On thi vao 10 THPT

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau.. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn. AI là đường kính, suy ra.. Tam giác IMN cân tại I có IK là đ[r]

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Bài 1: (Thi vào 10, năm 2007 - 2008)

Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D

a)Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b)Chứng minh AE AB = AF AC

c)Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK

BC tứ giác BHOC nội tiếp

d)Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC Hướng dẫn giải:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy

Trong tam giác ABC hai đường cao BF, CE cắt H nên H trực tâm tam giác ABC, suy

b) Ta có tam giác AEF tam giác ACB đồng dạng có: + Góc A chung

+ ( tứ giác BEFC nội tiếp) Suy ra:

c) Ta chứng minh được:

Và ( góc tâm hai lần góc nội tiếp chắn cung BC)

Mà tứ giác BHOC nội tiếp nên , suy

Ta có:

suy ra:

d) Ta có:

Mà , nên giải hệ ta

Bài 2: (LHP 06 - 07)

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a)Chứng minh AD AC = AE.AB

b)Gọi H giao điểm BD CE, gọi K giao điểm AH BC Chứng minh AH vng góc với BC

c)Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N tiếp điểm Chứng minh nANM =nAKN

d)Chứng minh điểm M, H, N thẳng hàng Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tam giác ABD ACE đồng dạng (g.g)

b) Chứng minh BD CE hai đường cao tam giác ABC, cắt H nên H trực tâm Suy AH vng góc BC

c) Ta có tam giác AMN cân A (tính chất tiếp tuyến cắt nhau), suy Vì nên A, N, M, O, K thuộc đường tròn đường kính AO

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com d) AN tiếp tuyến (O), ABE cát tuyến cắt (O) E B,ta chứng minh

Hơn ta có tam giác AEH AKB đồng dạng (g.g), suy

Từ ta có , suy tam giác ANH ANK đồng dạng(c.g.c), suy

Và từ câu c) ta có , suy tia NH NM trùng nhau, hay N, H, M thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH Gọi D E lần lượt trung điểm AB AC

a) Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH ECH

b) Gọi F giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH CEH Chứng minh HF qua trung điểm M DE

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm F

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Gọi I J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDH CEH

Tam giác AHB vng H có HD trung tuyến nên mà IB = IH, suy DI đường trung trực BH Suy

Mặt khác ta có DE làđường trung bình tam giác ABC nên DE // BC Từ suy , mà D thuộc (I) nên DE tiếp tuyến (I) Chứng minh tương tự ta có DE tiếp tuyến (J)

b) Gọi M giao điểm HF DE Ta chứng minh tam giác MDF MHD đồng dạng (g.g), suy

Tương tự ta có

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com

c) Ta có , suy

Tam giác DHE tam giác DAE (ccc), suy Từ (3) (4) ta có:

Suy tứ giác AEFD nội tiếp (tổng hai góc đối ), hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm F

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC)

a) Chứng minh hai tam giác MBC MHK đồng dạng b) Tìm vị trí M để đoạn HK có độ dài lớn

Hướng dẫn giải:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Hơn nữa, tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) nên

Từ (1) (2) ta có , suy tam giác MHK đồng dạng với tam giác MBC (g.g)

b) Tam giác MHK MBC đồng dạng, suy

Dấu ” = ” xảy H trùng B, hay M điểm đối xứng A qua O Vậy HK đạt giá trị lớn BC M điểm đối xứng A qua O

Bài 5: (THTH 06 - 07) Gọi AD đường phân giác góc A tam giác ABC ( D thuộc cạnh BC) Trên AD lấy hai điểm M, N cho BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN điểm thứ hai F

a)Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp b) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng

c) Chứng minh rằng: Từ suy ra:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Và (2 góc nội tiếp chắn cung CM)

Mà (AD phân giác góc A)

Nên ta có hay , suy tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp (2 đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau)

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: hay

Mà (gt)

Do đó: , suy F, A, E thẳng hàng c) Ta có (BFEC nội tiếp)

Và (AECM nội tiếp)

Suy , dễ dàng suy

Bài 6: (NK AB - 07 - Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H góc Gọi M, N, P chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC I trung điểm BC a) Chứng minh tam giác INP

b) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I, M, E, K thuộc đường tròn

c) Giả sử IA phân giác góc Hãy tính số đo góc

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Tam giác PCB vng P có PI trung tuyến nên

Tương tự

Suy ra: (1)

Tam giác PIC cân I, nên ta có Tương tự

Mà

suy ra: (2)

Từ (1) (2) suy tam giác NIP

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Tương tự ta có

Vậy ta có nêm điểm K, H, I, E, M nằm đường tròn đường kính AH

c) Tam giác IPN đều, IA đường phân giác đường trung trực, nên suy AP = AN, suy , từ ta có tam giác ABC đều, suy

