I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ A.Một số ví dụ: 1. Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si) Giải: ( a - b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b 2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0) Giải: ( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b. 3. Chứng minh: (Với a , b ≥ 0) Giải: 2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ). Đẳng thức xảy ra khi a = b. 4. Chứng minh: .(Với a.b > 0) Giải: + = .Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b 5. Chứng minh: .(Với a.b < 0) Giải: + = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b. 6. Chứng minh: . (Với a , b > 0) Giải: + - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi a = b. 7. Chứng minh rằng: . Giải: 2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0 ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c. • 0A B A B ≥ ⇔ − ≥ • Cần lưu ý tính chất: 0 2 ≥ A • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0 • Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp B.Bài tập vận dụng: Chứng minh các bất đẳng thức sau 1. a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc 2. ( ) edcbaedcba +++≥++++ 22222 3. ( )( )( )( ) 1106431 ≥+−−−− xxxx 4. a 2 + 4b 2 + 3c 2 > 2a + 12b + 6c – 14 5. 10a 2 + 5b 2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ 0 6. a 2 + 9b 2 + c 2 + 2 19 > 2a + 12b + 4c 7. a 2 – 4ab + 5b 2 – 2b + 5 ≥ 4 8. x 2 – xy + y 2 ≥ 0 9. x 2 + xy + y 2 -3x – 3y + 3 ≥ 0 10. x 2 + xy + y 2 -5x - 4y + 7 ≥ 0 11. x 4 + x 3 y + xy 3 +y 4 ≥ 0 12. x 5 + x 4 y + xy 4 +y 5 ≥ 0 với x + y ≥ 0 13. a 4 + b 4 +c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 14. (a 2 + b 2 ).(a 2 + 1) ≥ 4a 2 b 15. ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) 16. 2 22 22       + ≥ + baba 17. 2 222 33       ++ ≥ ++ cbacba 18. b c c a a b a c c b b a ++≤++ (với a ≥ b ≥ c > 0) 19. ab ab ba + ≥+ 9 12 ( Với a,b > 0) 20. cbaab c ca b bc a 111 ++≥++ (Với a,b,c > 0) ===========o0o=========== HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu ;≤ ≥ thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra. A – B = ( ) 2 22 bca −+ Bài 2: 4A – 4B = ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 2222 eadacaba −+−+−+− Bài 3: A – 1 = ( )( )( )( ) 96431 +−−−− xxxx = ( ) 2 3 + Y Bài 4: A – B = ( ) ( ) ( ) 113321 222 +−+−+− cba Bài 5: A = ( a – 1) 2 + (3a – 2b) 2 + (b + 3) 2 Bài 6: A–B = ( a – 1) 2 +(3b – 2) 2 + (c - 2) 2 + 2 1 Bài 7: A – B = ( ) ( ) 22 12 −+− bba Bài 8: x 2 – xy + y 2 = 4 3 2 2 2 yy x +       − Bài 9: .x 2 – xy + y 2 -3x – 3y + 3 = ( ) ( )( ) ( ) 22 1111 −+−−−− yyxx . Biến đổi tiếp như bài 8 Bài 10: Tương tự bài 9 Bài 11: x 4 + x 3 y + xy 3 +y 4 = ( ) ( ) 2 22 yxyxyx ++− Bài 12: Tương tự bài 11 Bài 13: Xem ví dụ 7 Bài 14: A – B = (a 2 + b 2 ).(a 2 + 1) - 4a 2 b Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) = ( )( ) badc −− Bài 16: A - B = ( ) ( ) 4 2 2 22 baba +−+ . Bài 17: Xem bài tập 16 Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)( . (Với a ≥ b ≥ c ≥ 0) Bài 19: A - B = ( ) ( ) ab baab + −+− 9 33 22 ( Với a,b > 0) Bài 20: A - B = ( ) ( ) ( ) abc abacacbcbcab 222 −+−+− (Với a,b,c > 0) ===========o0o=========== TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG ----------------------------------------------------------------------------------------------- • Nếu a > 0 : 2 2 2 4ac-b ax + bx +c = 4a 2 b P a x a   = + +  ÷   Suy ra 2 4ac-b = 4a MinP Khi b x=- 2a • Nếu a < 0 : 2 2 2 4 a c+b ax + bx +c = 4 a 2 b P a x a   = − −  ÷  ÷   Suy ra 2 4 a c+b ax 4 a M P = Khi b x= 2 a Một số ví dụ: 1. Tìm GTNN của A = 2x 2 + 5x + 7 Giải:A = 2x 2 + 5x + 7 = 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x + + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 31 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x − = + − + = + + = + + . Suy ra 31 5 8 4 MinA Khi x= = − . 2. Tìm GTLN của A = -2x 2 + 5x + 7 Giải: A = -2x 2 + 5x + 7 = - 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x − + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 81 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x + = − − + + = − − = − − ≤ . Suy ra 81 5 8 4 MinA Khi x = = . 