Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn thạc sĩ toán học
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Mã số: Phương pháp Tốn sơ cấp 60.46.40 Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lời cảm ơn KiÕn thøc chn bÞ vỊ lÝ thut nhãm 1.1 Nhãm, nhãm xylic vµ nhãm 1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhãm 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp 1.4 C«ng thức lớp Định lí Burnside 10 Mét sè øng dơng vµo sè häc 15 2.1 Mét sè øng dụng đơn giản 15 2.2 Một số ứng dụng Định lí Lagrange Ưng dụng Công thức lớp Định lÝ Burnside 19 2.3 ´ ¦ng dơng vào tổ hợp 3.1 20 26 3.2 Nhóm đối xứng Ưng dụng vào tổ hợp 27 3.3 Mét sè vÝ dô minh häa 31 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 26 Lêi cảm ơn Sau nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ với đề tài nghiên cứu Ưng dụng lý thuyết nhóm số toán sơ cấp đG đợc hoàn thành Những kết qủa ban đầu mà thu đợc nhờ hớng dẫn tận tình nghiêm khắc cô giáo PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đG tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành đề tài thời gian qua Đội ngũ cán thuộc phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin đG hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I với thái độ nhiệt tình, thân thiện Điều mGi ấn tợng tốt đẹp lòng nhà Trờng Tôi tự hào trình học tập đG đợc Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí nhà toán học hàng đầu Việt nam lĩnh vực Phơng pháp toán sơ cấp giảng dạy cho nh GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải Và lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, ngời thân đG động viên, cổ vũ suốt qúa trình nghiên cứu S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Lí thuyết nhóm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Đại số đại Lí thuyết có ứng dụng sâu sắc nhiều hớng khác toán học, vật lí Đặc biệt, số kĩ thuật lí thuyết nhóm đG đợc sử dụng để mang lại kết đẹp toán sơ cấp Chẳng hạn, tính giải đợc đa thức đG đợc giải trọn vẹn E Galois thông qua việc sư dơng c¸c kiÕn thøc cđa lÝ thut nhãm phèi hợp cách tài tình với lí thuyết trờng đa thức Trong luận văn này, khai thác số ứng dụng lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp lĩnh vực: Số học Tổ hợp Công cụ chủ yếu lí thuyết nhóm đợc vận dụng Định lý Lagrange Cấp chØ sè cđa mét nhãm cđa mét nhãm h÷u hạn ớc cấp toàn nhóm Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu f (g), f (g) hạn X số quỹ đạo tác động (G : e) gG số phần tử X cố định qua tác động g Luận văn đợc trình bày chơng Chơng kiến thøc chn bÞ vỊ lý thut nhãm nh»m phơc vơ cho chơng sau, bao gồm khái niệm tính chất nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng tác động nhóm lên tập hợp Các kiến thức thuật ngữ Chơng I đợc tham khảo chủ yếu sách lý thut nhãm cđa J Rotman [Rot] vµ J F Humphreys [Hum] Chơng số ứng dụng vào số học Một số kết Tiết 2.1 2.2 tổng hợp lại theo chủ đề ứng dụng đG biết lí thuyết nhóm sè häc (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn nhng có tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi hiểu biết (xem 2.1.1, 2.1.2) Tiết 2.3, đợc trình bày theo báo công bố năm 2005 T Evans B Holt [EH], chứng minh lại công thức số học cổ điển phơng pháp sử dụng công thức lớp Định lý Burnside lí thuyết nhóm Chơng cuối luận văn ứng dụng lý thuyết nhóm vào số toán tổ hợp Thực chất, có lí thuyết nhóm soi vào, toán tổ hợp đG bớt phức tạp hơn, cách giải không mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn Toán tổ hợp nữa, mà trở thành rõ ràng, hệ thống vµ dƠ hiĨu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch−¬ng KiÕn thøc chuẩn bị lí thuyết nhóm Mục đích chơng nhắc lại số kiến thức nhóm, định lí Lagrange, tác động nhóm lên tập hợp, công thức lớp Định lí Burnside Kiến thức cần thiết cho ứng dụng giải số toán sơ cấp đợc trình bày Chơng II Chơng III Các kiến thức thuật ngữ đợc tham khảo sách lÝ thuyÕt nhãm [Ash], [Rot] vµ [Hum] 1.1 Nhãm, nhãm xylic nhóm 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tập G với phép toán thoả mGn điều kiện (i) Phép toán có tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G (ii) G cã đơn vị: e G cho ex = xe = x, ∀x ∈ G (iii) Mäi phÇn tư cđa G khả nghịch: Với x