Bài (LHP 04 - 05 - đề chung) Cho đường trịn tâm O Từ điểm M nằm ngồi đường tròn vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D tiếp điểm) Vẽ tuyến MAB không qua O, A nằm A B Tia phân giác cắt AB E

a) Chứng minh MC = ME

b) Chứng minh DE phân giác

c) Gọi I trung điểm AB Chứng minh O, I, C, M, D thuộc đường tròn d) Chứng minh IM phân giác

Hướng dẫn giải:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Và

Mà (bằng 1/2 số đo cung AC)

và (gt)

Từ ta có: , suy tam giác MCE cân M, suy ME = MC b) Ta có MC = MD (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

suy MD = ME, tam giác MDE cân M Do ta có:

hay mà Suy

hay DE phân giác góc ADB

c) Vì I trung điểm AB nên ta có , từ ta có:

, suy điểm M, C, D, I, O nằm đường trịn đường kính MO

d) Ta có (MDOI nội tiếp) (MOIC nội tiếp)

Mà (T/c 2tiếp tuyến cắt nhau)

Suy , suy MI phân giác góc CID

Bài 8: (THTH 05 -06) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I điểm đối xứng A qua O Trên cạnh BA lấy điểm M đường kéo dài cạnh AC phía C lấy điểm N cho BM = CN Hai đường thẳng MN BC cắt K Chứng minh rằng:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com b) Tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn

c) K trung điểm đoạn MN

Hướng dẫn giải:

a) Ta có OB = OC, AB = AB (gt), suy AO đường trung trực BC I điểm đối xứng A qua BC, suy I giao điểm AO (O), suy IB = IC

AI đường kính, suy

Từ ta có tam giác IBM tam giác ICN (c.g.c) b)

Suy tứ giác AMIN nội tiếp (Góc ngồi góc đỉnh đối) c)

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Ta có (cmt), suy tứ giác MBIK nội tiếp Mà

Tam giác IMN cân I có IK đường cao nên trung tuyến, suy K trung điểm MN

Bài 9:(TĐN, 2002 - 2003) Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi (CD khơng trùng AB) Vẽ tiếp tuyến (d) đường tròn (O) B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) P Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vuông góc với CD

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Vì PB tiếp tuyến (O) nên ta có

Suy ra: (cùng phụ với

Ta lại có: (góc nội tiếp chắn cung AC)

Từ suy ra: tứ giác PCDQ nội tiếp (Góc ngồi góc đỉnh đối diện)

b) Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Hơn ta có: (cmt)

Suy ra: Suy ra:

Bài 10: (TĐN 2003 - 2004) Cho hai điểm A, B thuộc đường trịn (O) (AB khơng qua O), hai điểm C, D lưu động cung lớn AB cho AD//BC (AD > BC) Gọi M giao điểm DB AC Hai tiếp tuyến đường tròn (O) A D cắt I

a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng

b) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: IA = AD (1)(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OD (2)(A, D thuộc đường tròn (O))

Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) nên : Vì AD //BC nên

Suy ra:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com , suy tam giác MAD cân M, suy MA = MD (3)

Từ (1), (2) (3) Ta có điểm I, O, M nằm đường trung trực AD nên thẳng hàng

b) Ta có (c.c.c) suy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MDC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB

Ta có ( góc tâm lần góc nội tiếp chắn cung) Tam giác MCD cân M nên ta có:

Từ (4) (5) ta có: , suy tứ giác AOMB nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Từ ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AOB Vì A, O, B cố định nên bán kính khơng đổi

Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CMD bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AOB nên khơng đổ

Bài 11: (LHP 2002 - 2003) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi Vẽ tiếp tuyến (d) (O) B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) P Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vng góc với CD

c) Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP Chứng minh E di chuyển đường thẳng cố định CD thay đổi

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Câu a b xem

c) Vì CDQP tứ giác nội tiếp nên tâm E đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDQP

Ta có I trung điểm PQ, suy O trung điểm CD, suy

Mà ta có (PQ tiếp tuyến B B) (câu b)

Từ ta có: , suy tứ giác AOEI hình bình hành Suy EI = AO = R Ta có , suy E nằm đường thẳng song song với PQ cách PQ khoảng R (đường thẳng khác phía với A đường thẳng PQ)

Bài 12: (LHP 2003 - 2004) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi K trung điểm cung AB M điểm lưu động cung nhỏ AK (M khác A K) Lấy điểm N đoạn BM cho: BN = AM

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com d) Chứng minh đường thẳng vng góc với BM N ln qua điểm cố định

Hướng dẫn giải:

a)Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Và KA = KB (K trung điểm cung AB)

Suy tam giác KAB vuông cân K Xét hai có:

+ MA = NB (gt)

+ (góc nội tiếp chắn cung MK) + KA = KB (cmt)

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com b) Ta có

Suy ra: hay

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Nên

Hơn ta có

Suy tam giác KMN vng cân K

c)Ta có $latex\ widehat{AMB} = 90^o$(góc nội tiếp chắn nửađường trịn), suy Vì tam giác vng cân K nên

Từ

Suy MK phân giác

d) Gọi I giao điểm AK đường thẳng qua N vng góc với MB Tứ giác KIBN có , suy KIBN tứ giác nội tiếp Khi ta có:

