Giúp học sinh lớp giải toán cực trị A - đặt vấn đề I Lý chọn đề tài : Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý cho đất nớc toán học không cung cấp cho ngời kỹ tính toán cần thiết mà rèn luyện cho ngời khả t logic, phơng pháp luận khoa học Toán học tiền đề, then chốt ngành khoa học khác Để phát triển khả t sáng tạo việc học toán giải toán tìm kết toán cha thể coi kết thúc đợc mà phải tiến hành khai thác mổ xẻ phát triển toán Trong trình dạy học toán nói chung nh trình dạy học giải toán nói riêng ngời dạy nh ngời học cần tạo cho thói quen là: Sau tìm đợc lời giải toán, dù đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm đễn kết HÃy suy nghĩ đến việc khai thác toán để sáng tạo toán sở toán đà cho Chính lý chọn đề tài : Khai thác phát triển toán áp dụng tính chất dÃy tØ sè b»ng ” II Mơc ®Ých : Nhằm phát triển t logic phơng pháp luận khoa häc, ph¸t triĨn ãc thÕ giíi quan vËt biện chứng vật lịch sử Thông qua đề tài hình thành cho học sinh lực thích ứng với thay đổi thực tế để tù chđ, tù lËp lao ®éng, cc sèng Kích thích trí tởng tợng gây hứng thú học tập toán, góp phần rèn luyện phơng pháp học tập rèn luyện có kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo linh hoạt III Nội dung : III.1 TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng : Tõ a c  b d ta suy a c a c a  c    b d bd b d Tõ d·y tØ sè b»ng a c e   b d f víi b ≠ d; b ≠ -d ta suy : a c e a c e a c e     b d f bd  f b d  f III.2 Hệ thống tập áp dụng : A Dạng 1: Các toán chứng minh : Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Qu¸n Toan -1- Gióp häc sinh líp giải toán cực trị Bài toán 1: ( Bµi 73/14/SBT) : Cho a,b,c ≠ Tõ tØ lƯ thøc a c  b d h·y rót tØ lÖ thøc a b c d  a c Lêi gi¶i : Tõ tØ lƯ thøc a c a b    b d c d ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã : a b a  c d c Tõ ta suy : a b a b   c d c d a b c d  a c Từ đâyta phát biểu chứng toán tơng tự sau : Bài toán : Cho a,b,c,d ≠ Tõ tØ lÖ thøc a c  b d h·y suy tØ lÖ thøc : a b c d  a c Sau giải toán ta có toán tổng quát sau : Bài toán : Chứng minh tõ tØ lÖ thøc a c  b d ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc : ma  nb mc  nd  a c Lêi gi¶i : Tõ a c  b d  a b  c d ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã : a b ma nb ma  nb     c d mc nd mc  nd Tõ ma  nb a ma  nb mc  nd    mc  nd c a c Cũng từ toán ta giải toán : Bài toán : Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc Ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc : a c  b d ( a – b ≠ 0; c – d ≠ ) a b c d  a b c d Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -2- Giúp học sinh lớp giải toán cực trị Lời giải : a c b d Từ  a b  c d ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng : Tõ a c a b a  b    b d cd c d a b a  b a b c d    cd c d a b c d Đến ta có toán đảo toán : Bài toán : Chứng minh r»ng tõ tØ lƯ thøc Ta cã thĨ suy tØ lÖ thøc a b c d  a b c d ≠1 a c  b d Lêi gi¶i Ta cã a b c d  a b c d ≠  a  b a  b  b 0 Vµ c + d ≠ c – d  d ≠ a b c d a b a  b    a b c d cd c d Ta cã Tõ a b a  b a b a  b a a b  a b b      c d c  d c d c  d c cd  c d d a b  c d víi b ≠ ; d ≠ ta suy a c b d Đặc biệt hoá toán 4; a=d ta lại có toán sau : Bài toán : Chứng minh nÕu a2= bc th× : a b c b  a b c b Điều đảo lại có không ? Bài toán : Cho a c b d chøng minh r»ng ta cã thÓ suy tØ lÖ thøc : 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d Lêi gi¶i Ngêi thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Qu¸n Toan -3- Gióp häc sinh líp giải toán cực trị Từ a c b d Ta cã :  a b 2a 3b 2a  3b 2a  3b      c d 2c 3d 2c  3d 2c  3d 2a  3b 2a  3b 2a  3b 2c  3d    2c  3d 2c  3d 2a  3b 2c  3d Tõ ®ã ta