,ind A B, là chỉ số của ma trận 1cA B A. 1,ind A B ind cA B A (Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Định lý 1.1.7. Nếu nQL không suy biến thì: , , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B. Nếu A, B là giao hoán được thì ,ind A B ind A. Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c R sao cho cA + B khả nghịch, đặt 1Q cA B. Khi đó, QA và QB là giao hoán được. Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và 1krank cA B A r thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho: ,,rA Pdiag I U Q ,nrB Pdiag W U Q ở đó 11 ij, ., , max ,srrl l lls i rU diag U U l k U u L với ij1 khi 1; 0 khi 1jiuji0kU còn 0 lU l k. Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x KerAvà Bx ImAsuy ra x = 0 3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi nWL. 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA. 6) Với ::nS x Bx ImA thì nS KerA . 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp nEL thoả mãn: 1,0AEA 12,BEBB 1rankA rankA, ta nhận được ma trận không suy biến 12nALB. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 2 , 3 , 9 Xét hệ phương trình vi phân dạng: , , ' 0F t x t x t (1.2.1) trong đó: :nxI , ,Ia :nnF I D , , , ,t x y F t x y D là tập mở trong,n,nnF C I D , '',,nnxyF F C I D L. Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn '', , ' 0xKerF t x t x t với mọi , , 'nt x x I D . Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: 'A t x t B t x t q t (1.2.2) trong đó: ,,nA B C I L , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi ,tI là hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng: , , ' 0F t x t x t (1.2.3) trong đó: :nxI , ;Ia , :nnF I D , , , ,t x y F t x y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 D là tập mở trong ,n,nnF C I D , '',,nnxyF F C I D L '', , ' 0xKerF t x x , , 'nt x x I D . Giả thiết '', , 'xKerF t x x không phụ thuộc vào x và x’ tức là: '', , 'xKerF t x x N t , , 'nt x x I D . Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch Nt được gọi là trơn trên I nếu có ma trận hàm khả vi liên tục 1,nQ C I L sao cho 2Q t Q t, ImQ(t) = N(t) tI. Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt 1,nnP t I Q t P C I L . Ta có: 1''0, , , , , , 1xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds và từ '''', , ' , , 0xxQ t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y. Từ đó ta suy ra: 1''0, , , , , , 1 0xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds hay , , , ,F t x y F t x P t y , , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t Điều này cho thấy, để hàm :nxI là nghiệm của (1.2.3) thì cần phải có 1,,nPx C I ,nQx C I . Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau: 1 1 1, , : ,n n nNC I x C I Px C I . Đặt '', , : , , , ,nxyS t x y z F t x y z ImF t x y ''1, , : , , , ,yxG t x y F t x y F t x y Q t '11, , : , , , , 'yA t x y G t x y F t x y P t Q t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 11, , : , ,N t x y KerA t x y '11, , : , , , ,nxS t x y z F t x y P t z ImA t x y Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 1 trên tập mở nG I D nếu ,,nN t S t x y ,,t x y G. Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 2 trên tập mở nG I D nếu: 1dim , , 0N t x y const và 11, , , ,nN t x y S t x y ,,t x y G Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng: '0A t x t B t x t (1.2.4) trong đó :nxI , ,,nA B C I L , det 0At với mọi tI. N t KerA t trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên tục. Đặt:P t I Q t. ::nS t z B t z ImA t 1:'A t A t B t A t P t Q t 11:N t KerA t 11::nS t z B t P t z ImA t Gọi 1Qt là phép chiếu khả vi liên tục lên 1Nt dọc theo 1St, 11:P t I Q t. 1 1 1:'B t B t A t PP P t Đặt 2 1 1 1:A t A t B t Q t Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi nN t S t tI tức là 1det 0At tI. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi 111dim 0 nN t constN t S t t IRtức là 12det 0 det 0 A t t IA t t I Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng: '0Ax t Bx t (1.2.5) trong đó: :nxI , ,nA B L , det 0A. Khi đó: :N KerA ::nS z Bz ImA Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA). 