Đang tải... (xem toàn văn)
Đặc trưng của các tính chất (d n d z) và (wd z) trong lớp các không gian frechet
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DUY PHAN ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT ( D N D Z ) VÀ ( WD Z ) TRONG LỚP CÁC KHƠNG GIAN FRECHET LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN – 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYẾN DUY PHAN ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ ( WD Z ) TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương Đặc trưng tính chất (D N D Z ) ( W Z ) D lớp không gian frechet 1.1 Một số khái niệm 1.2 Đặc trưng tính chất (DNDZ ) 1.2.1 Tính chất (DNDZ ) Định lý chẻ tame 1.2.2 Đặc trưng tính chất (DNDZ ) 11 1.3 Đặc trưng tính chất (W ) DZ 12 1.3.1 Tính chất (W ) định lý chẻ tame DZ 12 1.3.2 Đặc trưng tính chất (W ) DZ 15 Chương Đặc trưng tính chất (D N D Z ) ( W Z ) D 25 lớp không gian frechet 2.1 Các tính chất (DNDZ ) (W ) DZ 25 2.2 Đặc trưng tính chất (DNDZ ) 27 2.3 Đặc trưng tính chất (W ) DZ 35 2.4 Tính ổn định tính chất (DNDZ ) (W ) DZ 46 không gian đối ngẫu thứ hai KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, bất biến tơpơ tuyến tính khơng gian Frechet có vai trị quan trọng lý thuyết khơng gian Frechet, nói riêng, định lý phân rã Các bất biến tơpơ tuyến tính (DN ) (W ) D.Vog giới thiệu nghiên cứu sâu sắc Vog sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để chứng minh định lý phân rã không gian Frechet trường hợp không gian hạch trường hợp không gian Frechet Hilbert Đồng thời cho đặc trưng đầy đủ bất biến tơpơ tuyến tính (DN ) (W ) Từ năm 1990 M.Poppenberg giới thiệu nghiên cứu tính chất (DNDZ ) (W ) lớp khơng gian Frechet phân bậc Ơng giới DZ thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame không gian Frechet phân bậc thiết lập định lý phân rã phạm trù không gian Frechet phân bậc ánh xạ tuyến tính tame Tiếp theo, trường hợp không gian hạch, Poppenberg cho đặc trưng đầy đủ tính chất (DNDZ ) (W ) DZ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài : " Đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet " DZ Theo đề tài có tính đại tính thời nhiều người quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet phân bậc DZ 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trên sở mục đích đặt ra, luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet phân bậc đặc trưng DZ tính chất (DNDZ ) (W ) DZ - Chứng minh chi tiết số kết tính chất (DNDZ ) (W ) DZ lớp không gian Frechet phân bậc đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) DZ Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đặt tiến hành: - Đọc tham khảo tài liệu nước, trao đổi, tham khảo học tập chuyên gia lĩnh vực nghiên cứu - Áp dụng phương pháp truyền thống giải tích hàm, giải tích đại phương pháp lý thuyết bất biến tơpơ tuyến tính Cụ thể kế thừa kết phương pháp gần Vogt, M.Poppenberg để giải toán cụ thể nêu Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet phân bậc DZ đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) DZ Chương luận văn chương cuối với nội dung trình bày chứng minh chi tiết kết N.V.Khuê, L.M.Hải B.