3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8. ⇒ MinB = 8 khi : ⇔ . 4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2. Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10. ⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ . BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN 20085 2 +−= xxA 6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x 2 7. Tìm GTLN D = xx 52007 2 −− 8. Tìm GTNN của F = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1. 9. Tìm GTNN của G = 122510 234 ++− xxx 10. Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y. 11. Tìm GTNN C = ( ) 513413 2 +−−− xx 12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3) 13. Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y HƯỚNG DẪN 5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5) 2 + 2001,75 ⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5 6. B = 1 + 3x - x 2 = -1,25 - ( x - 1,5) 2 7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5) 2 8. F = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = (x +x+1) = . 9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16. 11.C = ( ) 513413 2 +−−− xx * Nếu x ≥ . C = (3x - 3) + 1 * Nếu x < .C = (3x + 1) + 6 12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8 13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1. * Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski . Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 1. abba 2 22 ≥+ (a,b>0). (BĐT Cô-si) 2. ( ) abba 4 2 ≥+ 3. ( ) ( ) 2 22 2 baba +≥+ 4. 0,;2 >≥+ ba a b b a 5. 0,; 411 > + ≥+ ba baba 6. cabcabcba ++≥++ 222 7. ( ) ( )( ) 2222 2 yxbabyax ++≤+ ( Bu nhi a cop xki) 8. ( ) yx ba y b x a + + ≥+ 2 22 9. ( ) zyx cba z c y b x a ++ ++ ≥++ 2 222 Ví dụ 9:Chứng minh cba b ca a bc c ab ++≥++ (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = cba b ca a bc c ab 222222 −−−++ =       −++       −++       −+ 222 b a a b c a c c a b b c c b a Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 >≥+ ba a b b a .Ta có:2A - 2B ( ) ( ) ( ) 0222222 ≥−+−+−≥ cba .Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8 21 22 ≥ + + yx xy . Giải: 22222222 2 4 2 1 2 1 2 2 2 221 yxyxyx xy yx xy yx xy ++ ≥         + += + += + + ( ) 8 8 2 = + = yx .Đẳng thức xảy ra khi 2 1 == yx Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a b b c c a a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 Giải: c a c b b a c b b a .2.2 2 2 2 2 =≥+ ; a b a c c b a c c b .2 2 2 2 2 2 =≥+ ; b c b a a c b a a c .2 2 2 2 2 2 =≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a b b c c a a c c b b a a b b c c a a c c b b a ++≥++⇒       ++≥         ++ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Bài tập: 1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng ( ) 9 111 ≥       ++++ cba cba 2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8 3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng a) a + b ≥ b) a + b ≥ 4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ≥ 9 5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng: + + ≤ ≤ + + 6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng a. + ≥ 6 b. + ≥ 14 7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng (a + ) + (b + ) ≥ 8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0 , 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 bacacbcbaaccbba ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + 9. Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh : cbaab c ac b bc a 111 ++≥++ . 10. Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh rằng : 2 222 cba ab c ca b cb a ++ ≥ + + + + + . 11. Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1 12. Chứng minh: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Với a,b,c > 0 13. Chứng minh: ( ) cbaabccba ++≥++ 444 14. Bài 28: Cho ;0;0;0 ≥≥≥ zyx Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz 15. Cho A = 13 1 . 22 1 12 1 . 