Tam giác ABI có

và Vì A, B cố định, I nửa mp bờ AB chứa K nên I cố định Vậy đường thẳng qua N vng góc với BM ln qua điểm cố định I

Bài 13:(LHP 2004 - 2005)

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp

b) Tính DE theo R

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO đường trung trực BC nên đường cao đường phân giác góc A

Ta có (c.g.c)

Suy

Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) AC = AB (tam giác ABC cân) suy AD = AB, tam giác ABD cân A, đó:

Từ (1) (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau)

b) Ta có

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com

+ (cmt)

Suy

Bài 14: (PTNK AB 2006 - 2007)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, có AC cắt BD I Biết IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm

a) Chứng minh tam giác ABC cân

b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính độ dài đoạn MN c) Gọi P giao điểm IO MN Tính độ dài đoạn PN

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Xét có:

+ (hai góc nội tiếp chắn cung BC) + (đối đỉnh)

Do đó:

Vậy

Khi AC = IA + IC = 10cm

Tam giác IAB vng I, theo định lý Pytagore ta có:

Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên tam giác cân A b) Gọi E trung điểm BC

Vì M, E trung điểm AB, BC nên ME đường trung bình tam giác ABC

Vì N, E trung điểm CD, BC nên NE đường trung bình tam giác BCD

Ta có: Và

Tam giác MEN vng E, theo định lý Pytagore ta có:

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Tam giác ICD vuông I, IN đường trung tuyến nên IN = DN, cân N

Mà (hai góc nội tiếp chắn cung BC) Suy

Mặt khác

Do đó: cân S

Ta có (liên hệ đường kính dây cung)

Chứng minh tương tự ta có NO // IM

Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên hình bình hành P trung điểm MN Do

Bài 15 (LHP 2002 - 2003 đề chung) Cho đường trịn (O; R) đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường tròn A B Từ điểm M di động đường thằng (d) nằm (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O) (N, P hai tiếp điểm)

a) Chứng minh

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M lưu động đường thẳng (d)

c) Xác định vị trí điểm M đường thẳng (d) cho tứ giác MNOP hình vng d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MNP di động đường cố định M lưu động (d)

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Ta có (MN tiếp tuyến (O))

Và (MP tiếp tuyến (O))

Suy tứ giác ONMP nội tiếp, ta có

b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Vậy M thay đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP ln qua O cố định

c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) ON = OP (1) suy OM đường trung trực NP, Tứ giác ONMP có hai đường chéo vng góc nên để hình vng hình thơi, (1) nên điều tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân N

d) Gọi I giao điểm OM (O) Ta có MI phân giác (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I thuộc OM đường trung trực NP nên ta có IN = IP, suy tam giác INP cân I Mặt khác (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó)

Do NI phân giác góc MNP

Vậy I giao điểm hai đường phân giác tam giác NMP nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác I thuộc (O) cố định

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com thẳng AM BK cắt E, đoạn thẳng KC BM cắt D Chứng minh ED song song với AC

Hướng dẫn giải

Ta có (góc nội tiếp chắn cung AC) (góc nội tiếp chắn cung AB) Mà (tam giác ABC cân B)

Do suy tứ giác DEMK nội tiếp

Mặt khác (góc nội tiếp chắn cung AK) Nên ta có mà hai góc vị trí đồng vị nên

Bài 17: (TĐN 2003 - 2004 Chun tốn) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M, N lưu động hai đoạn AB AC cho Đặt

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com c) Chứng tỏ MN ln tiếp xúc với đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a) Trong hai góc có góc nhọn, ta giả sử nhọn Vẽ , O nằm AN

Ta có và

suy (1)

Trong tam giác vuông AMO ta có:

(2)

Từ (1) (2) ta có hay

b) Ta có

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com suy

Suy

c) Vì M nằm A F

Vẽ cắt (O) I Qua I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC M’ N’ Khi ta chứng minh

Mà

M trùng M’ N trùng N’ Vậy MN tiếp tuyến (O)

Bài 18: (TĐN 2003 - 2004 Chun tốn) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a, b

Hướng dẫn giải

Ta có suy C nằm B E

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Và (Góc ngồi tồng hai góc khơng kề)

Mà + (AD phân giác góc A)

+ (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó)

Nên ta có: (1)

Mặt khác ta có (2)

Từ (1) (2) ta có phương trình : Vậy

Bài 19: (LHP 2001 - 2002)

Cho đường trịn (O), bán kính Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp (O) Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB, AC M N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN

Hướng dẫn giải

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com Khi ta có

Và Ta có Suy

Dấu ” =” xảy ra tam giác ABC vuông A MN vng góc với AO Vậy giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN hai

Bài 20 (LHP 2002 - 2003)

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa A Gọi H, I, K hình chiếu A BC, AB, AC a) Chứng minh

b) Tìm vị trí M để đạt giá trị nhỏ

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com a) Chứng minh

Chứng minh Chứng minh Từ suy b) Ta có