Đ.Tắc tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet phân bậc DZ đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) Phần cuối DZ chương dành cho việc trình bày kết tính ổn định tính chất (DNDZ ) (W ) không gian đối ngẫu thứ hai DZ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Bản luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy giáo tổ Giải tích, thầy giáo trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2007 Tác giả Nguyễn Duy Phan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG ĐẶC TRƢNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ ( W Z ) TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET D Trước tiên chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính chất (DNDZ ) (W ) sở để trình bày đặc trưng tính DZ chất (DNDZ ) , (W ) DZ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Một dãy khớp không gian lồi địa phương ánh xạ tuyến tính liên tục dãy hữu hạn hay vô hạn f g ì ìđ E ắ ắđ F ắ ắđ G ® × × × × cho ảnh ánh xạ tuyến tính vào hạt nhân ánh xạ tuyến tính 1.1.2 Định nghĩa Một dãy khơng gian lồi địa phương ánh xạ tuyến tính liên tc cú dng f g đ E ắ ắđ F ắ ắđ G đ c gi l dóy khớp ngắn Kerf = {0}, imf = kerg img = G f g 1.1.3 Định nghĩa Dãy khp ngn đ E ắ ắđ F ắ ắđ G ® gọi chẻ xảy hai điều kiện tương đương sau : i ) f có ngược trái ii ) g có ngược phải Khi F = E Å G ( Å tổng trực tiếp tô pô E G ) Bây xét phạm trù tame với vật không gian Frechet phân bậc E , F , ( K = ¡ £ ), tức không gian Frechet trang bị dãy nửa chuẩn cố định £ £ £ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định tôpô; dãy gọi bậc Các không gian không gian thương trang bị nửa chuẩn cảm sinh Các cấu xạ ánh xạ tuyến tính tame khơng gian Frechet phân bậc 1.1.4 Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính A : E ® F gọi tame tồn b ³ số cn > ( phụ thuộc vào n ) cho Ax n £ cn x với n ³ x Ỵ E n+b 1.1.5 Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính A : E ® F gọi đẳng cấu tame A song ánh A, A - tame Hai bậc E gọi tương đương tame phép đồng đẳng cấu tame 1.1.6 Định nghĩa Dãy khớp ngắn khơng gian Frechet phân bậc i q ® E ắ ắđ F ắ ắđ G đ c gọi khớp tame ánh xạ tắc i : E ® iE % q : F / iE ® G đẳng cấu tame 1.1.7 Định nghĩa E gọi tổng trực tiếp tame F , tồn ánh xạ tuyến tính tame i : E ® F L : F ® E cho L o i phép đồng E Với j Ỵ E ¢ ta định nghĩa j * n = sup {j (x ) : x Un = { Ỵ E : x x n n Ê 1}ẻ Ă ẩ { Ơ }, + j £ 1}, U n0 = { Ỵ E ¢: j * n } £ Các không gian Frechet sau không gian phân bậc cách & & tự nhiên, tức không gian dãy Kothe