SKKN

Trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT bÊt ®¼ng thøc lµ phÇn g©y cho häc sinh, ngay c¶ häc sinh kh¸ vµ giái nhiÒu bèi rèi nhÊt.[r]

&

đề tài sáng kin kinh nghim

-Tên Đề tài SKKN

một số phơng pháp

s dng bt ng thc cụsi

Họ tên : Lê Đình Chiến

Chức vụ : Giáo viên

Tổ : Toán

Đơn vị công tác : Trờng THPT Thanh Oai A Thanh Oai - Hà Nội SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán

Năm học 2008-2009

cộng hòa xà hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự - Hạnh phóc

- * * *

I Sơ yếu lý lịch

Họ tên : Lê Đình Chiến

Sinh ngày : 28-5- 1976

Năm vào ngành : 2005

Chc v v đơn vị công tác : Giáo viên trờng THPT Thanh Oai A Trình độ chun mơn : Đại học S phạm Tốn

Nhiệm vụ đợc phân cơng : Giảng dạy Toán Khen thởng : Đề tài giải C cp tnh

(Năm học 2005-2006; 2007-2008)

II Ni dung ti SKKN:

I- Tên Đề tài SKKN:

một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức côsi

II Lý chọn đề tài:

Trong chơng trình tốn THPT bất đẳng thức phần gây cho học sinh, học sinh giỏi nhiều bối rối Tuy nhiên phần quyến rũ học sinh say mê với Toán học mong giỏi Tốn địi hỏi học sinh phải động não, tìm tịi sáng tạo

Để giúp em làm quen đến thích thú tốn bất đẳng thức nên tơi viết SKKN "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho em học sinh số phơng pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi

III- Phạm vi, thời gian, đối tợng thực hiện:

Năm học 2008-2009, đối tợng học sinh lớp 10,11, 12 trờng THPT Thanh Oai A - Hà Nội

A- KiÕn thøc c¬ b¶n

* Bất đẳng thức si

1- Dạng tổng quát (nsố)

x1; x2; x3 xn > ta cã n n xx xn n

x x

x x

2

2

1     hc

(x1+x2+ +xn) > n n

n

x x

x1 hc ( m

n

n x x x

n

x x

x x

)

2

2

 

  

DÊu "=" x¶y  x1= x2= = xn

* HQ 1: x1 + x2 + +xn = S (không đổi) Max(x1x2 xn) =

2

     

n S

DÊu "=" x¶y  x1= x2= = xn

* HQ2: Nếu x1x2 xn = P (khơng đổi) Min(x1+x2 + +xn) = nn P

DÊu "=" x¶y  x1= x2= = xn

2- D¹ng thĨ cho sè:

x, y > ta cã xy  xy

2 DÊu "=" x¶y  x = y

3- D¹ng thĨ cho sè:

x, y, z > ta cã

2 xyz

z y x

  

DÊu "=" x¶y  x = y = z

B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi

1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > a2b2c2

a, b, c  R

Sai lÇm thêng gặp là:

x, y (x - y)2 >  x2 + y2 > 2xy

Do ta có:

     

 

 

 

ac a c

bc c b

ab b a

2 2 2

2

2

2

(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > a2b2c2 (sai) Chẳng hạn: > -

2 > - >

§óng §óng §óng

 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai)

Nhận xét: nhân vế bất đẳng thức chiều (kết nhận

đợc bất đẳng thức chiều) vế không âm Nh ta có lời giải nh sau:

      

 



 



 



ca c

a a

c

bc c

b c

b

ab b

a b

a

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > a2b2c2

= a2b2c2

* Thơng thờng ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cô si nh tốn mà phải biến đổi tốn đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cụ si

Bài toán 1:

0

, 

a b , chøng minh r»ng  a b8 64ab(a b)2  



Gi¶i:

Ta cã :  a b8 [( a b)2]4  

 = (ab)2 ab4

2 2

4

) ( 64

2 ) (

2 ) (

b a ab

ab b

a

ab b a

Cosi

 

 

  

 



Bài toán 2:

Cho a1a2 > , a1c1 > b12 , a2c2 > b22 Chøng minh r»ng : (a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2)2

Gi¶i:

Tõ gi¶ thiÕt ta cã: a1, a2, c1, c2 cïng dÊu  a1c2 > ; a2c1 > Ta cã: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b12 + a1c2+a2c1 +b22

