Đang tải... (xem toàn văn)
-Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.... Gọi D là giao điểm của AB và OH.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012
Mơn : TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012
Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1)
Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013
2
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( nZ )
Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - 2012.So sánh f(1- 2011)
f(1-2013)
Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM Chứng minh :
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
Câu : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương
Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : 4 3
x y xy x y
Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x 32 2x 6
Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có Aµ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh rằng:
BC 2R.sin A
Câu 10:(1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1
Cõu 11:(1,5điểm) Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB , AC trung tuyến AM theo thứ tự
tại E ,F,N
(EA,B FA,C ).Chøng minh : AB AC 2AM AEAF AN
Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường trịn Gọi OH khoảng
cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến
MA,MB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB với
(2)- Giám thị khơng giải thích thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012
Mơn : TỐN
Ngày thi :18/02/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1)
A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ
= (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ
= (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36
0,5đ
Câu 2(2,0 điểm) B = 2014 2013 2014 2013
4
0,5đ
= ( 2013 1)2 ( 2013 1)2
4
0,5đ
= 2013 2013
2
0,5đ
= -1 0,5đ
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( nZ )
A = n3 – 6n2 – 12n + 18 A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,5đ
A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ
Do n(n – 1)(n+1) tích số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 0,5đ
Mặt khác – 6n2 – 12n + 18 nên A 6 0,5đ
Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x- 2012.So sánh f(1- 2011)và
f(1-2013)
Biến đổi (4m - m2 - 5) = m 2 21
0,5đ
m 2 21 0
(3)Lập luận 1 2011 1 2013
0,5đ
f (1 2011) f (1 2013) 0,5đ
Câu : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh :
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
Vẽ AHBC ,HBC
c/m AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ
c/m AH2 = AM2 - HM2
BH2 = BM2 -2BM HM+HM2
CH2 = HM2 -2HM CM+CM2 (2) 0,5đ
Từ (1),(2)
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
0,5đ
Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Vì a + 13 a – 76 số phương
Đặt a + 13 = m2, a – 76 = n2 với m, n N.
0,25đ
m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 số nguyên tố m – n < m + n nên m n m n 89
m 45 n 44
0,75đ
a +13 = 452 a = 2012 0,25đ
Câu : (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x4 y4 xy3 x y3
(1) (1) x4y4 xy3x y3 x(x3- y3) – y(x3- y3)
0,5đ
(x-y)2(x2 + xy + y2) 0,25đ
(x-y)2
2
y 3y
x
2
(2) 0,25đ (2) (1)
0,25đ
H M
A
(4)Dấu “ =” xày x = y 0,25đ
Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x 32 2x 6 C=2x 32 2x 6
0,25đ
Đặt t = |2x- 3| C = t2 – 2t + 0,5đ
C = (t –1)2 + 5 0,25đ
giá trị nhỏ biểu thức C t = 1 x = x = 1 0,5đ
Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có Aµ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh
rằng:BC 2R sin A
Vẽ đường kính BD BCD vuông C 0,5đ
BC = BD.sinD (1) 0,25đ
Ta có A Dµ µ , BD = 2R (2) 0,5đ
Từ (1) (2) BC = 2R.sinA 0,25đ
Câu 10: (1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1
x2 – 2y2 = (x-1)(x+1) = 2y2
0,5đ
Vì y nguyên tố x+1 > x-1 nên xảy trường hợp:
0,25đ 2) 2 2 1 x x y y x (loại) 0,25đ 3) 3 2 x x y y x 0,25đ
Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ
Cõu 11: Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM theo thứ tự E , F ,
N (EA,B FA,C )Chøng minh : AB AC 2AM AEAF AN
B
O A
C D
1
1)
x y x
(5)KỴ BI,CS / /EF (I,S tia AM) 0,25đ
Ta cã: AB AI AC, AS AE AN AF AN 0,25đ
AB AC AI AS ( ) AE AF AN AN
0,25đ
c/mBIMCSM (cgc) IM MS 0,25đ
AI AS AI AI IM MS 2AM 0,25đ
Thay vào (*) ta đợc (đpcm) 0,25đ
Câu 12:
Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường trịn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB OH Chứng minh D điểm cố định
Gọi C giao điểm AB OM
Chứng minh OC.OM = OD.OH
0,5đ
Lập luận OC.OM = OA2= R2 0,25đ
OD.OH = R2 0,5đ 0,25đ
Chứng minh : OD R2 OH
không đổi 0,25đ
D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ
HẾT
d
F N E
I
S M B
A