l p (a ) không gian chuỗi luỹ p thừa kiểu hữu hạn L ¥ (a ) : l p (a ) = { = (x j )Ơ= ẻ K Ơ : x x j n < + ¥ , " n }, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1/ p x n ỉ¥ p ữ = ỗồ x j a jp,n ữ ỗ ữ ç j=1 ÷ ç è ø x n = sup j = 1,2, , ¥ £ p < + ¥ , x j a j ,n p = ¥ , a = (a j ,n )¥= 1,n = ma trận thoả mãn £ a j ,n £ a j ,n + với j , n j sup a j ,n > với j n p Đối với dãy £ a £ a £ Z + ¥ , L ¥ (a ) = l p (a) với a j ,n = e na j p p Đối với e > bất kỳ, s e = L ¥ (e log j ) = l p (a ) với a j n = j en , l (a ) = l 1(a ), L ¥ ( a ) = L ( a ), s e = s e, s = s1 ¥ Ta trang bị cho w = K ¥ (tương ứng (s ep ) ¥ ) bậc n x n = å i= x i (tương ứng (x 0, x 1, ) n = { n å i= x i n , x i Î s ep ) } Trang bị cho D [ , b]= f ẻ C Ơ ( Ă ) : supp f Í [ , b ] với bậc a a f n = sup sup f (i ) (x ) i = 0,n x Ỵ [ ,b] a Nếu H không gian Frechet 1 2 n hệ tăng nửa chuẩn liên tục H , H k không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn k ; wk : H ® H k wn ,k : H n ® H k (n > k ) ánh xạ tắc Tương tự , E không gian Frechet phân bậc ta ký hiệu En khơng gian Banach kết hợp với nửa chuẩn n , tức không gian nhận cách bổ sung (E / ker n ) n Ký hiệu s không gian dãy giảm nhanh với hệ nửa chuẩn tương đương: x k = sup {x j j k : j ẻ Ơ } vi x = (x 1, x 2, ) Ỵ s Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với k cố định đặt: sk = { = (x 1, x 2, ) Î s : x x k = sup x j j k < + ¥ } 1.1.8 Định nghĩa Cho E không gian Frechet phân bậc i ) Cho e > bất kỳ, E gọi (e) - hạch tame E đẳng cấu tame với khơng gian (s e )¥ ii ) E gọi hạch tame tồn e > cho E (e) - hạch tame, tương đương: tồn e > 0, q ³ số ck ,m > cho an (E k + m ® E k ) £ ck ,m (n + 1)- e(m - q ) với m ³ q, k ³ n ³ , an (k , k + m ) = an (E k + m ® E k ) số xấp xỉ ánh xạ tắc E k + m ® E k Với khơng gian tuyến tính E tập tuyệt đối lồi A Ð B Ð E ta ký hiệu dn (A, B ) := inf { (A, B , F ) : F Ð E , dimF £ n } d số Kolmogorov thứ n , mà với khơng gian F Ð E d(A, B , F ) = inf { > : A Ð dB + F } d 1.2 Đặc trƣng tính chất (D N D Z ) 1.2.1 Tính chất (D N D Z ) Định lý chẻ tame Trong [11], [15] D.Vog chứng minh không gian Frechet hạch E đẳng cấu tôpô với không gian s E có tính chất (DN ) , tức n £ n - n + với n Trong trường hợp này, với £ i £ n k ³ ta có k + i £ k - i in + k , n n từ cách lấy minimum theo r với r > ta nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn en qn đ E n + ắ ¾+ 1¾ G n + ¾ ¾+ 1¾ (l 1(I ) Ä p s )n + ® ® ® n wn + ¯ n wn + ¯ qn ˆ G n ¾ ¾¾ (l 1(I ) p s )n đ en ắ ắắ đ ® En n wn + ¯ ® ta có n qn o T (n ) = qn wn + 1R (n + 1) - qn R (n ) n = wn + 1qn + 1R (n + 1) - qn R ( n ) = ˆ (l 1(I ) Äp s )n + Do ˆ ˆ T (n ) : (l 1(I ) Ä p s )n + = l 1(I ) Ä p sn + ® kerqn = imen = E n Đặt T ij(n ) = T (n ) (eij ) Ỵ E n Ta có T ij(n ) n = T (n ) (eij ) n n = wn + 1R (n + 1) (eij ) - R (n ) (eij ) n n ( £ wn + R (n + 1) (eij ) + R (n ) (eij ) £ dijn + 1) n £ eij + eij n+1 n n £ 2e ( n + 1) a j + 2e na j £ 4e n+1 ( + dijn ) n ( n + 1) a j với i, j ( n + 1) a j % U n Ỵ E cho Chọn T ij( n ) Î 4e % T ij(n ) - T ij(n ) n £ 2- n Vì E có tính chất (W ) , nên ta giả sử b = = p DZ an Un Ð I m= C m ,n r U a 2n - am + Ð (I p Ỵ An C m ,n U a 2n + am m m= r ¥ m I p p % an % an C p,n r aU p ) + ( I C q,n r aU q ) , qỴ Bn a a An = { 2n - ka : £ k £ na } B n = { 2n + ka : k ³ 0} Chọn £ C n £ C n + cho 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p D p = 2pC p sup n % 4C p,n < +Ơ Cn vi mi p ẻ An È B n Ta có 4e ( n + 1) a j U n Ð 4e ( n + 1) a j p (I p Ỵ An Lấy r = a a n aj p ( n + 1) a j % an % an C p,n r aU p ) + 4e ( I C q,n r aU q ) qỴ Bn chọn 2C ea ( t ijn ) Ỵ 4e ( n + 1) a j % C p ,n a 2n - p a 2n - p n C e na j - p aj a2 U p với p Ỵ An Khi p t p p % e (1+ a )a j 2 × C n2 £ 4C p,n a 2a n C n n (n ) ij p % 4C p,n C np - n (1+ ap2 )a j £ 2C × e n C n C npC n p p p £ D pe (1+ p )a j a2 2- n với p £ a 2n , p Ỵ An ( n + 1) a j % U n , nên suy Vì T ij(n ) Ỵ 4e ( n + 1) a j ( % T ij(n ) - t ijn ) Ỵ 4e I p % an C q,n r aU q qỴ Bn Từ ( % T ij(n ) - t ijn ) q £ Dqe (1+ p )a j a2 2- n với q Î B n Xét chuỗi ¥ t ij = å ( % (t ijk ) + (T ij(k ) - T ij(k ) )) k= x Chuỗi hội tụ E a 2n = { Ỵ E : x a 2n < + ¥ } Thật vậy, ta có đánh giá sau 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +¥ å ( ( t ijk ) k=a n a 2n % + T ij(k ) - T ij(k ) +¥ £ å k = a 2n Da 2ne £ (Da 2ne (1+ n ) a j a 2n - k ) +¥ + å - k = Da 2ne k = a 2n (1+ n ) a j (1+ n ) a j +¥ å - k +¥ + k = a 2n å 2- k k = a 2n +¥ + 1) å 2- k < + ¥ k = a 2n Từ t ij Ỵ E a 2n với n ³ Đặt R ( é ij : (i, j ) Î I ´ ¥ ù = R 0( é ij : (i, j ) ẻ I Ơ ự + x ) x ) ë û ë û å å iỴ I t ij x ij , j³ ˆ ˆ x é ij : (i, j ) Î I ´ ¥ ùÎ (l 1(I ) Ä p s )0 = l 1(I ) Ä p s Khi ë û ˆ R : l 1(I ) Ä p s ® G ánh xạ liên tục Ta có R ( é ij : (i, j ) ẻ I Ơ ự = R a n ( é ij : (i, j ) Ỵ I ´ ¥ ù x ) x ) ë û ë û a 2n - - å k= = R = R = R a 2n a 2n T (k ) é ij : (i, j ) Ỵ I ´ ¥ ù + x ) ë û å å t ij x ij å a æ 2n - (k ) ữ ỗ ữ ỗ ồ= T ij ứx ij + ữ ỗk ữ ỗ ố j å å t ij x ij å a æ 2n - (k ) ữ ỗ ỗ T ij ữx ij + ỗ k = ữ ỗ ữ ố ứ j ( ộ ij : I ´ ¥ ù x ) ë û ( é ij : I ´ ¥ ù x ) ë û (a 2n ) é ij ùx ë û å iỴ I iỴ I iỴ I a ỉ 2n - ( k ) ỗ ỗ ồ= T ij ỗ ỗk ố j a 2n - iẻ I j iẻ I j Ơ å å (å iỴ I j³ ( % (t ijk ) + (T ij( k ) - T ( k ) )))x ij k= ( % t ijk ) + T ij( k ) - T ij( k ) - k= ( % ÷ (t ijk ) + (T ij(k ) - T ij (k ) )ữx ij ữ ứ k = a 2n Ơ - = R (a 2n ) é ij ùx ë û å iỴ I a ỉ 2n - ( k ) ỗ ỗ ồ= (T% - t ij(k ) ) ij ỗk ỗ ố j ( % ÷ t ijk ) + T ij( k ) - T ij( k ) ÷x ij ÷ ÷ ø k = a 2n ¥ å 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ bất đẳng thức ta nhận ước lượng sau å R é ij ù £ R (a n ) é ij ù + x x ë ûa n ë ûa n qn - + å ¥ ( % T ij(k ) - t ijk ) a n k= n+ £ é ij ù + x ë ûa n ¥ + å k = a 2n Da 2ne iỴ I (1+ n ) a j £ é ij ù + x ë ûa n £ é ij ù + x ë ûa n å å (4D iỴ I j³ j³ k = a 2n 2- k + å å (4D iỴ I t ¥ + å k = a 2n ( T ij( k ) - t ijk ) max å å (2D j³ å n + 1£ k £ a 2n - £ é ij ù + x ë ûa n iỴ I + (k ) ij a 2n a 2n + % T ij(k ) - T ij( k ) ÷x ÷ a n ữ ij ứ ổn (1+ n ) a ỗ ỗồ= Da 2ne j 2- k + çk è j å + (a 2n - n - 1) iẻ I ổn ( ỗ ỗồ= T%k ) - t ij(k ) ij ỗk ố j a 2n e a 2n a 2n + ö 2- k ÷ x ij ÷ ÷ ø k=a n (1+ n ) a j ¥ å % (1+ n ) a j + 2D e (1+ n ) a j + 2) x + Da 2ne ij a n (1+ n ) a j % + + Da 2n ) e x ij (1+ a n ) a j % + + Da 2n ) e x ij 2 a n % £ é ij ù + (4Da 2n + + Da 2n ) é ij ù x x ë ûa n + ë ûa n + % £ (4 + 4Da 2n + Da 2n ) é ij ù x ë ûa n + Mặt khác R é ij ù £ R é ij ù , x x ë ûn ë ûa n % R é ij ù £ (4 + 4Da 2n + Da 2n ) é ij ù x x ë ûn ë ûa n + Điều R tame tuyến tính q o R = idl1 Äp s ˆ 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.3 Bổ đề Cho E khơng gian Frechet phân bậc Khi tồn dãy khp tame e đ E ắ ắđ ếE q ¾ ¾® Õ E k ® , k k³ k³ E k khơng gian Banach tắc kết hợp với nửa chuẩn E ÕE k k không gian Frechet phân bậc với tôpô sinh hệ k³ nửa chuẩn x m = sup x k k , x = (x k )k ³ 1, x k Ỵ E k 1£ k £ m e(x ) = { k (x )} ³ , e k k q({ k } = ( wk + 1x k + - x k ), x ) k ek : E ® E k wk + : E k + ® E k ánh xạ tắc Chứng minh Dễ thấy e đẳng cấu tame lên ảnh, e(x ) k = max ( e1(x ) , , en (x ) k ) = max ( x , , x n ) = x k Mặt khác, với n ³ , q cảm sinh tồn ánh tuyến tính liên tục n+1 n k= k= qn : Õ E k ® Õ E k cho n qn (x 1, , x n ) = (w2x - x 1, , wn + 1x n + - x n ) Hiển nhiên qn tồn ánh mở E n + = kerqn Từ đó, ta có ¥ (Õ E k / kerq)n + = k= n+1 n ¥ k= tame k= Õ E k / kerqn @ Õ E k = (Õ E k )n k= 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.4 Định lý Khơng gian Frechet phân bậc E có tính chất (W ) DZ tồn tập số I cho E đẳng cấu tame tuyến tính với khơng ˆ gian thương phân bậc l 1(I ) Ä p s Chứng minh ˆ Điều kiện đủ Do mệnh đề 2.3.1 , l 1(I ) Ä p s có tính chất (W ) Hơn nữa, DZ tính chất (W ) di truyền qua khơng gian thương Do kết luận DZ điều kiện đủ chứng minh Điều kiện cần Giả sử E có tính chất (W ) Khi theo bổ đề 2.3.3 tồn DZ dãy khớp tame tuyn tớnh e đ E ắ ắđ ếE k k q ắ ắđ ế E k đ k³ Chọn không gian Banach F cho E k không gian bù F , tức í ï F = ï x = (x k )k ẻ ỡ ù ù ợ ế Ek : x = k å k xk k ü ï < +Ơ ù ý ù ù ỵ Vi k bất kỳ, lấy Fk phần bù tôpô E k F , tức F = E k Å Fk Tổng trực tiếp hệ thức với dãy khớp 0® E ® ÕE k k id ¾ ¾¾ Õ E k ® ® k xét dãy khớp tame ® E đ F Ơ đ F Ơ đ Vỡ không gian Banach không gian thương l 1(I ) với tập số I đó, nên ta có dãy khớp ® K ® l 1(I ) ® F ® Xét dãy khớp tame ® s ® s ® w ® 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có biểu đồ giao hốn sau với dòng cột khớp tame 0 0đ - - F p s ắ ắđ F p s đ F Ơ đ - - - i1 ˆ ˆ ® l ( I ) p s ắ ắ đ l (I ) Ä p s ® l (I ) Ơ đ 0đ i2 - K p s ắ ắđ - K p