2

2

2 2 2

1

2 2 2

1

) (

) (

2

b b

b b

b b b b

b c c a a b

Cosi

 

 

 





Bài toán 3:

Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab

Ta cã (1+a+b) > 33 ab

(a+b+ab) > a.b.a.b

(1+a+b)(a+b+ab) > 9ab

Bài toán 4: Chứng minh ; 3a3 + 7b3 > 9ab2

a,b >

Gi¶i:

Ta cã: 3a3 + 7b3 > 3a3 +6b3

> 3a3 +3b3 + 3b3 > 33 3a3.3b3.3b3

> 9ab2

Bài toán 5:

Cho a, b,c,d > vµ

1

1

1

1

      

a b c d

Chøng minh r»ng: abcd < 81

1

Gi¶i:

Tõ gi¶ thiÕt ta cã:

3

1 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1

) )( )( (

) (

) (

) (

d c b

bcd d d c c b b

d c

b a

   

     

         

Ta cã

) )( )( (

1

3 

   

 b c d

bcd a

T¬ng tù ta cã:

0 ) )( )( (

1

3 

   

 a c d

acd b

0 ) )( )( (

1

3 

   

 a b d

abd c

0 ) )( )( (

1

3 

   

 a b c

abc d

Nhân vế ta đợc:

abcd d

c b a

abcd d

c b

a          

 81

1 ) )( )( )( ( 81 ) )( )( )( (

1

Chøng minh r»ng a, b> ta cã 2008

4017 2009

2008a 2009 b 4017 ab

Gi¶i:

áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 4017 số có 2008 số dạng

2008a 2009 số dạng 2009b ta đợc:

hang è h¹ng

è s

s

b b

b a

a a

b a

2009 2008

)

( )

(

2009 2008

2009 2009

2009 2008

2008 2008

2009 2008

  

 

 

 

2009 2008 2009

2008 a b >

hang è h¹ng

è s

s

b b

b a

a a

2009 2008

)

).(

(

40174017 2008 2008 2008 2009 2009 2009

4017

4017 ab



Bµi to¸n 7:

Cho 1 1 1 1 1 1 8

1 0

    

 

  



) )( )( (: ,,

c b a CMR c

b a

cb a

Gi¶i:

VT=

c b a b

a c a

c b c

c b

b a

a   

   

)

)( )(

(1 1

8

 

abc ab ca bc

Cosi Bài tập áp dông:

1)

    

       

  

1 1

1 1

1 1

1

3 0

2

2

n a a

a

N n n a

a a cho

n n

, , , ,

Chøng minh r»ng a1a2 an <

n

n )

( 1



2) CMR: mma nn b(mn)mnab ab ; m,nN

1

3) Cho

  

   



1 0

2

2

n n

a a

a a a a

, ,

CMR: n

n

n a

a

a ( 1)

1 1 1

2

     

 

 

  

 

    

 



Bạn đọc tự giải

* Kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề chuyển sang trung bình nhân phần chứa biến số bị triệt tiêu lại số

Bài toán 1: CMR: a R

a a

    

2

2

Gi¶i:

1 1

1 1

2

2

2

2

    

    

a a

a a a

a ( )

2 1

2

  



a a

Cosi .

Bài toán 2: CMR: và a.b1



 a b

b a

b a

2

2

Gi¶i:

2

2

2

2

2



   

      

Cosi

b a ba a

b a

ab b

a b a

b a VT

(

) (

Bài toán 3: CMR: 3   0



 a b

b a b a

) (

3

1

1

) ( ) (

) ( ) ( )

(

b a b b a b

b a b b a b b a b a

Cosi

 



    

>

Bài toán 4: CMR: 2 2

 

) (a b b a Gi¶i:

2

2

4

1

2

4

2

 

 



      

) ( ) ( ) (

) (

b a a b a b a b

a b a b a b a b VT

Bài toán 5: CMR: log3 > log4

Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi ta có

log3 + log4 > log34.log43 2 (1) mµ log45 + log4 = log4 5.3

= log4 [(4+1)(4-1)] = log4 (42-1)

< log4 42 = (2) Tõ (1)(2)  log34 + log43 > log45 + log43

 log3 > log4

3 Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Bài toán 1: CMR: ab  cd  (ac)(bd) a,b,c0

Gi¶i:

Bất đẳng thức tơng đơng với 1

   

 )( ) ( )( )

( a c b d

cd d

b c a

ab

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

1

1

2

1

    

 

     

   

 

       

 

   

d b

d b c a

c a

d b

b c a

c d

b b c a

a VT

Bài toán 2:

Chøng minh : c(a c) c(b c) ab ac0;bc0

Gi¶i:

Bất đẳng thức tơng đơng với    1

ab c b c ab

c a

c( ) ( )

Ta cã:

1

1

2

1

      

 

   



 

     



 

 

a a b b

b c b a c a

c a b c VT

Bài toán 3: CMR: 3 1 01

 

   

 a b c a b c

abc ( )( ( ) , ,

Giải: Bất đẳng thức tơng đơng với:

3

3 abc  1.1.1 (1a)(1b)(1c)

1

1

1 1

1

1

3 

       

) )( )( (

)

)( )(

( a b c a b c

abc

1

1 1 1

1 1

1

1

    

 

        

   

 

     

c c b b a a

c b a VT

Bài toán 4:

Tỉng qu¸t: n     

n n n

n n

n bb b a b a b a b

a a

a1   1 2 

Với ai; bi >0 ; i = 1,n Bạn đọc tự chứng minh

CMR: 1

1

1   

 n

n n! n Bạn đọc tự chứng minh

Gỵi ý: VT= 1

4 3 2 1

4



 n 

n

n n

n

Bài toán 6:

CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 a,b0

Gi¶i:

VT = 16ab(a-b)2 = 4(4ab)(a-b)2

4

2

2

2 4

) ( ) (

) (

b a b

a

b a ab

     



 



   



Bài toán 7:

CMR:

2 1

1

1

1

2

2 

 

   

) )( (

) )( (

b a

ab b

a Gi¶i:

  

  

     

2 1

2 1

1

2 2

2

b a ab

b a

b a

ab b a

     

  

  

   

 

ab b a ab b a

ab b

a

ab b

a VT

Cosi

2

2 2 1

2 2

2

2

2

     

   

  

) (

  

pcm) §

1

1 2

(

VP b

a

 

 

Bài toán 8:

Cho a, b >1 chøng minh r»ng:

2

2 2

2

b a b

a log  log 

log

Gi¶i: Ta cã: a b 2a 2b 2a 2b

2

2 log ) log log log log log

2

2

4

2

2

2 2

2

2

2

2

b a b

a b a

ab

ab b

a

b a

b a

Cosi Cosi

 

 

 



 



 

 

log log

log log log

log ) log (log

log log

log log

(đpcm)

Bài toán 9: Cho CMR abc a b

c b a

cb a

  

 

  



16 1 0

: ,,

Gi¶i:

 

b a

c b a do b

a

c b a b a c

b a b a

c b a abc

VT

Cosi Cosi

 

   



  

 

 

  

1

1

2

4

2 16 16

2

2

) ).( (

] ) ( )[ (

) (

) (

Bài toán 10:

729 8 1

0

    

 

  



) )( )( ( : ,,

a cc bb a abc CMR c

b a

cb a Cho

Gi¶i:

Ta cã

729

3

3

3      

  

   

] ) ( ) ( ) ( [ ) (

) )( )( (

a c c b b a c b a

a c c b b a abc VT

Bài toán 11:

27 8 1

0

    

 

  



abc ca bc ab CMR cb

a cb a Cho

: ,,

     

27

1

1

1 1

3

 

    

   

       

   

] [

) )( )( (

c b

a

c b a

c b a abc ca bc ab

abc ca bc ab VT

Cosi

4 Phơng pháp thêm số

sử dụng bất đẳng thức Cơ si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần ý: Chỉ số thức số số hạng nhiêu Nếu số số hạng nhỏ số ta phải thêm số để số số hạng s cn

Bài toán 1:

CMR: a b 1b a 1ab ab1

Gi¶i: Ta cã:

 

2

1 1

1

1 a b a b ab

b

a   (  )    

2

1 1

1

1 b a b a ab

a

b   (  )  (  ) 

Céng vÕ  a b 1b a 1ab (đpcm)

Bài toán 2:

6 1

0

      

 

  



) ( ) ( ) ( : ,,

a c c b b a CMR c

b a

cb a Cho Gi¶i:

