GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: ĐẠI SỐ I – PHƯƠNG TRÌNH. 1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x 2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương x 1 , x 2 sao cho P = 4 4 5 5 1 2 1 2 x x x x+ − − đạt GTLN. HD: P = x 1 x 2 (1 – 3x 1 x 2 ). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x 2 – ax - 2 1 2a =0 . Chứng minh rằng. b 4 + c 4 ≥ 2 + 2 . 3. (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d ∈ R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax 2 + 2bx + c = 0, bx 2 + 2cx + d = 0, cx 2 + 2dx + a = 0, dx 2 + 2ax + b = 0. 4. (BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x 2 – 2ax + b = 0, x 2 – 2bx + c = 0 , x 2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm. 5. (BT_366_12/07) Giải phương trình x 2 (x 4 – 1)(x 2 + 2) + 1 = 0. HD: Chuyển về A 2 = 0. 6. (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 4 20 5 20 0 1 1 1 x x x x x x − + −     + − =  ÷  ÷ + − −     . HD: Đặt u = 2 1 x x − + , v = 2 1 x x + − Chuyển phương trình về dạng aA + b .A B + cB = 0. 7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x 4 = 24x + 32. HD: Chuyển về A 2 = B 2 . 8. (BT_359_5/07) Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ. 9. (BT_368_2/08) Giải phương trình x 4 - 2x 3 + 4x 2 – 3x – 4 = 0. 10. (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x 2 + ax + 1 = 0(1), x 2 + bx + 1 = 0 (2) , x 2 + cx + 1 = 0 (3). Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4. HD: Áp dụng Định lí viét. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 (4) 1 (5) (6) 1 x a x x b x x x c x x  + = −    + = −    + = −   . Nhân (4); (5) ta có 1 2 2 1 x x ab c x x + = + . Từ (4),(5) ta có 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 ; 2x a x b x x + = − + = − . Nhân lại ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ( 2)( 2) 4 x x a b x x x x x x     − − = + + + −  ÷  ÷     . 11. Nghiệm của phương trình x 2 + ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a 2 + b 2 cũng là số tự nhiên. 12. Có thể có hay không biệt số ∆ của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23. 13. Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x ∈Z thì ax 2 + bx + c cũng nguyên. 14. Tìm a ∈ Z để phương trình có nghiệm nguyên. a) x 2 + ax + a = 0 . b) x 2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 1 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An c) x 2 – (1 + 2a)x + 19 – a = 0. d) x 2 + (a + 1)x + a + 2 = 0. 15. Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và 1 1 x y + là các số nguyên. 16. Cho f(x) = ax 2 + bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af 2 (x) + bf(x) + c = x vô nghiệm. 17. Cho f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008 18. Giả sử |ax 2 + bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx 2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1. HD: Giả sử a ≥ 0. 19. Cho f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0. a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm. HD: ay 1 > 0 ⇒ PT: ax 2 + bx + c = y 1 có nghiệm. b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có 4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1) 2 > 4(b + c + 1). 20. Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. a) |a| + |b| + |c| ≤ 3. b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2. Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. |f(x) | ≤ 5 4 , ∀ |x| ≤ 1. 21. 22. II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 1. (BT_364_10/07) Giải phương trình. 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = . HD: Đặt u = 3 1 2 x+ , v = 1 2 x− . Chuyển về hệ phương trình. 2. (BT_364_10/07) Giải phương trình 4 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = HD: Đặt t = 4 2 1x x+ − . Tính 4 2 1x x− − theo t. Chuyển về phương trình ẩn t. 3. (BT_364_10/07) Giải phương trình 2 2 2 7 22 28 7 8 13 31 14 4 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = + HD: 2 2 2 7 22 28 (2 1) 3(3 ) 3(3 )x x x x x− + = − + − ≥ − 2 2 2 7 8 13 (2 1) 3( 2) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ + 2 2 2 31 14 13 (2 1) 3(3 1) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ + 4. (BT_363_9/07) Giải phương trình 4 1 5 2x x x x x x + − = + − HD: C1: Đặt u = 1 x x − , v = 5 2x x − . Chuyển về HPT. C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A 2 = B 2 . 