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♣❤ô q✉② ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❧♦➵✐ ■■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✺✳✹ ❙ö ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✺✳✺ ❙ö ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❜❐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✺✳✻ ❙ö ❞ô♥❣ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✺✳✼ ▼ét sè ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ✷✵ ✶ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✶✳✶ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤② ❈❤♦ ✷ ❙è ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✶✳✷ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤② ❈❤♦ ✸ ❙è ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✶✳✸ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤② ❚æ♥❣ ◗✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤②✲❙❝❤✇❛r③ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶ ❇✃t ➜➻♥❣ ❚❤ø❝ ❈❛✉s❤②✲❙❝❤✇❛r③ ❈❤♦ ✹ ❇✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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➤➲ ❝❤♦ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t (x; y) = 43 17 ; 11 17 ✰ ●✐➯✐ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sö ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❚❛ ❝ã D = 2 3 3 −4 = 2.(−4) − 3.3 = −17 = 0 D x = 7 5 3 −4 = 7.(−4) − 5.3 = −43 D y = 2 3 7 5 = 2.5 − 3.7 = −11 ✻ ❱❐② ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t (x; y) = D x D ; D y D = 43 17 ; 11 17 ❇➭✐ ❚❐♣ ✶✳✶✳ ●✐➯✐ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ a) 3x + 4y = 7 x − 3y = 5 b) 2x + 5y = 6 −x − 3y = 4 c) 5x + 4y = 3 −2x − 3y = 5 d) 6x − 5y = 3 5x − 3y = 4 e) x − 4y = 7 x + 3y = 5 f) 2x − y = 3 3x − 5y = 4 ✶✳✷ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ♥❤✃t ✸ ➮♥ ✸ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ♥❤✃t ✸ ➮♥ ✸ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 ➜Ó ❣✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② t❛ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝é♥❣ ➤➵✐ sè ➤Ó ❦❤ö ❞➬♥ ❜✐Õ♥ sè ❱Ý ❞ô ✶✳✷✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ 2x + 3y − 4z = 7 3x − 4y + 2z = 5 x − 3y + z = 6 ▲ê✐ ❣✐➯✐ ✶✳✷✳ ◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ ✈í✐ ✷ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❜❛ ✈í✐ ✹ t❛ ➤➢î❝ 2x + 3y − 4z = 7 3x − 4y + 2z = 5 x − 3y + z = 6 ⇔ 2x + 3y − 4z = 7 6x − 8y + 4z = 10 4x − 12y + 4z = 24 ❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ ❦❤ö ❜✐Õ♥ z ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝é♥❣ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ✷ ✈➭ ❝é♥❣ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ✸✳ ⇔ 8x − 5y = 17 6x − 9y = 31 x − 3y + z = 6 ❚✐Õ♣ tô❝ ❦❤ö x ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ♥❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 8x − 5y = 17 ✈í✐ 3 ✈➭ 6x − 9y = 31 ✈í✐ 4 s❛✉ ➤ã trõ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ✷✳ ⇔ 24x − 15y = 51 24x − 36y = 124 x − 3y + z = 6 ⇔ 21y = −73 8x − 32y = 124 x − 3y + z = 6 ✼ ❚❛ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ y✱ t❤❛② ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ x s❛✉ ➤ã t❤❛② y, x ✈õ❛ ❣✐➯✐ ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ✸ ❣✐➯✐ z✳ ❚❛ ➤➢î❝ ⇔ y = − 73 21 x = − 1 21 z = − 92 21 ❱❐② ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t (x; y; z) = − 1 21 ;− 73 21 ;− 92 21 ❇➭✐ ❚❐♣ ✶✳✷✳ ●✐➯✐ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ a) x + 3y − 4z = 5 2x − 4y + 3z = 4 x − 3y + z = 6 b) x + 3y − 7z = 2 3x − 4y + 3z = 1 x − 3y + 2z = 6 c) x + y − 2z = 5 2x − y + 3z = 4 x − 3y + 5z = 7 d) 2x + 3y − z = 2 x − y + 3z = 1 4x − 3y + z = 3 ✷ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❧♦➵✐ ■ ➜➞② ❧➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♠➭ ❦❤✐ ➤æ✐ ✈Þ trÝ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ sè x ✈➭ y ❝❤♦ ♥❤❛✉ t❤× tõ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❤Ö ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤æ✐✳ ➜Ó ❣✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧♦➵✐ ♥➭② t❛ ➤➷t ➮♥ ♣❤ô S = x + y ✈➭ P = xy ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❝❤ó ý ❧➭ S 2 ≥ 4P ❱Ý ❞ô ✶✳✸✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ x 2 + y 2 = 5 x + y + xy = 5 ▲ê✐ ❣✐➯✐ ✶✳✸✳ ➜➷t S = x + y ✈➭ P = xy❀ S 2 ≥ 4P ❈❤ó ý S 2 = x 2 + y 2 + 2xy ⇒ x 2 + y 2 = S 2 − 2xy = S 2 − 2P ❚❤❛② ✈➭♦ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❛ ➤➢î❝ ⇔ S 2 − 2P = 5 S + P = 5 ⇔ S 2 − 2(5 − S) = 5 P = 5 − S ⇔ S = −5 S = 3 P = 5 − S ⇔ S = −5 P = 10 S = 3 P = 2 (S; P ) = (−5; 10) ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (S; P ) = (3; 2) t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✽ S = 3 P = 2 ⇔ x + y = 3 xy = 2 ⇔ (x; y) = (1; 2) (x; y) = (2; 1) ❈❤ó ý ë tr➟♥ t❛ ➤➲ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐ X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − 3X + 2 ➤➢î❝ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ 1 ✈➭ 2 s✉② r❛ (x; y) = (1; 2) ❤♦➷❝ (x; y) = (2; 1) ❇➭✐ ❚❐♣ ✶✳✸✳ ●✐➯✐ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ a) x 2 + y 2 + xy = 4 x + y + xy = 2 b) x 3 + y 3 + x 3 y 3 = 17 x + y + xy = 5 c) x y + y x = 13 6 x + y = 5 d) x √ y + y √ x = 6 x 2 y + y 2 x = 20 e) x + y − √ xy = 3 √ x + 1 + √ y + 1 = 4 f) x 4 + y 4 = 17 x + y + xy = 5 ✸ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❧♦➵✐ ■■ ▲➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♠➭ ❦❤✐ t❛ t❤❛② ➤æ✐ ✈Þ trÝ ❝ñ❛ x ✈➭ y t❤× ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤æ✐ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t✱ t❤ø ❤❛✐ ➤æ✐ ❝❤ç ❝❤♦ ♥❤❛✉✳ ➜Ó ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧♦➵✐ ♥➭② t❛ t❤➢ê♥❣ trõ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ❝ñ❛ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr♦♥❣ ❤Ö✱ ➤➠✐ ❦❤✐ ❦Õt ❤î♣ ❝➯ ❝é♥❣ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ✈➭ trõ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ✦ ❱Ý ❞ô ✶✳✹✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ 2x + y = x 3 2y + x = y 3 ▲ê✐ ❣✐➯✐ ✶✳✹✳ ❚rõ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ❝ñ❛ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr♦♥❣ ❤Ö t❛ ➤➢î❝ x 3 − y 3 = x − y ⇔ (x − y)(x 2 + y 2 + xy − 1) = 0 ⇔ x − y = 0 x 2 + y 2 + xy = 1 ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶✿ x = y ❚❤❛② ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 2x + y = x 3 t❛ ➤➢î❝ x 3 − 3x = 0 ⇔ x = 0 x = √ 3 x = − √ 3 ❚❛ ➤➢î❝ ❜❛ ♥❣❤✐Ö♠ (0; 0); ( √ 3; √ 3); (− √ 3;− √ 3) ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✿ x 2 + y 2 + xy = 1 ❚❛ ❝ã 2x + y = x 3 ⇔ (x 2 + y 2 + xy)(2x + y) = x 3 ⇔ x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = 0 ⇔ (x + y) 3 = 0 ⇔ x = −y ✾ ❚❤❛② y = −x ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 2x + y = x 3 t❛ ➤➢î❝ x 3 − x = 0 ⇔ x = 0 ; y = 0 x = 1 ; y = −1 x = −1 ; y = 1 ❑Õt ❧✉❐♥✿ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ❝ã ✺ ♥❣❤✐Ö♠ (0; 0); ( √ 3; √ 3); (− √ 3;− √ 3); (1;−1); (−1; 1) ❇➭✐ ❚❐♣ ✶✳✹✳ ●✐➯✐ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ a) x 2 = 3x − 4y y 2 = 3y − 4x b) x 2 = 3x + 2y y 2 = 3y + 2x c) x 2 = 2y 2 + 2x + y y 2 = 2x 2 + 2y + x d) 2x + 1 y = 3 x 2y + 1 x = 3 y e) 3y = y 2 +2 x 2 3x = x 2 +2 y 2 f) y 3 (3x − 2) = 1 y(x 3 + 2) = 3 ✹ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➻♥❣ ❝✃♣ ❜❐❝ ❤❛✐ ▲➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ a 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 = d 1 a 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 = d 2 ➜Ó ❣✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② t❛ ➤➷t y = tx✱ ❣✐➯✐ t s❛✉ ➤ã ❣✐➯✐ x ✈➭ y✳ ❱Ý ❞ô ✶✳✺✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ x 2 − 3xy + y 2 = −1 3y 2 − xy + 3x 2 = 13 ▲ê✐ ❣✐➯✐ ✶✳✺✳ ❚❛ t❤✃② x = 0 ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✱ ✈× t❤❛② x = 0 ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ t❛ ➤➢î❝ y 2 = −1 ✭✈➠ ♥❣❤✐Ö♠ ✮✳ ❱í✐ x = 0 t❛ ➤➷t y = tx✱ ❦❤✐ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ trë t❤➭♥❤ x 2 (1 − 3t + t 2 ) = −1 x 2 (3 − t + 3t 2 ) = 13 ❈❤✐❛ ✈Õ ❝❤♦ ✈Õ t❛ ➤➢î❝ 1 − 3t + t 2 3 − t + 3t 2 = −1 13 ⇔ t = 2 t = 1 2 ❚❤❛② t = 2 ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t t❛ ➤➢î❝ −x 2 = −1 ⇔ x = 1 x = −1 x = 1 ⇒ y = 2 ✶✵ . −3y 2 − 9xy + 5x 2 = 15 b) xy − y 2 = 12 x 2 − xy = 28 c) x 2 + 5xy − 5y 2 = 9 3y 2 − 9xy + 5x 2 = −1 d) x 2 + 3xy − 5y 2 = −13 3y 2 − 9xy + 2x. y 3 = x 3 (9 − x 3 ) x 2 y + y 2 = 6x ▲ê✐ ❣✐➯✐ ✶✳✽✳ ❚❛ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤➭♥❤ x 6 + y 3 = 9x 3 y(x 2 + y) = 6x ⇔ x 6 + y 3 = 9x 3 y(x 2 +