G, tồn t¹i x−1 ∈ G cho xx−1 = x−1 x = e Một nhóm G đợc gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) phép toán giao hoán Nếu G có hữu hạn phần tử số phần tử G đợc gọi cấp G Nếu G có vô hạn phần tử ta nói G có cấp vô hạn ã Một số ví dụ nhãm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn - TËp Z c¸c số nguyên, tập Q số hữu tỷ, tập R c¸c sè thùc, tËp C c¸c sè phøc víi phÐp cộng thông thờng nhóm giao hoán cấp vô hạn - Tập S(X) song ánh từ tập X đến với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng X Nếu X có n phần tử S(X) có cấp n! nhóm không giao hoán n - Với số tự nhiên m 1, tập Zm lớp thặng d theo môđun m với phép cộng lớp thặng d nhóm giao hoán cấp m Tập Zm lớp thặng d theo môđun m nguyên tố với m với phép nhân lớp thặng d nhóm giao hoán cấp (m), hàm Euler ã Một số tính chất sở: Cho G nhóm với đơn vị e Khi - Phần tử đơn vị G - Phần tử nghịch đảo phần tử G - Mọi phần tử G quy, tức thỏa mGn luật giản ớc 1.1.2 Định nghĩa Tập H nhóm G đợc gọi nhãm cđa G nÕu e ∈ H vµ a−1 ∈ H, ab ∈ H víi mäi a, b ∈ H 1.1.3 Định nghĩa Một nhóm G đợc gọi xyclic tồn a G cho phần tử G luỹ thừa a Trong trờng hợp G đợc gọi nhóm xyclic sinh bëi a vµ viÕt G =< a > Chó ý r»ng nhãm cđa nhãm xyclic lµ xyclic Cho G lµ mét nhãm vµ a ∈ G §Ỉt < a >= {an | n ∈ Z} Khi < a > nhóm G, đợc gäi lµ nhãm xyclic sinh bëi a CÊp cđa nhóm < a > đợc gọi cấp phần tử a Dễ thấy a có cấp vô hạn an = kéo theo n = víi mäi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n Z Hơn nữa, a có cấp n n số nguyên dơng bé cho an = e 1.1.4 Định nghĩa Cho A tập nhóm G Khi tồn nhóm G chứa A, chẳng hạn G Giao tất nhóm G chứa A lµ nhãm nhá nhÊt cđa G chøa A Nhóm đợc gọi nhóm sinh tËp A vµ kÝ hiƯu lµ < A > Rõ ràng nhóm sinh tập rỗng {e} NÕu A = ∅ th× < A >= {a1 a2 an | n ∈ N, a1 , , an ∈ A ∪ A−1 }, ®ã A−1 = {x−1 | x ∈ A} 1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm 1.2.1 Định nghĩa Cho H lµ mét nhãm cđa mét nhãm G Ta định nghĩa quan hệ G nh sau: a ∼ b nÕu vµ chØ nÕu ab−1 ∈ H víi a, b G Dễ kiểm tra đợc quan hệ tơng đơng tren G Với a G, gọi a lớp tơng đơng a Ta cã a = {ha | h ∈ H} = Ha Mỗi lớp tơng đơng Ha đợc gọi lớp ghép trái H G Tập thơng G theo quan hệ tơng đơng đợc kí hiệu G/H Khi H có hữu hạn lớp ghép trái ta gọi số H G, kí hiệu (G : H), số lớp ghép trái H 1.2.2 Định lý (Định lí Lagrange) Trong nhóm hữu hạn, cấp số cđa mét nhãm lµ −íc cđa cÊp cđa toµn nhóm ã Sau số hệ trực tiếp Định lí Lagrange S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn - Cho G lµ nhãm cÊp n vµ a ∈ G Khi cấp a ớc n Hơn nữa, an = e - Mỗi nhóm cấp nguyên tố nhóm xylic sinh phần tử tùy ý khác đơn vị - Mọi nhóm cấp giao hoán 1.2.3 Định nghĩa Cho G nhóm Một nhóm H G đợc gọi nhãm chn t¾c nÕu Ha = aH víi mäi a G Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Kí hiệu G/H tập lớp ghép trái H G Khi quy tắc nhân HaHb = Hab với Ha, Hb G/H phép toán G/H, với phép toán này, G/H làm thành nhóm Nhóm G/H xác định nh đợc gọi nhóm thơng G theo nhóm chuẩn tắc H 1.2.4 Định nghĩa Cho G H nhóm Anh xạ f : G H đợc gọi đồng cấu nhãm nÕu f (xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y G Một đồng cấu nhóm đợc gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai nhóm G H đợc gọi đẳng cấu với nhau, viết G = H, có đẳng cấu G H ã Một số tính chất: - Hợp thành hai đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm - Nếu f : G H đồng cấu nhóm f (x1 ) = (f (x))1 f (e) = e víi mäi x ∈ G - Nếu f : G H đồng cấu nhóm, A lµ nhãm cđa G vµ B lµ nhãm H f (A) nhóm H vµ f −1 (B) lµ nhãm cđa G Hơn nữa, B nhóm chuẩn tắc f 1(B) nhóm chuẩn tắc S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 26 Lời cảm ơn Sau nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ với đề tài nghiên cứu Ưng dụng lý thuyết nhóm số toán sơ cấp... đẹp lòng nhà Trờng Tôi tự hào trình học tập đG đợc Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí nhà toán học hàng đầu Việt nam lĩnh vực Phơng pháp toán sơ cấp giảng dạy cho nh GS Hà Huy... phòng Đào tạo Khoa Toán- Tin Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đG tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành đề tài thời gian qua Đội ngũ cán thuộc phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin ®G hÕt lßng