Đề KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút Ngày 20 tháng năm 2010 A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Câu II (2 điểm) cos x + cos x − 1.Giải phương trình: cos x − tan x = cos x  x + y + xy + = y Giải hệ phương trình:  , ( x, y ∈ R) 2  y( x + y) = x + y + e Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ log x x + 3ln x dx Câu IV (1 điểm)Cho h×nh hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' = a vµ gãc BAD = 600 Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Câu V (1 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca − 2abc ≤ 27 B PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Câu VIIa (1 điểm) Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị biểu 2 z + z2 thức ( z1 + z2 ) 2 Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC  log1− x (− xy − x + y + 2) + log + y ( x − x + 1) =  Câu VIIb (1 điểm) Giải hệ phương trình :  , ( x, y ∈ R) =1 log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)  ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010 Câu Ý Nội dung Điểm I 1 ⇔ x(x2 + 3x + m) = ⇔ m = 0, f(x) = PT hoành độ giao điểm x + 3x + mx + = 0.25 Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = có nghiệm phân biệt x1, x2 khác y’(x1).y’(x2) 0.25 = -1 9 − 4m > 0, f (0) = m ≠ Hay  2 (3 x1 + x1 + m)(3x2 + x2 + m) = −1 9   m < , m ≠ m < , m ≠ ⇔ ⇔ 4 9( x x ) + 18 x x ( x + x ) + 3m( x + x ) + 36 x x + 6m( x + x ) + m = −1 4m − 9m + =   2 2 2 ± 65 ĐK cosx ≠ 0, pt đưa cos x − tan x = + cos x − (1 + tan x) ⇔ 2cos x − cos x -1 = Giải tiếp cosx = cosx = 0,5 đối chiếu đk để đưa ĐS: Giải ta có ĐS: m = II x = k 2π , x = ± 2π 2π + k 2π ; hay x = k 3  x2 + +x+ y =   x + y + xy + = y y  y ≠ , ta có:  ⇔ 2  y( x + y) = x + y + ( x + y ) − x + =  y   u+v =  u = 4−v  v = 3, u = x2 + ⇔ ⇔ , v = x + y ta có hệ:  Đặt u = y v − 2u = v + 2v − 15 =  v = −5, u = +) Với v = 3, u = ta có hệ:  x2 + = y  x2 + = y  x2 + x − =  x = 1, y = ⇔ ⇔ ⇔   x = −2, y = x+ y =3  y = 3− x  y = 3− x  x2 + = y  x2 + = y  x + x + 46 = ⇔ ⇔ +) Với v = −5, u = ta có hệ:  , hệ  x + y = −5  y = −5 − x  y = −5 − x vô nghiệm KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = {(1; 2), ( −2; 5)} III 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25  ln x  e e e  ÷ log x ln x ln xdx  ln  I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 ln 1 + 3ln x x x + 3ln x x + 3ln x dx 2 Đặt + 3ln x = t ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln x = tdt Đổi cận … x e 2 ( t − 1) log x 1 Suy I = ∫ x + 3ln x dx = ln ∫ t tdt = ln ∫ ( t − 1) dt 1 0.25 0.25 0.25 1  =  t −t÷ = 3 ln   27 ln IV Chứng tỏ AC’ ⊥ BD 0.25 0.25 C/m AC’ ⊥ PQ, với P,Q trung điểm BD, MN Suy AC’ ⊥ (BDMN) Tính chiều cao AH , với H giao PQ AC’ Nếu dùng cách hiệu thể tích phải cách tính 3a Tính diện tích hình thang BDMN Suy thể tích cần tìm là: 16 V VIa Ta có ab + bc + ca − 2abc = a (b + c) + (1 − 2a)bc = a (1 − a ) + (1 − 2a )bc Đặt