s đ K Ơ đ - - - 0 Từ ta dãy khớp tame sau i1 Å q2 ˆ ˆ ˆ ® (l 1(I ) p s ) K p s ắ ắ iắđ l 1(I ) p s ắ ắắ F Ơ đ ® Đặt M = kerq2 Ta có biểu đồ giao hốn sau với dịng cột khớp tame 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 - q1 ắ ắắ đ đ E đ FƠ p1 - F Ơ ắ ắđ q2 - p2 ® E ® H ¾ ¾ ¾ l 1(I ) p s ắ ắđ đ - - M M - - 0 ˆ H = { x , y ) ẻ F Ơ (l 1(I ) Ä p s ) : q1x = q2y } ( p1(x , y ) = x , p2 (x , y ) = y Do mệnh đề 2.3.2, p2 có ngược phải tame tuyến tính Từ ta có biểu đồ giao hốn sau với dòng cột khớp 0 - - ˆ ® M ® E Å (l 1(I ) Ä p s ) đ F Ơ p1 đ M ¾ ¾® G ® q2 g ˆ ¾ ¾® l 1(I ) Ä p s ® - - M M - - 0 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˆ ˆ G tích thớ E Å (l 1(I ) Ä p s ) l 1(I ) Ä p s F ¥ Vì M = kerq2 = Im (i1 Å i2 ) , nên M không gian thương tame ˆ ˆ ˆ (l 1(I ) Äp s ) Å K Äp s º (l 1(I ) Å K ) Äp s Chọn tập số J cho K khơng gian thương l 1(J ) Từ M không gian thương tame tame ˆ ˆ (l 1(I ) Å l 1(J )) Äp s º l 1(I È J ) Ä p s ˆ Hơn nữa, l 1(I È J ) Ä p s có tính chất (W ) nên M có tính chất DZ (W ) Điều dòng thứ hai biểu đồ chẻ tame DZ g đ M đ G ắ ắđ l 1(I ) Äp s ® Từ cột thứ ta dãy khớp tame ˆ ˆ ® M ® M Å (l 1(I ) Äp s ) ® E Å (l 1(I ) Äp s ) ® ˆ Từ E khơng gian thương tame M Å (l 1(I ) Äp s ) khơng ˆ gian thương tame (l 1(I È J ) Å l 1(I )) Äp s Vậy E không gian ˆ thương tame tuyến tính l 1(I È J È I ) Ä p s ˆ Vì l 1(I ) Äp s có tính chất (W ) nên từ định lý 2.3.4 suy DZ 2.3.5 Hệ Mỗi không gian Frechet phân bậc E có tính chất (W ) DZ đẳng cấu tame tuyến tính với khơng gian Frechet phân bậc F có tính chất (W ) DZ 2.3.6 Hệ Cho E không gian Frechet hạch phân bậc Khi E hạch tame có tính chất (W ) E đẳng cấu tame tuyến DZ tính với khơng gian thương s 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Tính ổn định tính chất (D N D Z ) ( W Z ) không D gian đối ngẫu thứ hai Áp dụng định lý 2.2.7 2.3.4 phần thiết lập mối qua hệ tính chất (DNDZ ) (W ) với không gian Frechet DZ phân bậc E khơng gian đối ngẫu thứ hai Cho E không gian Frechet phân bậc với sở lân cận giảm cố định U { n }n ³ xác định tơpơ Khi ta xét khơng gian đối ngẫu thứ hai ¢ E b¢ không gian Frechet phân bậc với sở lân cận giảm cố định U { n00 }n ³ Ta có kết sau: 2.4.1 Định lý Khơng gian Frechet phân bậc E có tính chất (DNDZ ) ¢ E b¢ có tính chất (DNDZ ) Chứng minh Trước tiên ý E không gian Frechet phân bậc ¢ khơng gian Frechet phân bậc F , E b¢ khơng gian phân bậc ¢ Fb¢ Điều kiện đủ hiển nhiên Điều kiện cần Giả sử E có tính chất (DNDZ ) Do định lý 2.2.7 tồn tập số I cho E đẳng cấu tame tuyến tính với khơng gian F ˆ ˆ l ¥ (I ) Ä p s , l ¥ (I ) Ä p s phân bậc hệ nửa chuẩn í ï ˆ l ¥ ( I ) Ä p s = ï ( x j ) j ẻ l Ơ (I ) : ( x j ) k = ì ï ï ỵ å j³ ü ï x j jk < + ¥ , " kù ý ù ù ỵ D thy rng tame  (l Ơ (I ) p s ) l Ơ (I ) p s ẻ (DNDZ ) b ¢ Do E b¢ có tính chất (DNDZ ) 