5. (BT_365_11/07) Giải phương trình 2 3 2( 8) 5 8x x+ = + . HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b .A B + cB = 0. 6. (BT_366_12/07) Giải phương trình x 2 + 2 = 2 3 1x + . HD: C1: aA + b .A B + cB = 0. C2: Chuyển về A 2 = 0. 7. (BT_366_12/07) Giải phương trình 4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + − . HD: Chuyển về A 2 + B 2 + C 2 = 0. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 2 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 8. (BT_366_12/07) Giải phương trình 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = . HD: Đặt t = 1 4 x + . Chuyển về phương trình ẩn t. 9. (BT_366_12/07) Giải phương trình 4 2 2008 2008x x+ + = . HD: Đặt y = 2 2008x + . Chuyển về hệ phương trình. 10. (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 2 4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − . HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp. C2: Đặt 2 2 4 5 1, 1a x x b x x= + + = − + . Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b. 11. (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 2 2 3 2 1 6 9 6 ( 1)(9 ) 38 10 2x x x x x x x+ + − + + − = + − − . HD: Đặt t = 2 1 3 9x x+ + − . Chuyển về phương trình ẩn t. 12. (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 4 3 2 2 4 7 4 3 2 7x x x x x x+ + = + + − − . HD: Đặt u = (x + 1) 2 , v = 2 2( 1) 5x + + . Chuyển về hệ phương trình. 13. (BT_362_8/07) Giải phương trình 3 3 3 6 6 6x x− + + = . HD: Đặt z = 3 6x + , y = 3 6z + . Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z. 14. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình 2 4 1 3 1 2 1m x x x+ = − − + − có nghiệm. HD: Đặt t = 4 1 1 x x − + . Do t = 4 2 1 1x − + nên 0 ≤ t < 1. Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai. 15. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình 2 4 1 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x− + − + + + − = có nghiệm. HD: Đặt t = 4 2 1 x x − − . Tìm điều kiện của t. Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai. 16. (BT_359_5/07) Giải phương trình 2 2 2 4 8 4 x x x+ − = − . HD: Áp dụng công thức 2 | |A A= 17. (BT_359_5/07) Giải phương trình 2 2 1 1 1 1x x x x x x+ − + − + + + + = 18. (BT_368_2/08) Gải phương trình 2 2 2 1 4 1x x x+ + = + . 19. (BT_368_2/08) Giải phương trình 2 4 3 4 3 10 3x x x− = − − . 20. (Olympic 04) Giải phương trình 1 1 1 2 1 3 x x x x x x − + = − + − . HD: Đặt t = 1 1 x − .Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số. PT ⇔ 1 1 1 2 1 3 1 x x x x x x x − − + = − + + ⇔ 2 2 3 1.x t t x t+ = + + ⇔ t = 2( 1 1)x + + v t = 1 1x + − PT: t = 2( 1 1)x + + Vô nghiệm. PT: t = 1 1x + − . Bình phương hai vế chuyển về 2 ( 1) 0x x− + = . 21. (Olympic 99) Giải phương trình 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x− + = − + + . HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 3 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 22. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 3 3 2 3 3 2x x+ = − . HD: Đặt y = 3 3 2x − . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 4 2 2x x x− + = + HD: Đặt 2x + = y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 24. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 2 2 4 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x− + = − + + − + − . HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP. 25. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 3 2 4 2 x x x + + = , x ≥ - 1. HD: Đặt 3 2 x + = y + 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 26. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 3 2( 3 2) 3 8x x x− + = + . HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp. 27. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 15 (30 4 ) 2004( 30060 1 1) 2 x x x− = + + HD: Đặt y = 15 ( 30060 1 1) 2 x + + . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II. 28. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 2 5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + . HD: Chuyển vế bình phương hai vế. Chuyển về phương trình đẳng cấp. 29. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 3 2 1 1 1 2( 1) 4(1 ) 4 6 0 x x x m m m x x x x + + + + − + − + − = . HD: Đặt t = 1 x x + ; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai. 30. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 3 3 2 4 4 4 4 (1 ) (1 ) 1 (1 )x x x x x x x x+ − + − = − + + − . HD: Đặt ẩn phụ u = 4 x , v = 4 1 x− . Chuyển về phương trình tích. 31. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 2 2 19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = + . HD: Phân tích trong các căn (2x – 1) 2 . Áp dụng BĐT 2 2 | |A B A+ ≥ . 32. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 2 8 816 10 267 2003x x x x− + + + + = . HD: Phương pháp BĐT | | | | | |a b a b+ ≤ + r r r r . Xét (4 ;20 2), (5 ;11 2)a x b x− + r r 33. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 2 2 1 1x x x m x− = + + − . HD: Đặt ẩn phụ 2 1t x x= + − , - 1 ≤ t ≤ 2 . 34. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 2 15 32 32 20x x x+ = + − HD: Đặt ẩn phụ 2 15 4 2x y+ = + . Chuyển về HPT đối xứng loại II. 35. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 2 2 4 8 2x x x x m+ + − − + − = . HD: Đặt ẩn phụ 2 4t x x= + + − , 6 ≤ t ≤ 2 3 . 2 3 3m = − 36. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 2 1 1x x x x m+ + − − − = . HD: Xét 1 3 1 3 ( ; ), ( ; ), ( ;0) 2 2 2 2 A B M x− . Ta có AB = 1 và PT ⇔ |AM – BM| < AB = 1 37. (Olympic 06) Giải phương trình 2 2 ( 1) 2 3 1x x x x+ − + = + . Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 4 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: Đặt t = 2 2 3x x− + . Tính x 2 , Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số. 38. (Olympic 06) Giải phương trình 2 2 1 1 1 2 2 x x x− − = − . HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP. 39. (Olympic 06) Giải phương trình 2 2 2 4 ( )( 3 2007) 2005 4 4 30 1 2006x x x x x x x x− + + − − = + − + . HD: PT ⇔ 2 2 2 2 4 ( 1) 2005( 1 ) 30 1 0x x x x x x+ − + + − + + − = . 40. (Olympic 04_11) Giải phương trình 2 3 1 1 x x x + = + HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4 41. (Olympic 06) Giải phương trình 1 3 1 0 4 2 x x x + − = + + . HD: Quy đồng. Nhân liên hợp 42. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 3 2 4 4 4x x x x m− − − + − − = . 43. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 4 4 4x x x x m+ − + + − = . 44. III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình 2 2 2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − − . 2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 2 9 16 2 2 4 4 2x x x+ ≥ + + − . HD: Bình phương hai vế. Đặt t = 2 8 32x− + . Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số. 3. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 2 2 2 (1 3) 2 (1 3) 2 3 2 2 2x x x x x x+ − + + + + + ≤ − − + . HD: Nhân hai vế với 2 . Phân tích 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) 6x x x x x x− + + + + − + + + + ≤ Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; 3 ), C(- 1; - 3 ). Ta có BPT ⇔ MA + MB + MC ≤ 6 và ∆ ABC đều.Dùng phép quay 0 60 B Q − . MA + MB + MC = AM + MM 1 + M 1 C ≥ AC 1 = 6. BPT ⇔ M ≡ O. 4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 2 35 12 1 x x x + > − . HD: Đặt x = 1 a , Đặt t = a + 2 1 a− . 5. IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 ( 1)( 1) 8 0 1 4 1 1 x y xy x y x y  + + + =   + = −  + +  . HD: Đặt u = x + 1 x , v = y + 1 y . 2. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 3 4 2 2 2 3 x y x y x y  − = −    = +  HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2). TH1: x = 2 v x = 1 13− ± . TH2: C/m PT vô nghiệm. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 5 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 3. (BT_363_9/07) Giải hệ phương trình 1 1 1 20 11 2008 1 x y z x y z xy yz zx        + = + = +   ÷  ÷  ÷         + + =  HD: c/m x, y , z cùng dấu. 2 2 1 1 20( )( ) 20 20 20 x x xy yz zx x y x z x x x x x     + + + + + +   + = = =  ÷  ÷  ÷       . Tương tự. c/m xy < 0 . Suy ra HPT vô nghiệm. 4. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 1 1 1 3( ) 4( ) 5( ) 1 x y z x y z xy yz zx  + = + = +    + + =  5. (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình 2 2 6 6 9 2 x y x y xy  + =   + =   . 6. (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 1x y x y x y + =   + = +  . HD: PT(2) ⇔ x 3 + y 3 = 1(x 2 + y 2 ) ⇔ x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 + y 2 ). 7. (BT_366_12/07) Giải hệ phương trình 2 2 2 2008 2008 2008 2008 3 x y z xy yz zx x y z  + + = + +   + + =   . 8. (BT_361_7/07) Hệ phương trình 2 2 x y m x y m + =   + =  có nghiệm (x;y). Tìm GTLN , GTNN của P = x 3 + y 3 . 9. (BT_361_7/07) Tìm m > 0 để hệ phương trình 2 2 2 2 3 2 0 3 2 0 x y y m y x x m  − − =   − − =   có nghiệm duy nhất. 10. (BT_359_5/07) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 1 2( ) 1 2( ) x x x y y y y x  + = − +   + = − +   . HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. 11. (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 2 2 2 6 x x y y y x  + = +   + =   . 12. (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 2008 2007 2006 2008 2007 2006 2008 2007 2006 2. 2. 2. x y z y z x z x y  = +  = +   = +  13. (Olympic 05) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (3 1) ( ) (4 1) ( ) (5 1) x y z x x y z y z x y y z x z x y z z x y  + = + +  + = + +   + = + +  . HD: TH1: xyz = 0. Xét các khả năng. TH2: xyz ≠ 0. Chia hai vế của các phương trình cho x 2 y 2 z 2 . Đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z = = = . Cộng hai vế của các phương trình. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 6 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 14. (Olympic 02) Giải hệ phương trình 1 2 2 2 3 3 2008 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 x x x x x x x x x  = +    = +      = +   . HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x 1 ; x 2 ;….;x 2008 ) thì x 1 , x 2 ,….,x 2008 phải cùng dấu và (-x 1 ; -x 2 ;….;-x 2008 ) cũng là một nghiệm của HPT. Ta chỉ xét x 1 , x 2 ,….,x 2008 > 0. Áp dụng BĐT Cauchy ta có x i ≥ 1. Cộng theo vế các phương trình ta có x 1 + x 2 + …. +x 2008 = 1 2 2008 1 1 1 x x x + + + . Từ đó ta có x 1 = x 2 =….= x 2008 = 1. Suy ra x 1 = x 2 =….= x 2008 = ± 1 15. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0 y x x z y y x z x  − + − =  − + − =   − + − =  HD: Cộng theo vế. chyển về tổng các lập phương. Xét các trường hợp. TH1: x > 2 ⇒ y, z > 2. HPT vô nghiệm. TH2: x < 2 ⇒ y, z < 2. HPT vô nghiệm. TH3: x = 2 ⇒ y = z = 2. 16. (Olympic 06) Chứng minh rằng hệ phương trình 12 2 xy yz zx xyz x y z + + =   − − − =  có một nghiệm duy nhất trong tập các số thực dương. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt. HD: Nhận xét (2;2;2) là một nghiệm. HPT ⇔ 2 2 2 11 2 1 2 12 1 z x y z z z xy z −  + =   +  + +  =   + (x + y) 2 ≥ 4xy ⇔ (z – 2) 2 (2z + 11)(2z + 1) ≤ 0. 17. (Olympic 06) Giải hệ phương trình . 2 2 2 2 2 2 6 (1 9 ) 6 (1 9 ) 6 (1 9 ) x y x y z y z x z  = +  = +   = +  . HD: TH1: Xét y = 2 3 , TH2: Xét y ≠ 2 3 . Rút x 2 = theo y. Suy ra 0 ≤ y < 2 3 . Tương tự. 0 ≤ x,y,z < 2 3 . KN1: x = y = z = 0 . KN2: y x = … ≤ 1.Tương tự. 18. (Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 25 3 9 3 16 y x xy y z z xz x  + + =    + =    + + =   . Tính giá trị P = xy + 2yz + 3zx. HD: Xét ∆ ABC có AB = 4, BC = 5, CA = 3 và điểm M trong ∆ ABC sao cho. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 7 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An ∆ MBC có các cạnh , ,5 3 y x và · 0 150BMC = . ∆ MCA có các cạnh , ,3 3 y z và · 0 90CMA = . ∆ MAB có các cạnh , ,4x z và · 0 120AMB = . Ta có BMC CMA AMB ABC S S S S+ + = . Suy ra P = 24 3 . 