1:A A BQ, 11:N KerA, 11::nS z B z ImA Gọi 1Q là phép chiếu lên 1N dọc 1S, đặt 11:P I Q. 1:B BP, 2 1 1 1 1 1:A A BQ A BPQ Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi nNS 1det 0A. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ khi 111dim 0 nN constNSR tức là 12det 0 det 0 AA 1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số 1 , 3 Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số. Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: [...]... QA1-1Bu t QA1-1q t ( ) ( ) trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn ( ) là hệ phương trình đại số Đặc biệt, khi q t u' t v t 0 ta được hệ: PA1-1Bu t 0 QA1-1Bu t 0 ( ') ( ') 1.3.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2 Khi đó det A1 0, det A2 0 Xét vế trái của (1.3.1) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn... cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và phức bằng nhau cũng được chứng minh 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình Ax '(t ) - Bx(t ) 0 (2.1.1) trong đó x m , A, B K m m ,(K hoặc ) , det A = 0, cặp ( A, B) là chính quy chỉ số k ≥ 1 Ta biết rằng khi... hệ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 http://www.lrc-tnu.edu.vn -1 u ' PP A2 Bu 0 1 -1 w QP A2 Bu 0 1 v 0 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số 3 14 , 15 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: A t x' t trong đó: x : I B t x t n , A, B (1.4.1) 0 L n , det A 0 , q Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x t C I , Rn 0 1.4.1 Hệ phương trình vi. .. , QG 1 , ta có Px ' P ' PG 1 B Px, Qx QG 1 BPx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn Như vậy hệ được chia làm hai phần: phần vi phân và phần đại số Do đó ta cần phải chỉ ra được giá trị đầu của phần vi phân Đặt u P x thì phần vi phân trở thành u' P ' PG 1 B u (3.1.3) Phương trình này được gọi là phương trình vi phân thường (INHODE) của (3.1.1) Nhân cả hai vế... 0 sao cho nếu 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn và với mọi số sao cho nếu e t0 x0 0 cho trước n thoả mãn với mọi t t0 http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG II BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t ) 0 , trong đó A, B, là... 1 1 1 2 2 và G 0 0 0 1 5 Từ đó d d 1 5 , 1 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 0 trong đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG III BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHIỄU ĐỘNG Chương này xét bài toán tìm bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng A t x' t Lloc 0, ; K n trong đó... , s E s u s ds t0 3.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên Ta xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính: A t x' t B t x t (3.1.1) q t ,t 0 trong đó A, B đã cho như trên, q Lloc 0, ; K n Cho N t = KerA t , t Khi đó với những giả thiết về KerA nói trên, tồn tại Q t liên tục tuyệt đối trên N t , nghĩa là Q C 0, ; K n Im Q t n , Q là khả vi hầu khắp nơi, Q2 N t , t 0 Ta... A, B và phương trình Ax '(t ) - B ' ' x1 2 x2 ' ' 2 x1 4 x2 x(t ) 0 Tức là hệ 5 x 2 x2 0, 3 1 4 x 0, 3 1 có duy nhất nghiệm x1 0 vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa x2 0 chọn không “xấu” 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d d Đối với phương trình vi phân đại số, đây là... giữa hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số Định lý 2.2.10 Nếu max G s không đạt được tại một giá trị hữu hạn s thì d s i d Chứng minh Từ (2.2.5) chúng ta thấy: lim s ,s G s t lim ,t Q A BQ G t 1 max G s , s B trong đó Q , được cho như trong (2.2.4) Giả sử tn là một dãy trong 0, lim sao cho n tn Với mỗi n ta chọn un * m và yn* với yn T m sao cho Số hóa... det A 0 , q C I , Rn 1.3.1 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1 Gọi Q là phép chiếu lên KerA , P : In Q Khi đó, AQ = 0 QP = 0 A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP Do vậy, hệ (1.3.1) A1Px ' t AQx t 1 BPx t q t Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với PA1 1 . phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương. là hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại