Đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp 9 năm học: 2006-2007 Câu 1 (1điểm) Rút gọn biểu thức: ( y1 yy1 + y )( y1 y1 ) 2 Câu 2 (3điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y 2 - 5 = 2 x17 Câu 3: (5điểm) Cho đa thức P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e biết P(1) =1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =16; P(5) =25 a/ Tìm P(6) ? b/ Tìm các hệ số a,b.c,d,e của đa thức P(x) ? Câu 4:(5điểm) a/ Chứng minh : P(x,y) = (3x+3y)( y2x 1 + + yx2 1 + ) 4 . Trong đó x 0 , y 0 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất Q = 22 2 )( bab a ++ + 22 2 )( baa b ++ Câu 5(6điểm) Cho tam giác vuông ABC ( A = 90 0 ). Đờng cao AH, có cạnh AB = 2cm, đoạn HC =3cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABD. a/ Tính diện tích tam giác ABC b/ Chứng minh: CD 2 = AC 2 +BC 2 ./. Bài giải Câu 1/ Điều kiện xác định của bài toán: x 0, y 1 P = y1 yyyy1 + [ )1)(1( 1 yy y + ] 2 = y yyy + 1 )1(1 . 2 )1( 1 y + = y yy + 1 )1)(1( . 2 )1( 1 y + = 2 2 )1)(1( )1)(1( yy yy + + =1 Câu2 y 2 - 5 = 2 x17 ; Do 5 2 x17 nên 5 y 2 10 vì y nguyên y 2 = 9 4 = 2 x17 x = 1 y= 3 Vậynghiệm của phơng trình là: (1; 3); (1;-3);(-1, 3);(-1,-3) Câu 3 Xét hiệu: g(x) = p(x) x 2 ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x) vì hệ số của x 2 bằng 1 nên g(x) có dạng: g(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) p(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x 2 a/ p(6) = 5.4.3.2.1 +36 =156 b/ p(x) = (x 2 -3x+2)(x 2 -7x+12)(x-5)+x 2 = (x 4 -7x 3 +12x 2 -3x 3 +21x 2 -36x+2x 2 -14x+24)(x-5) +x 2 = (x 4 -10x 3 +35x 2 -50x+24)(x-5) +x 2 = x 5 -10x 4 +35x 3 -50x 2 +24x-5x 4 +50x 3 -175x 2 +250x-120+x 2 = x 5 -15x 4 +85x 3 -224x 2 +274x-120 a=-15; b =85; c = -224; d =274; e = -120 Câu4 a) Chứng minh : p(x,y)=(3x+3y)( )y2x 1 + + yx2 1 + ) 4.trong đó x 0 y 0 Ta có : [(x+2y) + (2x+ y)]( y2x 1 + + yx2 1 + ) 2 )2)(2( yxyx ++ .2. )yx2)(y2x( 1 ++ = 4 p 4 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y (Đpcm ) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 22 2 )ba(b a ++ + 22 2 )ba(a b ++ trong đó a và b là các số thực khác không . Gải : Ta có (a+b) 2 2(a 2 +b 2 ) nên: Q )(2 222 2 bab a ++ + )ba(2a b 222 2 ++ = 22 2 b3a2 a + + 22 2 b2a3 b + Q + 2 22 222 b3a2 b3a2a + ++ + 22 222 b2a3 b2a3b + ++ = 3(a 2 +b 2 ) ( 22 b3a2 1 + + 22 b2a3 1 + )= 5 3 [(2a 2 +3b 2 )+(3a 2 +2b 2 )]( 22 b3a2 1 + + 22 b2a3 1 + ) 5 3 .2. )23)(32( 2222 baba ++ .2. )b2a3)(b3a2( 1 2222 ++ = 5 12 Q 5 12 - 2 = 5 2 Vậy Q 5 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Câu 5: a) Đặt BH= a 0 , AH = h 0 Trong ABC ,Ta có h 2 = 3.a Trong ABH Ta có h 2 = 4- a 2 a 2 +3a -4 = 0 (a-1) (a+4) = 0 a =1 hoặc a = - 4 ( loại ) h 2 = 3 h = 3 Hay BH = 1(cm) ; AH = 3 (cm) BC =3 + 1 = 4 (cm) ACB = 30 0 (1) S ABC = 2 1 AH .BC = 2 34 = 2 3 (cm 2 ) b)Vẽ tam giác đều BCE ngoài tam giác ABC. DBC = ABE (c-g- c) DC = AE ACE = ACB + BCE = 30 0 + 60 0 = 90 0 AE 2 = AC 2 +CE 2 DC 2 = AC 2 + BC 2 (đpcm ) ./. C A E B D H . Đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp 9 năm học: 2006-2007 Câu 1 (1điểm) Rút gọn biểu thức: ( y1. 2cm, đoạn HC =3cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABD. a/ Tính diện tích tam giác ABC b/ Chứng minh: CD 2 = AC 2 +BC 2 ./.