t= bc ta  (1 − a )2  (b + c) (1 − a)  có ≤ t = bc ≤ Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t đoạn 0; =   4 (a + − a) Có f(0) = a(1 – a) ≤ = < 4 27  (1 − a )2  1  1 f − (2a + )  a − ÷ ≤ ÷= với a ∈ [ 0;1]  ÷ 27  3 27   Vậy ab + bc + ca − 2abc ≤ Đẳng thức xảy a = b = c = 1/3 27 Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) trung điểm BC Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C trung điểm AB nªn:  2m − c + 11 − 2m − 2c  2m − c + 11 − 2m − 2c C'= ; )− +3 = m = ữ CC ' nên 2( 2 2   41 ⇒ I = ( ; ) Phơng trình BC: 3x 3y + 23=0 6 2 x − y + =  14 37  ⇒C = ; ữ Tọa độ C nghiệm hệ:  3  3 x − y + 23 =  19  Täa ®é cđa B =  − ; ÷  3 uuu r uuu r Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y − z − = 0, y + z − = r uuu uuu r r Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n =  AB, AC  = (8; −4; 4) Suy (ABC):   2x − y + z +1 =  x + y − z −1 = x =   Giải hệ:  y + z − = ⇒  y = Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x − y + z + =  z =   Bán kính R = IA = ( −1 − 0) + (0 − 2) + (1 − 1) = VIIa Giải pt cho ta nghiệm: z1 = − 3 i, z2 = + i 2 0.25 0.25 0.25 0.5 0,25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 3  22 Suy | z1 |=| z2 |= +   ÷ = ; z1 + z2 = ÷   2 Đo VIb z1 + z2 2 = = 11 ( z1 + z2 ) Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) Theo yc k/c từ I đến ∆ ’ k/c IA nên ta có 0.25 0.25 0.25 0.25 3( −3t − 8) − 4t + 10 VII b = (−3t − + 2) + (t − 1) +4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 uuu r uuu r r Ta có AB = (2; −3; −1), AC = ( −2; −1; −1) ⇒ n = (2; 4; −8) vtpt (ABC) Suy pt (ABC) (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = hay x + 2y – 4z + = M(x; y; z) MA = MB = MC ⇔ … M thuộc mp: 2x + 2y + z – = nên ta có hệ, giải hệ x = 2, y = 3, z = -7 − xy − x + y + > 0, x − x + > 0, y + > 0, x + > (I ) + Điều kiện:  0 < − x ≠ 1, < + y ≠ 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  2log1− x [(1 − x)( y + 2)] + 2log 2+ y (1 − x) = log1− x ( y + 2) + log 2+ y (1 − x) − = (1)   (I ) ⇔  ⇔ log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = (2)    Đặt log 2+ y (1 − x ) = t (1) trở thành: t + − = ⇔ (t − 1) = ⇔ t = t Với t = ta có: − x = y + ⇔ y = − x − (3) Thế vào (2) ta có: −x + −x + log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4) = ⇔ log1− x =1⇔ = − x ⇔ x2 + x = x+4 x+4  x=0  y = −1 ⇔ Suy ra:   x = −2  y =1 + Kiểm tra thấy có x = −2, y = thoả mãn điều kiện Vậy hệ có nghiệm x = −2, y = B 0.25 0.25 0.25 A P D N Q M Sở GD-ĐT Thái Bình Trường THPT Tây Thụy Anh Đề Kỳ thi thử Đại học năm 2010 Môn Toán : Thời gian làm 180 phút A /Phần chung cho tất thí sinh ( điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số y = x3 + ( – 2m)x2 + (2 – m )x + m + (Cm) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ Câu II : ( điểm ) sin x − 2(s inx+cosx)=5 Giải phương trình: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x + mx = − x Câu III : ( điểm ) − x2 