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.2 Định lý Khơng gian Frechet phân bậc E có tính chất (W ) DZ ¢ E b¢ có tính chất (W ) DZ Chứng minh Tương tự 2.4.1, ta ý E khơng gian ¢ thương phân bậc khơng gian Frechet phân bậc F , E b¢ ¢ khơng gian thương phân bậc Fb¢ Giả sử E có tính chất (W ) Do định lý 2.3.4 tồn tập số I cho DZ ˆ E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương l 1(I ) Ä p s Theo ˆ ý tập bị chặn E ảnh tập bị chặn l 1(I ) Ä p s ˆ ¢ qua ánh xạ thương Từ E b khơng gian (l 1(I ) Äp s )¢ Suy b ¢ E b¢ đẳng cấu tame tuyến tính với khơng gian thương tame ˆ ˆ ¢ (l 1(I ) Äp s )¢ º l 1(I ) Äp s Î (W ) DZ b ¢ Vậy E b¢Î (W ) DZ ¢ Ngược lại, giả sử E bÂẻ (W ) Khi ú tn ti a > 0, b ³ 0, p ³ 0,C m ,n > DZ cho U 00 n a æ (n - b) ỗ ữ é ỗ I C m ,n r m - pU a00n - am ÷+ ữ ỗ m= p ữ ố ứ ổ Ơ C m ,n 00 ỗ ữ U a 2n + am ữ ỗI ữ ỗm = - p r m + p ÷ è ø Trước tiên ta U n Ð B , đặt a (n - b) B = I m= p C m ,n r m - pU a 2n - am + C m ,n U2 r n + p a n + am m=- p ¥ I Trong trường hợp ngược lại, giả sử tồn a Ỵ U n a Ï B Theo định lý Hahn - Banach tn ti u ẻ E  cho với x Ỵ B : u(x ) £ u(a ) = Tuy Cls ( E ¢¢,E ¢)U a 2n - am = U a00n - am Cls ( E ¢¢,E ¢)U a 2n + am = U a00n + am 2 nên suy 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a (n - b) Cls ( E ¢¢,E ¢)B Ê I C m ,n r m- p U m= p 00 a 2n - am C m ,n 00 I m + p U a2n + am m=- p r ¥ + ¢ ¢ )) ¢ ) Mặt khác, E ¢= (E ¢, s (E ¢, E ¢ ¢ nên u s (E ¢, E ¢ - liên tục Từ u(x ) £ với a æ (n - b) ç x Ỵ ç I C m ,n r m - pU a00n - am + ỗ m= p è C m ,n 00 ÷ U a 2n + am ÷ I m+p ÷ ÷ ø m=- p r ¥ điều khơng thể Vậy U n Ð B a ( n - b) Vì I m= p C m ,n r m - pU a 2n - am lân cận E , nên suy a ( n - b) Un Ð I 2C m ,n r m= p a (n - b) Ð I m= p a (n - b) Ð I m= p C m ,n U a 2n + am m+ p m=- p r ¥ I m- p U a 2n - am + 2C m ,n r m - pU a 2n - am + % C m ,n r m - pU a 2n - am + 2C m ,n U2 r m + p a n + am m=- p ¥ I % C m ,n I m + p U a 2n + am m=- p r ¥ Vậy E có tính chất (W ) DZ 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất (DNDZ ) (W ) lớp không gian Frechet phân bậc đặc trưng DZ tính chất (DNDZ ) (W ) DZ - Chứng minh chi tiết số kết tính chất (DNDZ ) (W ) DZ lớp không gian Frechet phân bậc đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) Cụ thể đã: DZ + Chứng minh: Khơng gian Frechet phân bậc E có tính chất (DNDZ ) tồn tập số I cho E đẳng cấu tame tuyến tính với ˆ không gian không gian Frechet phân bậc l ¥ (I ) Ä p s + Chứng minh: Khơng gian Frechet phân bậc E có tính chất (W ) DZ tồn tập số I cho E đẳng cấu tame tuyến tính với ˆ khơng gian thương phân bậc l 1(I ) Ä p s - Trình bày kết tính ổn định tính chất (D N D Z ) ( W Z ) không gian đối ngẫu thứ hai D 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L.M.Hai, N.V.Khue and B.D Tac, Characterization of (DNDZ ) and (W ) in class of DZ Frechet spaces, Pubblications of CFCA Vol (1999), 