2 1 1 1 + ++ + + + ++ + + + nnnnn Chứng minh rằng 1 > A HƯỚNG DẪN: 1. A = 922233 =+++≥       ++       ++       ++ a c c b a c c a a b b a 2. Áp dụng (a + 1) ≥ 2a 3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0. b) Áp dụng câu a. 4. Xem bài 1 5. + + ≤ + + = + + = . + + ≥ ≥ = 6. A = + = ( + ) + ≥ + = 6 ( vì 2ab ≤ (a+b) ) B = + = 3( +) + 7. (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + 5. = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥ 8. + ≥ ; + ≥ ; + ≥ Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm 9. Ta có: + = ( + ) ≥ 2. ab c c b aab c ac b 1 .2 1 ≥       +=+ bc a a c bbc a ab c 1 .2 1 ≥       +=+ Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm tra lại) 10.Áp dụng BĐT ( ) zyx cba z c y b x a ++ ++ ≥++ 2 222 11. a + b ≥ ( a + b ) ≥ ≥ 12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + = (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) . = Suy ra: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a 13.Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số 444 cba ++ rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ta có đpcm. 14.Áp dụng BĐT ( ) xyyx 4 2 ≥+ .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM 15.A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 0,; 411 > + ≥+ ba baba Với từng cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.Dạng: Tìm GTLN A = ⇔ Tìm GTNN của ax 2 + bx +c Ví dụ: Tìm Max của A = 52 5 2 −− xx Giải: B = x 2 - 2x - 5 = (x - 1) 2 - 6 ⇒ MinB = -6 khi x = 1⇒ MaxA = - khi x = 1. II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = ⇔ Tìm GTNN(GTLN) của Ví dụ: Tìm GTNN của B = Giải: B = 1 - .Đặt C = ⇒ = (x + ) + 2 ≥ 4 ⇒ Min = 4 khi x = 1. ⇒ MaxC = ⇒ MinB = khi x = 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1. với x > 0 2. với x > -2 3. x -x + 4 + 4. 5. 6. 2 2 14 x xx +− 7. ( ) 2 2 12 164 − +− x xx 8. 228 41162 2 2 +− +− xx xx 9. 8 512 2 6 + + x x 10. 42 3 2 −+− xx 11. 1 3 2 2 + x x Tìm GTLN của các biểu thức sau: 1. 2. 3. 13 3 2 ++ xx 4. 5. ( ) 2 2008 + x x 6. I = (Với x ≠ 0) DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến 1. Cho 3x + y = 1 a.Tìm GTNN của A = 3x + y b.Tìm GTLN của B = xy 2. Cho a , b > 0 và a + b = 1 .Tìm GTNN của C = (1+ ) + (1 + ) 3. Tìm GTLN của các Biểu thức: a.D = 2x(16 - 2x) với 0 < x < 8 b. E = với x > 0; y > 0; x + y = 10. 4. Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x 2 + 2y 2 5. Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x 2 + 5y 2 6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của yx + 7. Cho : 7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của : x 2 + y 2 8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn : x + y = 2009 . Tìm GTNN và GTLN của A = x.y 9. Tìm GTNN của P = x + y + x + y với x + y = 1. 10.Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx Với x + y + z = 3. 11. Cho x + 2y = 3. Tìm GTNN của R = x + 2y 12. Cho x + 2 + z = 3. Tìm GTNN của H = x + y + z + xy +yz + zx Tìm GTNN và GTLNcủa các biểu thức sau: 1. 2. 3. 9 1227 2 + − = x x A 4. 14 38 2 + + = x x B 5. 2 12 2 + + = x x C 6. 1 323 2 2 + +− = x xx D 7. 5 14 2 + + = x x E GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức 1. 3222 22 +−−+= xxyyxA 2. 1710222 22 +−++−= yxyxyxB 3. yxyxyxC 22 22 −−+−= 4. yxyxyxD 33 22 −−++= 5. yxyxyxE 228522 22 −−++= 6. 7222 22 +−−+= xxyyxF 7. 3222 222 +−−−++= zyxzyxG 8. zxyzxyzyxH −−−++= 222 Bài 8: 4. Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x 2 + 2y 2 HD: Viết (x + 2y ) 2 = (x.1 + 2.2y ) 2 5. Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x 2 + 5y 2 HD: Viết :4x - 3y = (         − + 5 3 .5 2 4 .2 yx ) 6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của yx + HD: (x + y) 2 ≥ 2xy ⇒ 2 ≥+ yx 7. Cho : 7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của : x 2 + y 2 HD: 7(x 2 + y 2 ) = 10 - 8xy ≥ 10 -4(x 2 + y 2 ) ⇒ 11(x 2 + y 2 ) ≥ 10 ⇒ Min (x 2 + y 2 ) = 10/11 8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn : x + y = 2009 .Tìm GTNN và GTLN của A = x.y HD:4xy = (x + y) 2 -(x - y) 2 = 2009 2 - (x - y) 2 . *xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1 *xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất 1. = 17 + 4x + 2. = 3. x -x + 4 + 4. 5. 6. 2 2 14 x xx +− 7. ( ) 2 2 12 164 − +− x xx 8. 228 41162 2 2 +− +− xx xx 9. 8 512 2 6 + + x x 10. 42 3 2 −+− xx 11. 1 3 2 2 + x x . dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski. Bu-nhi-a-cốp-ski . Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.