tổng quát hoá thành toán sau : Bài toán : Chứng minh từ tØ lÖ thøc a c  b d ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc : ma  nb mc  nd  m ' a  n ' b m' c  n ' d Lêi gi¶i Tõ a c  b d Tõ ma  nb m' a  n' b ma  nb mc  nd    mc  nd m' c  n' d m ' a  n' b m ' c  n ' d  a b ma nb ma  nb m' a n' b m' a  n' b        c d mc nd mc  nd m' c n' d m' c n' d Bài toán : Chứng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a c  b d ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc : ab a  b  cd c  d Lêi gi¶i Tõ tØ lƯ thøc a c a b a b ab a  b        b d c d c d cd c d Bài toán tơng tự toán sau : 10 Bài toán 10 : Chứng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a2 a2  b2  c2 c2  d a c  b d ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc : vµ ta có toán đảo toán 10 11 Bài toán 11 : 2 Chứng minh r»ng:Tõ tØ lÖ thøc a2  a2  b ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc c c d a c  b d Lêi gi¶i Ngêi thùc : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -4- Giúp học sinh lớp giải toán cực trị 2 2 2 Ta cã a2  a2  b  a2  a2  b  b c c d c  c d d a b a b       c d c d hay Suy a c  b d Khai thác toán 11 dẫn đến toán tổng quát sau : 12 Bài toán 12 : 2k 2k 2k 2k Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a2 k  b k  a2 k  b k ( k  N ) c d Ta suy đợc c d a c b d 13 Bài toán 13 : Chứng minh tõ tØ lÖ thøc a c  b d 2 Ta suy đợc tỉ lệ thức : 3a2  5ab2  3c2  5cd2 a  10b 7c  10d Lêi gi¶i Tõ a c  b d  a b  c d 2 2 2 2 Suy a2  b  ab 3a2  5ab  7a 10b 3a2  5ab  7a2  10b c d cd 3c 5cd 7c 10d 3c  5cd 7c  10d 2 2 Tõ tØ lÖ thøc : 3a2  5ab  7a2  10b  3a2  5ab2  3c2  5cd2 3c  5cd 7c  10d a  10b 7c 10d Bài toán 13 lại trờng hợp đặc biệt toán sau : 14 Bài toán 14 : Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a c b d ta suy đợc tØ lÖ thøc ma  nb  kab mc  nd  kcd  m' a  n' b  k ' ab m' c  n' d  k ' cd ( Cách giải tơng tự 13 ) 15 Bài to¸n 15 : Chøng minh r»ng tõ d·y tØ sè b»ng a b c   b c d Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trêng THCS Qu¸n Toan -5- Gióp häc sinh líp giải toán cực trị Ta suy đợc a a b c d bcd Lời giải áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã : a b c a b c abc a  a b c          b c d b c d bcd d  b c d  T¬ng tù ta cã toán sau : 16 Bài toán 16 : Cho bốn số a,b,c,d khác thoả mÃn : b2 = ac ; c2 = bd 3 Chøng minh r»ng : a3  b2  c  a b c d d 17 Bài toán 17 : Cho a1 a2 a a     a2 a3 a9 a1 Víi a1+a2+a3+a4+ +a9 ≠ Chứng minh a1=a2= =a9 Lời giải áp dụng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng : a1 a2 a a a  a  a   a9       1 a2 a3 a9 a1 a2  a3   a9  a1 Do ®ã a1=a2 ; a2=a3 ; ; a9=a1 Hay a1=a2= =a9 18.Bài toán 18 : Chứng minh cã d·y tØ sè b»ng : a1 a2 a    2003 th× ta cã thĨ suy đợc đẳng thức : a2 a3 a2004 a  a2   a2003  a1   a2004  a2  a3   a2004 2003 Lời giải áp dụng tính chất dÃy tỉ sè b»ng : a1 a2 a a  a   a2003    2003  a2 a3 a2004 a2  a3  a2004 Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -6- Giúp học sinh lớp giải toán cực trị Ta cã :  a1  a2   a2003     a2  a3   a2004  VËy : 2003   a1  a2   a2003     a2  a3   a2004  a1 a2 a2003 a  a2 a3 a2004 a2004 2003  a1 a2004 ( Lu ý toán giải theo nhiều cách ) B Dạng : toán tìm ẩn : Bài toán : ( Bài 61 trang 31 SGK ) Tìm ba sè x ; y ; z biÕt r»ng : x y y z  ;  x+y-z=10 Lời giải Từ x y y z x y z  ;     12 15 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng : x y z x y z 10     2 12 15  12  15 Do ®ã : x = 8.2=16 y= 12.2=24 z= 15.2 =30 VËy x=16 ; y=24 ; z=30 Bài tập tơng tự Bài toán : Tìm ba số x ; y ; z biÕt r»ng : a) x y y z  ;  vµ 2x-3y+z=6 b) x y y z  ;  vµ x+y-z=69 c) 3x=2y ; 7y=5z vµ x-y+z=32 Bµi toán : Tìm ba số