35 - 62 [2] G.Kửthe, Topological vector spaces, I Berlin-Heidelberg-New York, Springer - Verlag 1969 [3] Komura, Tund Y, Uber die Einbettung der nuklearn Raume in (s)^, Math Ann (1966),162 [4] J Leiterer, Banach coherent analytic Frechet sheaves, Math Nachr 85 (1978), 91-109 [5] M Poppenberg, Cheracterization of the subspaces of (s ) in the tame category, Arch Math 54 (1990),274 - 283 [6] M Poppenberg, Cheracterization of the quotient spaces of (s ) in the tame category, Math Nachr 150 (1991), 127 - 141 [7] M Poppenberg, Simultaneous smoothing and interpolation with respect to E.Borel's Theorem, Arch Math 61 (1993) , 150 - 159 [8] M Poppenberg, A sufficient condition of type (W for tame splitting of ) short exact sequences of Frechet spaces, Manuscripta Math 72 (1994), 257 - 274 [9] H H Schaefer, Topological vector spaces, Berlin - Heidenberg, New York, 1971 [10] A.Pietsch, Nuclear locally convex spaces Berlin-Heidelberg-New York, Springer 1972 [11] D.Vogt, Subspaces and quotient spaces of (s ) , In functional Analysis: Surveys and Recent Results, North - Holland Math Stud 27 (1997), 167 - 187 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [12] D.Vogt, Tame spaces and power series spaces, Math Z., 196 (1987), 532 - 536 [13] D.Vogt, Frechtraume, zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschrankt ist, J Reine Angew Math 345 (1983), 182 - 200 [14] D.Vogt, On two classes of (F) – spaces, Arch Math, 45 (1985), 255-266 [15] D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume von s Math 155 (1997), 109-117 [16] D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume eines nuklearen stabilen Potenzreihen-rọumes von endlicher Typ, Studia Math [17] D.Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenrọume von endlichen Typ und ihre Folgerungen, Manuser Math, 37(1982), 269-301 [18] D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der Potenzreihenrọume und Quotientenrọme der nuklearen stabilen Potenzreihenrọume von unendlichen Typ, studia Math, 70 (1981), 63-80 [19] D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der quotientenrọume von sund eine vermutung von Martineau , Stud Math, 67 (1980), 225-240 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ) D lớp không gian frechet 1.1 Một số khái niệm 1.2 Đặc trưng tính chất (DNDZ ) 1.2.1 Tính chất (DNDZ ) Định lý chẻ tame 1.2.2 Đặc trưng tính chất (DNDZ ) 11 1.3 Đặc trưng tính chất (W ) DZ... trưng DZ tính chất (DNDZ ) (W ) DZ - Chứng minh chi tiết số kết tính chất (DNDZ ) (W ) DZ lớp không gian Frechet ph? ?n bậc đặc trưng tính chất (DNDZ ) (W ) DZ Phương pháp nghi? ?n cứu Để giải nhiệm... 1.3.1 Tính chất (W ) định lý chẻ tame DZ 12 1.3.2 Đặc trưng tính chất (W ) DZ 15 Chương Đặc trưng tính chất (D N D Z ) ( W Z ) D 25 lớp khơng gian frechet 2.1 Các tính chất (DNDZ ) (W ) DZ 25