19. (Olympic 02_11) Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 2 y x x y x y y x x y  − = −     + = + +   . HD: Tính 2 1 , x y theo x, y. Quy đồng và cộng trừ theo vế. Suy ra tính (x + y) 5 và (x – y) 5 . 20. (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x mx x y y my  = − +   = − +   . HD: Hệ đối xứng loại II. 21. (BT) Giải hệ phương trình 2 2 1 2 1 2 x y y y x x  = +     = +   . 22. (BT) Giải hệ phương trình 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y  + =   + = +   . 23. (BT) Giải hệ phương trình 3 3 7 ( ) 2 x y xy x y  − =  − =  . 24. (BT) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 2 9 ( )(2 3) 3 x y x y xy x xy y  − = − +   − + =   . 25. (BT) Giải hệ phương trình 3 4 3 4 y x y x x y x y  − =     − =   . 26. (BT) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y  − =   + =   . HD: Xét x = 0, y = 0. Chia hai phương trình đặt t = x y 27. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 3 1 1 4 x y xy x y  + − =   + + + =   . 28. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 5 2 5 0 x y y x x y  + =    + − =  Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 8 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: Đặt t = x y . Giải phương trình (1) theo ẩn t. 29. (BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x    − =   ÷ +       + =  ÷  +    HD: Chia x cả hai vế cho phương trình (1), Chia y cả hai vế cho PT(2). Cộng và trừ hai PT ta được HPT mới. Nhân hai vế của hai PT. Giải phương trình đẳng cấp. 30. (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình 1 1 1 8 3 1 1 1 118 9 1 1 1 728 27 x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z  + + − − − =     + + + + + =    + + − − − =    . HD: Đặt a = 1 x x − , b = 1 y y − , c = 1 z z − . Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c) 3 – (a 3 + b 3 + c 3 ). 31. (BT_361_7/07) Giải hệ phương trình 2 3 2 1 2 3 2 1 x y y x x x y x x y y y  + = −   + = −   . HD: Hệ phương trình đối xứng loại II. 32. (BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình 1 3 1 3 x y m y x m  + + − =   + + − =   có nghiệm HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. Nhân hai vế với biểu thức liên hợp. 33. (Olympic 2000) Giải hệ phương trình 5 3 2 4 42 5 3 2 42 y y x x y x    − =   ÷ +       + =  ÷  +    HD: Chia PT (1) cho 2 y , chia PT(2) cho x . Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình. Nhân theo vế hai phương trình ta có phương trình đẳng cấp 34. (Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 1 2 3 x y m x y m  + + + =   + =   . HD: Đặt ẩn phụ 1; 2u x v y= + = + , u, v ≥ 0. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại I. 35. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x  + = − +   + = − +   HD: Hệ phương trình đối xứng loại II. Trừ vế theo vế. Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 36. (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. 2 1 2 1 x y m y x m  + − =   + − =   . Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 9 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: Đặt ẩn phụ u , v. 37. (BT) Giải hệ phương trình 2 2 1 1 4 1 1 4 x y y x  − =     − =   . 38. (BT) Tìm m để hệ phương trình x y m x y xy m  + =   + − =   có nghiệm. 39. V - BẤT ĐẲNG THỨC. 1. (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c + + ≥ + + + + + + HD: BĐT ⇔ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c + + + + + + + + + − + − + − ≥ + + . Quy đồng từng cặp ở VT và phân tích đa thức thành nhân tử .Thay ở VP 1 = ab + bc + ca. Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức. Đặt ( ) ( ) ( ) , , c a b a b c b c a x y z ab bc ca + + + = = = . BĐT ⇔ x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 2. (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ - 3 2 thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ 0. Chứng minh a + b + c ≥ 0. HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT ⇔ xyz ≥ 1. Cần c/m x + y + z ≥ 3. TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > 0 c/m 0 < xy ≤ 1 4 3. (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn nhất sao cho ∃ số thực k ∈ [ 1; 2 ] để bất đẳng thức 2 1 1 1 ( 1)( ) k a b c k a b c m b c a a b c     + + ≥ + + + + + +  ÷  ÷     được thoả mãn ∀ a,b,c >0. HD: Cho a = b = c. Ta có 3 2k ≥ 9(k +1) + m. Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy ra khi k = 2. Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = 2. Áp dụng BĐT Cauchy. 4. (BT_363_9/07) Cho a,b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng 3 1 1 1 10 3 a b c b c a       + + + ≥  ÷ ÷ ÷  ÷       . 5. (BT_363_9/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng 3 3 3 1 a b c b c a + + ≥ . HD: BĐT Cauchy 3 2 1 2a ab b b + ≥ . Tương tự. 6. (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN của biểu thức P = 4 4 6 x y x y − + + . 7. (BT_366_12/07) Cho x > y và xy = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 x y x y + ≥ − . HD: 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) x y x y xy x y x y x y x y + − + = = − + − − − . Áp dụng BĐT Cauchy Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 10 [...]... ≤ t ≤ 2 Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + 2 , với t ∈ [ 1; 2 ] Suy ra GTNN, GTLN của P a+b 2 (a + b 2 ) 17 (BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b ∈ [ 2007; 2008 ] Tìm GTNN, GTLN của P = ab 2 a 2007 1 ≤ t ≤ 1 Tìm GTNN, GTLN của P = (t + 1)(t + ) HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008 Đặt t = , điều kiện b 2008 t Chứng minh rằng hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất nếu hàm số f(x) đồng biến trên [ x1; x2... ở số hạng thứ 2 Áp dụng BĐT Svácsơ (2a + b + c ) 2 (2b + c + a) 2 (2c + a + b) 2 + 2 + 2 ≤8 29 (Olympic 06) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng 2a 2 + (b + c) 2 2b + (c + a ) 2 2c + (b + a ) 2 HD: Giả sử a + b + c = 3 Thay b + c = 3 – a vào số hạng thứ nhất C/m ( x + 3) 2 4 4 ≤ + x Cộng theo vế ta 2 2 3 3 2 x + (3 − x) có đpcm 30 (Olympic 06) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3 Tìm GTLN của P = 9ab + 10ac... a + b + c = 3 Tìm GTLN của P = 9ab + 10ac + 22bc Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 12 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 2 2 HD: P = 10  −(a + b) + 3(a + b)  + 12  −b + 3b  − 3ab Xét hàm số f(t) = - t2 + t, 0 ≤ t ≤ 3     31 (Olympic 06) Cho x, y ∈ R và x2 + xy + y2 = 1 Tìm GTLN của P = x3y + xy3  x 2 + xy + y 2 = 1  HD: Bài toán trở thành tìm m để hệ... tỷ số P/ 2 = ? y C2: Tìm gt của m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = 2 và x2 – 2xy + 3y2 = m 44 (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của P = xy + y2 40 (BT) Cho a,b,c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 2 Chứng minh rằng ab + bc + ca ≥ 2abc + Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 13 GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x xét tỷ số P/... b 2008 t Chứng minh rằng hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất nếu hàm số f(x) đồng biến trên [ x1; x2 ] thì f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) a TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008 Đặt t = b 1 1 18 (BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ 0 thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN của P = 3 + 3 x y 1 1 1 1 1 1 1 HD: Đặt t = + Giả thiết ⇔ + = 2 + 2 − Ta có x y x xy y x y 14 (BT_359_5/07) Cho a, b, c > 0 và ab + bc...   c   a  ab + bc + ca  HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky C/m x2 ( y + z) y 2 ( z + x) z 2 ( x + y) + + 12 (BT_361_7/07) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm GTNN của P = y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y 10 (BT_362_8/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 6 Tìm GTNN của P = HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho các tử Đặt a = x x , b = y y , z = c c Áp dụng BĐT Svácsơ 13 (BT_359_5/07) Cho x, y ∈ R và x2 – xy + y2 ≤ 3 . Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: ĐẠI SỐ I – PHƯƠNG TRÌNH. 1. (BT_364 _10/ 07) Tìm m để phương trình x 2 – x +. + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ. 9.