dx Tính tích phân sau : I = ∫ x + x3  x − y = m( x − y ) Cho hệ phương trình :   x + y = −1 Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng ( d ≠ ) Đồng thời có hai số xi thỏa mãn xi > Câu IV : ( điểm )  x = −1 − 2t  x y z Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2  y = t 1 z = 1+ t  điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm A ∈ d1 ; B ∈ d cho AB ngắn B PHẦN TỰ CHỌN: ( điểm ) ( Thí sinh làm câu Va Vb sau đây.) Câu Va Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC n 1 3  +x ÷ x  2.Tìm hệ số x khai triển biết tổng hệ số khai triển 1024 Câu Vb Giải bất phương trình : ’ ’ 51+ x − 51− x > 24 ’ 2.Cho lăng trụ ABC.A B C đáy ABC tam giác cạnh a .A’ cách điểm A,B,C Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Sở GD-ĐT Thái Bình Trường THPT Tây Thụy Anh Kỳ thi thử Đại học năm 2010 Mơn Tốn : Thời gian làm 180 phút ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Với m = ta y = x3 – 3x2 + a ;Tập xác định : D = R Điểm 200 1,00 0,25 b ; Sự biến thiên Tính đơn điệu …… Nhánh vô cực…… x -∞ +∞ 0,25 y' + 0 - + j y +∞ -∞ o c ; Đồ thị : + Lấy thêm điểm + Vẽ hướng lõm vẽ mực màu mực với phần trình bầy 0,25 -15 -10 -5 10 15 0,25 -2 -4 -6 -8 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu thỏa mãn ĐK sau : + y’ =0 có nghiệm pbiệt x1 < x2 ⇔ ∆ ' = 4m − m − f ⇔ m < - m > + x1 < x2 < ( Vì hệ số x2 y’ mang dấu dương ) 21 ⇔ … ⇔ ∆ ' p − 2m ⇔ … ⇔ m p 15 5 7 Kết hợp ĐK ta được… Đáp số m ∈ ( −∞; −1) ∪  ; ÷ 4 5 II 1.Giải phương trình: sin x − 2(s inx+cosx)=5 ( I ) Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ ) ⇒ sin2x = t2 - ⇒ ( I ) 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 1,00 0,25 ⇔ t − 2t − = ⇔ t = − ) 0,25 π +Giải phương trình sinx + cosx = − … ⇔ cos( x − ) = −1 + Lấy nghiệm 0,25 Kết luận : x = 5π + k 2π ( k∈ Z ) dạng khác Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x + mx = − x  2x + mx = + x − 6x ⇔ hệ  có nghiệm x ≤ ⇒ x2 + 6x – = -mx (1) +; Ta thấy x = nghiệm x + 6x − = − m Xét hàm số : x x + 6x − x2 + −∞;3] \ { 0} có f’(x) = f(x) = ( > ∀x ≠ x x2 + , x = ⇒ f(3) = , có nghiệm – m > ⇔ m < - 0,25 1,00 0,25 0,25 + ; Với x ≠ (1) ⇔ III 0,25 0,25 2,00 − x2 dx Tính tích phân sau : I = ∫ x + x3 1,00 − x2 I =∫ dx = x + x3 1 −1 x2 ∫ dx = +x x d (x + ) x = - ln( x + ) = −∫ x 1 +x x … = ln 0,25 0,50 0,25 ( Hoặc I = 2 − x2 2x  1 dx = ∫  − ÷dx =……) ∫ x + x3 x x +1  1  x − y = m( x − y ) 2.Cho hệ phương trình :   x + y = −1 1,00 -Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng ( d ≠ ) Đồng thời có hai số xi thỏa mãn xi >  x − y = m( x − y ) ( x − y )( x + y + xy − m) = ⇔   x + y = −1  x + y = −1 0,25 ⇔  x = y = −   y = − x −  ϕ ( x) = x + x + − m =  Trước hết ϕ ( x) phải có nghiệm pbiệt x1 ; x2 ⇔ ∆ = 4m − f ⇔ m f Có thể xảy ba trường hợp sau theo thứ tự lập thành cấp số cộng − ; x1 ; x2 +Trường hợp : +Trường hợp : x1 ; x2 ; − +Trường hợp : x1 ; − 0,25 0,25 ; x2 Xét thấy Trường hợp ;2 không thỏa mãn Trường hợp ta có  x1 + x2 == −1 với m >   x1 x2 = − m Đồng thời có hai số xi thỏa mãn xi > ta cần có thêm điều kiện sau x2 = IV −1 + m − f ⇔ 4m − f ⇔ m f 0,25 Đáp số : m >  x = −1 − 2t  x y z Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2  y = t 1 z = 1+ t  2,00 điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 + Phương trình mặt phẳng chứa M d1 … Là (P) x + y – z = + Mp(Q) qua M vng góc với d2 có pt 2x – y - z + = 0,25 + Tìm giao d2 với mp(Q) H(-1 ;0 ;1) 0,25 … ⇒ Điểm đối xứng M’ M qua d2 M’(-3 ;-2 ;-1) 2.Tìm A ∈ d1 ; B ∈ d cho AB ngắn Gọi A(t;t;2t) B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 0,25 uuu u rr  AB.v1 =  …… ⇒ tọa độ A  ; ;  B  −1 ; −17 ; 18  ⇒  uuu ur ru  ÷  ÷  35 35 35   35 35 35   AB.v2 =  Va 1 Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B C 0,25 0,50 0,50 2,00 B M A H C r +AC qua A vng góc với BH có VTPT n = (3;1) AC có phương trình 3x + y 7=0  AC + Tọa độ C nghiệm hệ  …… ⇒ C(4;- 5) CM 0,25 + xB + yB + xB + y B = xM ; = yM ; M thuộc CM ta + +1 = 2 2  + xB + y B + +1 =  + Giải hệ  ta B(-2 ;-3)  xB − y B − =  + 0,25 ∆ABC Tính diện tích 14  x = x − 3y − =  ⇔  3x + y − = y = −   + Tọa độ H nghiệm hệ … Tính 10 ; AC = 10 1 10 Diện tích S = AC.BH = 10 = 16 ( đvdt) 2 0,25 BH = 0,25 n 2.Tìm hệ số x6 khai triển 1 3  +x ÷ x  biết tổng hệ số khai triển 1024 n + ; Cn + Cn + + Cn = 1024 0,25 ⇔ ( + 1) = 1024 ⇔ 2n = 1024 ⇔ n = 10 0,25 n 10 − k 10 10 k 1  k 1 + ;  + x ÷ = ∑ C10  ÷ ( x ) ; …… x  x k =o Hạng tử chứa x ứng với k = hệ số cần tìm 210 0,25 0,25 Vb 1 Giải bất phương trình : ( ) (2) ⇔ 5 x ( ) 51+ x − 51− x > 24 (2) 2,00 1,00 − 24 x − f 0,5 x f ⇔ x2 f ⇔ x2 > ⇔   x p −1 0,5 2 10 2.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’đáy ABC tam giác cạnh a .A’ cách điểm A,B,C Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ - A' C' 1,00 B' A C G N M 0,25 B Từ giả thiết ta chop A’.ABC chop tam giác · ' AG góc cạnh bên A đáy ⇒ · ' AG = 600 , … AG = a ; A a Đường cao A’G chop A’.ABC đường cao lăng trụ Vậy A’G = a tan600 = = a a a3 …… Vậy Thể tích khối lăng trụ cho V = a .a = 2 0,25 0,25 0,25 Ghi : + Mọi phương pháp giải khác công nhận cho điểm + Điểm thi tổng điểm thành phần làm tròn ( lên ) đến 0,5 điểm 11 ... nghiệm: z1 = − 3 i, z2 = + i 2 0 .25 0 .25 0 .25 0.5 0 ,25 0 .25 0.5 0.5 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0.5 3  22 Suy | z1 |=| z2 |= +   ÷ = ; z1 + z2 = ÷   2 Đo VIb z1 + z2 2 = = 11 ( z1 + z2 ) Tâm I đường... 1, < + y ≠ 2 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25  2log1− x [(1 − x)( y + 2) ] + 2log 2+ y (1 − x) = log1− x ( y + 2) + log 2+ y (1 − x) − = (1)   (I ) ⇔  ⇔ log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x +... ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C trung điểm AB nên: 2m − c + 11 − 2m − 2c  2m − c + 11 − 2m − 2c C''= ; )− +3 = ⇒ m = ữ CC '' nên 2( 2 2   41 ⇒ I = (− ; ) Phơng trình BC: 3x 3y + 23 =0 6 ? ?2 x −