x ; y ; z biÕt r»ng : x y z   x2-y2+2z2=108 Lời giải Từ x y z x2 y2 z2      4 16 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ số : Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -7- Giúp học sinh lớp giải toán cực trÞ x y z 2 z a  b  2c 108      4 16 32   32 27 Do ®ã : a2 = 16  a 4 b2 = 36  b 6 c2 = 64  c 8 VËy a=4; b=6; c=8 a=-4; b=-6; c=-8 Các tập tơng tự Bài toán : Tìm ba số x ; y ; z biÕt r»ng : x x  ;  y z vµ x2+y2+z2=217 Bµi tập : Tổng lập phơng ba số 99 Tỉ số số thứ số thứ hai , số thứ số thứ ba Tìm ba số Bài toán : Tìm ba sè x ; y ; z biÕt r»ng : x3 y3 z3   64 216 vµ x2+y2+z2=14 Lêi gi¶i Tõ 3 x3 y z3 x y z x2 y2 z2  x  y  z               64 216   16 36  4  6 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng : x y z x  y  z 14      16 36  16  36 56 Do ®ã : x  1  x 1 16 y  4  y 2 36 z  9  z 3 VËy x=1; y=2; z=3 vµ x=-1; y=-2; z=-3 Ta tiếp tục với 62/31 SGK để giải toán với giả thiết tơng tự Bài toán : ( Bài 62/31 SGK ) Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -8- Giúp học sinh lớp giải toán cực trị Tìm hai sè x vµ y biÕt : x y  xy=10 Lời giải : Ta có x y x2 y2 xy 10      1 25 2.5 10 Do ®ã : x 4  x 2 y 25  y 5 VËy : x=2; y=5 vµ x=-2; y=-5 Bài toán : Tìm hai số x y biÕt : x y  vµ x4.y4=16 Lêi gi¶i 4 8 4 Ta cã x  y  x  y4  x8  y8  x y4  16  4 4 4 4 Do ®ã : 28 1  x 1 44 48 y  4  y 2 x8  VËy x=1; y=2 vµ x=-1; y=-2 Bài toán : Tìm hai số x vµ y biÕt : y2  x2 x2  y2 x10.y10=1024 Lời giải Ta có : y  x2 x2  y y  x2  x2  y y y  x2  x2  y     x2 35 3 10 20 10 10 VËy : x  y  x  y  x10  y10  x 20  y 20  x 10y 1024 1 10 2 2 Do ®ã : x 20 1  x 1 y 20 2 20  y 2 VËy x    y 2 vµ  x    y  Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan -9- Giúp học sinh lớp giải toán cực trị 10 Bài toán 10 : Một bể chứa nớc hình chữ nhật, chiỊu réng vµ chiỊu dµi tû lƯ víi vµ ChiỊu réng vµ chiỊu cao tØ lƯ víi vµ ThĨ tÝch cđa bĨ lµ 64 m TÝnh chiỊu réng, chiỊu dµi vµ chiỊu cao cđa bĨ Lêi gi¶i : Gäi x, y, z lần lợt chiều dài, chiều rộng chiều cao cđa bĨ chøa níc ( x, y, z >0 ) Theo bµi ta cã : x y y z x y z  ;     5 25 20 16 vµ x.y.z=64 3 Tõ : x  y  z  x  y  z  x y.z  25 20 16 25 20 16 25.20.16 64  25.20.16 Do ®ã : 253 x  53  x 5 203 43  y 4 53 163 z   3,2   z 3,2 y3  IV Kết luận Trong trình thực chuyên đề thấy : - Học sinh không bị lúng túng gặp phải dạng toán áp dụng tính chất dÃy tỉ số cách tìm lời giải trình bày lời giải - Học sinh thực có hứng thú say mê học , làm tập sách tham khảo để tìm thêm toán dạng - Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ toán theo hớng khác - Với thân qua nghiên cứu chuyên đề tự đợc nâng cao nhận thức, trình độ góp phần nâng cao chất lợng giáo dục đào tạo - Chuyên đề chắn không tránh khỏi hạn chế định, mong đợc góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp V Tài liệu tham khảo : S¸ch gi¸o khoa to¸n tËp S¸ch tập toán tập Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Quán Toan - 10 - Gióp häc sinh líp giải toán cực trị Các dạng toán phơng pháp giải toán tập Ôn tập kiểm tra đại số Ngời thực : Phạm Thị Duyên Giáo viên trờng THCS Qu¸n Toan - 11 - ...  5ab  7a 10b 3a2  5ab  7a2  10b c d cd 3c 5cd 7c 10d 3c  5cd 7c  10d 2 2 Tõ tØ lÖ thøc : 3a2  5ab  7a2  10b  3a2  5ab2  3c2  5cd2 3c  5cd 7c  10d a 10b 7c 10d Bài toán 13... đâyta phát biểu chứng toán tơng tự sau : Bài toán : Cho a,b,c,d Tõ tØ lÖ thøc a c  b d h·y suy tØ lÖ thøc : a b c d a c Sau giải toán ta có toán tổng quát sau : Bài toán : Chøng minh r»ng...  b c d Tơng tự ta có toán sau : 16 Bài toán 16 : Cho bốn số a,b,c,d khác tho¶ m·n : b2 = ac ; c2 = bd 3 Chøng minh r»ng : a3  b2  c  a b c d d 17 Bài toán 17 : Cho a1 a2 a a   