Ta cã:

2 2

3 2

3  

 

 

) ( )

(

b a b

a b

a

2 2

3 2

3  

 

 

) ( )

(

c b c

b c

b

2 2

3 2

3  

 

 

) ( )

(

c a c

a c

a

6 2

2 2

2

 

   

    

) (

) ( ) ( )

(a b b c c a a b c

Bµi to¸n 3: Cho

    

  

2 4 3

c b a

T×m Max

abc

b ca a

b c ab

f     3 

Gi¶i:

Ta cã:

2 2

2 2

2 2

2 ab c ab c abc

c

ab   (  )  (  ) 

3 2

3 3

3 3

3 bc a bc a abc

a

bc   (  )  (  ) 

4

4 4

4 4

4 ca b ca b abc

b

ca   (  )  (  ) 

4

1 2

1

2

         

abc

b ca a

bc c

ab f

DÊu "=" x¶y

             

   

4 8 6

44 33 22

c b a

b a c

VËy Max

4

1 2

1

  

f

Bài toán 4: Cho



 

4 0

3 0

y x

t×m Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)

Gi¶i: A = (3-x)(4- y)(2x+3y) =

6

36

3

12

6

    



     

 ( x) ( y) ( x y) Cosi

DÊu "=" x¶y  6-2x=12-3y=2x+3y=6

  

  

2 0

y x

VËy Max A = 36

Bài toán 5: Cho x, y > T×m Min

3

xy y x y x

f( , )(  )

Gi¶i: Ta cã:

4 27 16

1

3 2 16

1

2 16

1

2

3

  

   

 

 

   



  

 

xy y x

y x

y y x

y y x xy

) (

) (

) )( )( (

DÊu "=" x¶y  4x=2y=2y  y=2x>0 Vậy Min f(x,y) =

4 27

Bài toán 6: Cho x, y, z >0 T×m Min 2 3

6

z xy

z y x z y x

f( , , )(   )

Gi¶i: Ta cã xy2z3 = 6x.3y.3y.2z.2z.2z

3

2

1

432 432

432

2 2 3

3

6

6

2

6

2

   

   

   



     

 

z xy

z y x

z y x z

xy

z z z y y x z

xy Cosi

) (

) (

VËy Min f(x,y,z)=432

DÊu "=" x¶y  6x3y2z0

5 Phơng pháp ghép đối xứng

Phơng pháp cộng:

       

       

2 2

2 2

x z z y y x z y x

x z z y y x z y

x ) ( ) ( ) ( )

(

Phơng nhân: 

 

zx yz xy xyz

zx yz xy z

y x

. .

) ).( ).( (

2 2

với x,y, z >0

Bài toán 1:

CMR:   abc a b c0

c ab b ca a ba

, ,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có

c ab abc b

ca a bc

 

   

 



2

2

c c ab b ca c

ab b ca

 

   

 



2

b a bc c ab a

bc c ab

 

   

 



2

Céng vÕ a b c

b ca c ab a bc

    

Bài toán 2:

CMR: 2

2 2 2

  

  

 a bc

a b b c c a a c c b b a

, ,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

c a c a c b b a c

b b a

  

   

 

 2

2 2

2 2

2

a b a b a c c b a

c c b

  

   

 



2 2 2

2 2

2

b c b c b a a c b

a a c

  

   

 

 2

2 2

2 2

2

Cộng vế ta đợc:

a b b c c a a c c b b a

   

 2

Bài toán 3:CMR: a3 +b3 +c3 > a2 2 0

 



b ac c ab ab c

bc , ,

Gi¶i: Ta cã:

a3 +b3 = (a+b)(a2 +b2 -ab) > (a+b)(2ab-ab) = (a+b).ab b3 +c3 = (b+c)(b2+c2 -bc) > (b+c)(2bc-bc) = (b+c).bc a3 + c3 = (a+c)(a2 +c2 -ac) > (a+c)(2ac-ac) = (a+c).ac Cộng vế ta đợc:

2 (a3 +b3 +c3) > (a+b).ab+(b+c).bc+(a+c).ac > a2(b+c) + b2(c+a) +c2 (a+b)

) (a ab b ac c ab

ab c ac b ab a

Cosi

2

2

2

2

2

2

 



 



Suy a3 +b3 +c3 a2 bc b2 ac c2 ab

Bài toán 4: CMR: A B  C1 ABC

2

2

2

2 tan tan tan

Gi¶i: Ta cã: tan cot tan( )

1 C A B

C

 



2 2

2

C B

A B A

tan tan

tan

tan tan

 

 

1 2

2

2   

 tanA.tanB tanB.tanC tanC.tanA

Mặt khác ta có:

2 2

2

2

1 tan2 A tan2 B tan2 A.tan2 B tanA.tanB

 

   

 



T¬ng tù:

2 2

2

1 tan2B tan2C tanB.tanC

    

 



2 2

2

1 tan2C tan2 A tanC.tanA

   

 



Cộng vế ta đợc: tan22 2 2 2

 

 B C

A tan tan

đccm

Bài toán 5: Cho ABC CMR:

1) (p-a)(p-b)(p-c) <

8

abc

2) ( )

c b a c p b p a p

1 1 1

1

       

Gi¶i: Ta cã p-a =

2 



c a

b

1)

2

0 (p a)(p b)(p a)(p b)c

2

0 (p b)(p c)(p b)(p c)a

2

0 (p c)(p a)(p c)(p a)b

Nhân vế ta đợc: (p-a)(p-b)(p-c) <

8

abc

2) p a p b p a p b p a p b c

2

1

1

2

           

 

 

 ( )( ) ( ) ( )

a c p b p c p b p c

p b p

2

1

1

2

           

 

 

 ( )( ) ( ) ( )

b a p c p a p c p a

p c p

2

1

1

2

           

 

 

 ( )( ) ( ) ( )

Cộng vế ta đợc: ( )

c b a c p b p a p

1 1 1

1

  

Bài toán 6: Cho ABC CMR:

(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) < abc

Giải: Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

c b c a a c b b c a a c

b          



2

0 ( )( ) ( ) ( )

a c b a b c a c b a b c

a          



2

0 ( )( ) ( ) ( )

b a c b c b a a c b c b

a          



2

0 ( )( ) ( ) ( )

Nh©n vÕ  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc

6 Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo số:

Chó ý ta cã: (x+y+z)(11 1 9 x y z0

z y

x ) (*) , ,

ThËt vËy VT > 33 33 9

xyz xyz

Bất đẳng thức có ý nghĩa lớn vai trị nhận dạng đa tốn xa lạ trở thành tốn quen thuộc Các ví dụ sau chứng tỏ điều

Gi¶i: Ta cã : SABC=

a S h h

a a a

2

1

 

T¬ng tù:

b S hb

2

 vµ

c S hc

2

mà S =p.r

Nên (*)  2aS 2bS 2cS 9Sp

9 1

9 1

     

   

) )(

(

) (

c b a c b a

c b a p

Theo (*) ỳng ddcpcm

Bài toán 2: CMR: +rb +rc > r ABC

Chó ý: r pS c

b p

S r a p

S

ra b c

  

 

 ; ;

(S lµ diƯn tÝch ABC) mµ S =p.r

Ta ph¶i chøng minh:

9 1

1 1

1

9

    

 

     

    

      

     

c p b p a p c p b p a p

c p b p a p p

p S c p

S b p

S a p

S

)] ( ) ( ) [(

) (

Theo (*)   đcpcm

Bµi to¸n 3: CMR      6

c b a b

a c c

a b

với a,b,c

Bài toán 4: CMR: a) 2  0

      

c c a a b a b c a b c

b , ,

b)

2

      

 a b ab c

c a c

b c b

a

, ,

Bài toán 5: CMR:

2

2

2

        

 a b c

c b a b a

c a c

b c b

a , ,

Gỵi ý: (a b c)

b a

c c a c

b b c b

a

a   

  

 

      

 

      

 

  

2

2

2

Bạn đọc tự chứng minh 3, 4,

Bài toán 6: Cho

2 9 1 1 1 1

0

      

 

  



ba ac cb CMR cb a

Gi¶i:              b a c b a a c c b a c b c b a 1 1                                  a c c b b a a c c b b a b a a c c b c b a )] ( ) ( ) [( ) (

Theo (*)   đcpcm

Bài toán 7: Cho 9

2 1 2 1 2 1 1 0 2              ab c ca b bc a CMR cb a cb a ,,

Giải: Theo bất đẳng thức (*) ta có:

9 2 2

2 2 2 2 2

2                  ab c ca b ca a ab c ac b bc

a ) ( ) ( )]

[( 2 2 2                ab c ca b ca a c b a ) (

Mµ 0<(a+b+c)2 < 1

 2 2

2 

        

 ca b ca c ab

a ®pcm

7 Phơng pháp đánh giá mu s:

Bài toán 1: CMR

2 1 2

2  

            

 abc a bc

c b a ab c ac b bc

a , ,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

abc c b bc a abc c b abc bc bc a bc a bc a 2 2 1 2           ) ( T¬ng tù: abc c a ca b    abc b a ab c    Céng vÕ abc c b a ab c ca b bc a 1 2         

abc abc a c abc c b abc b a 1 1 3 3 3         

Gi¶i: Ta cã

) ( ) ( ) )( ( ) )( ( c b a abc abc ab b a abc ab ab b a abc ab b a b a abc b a                  1 1 2 3 T¬ng tù: ) (a b c bc

abc c

b     

1

3

) (a b c ac

abc a

c     

1

3

Cộng vế ta đợc:

abc c b a abc c b a c b a ca c b a bc c b a ab abc a c abc c b abc b a 1 1 1 3 3 3                        ) ( ) ( ) ( ) ( ®pcm

Bài toán 3: CMR:

abcd abcd b a d abcd a d c abcd a c b abcd c b a 1 1 4 4 4 4 4 4                

víi a,b,c,d 0

Gi¶i: Ta cã x,y,z0 ta cã:

yz x xy z xz y y x z x z x z y z y y x x z z y y x x z z y y x z y x Cosi Cosi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2                     ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

 x4 y4 z4xyz(xyz)

VËy: a b c abcd abc(a b c) abcd abc(a b c d)

           1 4 ) (a b c d bcd

abcd a

c

b       

1 4 ) (a b c d cda

abcd a

d

c       

1 4 ) (a b c d dab

abcd b

a

d       

Cộng vế ta đợc: VT(1)

abcd d

c b a abcd

d c b a

d c b a dab d c b a cda d c b a bcd d c b a abc

1

1

1

   

   

   

   

   

   

) (

) (

( ) (

) (

®pcm

8 Phơng pháp đổi biến số:

Đổi biến số nhằm mục đích chuyển tốn từ tình khó biến đổi đại số (với biến ban đầu) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hn vi bin mi

Bài toán 1: CMR:

2

  

   

 a b a bc

c a c

b c b

a

, , )

(

Giải: Đặt

       

  

 

       

  

  

  

z zy x c

z yx z b

xz y a

za b

yc a

xc b

0 0 0

(1)

2

2 

        

z z y x y

y x z x

x z y

6       

z x z x y x y z x z x y

ThËt vËy: VT = 

    

       

       



z y y z z x x z y x x y

6 2

2

Cosi đpcm

Bài toán 2: Cho ABC có cạnh a, b, c

CMR: a b c

c b a

c b a c

b a c b

a

          

2

2

Đặt

  

 

 

       

 

  

 

2 2 2 2

yx c

xz b

y a

cb az

ba cy

ac bx

Khi ta có:

(1) ( ) ( ) ( ) (2)

4

4

2

2

z y x z

y x y

x z x

z y

        

Ta cã VT (2) 

  

 

 

   

 

 

   

 

 

  

x yz z xy z

xy y xz y

xz x yz z

xy y xz x yz

2

1

1

z y x zx

yz xy yz

xy xz xy

zx yz

   



 đpcm

Bài toán 3: Cho ABC có cạnh a, b, c CMR:

(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1)

Giải:

Đặt:

    

 

 

       

 

 

 

2 2 2 2

yx c

xz b

y a

cb az

ba cy

ac bx

Khi (1)

2 2

x z y x z y

xyz   



ThËt vËy VP =

2

2

x z y x z

y 

   

xyz

y x x z z y

Cosi





Bài toán 4: Cho ABC có cạnh a, b, c ; diÖn tÝch S CMR:

) (1

3

1

1

S b a c a c b c b

a       

Giải:

Đặt

 

   

   

   

0 0 0

z c b a

y b a c

x a c b

Ta cã:

4 4

2

xyz z y x

c b a b a c a c b c b a

c p b p a p p S

) (

) )(

)( )(

(

) )( )( (

  

        

   

Khi đó: (1)  11 19

z y x

4

4

1 1

1 1

3

1

xyz z y x

z y x z y x z y x

z y x z y x

) (

) (

) (

) (

  

        

     

4

3

1 1

xyz z y x z

y

x   (   )

 ®pcm

Bài toán 5: Cho ABC CMR: ( )2 ( )2 ( )2 12 (1)

r c p b p a

p     

Gi¶i: Ta cã:

  



  



2 2

r p S

c p b p a p p

S ( )( )( )

p

c p b p a p

r (  )(  )(  )



Đặt:

  

  

  

0 0 0

c p z

b p y

a p x

th× ta cã:

(1) 12 12 12 (2)

xyz z y x z y x

VT(2) =                      

 2 2 2 2 2

2 1 1 1 x z z y y x xyz z y x zx yz xy x z z y y x        

 212 212 212 1

9 Phơng pháp kiểm tra điều kiện xảy dÊu "="

Cho a+b+c+d >0 t×m GTNN cđa

d c b a c b a d b a d c a d c b c b a d b a d c a d c b d c b a S                        

* Sai lầm thờng gặp:

Nhiu hc sinh mc sai lầm biến đổi S thành tổng cặp nghịch đảo áp dụng bất đẳng thức Cô si cho cặp  S >8 kết luận MinS =8

Dễ thấy sai lầm S =8

th× :     0                    d c b a c b a d b a d c a d c b d c b a

vô lí a +b+c+d >0

Li gii ỳng:

Để tìm Min S ta cần ý S biểu thức đối xứng với a, b, c, d để tìm Min (Max) có thờng đạt đợc a=b=c=d Vậy đảo lại cho trớc a=b=c=d ta dự đốn MinS =

3 40 12  

Sau đánh giá bất đẳng thức có điều kiện dấu "=" xảy l ca iu kin a=b=c=d

Đặt d c b a c b a d b a d c a d c b

S1           

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

12

1(  )(  )(  )(  )(  )(  ) 

b d d b a d d a a c c a c d d c b c c b a b a b S Đặt c b a d b a d c a d c b d c b a S                                                       c b a d b a d c a d c b d c b a

S2 1 1

                       c b a b a d a d c d c b d c b a

S2 ( ) 1 1

)] ( ) ( ) ( )

[(a b c b c d c d a d a b

S             

C«si

3 4 16

16

2

2     

 S

Từ ta có S > 12+

3 13 40

 

VËy Min S = 13

3

a=b=c=d

Bài toán 2: Cho

  

   

 1 0

d c b a

d c b a, ,,

T×m Max S = abc bcd  cda dab

Gi¶i:

Sai lầm thờng gặp, theo bất đẳng thức Côsi ta có:

2

2

2

2 1

2 1

2 1

2 1

 

     



     

     

     

     

MaxS

d c b a S

b a d b a d

a d c a d c

d c b d c b

c b a c b a

] ) (

[ ) (

) (

) (

) (

Rõ ràng dấu "=" xảy

      

  

  

  

   

1 1

b a d

a d c

d c b

c b a

4 3

 v« lÝ

* Lời giải đúng:

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có

   

 

   

 

   

 

2 3

4

3

4. (a b c). a b c

   

 

   

 

   

 

2 3

4

3

4 b c d

d c

b )

(

    

  

   

 

2 3

4

3

   

 

   

 

   

 

2 3

4

3

4 d a b

b a

d )

(

3 3

2

     

¸S [ (a b c d) ]

DÊu"=" x¶y

4

   

 a b c d

Bài toán 3: Cho

  

  



2 3 0

z y x

z y x, ,

T×m MinP =xyz1x1y 1z

Bạn đọc tự làm (Min P =

2

15

 

y z

khix )

C Lêi kÕt:

Trong đề tài chủ yếu đa số phơng pháp phân tích, đánh giá để có đợc lời giải toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cơ si với ví dụ minh hoạ đợc su tập chủ yếu đề thi tuyển sinh đại học Tuy nhiên trình thực đề tài không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong muốn có đợc đóng góp ý kiến đồng nghiệp, bạn đọc nội dung đề tài, xin chân thành cảm ơn!

Thanh Oai, ngày 15/4/2009

Tác giả

Lê Đình Chiến

ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại hội đồng khoa học sở

Chủ tịch hội đồng